Contrôle de maths 2de : factorisation, tableaux de signes et preuves

Exercice 1 : Automatismes (3 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Répondre donc directement, sans justification.

1. Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(2x – 6 = 0\) ? (0,5 point)
2. Donner ensuite l’ensemble des réels \(x\) tels que \(-3x + 12 > 0\), sous forme d’intervalle. (0,5 point)
3. Factoriser \(4x^2 – 9\). (0,5 point)
4. Quel est le signe de \((x – 1)(x + 2)\) lorsque \(x = 0\) ? (0,5 point)
5. Quelle est la valeur interdite de l’expression \(\dfrac{x + 1}{x – 5}\) ? (0,5 point)
6. Enfin, factoriser \(x^2 + 4x\). (0,5 point)

Exercice 2 : Signe d’une expression affine (3 points)

Cet exercice porte d’abord sur deux expressions affines, puis sur une inéquation.

1. Dresser le tableau de signes de \(f(x) = 2x – 5\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Dresser ensuite le tableau de signes de \(g(x) = -4x + 6\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. En déduire enfin l’ensemble des solutions de l’inéquation \(-4x + 6 \leq\, 0\). (1 point)

Exercice 3 : Produits et quotients (5 points)

Dans chaque question, l’expression est d’abord définie, puis étudiée à l’aide d’un tableau de signes.

1. On pose \(P(x) = (2x – 5)(-4x + 6)\). Dresser le tableau de signes de \(P(x)\) sur \(\mathbb{R}\), puis résoudre l’inéquation \(P(x) > 0\). (2 points)
2. On pose \(Q(x) = \dfrac{x + 3}{1 – x}\). Donner la valeur interdite, dresser le tableau de signes de \(Q(x)\), puis résoudre l’inéquation \(Q(x) \geq\, 0\). (1,5 point)
3. On pose \(R(x) = (x – 2)^2 – 9\). Factoriser \(R(x)\), puis résoudre l’inéquation \(R(x) < 0\). (1,5 point)

Exercice 4 : Démonstrations algébriques (4 points)

Chaque démonstration doit être rédigée avec soin : un exemple numérique ne suffit donc pas.

1. Démontrer d’abord que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. (1,5 point)
2. Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(x^2 + 1 \geq\, 2x\). On pourra par exemple étudier le signe de la différence \(x^2 + 1 – 2x\). Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on alors l’égalité ? (1,5 point)
3. Lina affirme : « Pour tout réel \(x\), \((x + 3)^2\) est strictement plus grand que \(x(x + 6)\). » A-t-elle raison ? Justifier donc en calculant la différence. (1 point)

Exercice 5 : Les allées du jardin (5 points)

Un jardin rectangulaire mesure 10 m sur 6 m. On veut y tracer deux allées perpendiculaires de même largeur \(x\) mètres, chacune parallèle à un côté du jardin, avec \(0 < x < 6\). Le reste du jardin est alors une pelouse, formée de quatre rectangles.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. En imaginant qu’on fait glisser les quatre morceaux de pelouse les uns contre les autres, justifier que l’aire de la pelouse, en m², est \(P(x) = (10 – x)(6 – x)\). (1 point)
2. Développer puis réduire \(P(x)\). (0,5 point)
3. Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(P(x) – 32 = (x – 2)(x – 14)\). (1 point)
4. Dresser ensuite le tableau de signes de \((x – 2)(x – 14)\) pour \(x\) dans l’intervalle \(]0\,;6[\). (1,5 point)
5. Le propriétaire veut au moins \(32\text{ m}^2\) de pelouse. Quelle largeur maximale peut-il donc donner aux allées ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : factorisation, tableaux de signes et preuves

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Factorisation et étude de signe » en 2de.

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