Contrôle de maths 2de : systèmes de deux équations et droites sécantes

Exercice 1 : Résoudre par substitution (4 points)

Calculatrice autorisée, mais toutes les étapes de calcul doivent figurer sur la copie.

On considère le système \((S_1)\) formé des deux équations suivantes, d’inconnues \(x\) et \(y\) :

\(3x + y = 11\)
\(x – 2y = -1\)

1. Le couple \((1\,;8)\) vérifie-t-il la première équation ? Est-il solution du système \((S_1)\) ? Justifier. (1 point)
2. Résoudre le système \((S_1)\) par la méthode de substitution. (3 points)

Exercice 2 : Résoudre par combinaison (4 points)

Résoudre par la méthode de combinaison chacun des deux systèmes suivants.

1. Le système \((S_2)\) : (2 points)
   \(4x + 3y = 5\)
   \(3x – 2y = 8\)
2. Le système \((S_3)\) : (2 points)
   \(2x + 5y = 1\)
   \(3x + 4y = -2\)

Exercice 3 : Deux droites dans un repère (5 points)

Les droites \(d_1\) et \(d_2\) sont tracées dans le repère orthonormé ci-dessous.

1. Déterminer par lecture graphique les équations réduites des droites \(d_1\) et \(d_2\). (1,5 point)
2. Lire les coordonnées du point d’intersection des deux droites. (0,5 point)
3. Écrire un système de deux équations dont la solution correspond à ce point d’intersection, puis le résoudre par le calcul pour confirmer la lecture. (1,5 point)
4. On considère maintenant le système \((S_4)\) :
   \(2x – 4y = 3\)
   \(-x + 2y = 5\)
   Écrire chaque équation sous forme réduite \(y = mx + p\). En déduire la position relative des deux droites associées, puis le nombre de solutions de \((S_4)\). (1,5 point)

Exercice 4 : Une, aucune ou une infinité de solutions (3 points)

Pour chacun des systèmes suivants, déterminer, en justifiant, s’il admet une seule solution, aucune solution ou une infinité de solutions. Lorsqu’il y a une seule solution, la calculer.

1. \((A)\) : \(x + 3y = 4\) et \(2x + 6y = 8\). (1 point)
2. \((B)\) : \(5x – y = 2\) et \(3x + 2y = 9\). (1 point)
3. \((C)\) : \(6x – 9y = 1\) et \(-4x + 6y = 3\). (1 point)

Exercice 5 : Des places de cinéma (4 points)

Dans un cinéma, toutes les places adultes sont au même prix, et toutes les places enfants aussi. La famille Martin (2 adultes et 3 enfants) a payé 41 €. La famille Diallo (3 adultes et 1 enfant) a payé \(40{,}50\) €.

1. On note \(a\) le prix d’une place adulte et \(e\) le prix d’une place enfant, en euros. Traduire l’énoncé par un système de deux équations. (1,5 point)
2. Résoudre ce système et donner le prix de chaque place. (2 points)
3. Une école emmène 24 enfants et 2 accompagnateurs adultes voir un film. Le budget prévu est de 170 €. Est-il suffisant ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : systèmes de deux équations et droites sécantes

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les systèmes d’équations » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés systèmes de deux équations.

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