Exercices maths 2de

Fonctions : exercices 2de de maths corrigés en seconde

Des exercices en seconde (2de) sur les généralités sur les fonctions.L’intégralité de ces fiches d’exercices sont corrigés.

Exercice n° 1 :

Etablir le tableau de signe des expressions algébriques suivantes :

a.  (x+1)(x-2) \,.

b.  -(2x+4)(x-2) \,.

c.  (x+1)^2 \,.

Exercice n° 2 :

1. Etablir le tableau de signe de l’expression algébrique suivante :

 -\frac{(x+1)(x-2)}{1-x} \,.

2. Résoudre :

 -\frac{(x+1)(x-2)}{1-x}\ge 0 \,.

3.

a. Dévelloper  (2x-1)(x-1) \,..

b. Résoudre :

 \frac{2x^2-3x+1}{x^2+1}\le 0 \,..

Exercice n° 3 :

1. Considérons les courbes représentatives des fonctions f et g suivantes :

cours de maths

a. Résoudre  f(x)=g(x) \,..

b. Résoudre  g(x)\ge f(x) \,..

2. Considérons la courbe représentative de la fonction f suivante :

cours de maths

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

a.  f(x)=0 \,..

b.  f(x)=3 \,..

c.  f(x)\le 0\,..

Exercice n° 4 :

On considère les fonctions f et g définies par :

 f(x)=\frac{1}{1+x}\,\,;\,\,g(x)=\sqrt{3-2x} \,..

1. Déterminer l’ensemble de définition de ces deux fonctions.

2. Déterminer l’image de 3 et -1,5 par ces fonctions.

3. Calculer  f(2)\,\,;\,\,f(-0,5)\,\,;\,\,g(2)\,\,;\,\,g(-0,5) \,...

4. Déterminer les antécédents de 4 par ces deux fonctions .

Exercice n° 5 :

On considère la fonction g définie par :

 g(x)=\frac{\sqrt{2}x+1}{3x-1} \,..

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g .

2. Déterminer les antécédents de 2 par la fonction g (donner les résultats sous forme simplifiée).

Représentation graphique

Pour chacune des courbes ci-dessous, indiquer si c’est la représentation graphique d’une fonction.

Image et antécédent

1. Déterminer par lecture graphique les images de 1et de 2.5 par la fonction f. (à 0.1 près)
2. Retrouver les valeurs exactes de ces résultats par le calcul.
3. Déterminer graphiquement les antécédents de 1. ( toujours à 0.1 près)
4.  Résoudre graphiquement l’équation f(x) =0.
5.  Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)> 1.

Fonctions et calcul littéral

On donne

f(x) = 9x² – 4 + (3-2 x) (3x-2) et g (x) = x² +2x +1 – (2x-3)²

1. Développer, réduire et ordonner f(x) et g (x). (1 pt)

2. Factoriser f (x) et g (x).

Soit la fonction rationnelle définie par h(x) = (f(x))/(g(x))

1. Déterminer la condition d’existence de h(x).

2. Simplifier h(x).

3. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

h(x) = 0 ; h(x) = 3 et h(x) < 0.

Etude d’un rectangle et fonction numériques

x et y désignent des réels strictement positifs .

Un rectangle de dimension x et y (en centimètres) a pour aire 25\,cm^2 .

a) Exprimer y en fonction de x .

b) On définit une fonction en associant à la dimension x,

l’autre dimension y.

Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?

Tableau de signe et étude d’une fonction

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par  f(x)=5x^2-3x+6 .


1- Démontrer que, pour tout nombre réel x, f(x)=5(x-0,3)^2+5,55 .
2- Résoudre graphiquement l’inéquation   f(x)< 25,55 .
3- Factoriser  f(x)-25,55 et retrouver les solutions de l’inéquation à l’aide d’un tableau de signes.

Etude d’une fonction numérique

Soit f  la fonction définie sur R par f(x) = 4x² + 16x + 7


1) démontrer que f(x) = 4(x+2)²-9
2) factoriser f(x)
3) choisir la forme la mieux adaptée et détailler les calcules pour calculer f(-1/2) et f(\sqrt{2})

4) Dans le repère suivant tracer la représentation graphique de f

5 ) résoudre algébriquement f(x) = 0. Expliquer comment controler les solutions sur le graphique
6a) résoudre algébriquement l’équation f(x) = 2x+7
b) résoudre graphiquement la même équation
7) quelle forme de f(x) permet d’affirmer que f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.
Démontrer alors que pour tout x de R, f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.
Comment controler ce résultat sur le graphique ?

Exercices sur les fonctions

Exercice n° 1 :

1. On considère les fonctions f, g , h définies sur  \mathbb{R} par :
 f(x)=3x-1\,\,;\,\,g(x)=x^2\,\,;\,\,h(x)=2x-1 .

a. Donner l’expression algébrique de la fonction composée i=hofog .

b.Calculer l’image de -1;0 et 1 par la fonction i .

c.Calculer les antécédents de 27 par i.

2. Décomposer les fonctions suivantes à l’aide des fonctions de référence (fonctions usuelles).

a.  f(x)=3x^2+1 .

b.  g(x)=\frac{1}{3x+1} .

c.  h(x)=\sqrt{1-x^2} .

d.  i(x)=\frac{3}{(5+\sqrt{x})^2} .
Exercice n° 2 :

On considère la fonction f définie sur  \mathbb{R} par :
 f(x)=x^2-6x+5 .

1. Montrer l’égalité des expressions algébriques suivantes :

 x^2-6x+4=(x-3)^2-4

2. On considère, désormais, la fonction f définie par  f(x)=(x-3)^2-4 :

a. f=hokom avec m(x)=x-3\,,\,k(x)=x^2\,,\,h(x)=x-4

b. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur chacun les intervalles  ]-\infty\,;\,3] et  [3\,;\,+\infty [ .

c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur  \mathbb{R} .

d. En déduire la valeur minimale de f sur  \mathbb{R}, en quel point est-elle atteinte?

e. Retrouver le résultat de la question d. à l’aide de l’expression algébrique de f.

Vocabulaire sur les fonctions

Traduire les phrases suivantes à l’aide d’égalités :

 a. Par la fonction g, – 5 est l’image de 4.
b. 2 a pour image 0 par la fonction f.
c. Un antécédent de – 3 par h est 5.
d. Les images par f de – 3 et 5 sont nulles.

Etude de deux fonctions numériques

Soient f et g deux fonctions définies sur \mathbb{R} par :

f(x)=2x(x-1)  et  g(x)=-3x+3.

1. Tracer à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions

f et g.

2. Conjecturer graphiquement les solutions de l’équation f(x)=g(x) .

3. Résoudre algébriquement l’équation f(x)=g(x) .

4. En déduire les coordonnées des points d’intersection des deux courbes.

Développer et réduire l’expression de la fonction

Développer, puis réduire, l’expression de la fonctionf définie sur \mathbb{R}

par :

f(x)= ( \frac{1}{2}x-1  )^2-(2x-1)(2x+1)

Fonctions et géométrie

Soit ABCD un carré de côté 20

Soit M un point de [AB]. On note x la distance AM

Les points P et N sont définis tel que AMNP soit un carré et P appartient à [AD]

Soit f(x) l’aire du carré AMNP et g(x) l’aire du triangle DNC

1. Exprimer f(x) en fonction de x

2. Exprimer g(x) en fonction de x

3.Représenter dans un même repère les fonctions f et g pour tout x de [0;20]

4.Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles le carré AMNP et le triangle DNC ont la même aire

Etude d’une fonction

La trajectoire d’une balle de jeu est donné par  f(x) = – 5 x² + 10 x + 15 .

 où x est le temps écoulé depuis le lancement en l’air, exprimé en secondes, avec x  ∈ [0 ; 3],
 et f(x) est la hauteur de la balle au dessus du sol, exprimée en mètres .

Partie A. Lecture graphique.

On a représenté graphiquement la fonction f ci-dessous .

 Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique.
 1° a) Quelle est la hauteur de la balle après 10 secondes ?
 b) A quelle hauteur était la balle quand elle a été lancée ?
 c) La balle peut-elle être lancée à 20 m ?
 d) Au bout de combien de temps est-elle revenue au sol ?
 e) Déterminer f(3) et f(0). Que représente ce nombre ?
2° a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle
 b) Donner les instants où la hauteur est égale à 15 m
 c) Résoudre graphiquement  f(x) \geq\, 18.  Donner une interprétation concrète de cette inéquation.
Partie B : Calculs .
 1° Par le calcul retrouver les résultats de la partie A 1° b) et 1° d
 2° a) Démontrer que pour tout réel x de [ 0 ; 3 ], f(x)=20-5(x-1)^2 .
 b) Résoudre l’équation : f(x) = 15.  Quel résultat de la partie A retrouve-t-on ?
3° Démontrer que pour tout réel x de [ 0 ; 3 ], f(x) \leq\, 20.
    Quel résultat de la partie A retrouve-t-on  ?
 4° calculer f(2)  et  f(\frac{2}{3}) .
 5° Résoudre l’équation : f(x) = 0.

Exercice n° 1 :

Soit la fonction linéaire f:x\,\mapsto  \,1,2x .
a. Calculer f(5) ; f(- 1,2) ; f(0) ; f(100).
b. Calculer les nombres x dont les images sont 2 400 ; – 45.

Exercice n° 2 :

Soit g la fonction linéaire telle que g:x\,\mapsto  \,-0,4x.

a. Quel est le coefficient de la fonction g ?
b. Calculer les images de 10 ; – 5 et 1.
c. Compléter les égalités suivantes :
g (10)= … g (- 5 ) = … et g(……)= – 0,4.

Exercice n° 3 :

On sait que 18 a pour image 23 par la fonction f et que 12 a pour image 14 par f.

f est-elle une fonction linéaire ?Pourquoi ?

Exercice n° 4 :

Exprimer la fonction linéaire f sous la forme x\,\mapsto  \,ax ( le nombre a est à déterminer), puis calculer f(0) ; f(1) et f( – 2).

1. Lorsque l’image de 10 est – 3.
2. Lorsque f (- 100)= – 46.
3. Lorsque le coefficient de f est 2,5.

Exercice n° 5 :

Dans un repère,

a. Tracer la droite d représentant la fonction f:x\,\mapsto  \,2,5x
b. Tracer la droite d d’équation y=1,2x .
Quelle fonction la droite d représente-t-elle ?
c. Tracer la droite d’ représentant la fonction linéaire g de coefficient a = – 2.

Exercice n° 6 :

Expliquer ce que signifie les notations suivantes :

a. f:x\,\mapsto  \,3x+7.
b. f(x)=-2x+3.

Exercice n° 7 :

Parmi les fonctions données, indiquer celles qui sont affines, celles qui sont linéaires, celles qui ne sont pas affines.

f:x\,\mapsto  \,5x+2

g:x\,\mapsto  \,-4+3x

h:x\,\mapsto  \,2x

i:x\,\mapsto  \,8

j:x\,\mapsto  \,-4x^2-4

k:x\,\mapsto  \,-\frac{3x}{7}

l:x\,\mapsto  \,3\sqrt{x}+7

m:x\,\mapsto  \,3+\frac{1}{x}

Exercice n° 8 :

La fonction f est définie par : x\,\mapsto  \,-5x+2.

a. Calculer f(2) ;f(- 3) ; f(0).
b. Calculer l’image de 4.
c. Calculer le nombre x tel que :
f(x)=\frac{5}{3} .

Exercice n° 9 :

On donne les images de deux nombres par une fonction affine f.

f(3)=5 et f(7)=13
a. Tracer sa représentation graphique dans un repère.
b. Déterminer l’expression algébrique de cette fonction f:x\,\mapsto  \,ax+b (c’est-à-dire déterminer a et b).

Problèmes :

1. Dans un magasin, 100 g de chocolats sont vendus 3 €, et l’emballage coûte 1,52 €.

Sonia a acheté 750 g de chocolats et Samy en a achetés 900 g.
Combien chacun a-t-il payé ?

2. Deux personnes sont abonnées à un même ciné-club .
Pour trois séances, la première a payé 16 € (places et abonnement) ; pour cinq séances, la deuxième a payé 22 € ( places et abonnement).
Calculer le prix d’une place et le montant de l’abonnement.

Généralités sur les fonctions

Etude d’une fonction

Sens de variation

Tableau de variation

Etude d’une fonction rationnelle

On considère la fonction f définie par f(x)=\frac{(1-x^2)^2}{1+x^2}.

1. Déterminer son ensemble de définition.

2. Démontrer que f est une fonction positive sur \mathbb{R}.

3. Etudier la parité de la fonction f.

4. Tracer soigneusement la représentation graphique Cf de la fonction f.

5. Donner par lecture graphique la valeur du maximum de f sur :

a. l’intervalle [- 1;1].

b. l’intervalle [- 2;1].

6. Résoudre l’inéquation f(x)\leq\,\,1.

Image et antécédent

Soit f définie sur \mathbb{R} par f(x)=2x^2+x+3

1. Calculer l’image de 0, l’image de 1 et l’image de \sqrt{2} par la fonction f .

2. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par f .

Image et antécédent par une fonction

f est la fonction déinifie sur \mathbb{R} par :

f(t)=-3(t-1)^2.

1. Calculer l’image de 2.

2. Calculer f(-3).

3. Est-il vrai que 4 n’admet pas d’antécédent par f ?

4. Est-il vrai que 0 admet un seul antécédent par f ?

5. Déterminer un antécédent de – 12 .

Domaine de définition, image et antécédent

f est la fonction définie sur ]-2;+\infty[ par :

f(x)=\frac{1}{x+2}

1. Expliquer pourquoi f n’est pas définie en -2 .

2. Calculer f(4) .

3. Déterminer l’antécédent de \frac{1}{2} .

Skieur et théorème de Thalès

Un skieur dévale, tout schuss, une piste rectiligne représentée ci-dessous par le segment [BC] de longueur 1 200 m.

A son point de départ C, le dénivelé par rapport au bas de la piste, donné par la longueur AC, est de 200 m. Après une chute, il est arrêté au point D sur la piste.

Le dénivelé donné par la longueur DH, est alors de 150 M.

Calucule la longueur DB qu’il lui reste à parcourir.

Problème sur les fonctions

On fabrique une boîte à partir d’une feuille de carton carrée de 18 cm de côté .

On découpe à chaque coin du carré, un carré de côté x (cm) et on plie à 90° les bords libérés de façon à former une boîte de profondeur égale à x (cm).
On note x la largeur de l’encoche exprimée en cm, f(x) le volume de la boîte exprimée en cm cube.

1) Donner les valeurs possibles de x.
En déduire l’ensemble de définition D de f.

2) Donner l’expression de f sur D.

3) Représenter graphiquement cette fonction.

4) A l’aide du graphique, donner la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte est maximal et établir le tableau de variations de la fonction f.

5) Montrer que f(x) – f(3) = 4 (x – 3)² (x – 12).
En déduire que f(x) est inférieur ou égal à f(3) pour tout x élément de [0;9]. Que peut-on en conclure ?

Corrigé de ces exercices sur les fonctions


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