Arithmétique et ensembles de nombres : cours de maths en 2de.

Les mathématiques sont considérées comme la matière où les élèves rencontrent le plus de difficultés. Mathovore vous permet de travailler sur cours sur l’arithmétique : nombres entiers et rationnels et calcul du pgcd et réviser en ligne par le biais de milliers de ressources rédigées par une équipe d'enseignants volontaires de l'éducation nationale. Vous développerez vos connaissances autant dans le domaine de l'algébre qu'en géométrie. Les mêmes ressources que vous trouverez dans votre manuel scolaire avec des cours complets conformes aux programmes officiels de l'éducation nationale et des exercices corrigés poortant sur chaque chapitre du programme de votre niveau. Chaque document dispose, en bas de page, d'un lien vous permettant de l'exporter au format PDF. Oubliez les cours particuliers qui peuvent être très cher sur une année scolaire. Nos resssources, cours et exercices corrigés sur cours sur l’arithmétique : nombres entiers et rationnels et calcul du pgcd vous permettent de vous exercer en ligne afin de combler vos lacunes en maths et d'envisager une constante progression tout au long de l'année scolaire en développant de nouvelles compétences et en comblant les différentes lacunes que vous rencontrez sur les cours de maths en 2de . De nombreuses ressources en ligne pour les élèves de primaire (CE2, CM1 et CM1), du collège (6ème, 5ème, 4ème et 3ème) et du lycée (2de, 1ère et terminale) ainsi que de nombreux sujets du brevet des collèges et du baccalauréat afin de vous préparer dans les meileurs conditions pour ces diplômes. Les membres du site ont accès gratuitement aux différents corrigés afin de pouvoir relever les différents erreurs commises sur cours sur l’arithmétique : nombres entiers et rationnels et calcul du pgcd et d'assimiler les différentes notions comme les définitions, les propriétés et les théorèmes.

Sommaire de cette fiche

1 1.Introduction aux différents ensembles de nombres :
2 2. Etude de l’ensemble des entiers naturels :
3 3.Les fractions :
- - 3.0.1 Définition :

Cours d’arithmétique sur les nombres entiers et rationnels.Cette leçon fait intervenir la notion de multiple, diviseur, plus grand diviseur et le calcul de pgcd avec la méthode classique, l’algorithme des différences, l’algorithme d’Euclide et également les ensembles de nombres pour une approche du lycée.

1.Introduction aux différents ensembles de nombres :

L’ensemble des réels :

Définition :

L’ensemble de tous les nombres se nomme l’ensemble des réels.

On le note $\mathbb{R}$ (de l’allemand real)

Exemple:

Les nombres suivants sont des nombres réels :

$0;1;-3;\sqrt{2};\frac{3}{5};\pi$

L’ensemble des entiers naturels :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs ou nul.

On le note $\mathbb{N}$ (de l’italien naturale)

Remarque :

$\mathbb{N} ={0;1;2;3;4;.....}$

L’ensemble des entiers relatifs :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs, négatifs et nul.

On le note $\mathbb{Z}$ (de l’allemand zahlen :compter)

Remarque :

$\mathbb{Z} ={........;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;.....}$

L’ensemble des nombres décimaux :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de décimales.

On le note $\mathbb{D}$ (du français décimale) .

Exemple:

Les nombres suivants sont des nombres décimaux :

$0\,;\,1\,;\,-3,2\,;\,5,689\,;\,\frac{4}{5}$

par contre 0,333333…… n’est pas un nombre décimal puisque sa partie décimale est infinie.

L’ensemble des nombres rationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers relatifs.

On le note $\mathbb{Q}$ (de l’italien quotienté ) .

Exemple:

Les nombres suivants sont des nombres rationnels :

$0\,;\,1\,;\,-3,2\,;7,069\,;\,\frac{4}{5}$

L’ensemble des nombres irrationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels ; que l’on ne peut donc pas écrire sous forme de fraction.

On le note $\mathbb{R }$ \ $\mathbb{Q}$ (l’ensemble des réels privé des rationnels) .

Exemple:

Les nombres suivants sont des nombres irrationnels :

$\pi\,;\,\sqrt{2}\,;\,\sqrt{3}$

2. Etude de l’ensemble des entiers naturels :

Tous les nombres considérés dans ce paragraphe sont des entiers naturels donc appartenant à :

$\mathbb{N}$ = {0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;…}

2.1.Diviseurs et multiples.

Définition :

Le nombre a est divisible par b s’il existe un nombre n tel que : a = b x n.

On dit alors que a est multiple de b et de n.

Exemple:

10 = 2×5 donc 10 est divisible par 2 et par 5, et 10 est un multiple de 2 et 5 (il y en a d’autres).

Critères de divisibilité. (rappels de sixième)

– Par 2 : Un nombre est divisible par 2 s’il est pair, c’est-à-dire lorsqu’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

– Par 3 : Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3.

– Par 5 : Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5.

– Par 9 : Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9.

Exemple: • 675 est divisible par 9 car 6+7+5=18

et 18 est divisible par 9.

•114 est divisible par 3 car 1+1+4 = 6 et 6 est divisible par 3.

2.2. Diviseurs communs.

Définition :

Un diviseur commun de deux nombres a et b est un nombre qui divise à la fois a et b.

Exemple: 3 est un diviseur commun de 114 et 27 car 3 divise 114 (114 = 3×38) et 3 divise 27 (27=3×9).

2.3.Plus Grand Diviseur Commun.

Définition :

Le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand des diviseurs communs de a et de b.

Définition :

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1, c’est-à-dire lorsqu’il n’ont comme diviseur commun que le nombre 1.

Exemple: 8 et 27 sont premiers entre eux car ils n’ont comme diviseur commun que 1, leur PGCD est 1.

2.4. Algorithmes de calcul du PGCD de deux nombres a et b.

Définition :

Un algorithme est une succession de règles ou de procédures bien définies qu’il faut suivre pour obtenir la solution d’un problème dans un nombre fini d’étapes.

a. Algorithme des différences :

Cet algorithme repose sur la propriété suivante :

Propriété :

Soit a et b deux entiers avec a > b, alors PGCD(a ;b) = PGCD (b ;a – b) .

Exemple:

Calculons le PGCD de 675 et 375 par l’algorithme des différences.
pgcd(675 ;375)

= pgcd (Le plus petit; la différence des 2)

= pgcd(375 ;675 – 375)

= pgcd(375 ;300)

= pgcd ( 300 ; 375 – 300)

= pgcd ( 300 ; 75)

= pgcd (75 ; 300 – 75)

= pgcd ( 75 ; 225)

= pgcd ( 75 ; 225 – 75)

= pgcd ( 75 ; 150)

= pgcd(75 ;150-75)

= pgcd ( 75 ; 75 )

= pgcd(75,75-75)

= pgcd(75,0)=75

Le plus grand diviseur commun à 75 et 0 est 75.

Donc le pgcd ( 675 , 375) = 75.

b.Algorithme d’Euclide :

Division euclidienne (rappels sixième) :

Soit a et b deux entiers avec a > b alors il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que a = bq+r (avec r< b )

– a est appelé « le dividende »;

– b est appelé « le diviseur »;

– q est appelé « le quotient »;

– r est appelé « le reste »;

Exemple :

Donnons l’égalité de la division euclidienne de 65 par 32.

65 = 32×2+1.

L’algorithme d’Euclide repose sur la propriété suivante :

Propriété :

Soit a et b deux entiers avec a > b et r le reste de la division euclidienne de a par b, alors pgcd (a ; b) = pgcd (b ; r)

Exemple :

Reprenons le calcul du PGCD de 675 et 375 par l’algorithme d’Euclide

675 = 375 × 1 + 300 donc pgcd(675;375) = pgcd(375;300)

375 = 300 × 1 + 75 donc pgcd(375;300) = pgcd(300;75)

300 = 4×75 + 0 donc pgcd(300;75) = pgcd(75;0) = 75

Le dernier reste non nul est 75

Donc le pgcd (675,375)=75.

Remarque :

Nous observons l’efficacité de l’algorithme d’Euclide (3 étapes) par rapport à l’algorithme des différence (13 étapes)

3.Les fractions :

Définition :

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Propriété :

Si on simplifie une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur, alors on obtient une fraction irréductible.

Exemple:

D’après précedemment pgcd( 675, 375) = 75 .

$\frac{675}{375}=\frac{675:75}{375:75}=\frac{9}{5}$

Cette dernière fraction est bien irréductible

car on a simplifié par le pgcd du numérateur et du dénominateur.

4.2/5 - (8 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «cours sur l'arithmétique : nombres entiers et rationnels et calcul du PGCD» au format PDF.

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à cours sur l'arithmétique : nombres entiers et rationnels et calcul du PGCD.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à cours sur l'arithmétique : nombres entiers et rationnels et calcul du PGCD à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème cours sur l'arithmétique : nombres entiers et rationnels et calcul du PGCD, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.

Ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de
57
Les ensembles de nombres dans un cours de maths en 2de faisant intervenir les ensembles des nombres réels, des rationnels et des irrationnels puis des entiers naturels et relatifs. Dans cette leçon en seconde, nous aborderons les différents ensemble de nombres et leur notation puis nous effectuerons des rappels de…
Bac S de maths 2018 en France : sujet et corrigé à télécharger en PDF
57
MATHÉMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Durée de l’épreuve : 4 heures Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous la courbe d’équation : . Cette courbe est appelée une «…
Bac s 2019 France : sujet et corrigé à télécharger en PDF
56
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2019 ÉPREUVE DU VENDREDI 21 JUIN 2019 MATHÉMATIQUES - Série S - Durée de l’épreuve : 4 heures L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé. Enseignement de Spécialité Coefficient : 9 Le sujet est composé de quatre exercices indépendants. Le candidat…
Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF
54
SESSION 2019 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l’épreuve : 4 heures Enseignement obligatoire – Coefficient : 7 Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski. Les quatre questions sont indépendantes.…
Bac S 2015 : sujet blanc corrigé du baccalauréat en terminale S
51
Un sujet du bac S 2015 blanc de mathématiques pour les élèves de terminale S au lycée afin de se préparer et de réviser en ligne les épreuves du baccalauréat. Le sujet comporte 4 exercices indépendants à traiter dans l’ordre de son choix et à rédiger sur des copies séparées. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage d’une calculatrice est autorisé. Exercice 1 : commun à tous les candidats (5 pts) On note R l’ensemble des nombres réels…

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 2 493 871 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 184 557 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.