Fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de.

Sommaire

Les fonctions polynômes du second degré dans un cours de maths en 2de.

L’essentiel : Une fonction polynôme du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, ou sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$. Sa courbe est une parabole de sommet $(\alpha;\beta)$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$. Si $a>0$, $\beta$ est le minimum de $f$ ; si $a<0$, c’est son maximum.

Cette leçon en seconde traite de la forme canonique, de l’étude d’une fonction trinôme et de sa représentation graphique.
Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre

Développer une expression littérale;
Reconnaître un axe de symétrie;
Additionner des fractions;
Multiplier des fractions.

1. Forme canonique

Définition : Fonction polynôme de degré 2

Soit a, b, c trois nombres réels avec $a\neq0$ .
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction P définie sur $\mathbb{R}$ pouvant être exprimée sous la forme : $P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c$ .
On parle aussi de fonction trinôme.

Propriété

Soit P une fonction polynôme du second degré exprimée sous la forme $P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c$ .
Il existe deux nombres réels α et β permettant d’écrire P sous le forme :
$P(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha\,)^2\,+\beta$ .
Cette forme s’appelle forme canonique.

2. Étude d’une fonction trinôme

Propriété : sens de variations.

Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha\,)^2\,+\beta$ .
Le sens de variation d’une fonction dépend du signe de a.

Extremum d’une fonction.

Soit a, $\alpha$ , $\beta$ trois nombres réels.
f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique
$f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .
Sur R, la fonction f admet $\beta$ comme extremum. Il est atteint pour x = α.
C’est un maximum si $\alpha$ est négatif.
C’est un minimum si $\alpha$ est positif.

Signe d’une fonction.

Soit a, $\alpha$ , $\beta$ trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa
forme canonique $f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .
Le signe d’une fonction trinôme dépend du signe de a et du signe de $\beta$ .
Si a < 0 et $\beta$ $\leq\,\,\,$ 0, alors la fonction est toujours négative.
Si a > 0 et $\beta$ $\geq\,\,\,$ 0 alors la fonction est toujours positive.
Dans les autres cas,
la fonction change de signe sur l’intervalle $]\,-\infty;\alpha[$ ;
la fonction change à nouveau de signe sur l’intervalle $]\alpha\,;+\infty[$ .

Méthode : étudier une fonction trinôme du second degré.

Exemple:

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f\,(x)\,=\,-2(x\,-\,0,\,25)^2\,-\,8$ .
Déterminer :
1) son sens de variation ;
2) son extremum;
3) le signe de la fonction.

Correction :

Dans le cas de la fonction f :
• α = 0, 25 • $\beta$ = −8 • a = −2
1) a est négatif donc la fonction f est croissante sur $]-\infty;\,0,\,25[$ et décroissante sinon.
2) Elle admet un maximum en x = $\alpha$ = 0, 25. Il vaut f (0, 25) = −8.

3) La fonction f est négative sur $\mathbb{R}$ .

3. Représentation graphique de fonctions

Définition :

La courbe représentative d’une fonction trinôme est une parabole.

Propriété :

Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique
$f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet un axe de symétrie : la droite d’équation x = $\alpha$ .

Exemple :

Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :
• $f\,(x)\,=\,-0,\,5(x\,+\,2)^2\,+\,3$
• $g(x)\,=\,2(x\,-3)^2\,-\,2$
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.

Correction

La fonction f :
• est croissante sur ]− $\infty$ ;−2[ ;
• est décroissante sur ]−2;+ $\infty$ [ ;
• elle admet un maximum en −2 qui vaut 3.

La fonction g :
• est décroissante sur ]− $\infty$ ; 3[ ;
• est croissante sur ]3;+ $\infty$ [ ;
• elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.

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