Fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de en PDF.

Sommaire de cette fiche

1 1. Forme canonique
2 2. Étude d’une fonction trinôme
3 3. Représentation graphique de fonctions

Les fonctions polynômes du second degré dans un cours de maths en 2de.

Cette leçon en seconde traite de la forme canonique, de l’étude d’une fonction trinôme et de sa représentation graphique.
Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre

Développer une expression littérale;
Reconnaître un axe de symétrie;
Additionner des fractions;
Multiplier des fractions.

1. Forme canonique

Définition : Fonction polynôme de degré 2

Soit a, b, c trois nombres réels avec $a\neq0$ .
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction P définie sur $\mathbb{R}$ pouvant être exprimée sous la forme : $P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c$ .
On parle aussi de fonction trinôme.

Propriété

Soit P une fonction polynôme du second degré exprimée sous la forme $P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c$ .
Il existe deux nombres réels α et β permettant d’écrire P sous le forme :
$P(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha\,)^2\,+\beta$ .
Cette forme s’appelle forme canonique.

2. Étude d’une fonction trinôme

Propriété : sens de variations.

Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha\,)^2\,+\beta$ .
Le sens de variation d’une fonction dépend du signe de a.

Extremum d’une fonction.

Soit a, $\alpha$ , $\beta$ trois nombres réels.
f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique
$f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .
Sur R, la fonction f admet $\beta$ comme extremum. Il est atteint pour x = α.
C’est un maximum si $\alpha$ est négatif.
C’est un minimum si $\alpha$ est positif.

Signe d’une fonction.

Soit a, $\alpha$ , $\beta$ trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa
forme canonique $f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .
Le signe d’une fonction trinôme dépend du signe de a et du signe de $\beta$ .
Si a < 0 et $\beta$ $\leq\,$ 0, alors la fonction est toujours négative.
Si a > 0 et $\beta$ $\geq\,$ 0 alors la fonction est toujours positive.
Dans les autres cas,
la fonction change de signe sur l’intervalle $]\,-\infty;\alpha[$ ;
la fonction change à nouveau de signe sur l’intervalle $]\alpha\,;+\infty[$ .

Méthode : étudier une fonction trinôme du second degré.
Exemple:

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f\,(x)\,=\,-2(x\,-\,0,\,25)^2\,-\,8$ .
Déterminer :
1) son sens de variation ;
2) son extremum;
3) le signe de la fonction.

Correction :

Dans le cas de la fonction f :
• α = 0, 25 • $\beta$ = −8 • a = −2
1) a est négatif donc la fonction f est croissante sur $]-\infty;\,0,\,25[$ et décroissante sinon.
2) Elle admet un maximum en x = $\alpha$ = 0, 25. Il vaut f (0, 25) = −8.

3) La fonction f est négative sur $\mathbb{R}$ .

3. Représentation graphique de fonctions

Définition :

La courbe représentative d’une fonction trinôme est une parabole.

Propriété :

Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique
$f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet un axe de symétrie : la droite d’équation x = $\alpha$ .

Exemple :

Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :
• $f\,(x)\,=\,-0,\,5(x\,+\,2)^2\,+\,3$
• $g(x)\,=\,2(x\,-3)^2\,-\,2$
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.

Correction

La fonction f :
• est croissante sur ]− $\infty$ ;−2[ ;
• est décroissante sur ]−2;+ $\infty$ [ ;
• elle admet un maximum en −2 qui vaut 3.
La fonction g :
• est décroissante sur ]− $\infty$ ; 3[ ;
• est croissante sur ]3;+ $\infty$ [ ;
• elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.

3.9/5 - (23 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de» au format PDF.

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.

Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère S
61
La dérivée d'une fonction dans un cours de maths en 1ère S où l'on retrouvera la dérivée en un point et la signification concrète du nombre dérivée et de l'équation de la tangente en un point. Dans cette leçon en première S, nous aborderons la dérivée d'une somme, d'un produit…
Dérivée d'une fonction : cours en première S
61
Cours de mathématiques sur la dérivation d'une fonction.On y retrouvera la dérivée en un point et la signification concrète du nombre dérivée et de l'équation de la tangente en un point.La dérivée d'une somme, d'un produit et d'un quotient.La dérivée et le sens de variation d'une fonction.Ainsi que les dérivées…
Notion de fonction : cours de maths en 3ème
58
Les généralités et la notion de fonction numérique dans un cours de maths en 3ème où nous aborderons la notion de fonction avec la définition de l'image et de l'antécédent ainsi que le tableau de valeurs et la courbe représentative d'une fonction dans cette leçon en troisième. I. Notion de…
Les intégrales
57
Extraits du baccalaureat S sur les intégrales : Exercice :(Nouvelle-Caledonie) 1. Déterminer trois réels a,b,c tels que , pour tout : . 2. Soit . a. Calculer . b. Soit f la fonction définie sur par En intégrant par parties, calculer f(X) en fonction de X .…
Dérivation de fonctions numériques : correction des exercices en première
56
Exercices de mathématiques sur la dérivation et dérivée de fonctions numériques en classe de première s. Exercice n° 1 : Dériver la fonction f dans les cas suivants : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Exercice n° 2 : Determiner une equation de la…

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 2 365 024 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 181 073 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.