Sommaire de cette fiche
Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre
- Développer une expression littérale;
- Reconnaître un axe de symétrie;
- Additionner des fractions;
- Multiplier des fractions.
1. Forme canonique
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction P définie sur
On parle aussi de fonction trinôme.
Il existe deux nombres réels α et β permettant d’écrire P sous le forme :
Cette forme s’appelle forme canonique.
2. Étude d’une fonction trinôme
Le sens de variation d’une fonction dépend du signe de a.
f une fonction polynôme de degré 2 définie sur
Sur R, la fonction f admet
C’est un maximum si
C’est un minimum si
forme canonique
Le signe d’une fonction trinôme dépend du signe de a et du signe de
Si a < 0 et
Si a > 0 et
Dans les autres cas,
la fonction change de signe sur l’intervalle
la fonction change à nouveau de signe sur l’intervalle
Méthode : étudier une fonction trinôme du second degré.
Exemple:
On considère la fonction f définie sur par
.
Déterminer :
1) son sens de variation ;
2) son extremum;
3) le signe de la fonction.
Correction :
Dans le cas de la fonction f :
• α = 0, 25 • = −8 • a = −2
1) a est négatif donc la fonction f est croissante sur et décroissante sinon.
2) Elle admet un maximum en x = = 0, 25. Il vaut f (0, 25) = −8.
3) La fonction f est négative sur .
3. Représentation graphique de fonctions
Exemple :
Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :
•
•
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.
Correction
La fonction f :
• est croissante sur ]−;−2[ ;
• est décroissante sur ]−2;+[ ;
• elle admet un maximum en −2 qui vaut 3.
La fonction g :
• est décroissante sur ]−; 3[ ;
• est croissante sur ]3;+[ ;
• elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.
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