Cette série réunit quinze exercices de géométrie dans l’espace destinés aux élèves de seconde. Les premiers énoncés travaillent les positions relatives de droites et de plans dans un tétraèdre, un cube, un pavé droit ou une pyramide : trouver l’intersection de deux plans, dire si deux droites sont sécantes, parallèles ou non coplanaires, puis placer un point d’intersection sur la figure en perspective cavalière.
Les autres exercices demandent des calculs de volumes et de longueurs : pyramide dont le volume dépend d’une variable x, tétraèdres découpés dans un cube, cône de révolution étudié avec la trigonométrie, cône placé dans une boule, empilement de quatre ballons et chapeau pointu dont on trace le patron. Le théorème de Pythagore, la réciproque de Thalès et les formules d’aire et de volume servent à chaque étape.
Cherchez d’abord seul : reproduisez les figures à main levée et justifiez chaque affirmation par une propriété du cours. Comparez ensuite votre démarche avec le corrigé détaillé de ces quinze exercices, qui reprend chaque question pas à pas.
L’essentiel : Pour s’entraîner sur « Géométrie dans l’espace » en Seconde, la fiche propose 20 exercices progressifs : tétraèdre et intersection de plan, cube et plan de l’espace et pyramide régulière et droites. Le corrigé détaillé est sur une page séparée ; fiche gratuite à imprimer en PDF.
Exercice 1 – Tétraèdre et intersection de plan (géométrie dans l’espace)
Dans un tétraèdre ABCD, I est un point de l’arête [AB], J un point de l’arête [CD].
Le but de l’exercice est de trouver l’intersection des plans (AJB) et (CID).
1. Prouver que chacun des points I et J appartient à la fois aux plans (AJB) et (CID).
2. Quelle est alors l’intersection de ces deux plans.
Exercice 2 – Cube et plan de l’espace
ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB].
J est le milieu de [CD].
Quel est dans chacun des cas suivants, l’intersection des deux plans ?
Justifier chaque réponse.
1. Le plan (AIE) et le plan (BIG).
2. Le plan (ADI) et le plan (BJC).
3. Le plan (HEF) et le plan (BJC).
Exercice 3 – Pyramide régulière et droites (géométrie dans l’espace)
SABCD est une pyramide régulière à base carrée.
M est le milieu de [SA], N est le point de [SC] tel que \(SN=\frac{2}{3}SC\) .
1. Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont sécantes.
2. Placer le point d’intersection de (MN) et (AC).
Exercice 4 – Cube
Les points I, J et K sont des milieux.
Dire si les affirmations sont vraies ou fausses et démontrer.
1) (IJ) et (A’D’) sont parallèles .
2) (AJ) et (DK) sont parallèles .
Exercice 5 – Volume d’une pyramide (géométrie dans l’espace)
La pyramide ci-dessous à pour base un rectangle ABCD de périmètre 24 cm et pour hauteur le segment [SA] de longueur triple de celle du segment [AB].
On pose AB=x.
1. Quelles valeurs peut prendre x
2. Démontrer que le volume de la pyramide SABCD est donné par la formule: V=x²(12-x)
3. Quelle est le volume de la pyramide lorsque ABCD est un carré ?
Exercice 6
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Chaque réponse devra être justifiée.
1. les droites (AD) et (EF) sont-elles sécantes ?
2. Les droites (AE) et (CG) sont-elles parallèles ?
3. Les points A, E, C, G sont-ils coplanaires ?
4.Les droites (AD) et le plan (EGH) sont-ils sécants ?
5. Les plans (BCD) et (AEH) sont-ils sécants ?
Exercice 7 (géométrie dans l’espace)
Les points A,B,R,U appartiennent au plan \(P\);
les points S et T n’appartiennent pas à \(P\).
SAB est un triangle isocèle en S et RSUT est un losange de centre, le milieu O de [AB].
Démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan \(P\).
Exercice 8
En faisant tourner le triangle AHS, rectangle en H, autour de (SH), on obtient le cône de révolution représenté ci-dessous.
On sait que AS = 10 cm et \(\widehat{ASH}=20^{\circ}\).
1. Calculer l’arrondi au dixième du rayon r, en cm, du cercle de base.
2. Calculer l’arrondi au dixième de la hauteur h, en cm, du cône .
3.Calculer l’arrondi au cm² de l’aire latérale du cône .
Exercice 9 (géométrie dans l’espace)
ABCDEFGH est un cube d’arête 5 cm.
I est le milieu de l’arête [EF].
Le but de cet exercice est le calcul du volume de la pyramide IABGH, et celui de la longueur de sa hauteur, notée [IS].
1. Calculer les volumes des tétraèdres IFBG et IEAH et le volume du prisme ADHBCG .
2.En déduire le volume de la pyramide IABGH.
3. Calculer l’aire du quadrilatère ABGH, et en déduire la hauteur IS de cette pyramide .
4.Reproduire cette figure et tracer la hauteur [IS] .
Exercice 10 – Sphère et pyramide
Quatre ballons sphériques de diamètre 20 cm sont disposés de façon a former une pyramide.
Quelle est la hauteur de la pyramide ?
Exercice 11 – Pavé droit et diagonale (géométrie dans l’espace)
Un pavé droit \( ABCDEFGH \) a pour dimensions \( AB = 3 \) cm, \( AD = 4 \) cm et \( AE = 12 \) cm.
1. Calculer la longueur de la diagonale \( [AC] \) de la base.
2. En déduire la longueur de la diagonale \( [AG] \) du pavé.
3. Calculer le volume et l’aire totale du pavé.
Exercice 12 – Cône de révolution et chapeau (géométrie dans l’espace)
un individu a un tour de tête de 59 cm.il souhaite se confectionner un chapeau pointu pour la nouvelle année dont la forme et celle d’un cône de révolution.
1)Déterminer le rayon R du disque de base du chapeau .
L’individu souhaite que son chapeau ait une hauteur de 20 cm.
2)Déterminer SM .
3)Calculer l’angle du secteur circulaire du patron du chapeau .
Exercice 13 – Pyramide régulière et patron
Soit SABCD une pyramide régulière,
sa base est le carré ABCD de centre O
et le point A’ est le milieu de l’arrête [SA].SO=4 cm et AB=3 cm .
1)calculer la longueur SA .
2)faire un patron en vrai grandeur .
Exercice 14 – Position relative de droites et plans
PQRST est une pyramide de sommet P et de base QRST
Les droites (QS) et (RT) se coupent en I.
Déterminer la position relative :
a) des droites (PI) et (QS)
b) des droites (PI) et (QT)
c) de la droite (RI) et du plan (QTP).
Exercice 15 – Cône dans une sphère
Un cône est dans un boule, le rayon de la boule est de 35 cm .
1. Calculer le volume de la boule .
2. Calculer le rayon du cône vert de hauteur 28 cm sachant que son sommet est en O et la génératrice du cône correspond au rayon de la boule .
Exercice 16 – Pyramide régulière
SABCD est une pyramide régulière à base carrée.
M est le milieu de [SA], N est le point de [SC] tel que \(SN=\frac{2}{3}SC\) .
1. Démontrer que les droites (MN) et (AC) sont sécantes.
2. Placer le point d’intersection de (MN) et (AC).
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Exercice 17 – Diagonales d’un cube (géométrie dans l’espace)
ABCDEFGH est un cube d’arête 6 cm. On trace la diagonale [AC] d’une face et la diagonale [AG] du cube.
![Cube ABCDEFGH d'arête 6 cm avec la diagonale de face [AC] en bleu et la diagonale du cube [AG] en rouge](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/f0402ad17ed99.svg)
1. Calculer la longueur AC. Donner la valeur exacte puis l’arrondi au centième.
2. Justifier que le triangle ACG est rectangle en C.
3. En déduire la longueur AG (valeur exacte, puis arrondi au centième).
4. Les quatre diagonales du cube se coupent en leur milieu O. Justifier que la boule de centre O passant par A passe par les huit sommets du cube, puis calculer son volume (arrondi au \(\text{cm}^3\)).
Exercice 18 – Pyramide coupée par un plan parallèle à la base (géométrie dans l’espace)
SABCD est une pyramide régulière de base le carré ABCD de côté 8 cm et de hauteur \(SO=6\) cm. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base, qui coupe [SO] en O’ tel que \(SO’=2\) cm. Ce plan coupe les arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD] en A’, B’, C’ et D’.
1. Calculer le volume V de la pyramide SABCD.
2. Quelle est la nature de la section A’B’C’D’ ? Calculer la longueur A’B’.
3. Calculer le volume V’ de la pyramide SA’B’C’D’.
4. En déduire le volume du tronc de pyramide situé entre les plans (ABC) et (A’B’C’).
5. Léo a-t-il raison ? Expliquer.
Exercice 19 – Balles de tennis dans un tube (géométrie dans l’espace)
Un tube cylindrique contient exactement trois balles de tennis, empilées, qui touchent les parois et les fonds du tube. Une balle est une boule de diamètre 6,5 cm.
1. Quelle est la hauteur du tube ? Quel est le rayon de sa base ?
2. Calculer le volume d’une balle (arrondi au \(\text{cm}^3\)).
3. Calculer le volume du tube (arrondi au \(\text{cm}^3\)).
4. Quelle fraction du volume du tube occupent les trois balles ? Exprimer cette fraction sous forme irréductible, puis donner le volume d’air restant dans le tube.
5. Avec un rayon \(r\) quelconque, calculer le volume du tube et celui des trois balles en fonction de \(r\), puis conclure.
Exercice 20 – Un coin de cube coupé (géométrie dans l’espace)
ABCDEFGH est un cube d’arête 4 cm. Les points I, J et K sont les milieux respectifs des arêtes [AE], [AB] et [AD]. On « coupe le coin » du cube en A suivant le plan (IJK).
1. Calculer les longueurs IJ, JK et KI. Quelle est la nature du triangle IJK ?
2. Calculer le volume du tétraèdre AIJK en prenant pour base le triangle AJK.
3. Calculer l’aire du triangle IJK (valeur exacte, puis arrondi au centième).
4. En prenant IJK comme base du tétraèdre AIJK, calculer la distance du point A au plan (IJK).
Géométrie dans l’espace : nos conseils pour progresser
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Géométrie dans l’espace sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec fonctions : exercices de maths en 2de corrigés en PDF.
