Ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de

cours maths 2de
Les ensembles de nombres dans un cours de maths en 2de faisant intervenir les ensembles des nombres réels,  des rationnels et des irrationnels puis des entiers naturels et relatifs.
Dans cette leçon en seconde, nous aborderons les différents ensemble de nombres et leur notation puis nous effectuerons des rappels de calculs sur les puissances et racines carrées.

I.Introduction aux différents ensembles de nombres :

1. L’ensemble des réels :

Définition :

L’ensemble de tous les nombres se nomme l’ensemble des réels.

On le note \mathbb{R} (de l’allemand real)

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres réels :

 0;1;-3;\sqrt{2};\frac{3}{5};\pi

2. L’ensemble des entiers naturels :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs ou nul.

On le note  \mathbb{N} (de l’italien naturale)

Remarque :

 \mathbb{N} ={0;1;2;3;4;.....}

3. L’ensemble des entiers relatifs :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs, négatifs et nul.

On le note \mathbb{Z} (de l’allemand zahlen :compter)

Remarque :

 \mathbb{Z} ={........;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;.....}

4. L’ensemble des nombres décimaux :

Définition :

C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de décimales.

On le note  \mathbb{D} (du français décimale) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres décimaux :

 0\,;\,1\,;\,-3,2\,;\,5,689\,;\,\frac{4}{5}

par contre 0,333333…… n’est pas un nombre décimal puisque sa partie décimale est infinie.

5. L’ensemble des nombres rationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers relatifs.

On le note \mathbb{Q} (de l’italien quotienté ) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres rationnels :

 0\,;\,1\,;\,-3,2\,;7,069\,;\,\frac{4}{5}

6. L’ensemble des nombres irrationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels ; que l’on ne peut donc pas écrire sous forme de fraction.

On le note  \mathbb{R }\ \mathbb{Q}(l’ensemble des réels privé des rationnels) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres irrationnels :

 \pi\,;\,\sqrt{2}\,;\,\sqrt{3}

Bilan :

II. Règles de calculs :

1. Les fractions :

Propriété :

Soient a,b,c,d quatre nombres réels tels que  b\neq 0\,;\,d\neq 0 .

\bullet \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} .

\bullet\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd} .

\bullet\frac{a}{b}\times  \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} .

\bullet\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times  \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} .

2. Les racines carrées :

Définition :

Soit x un nombre réel positif,la racine carrée de x est le nombre positif dont le carré est égal à x.

Ce nombre est noté : \sqrt{x} .

\fbox{{(\sqrt{x})}^2=x} .

Définition :

• Si  a\ge 0\,,\,\sqrt{a^2}=a .

• Si  a\ge 0\,b\ge 0 : \,,\,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times   \sqrt{b} .

• Si  a\ge 0\,b> 0 : \,,\,\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}} .

Exemples :

Simplifier les expressions suivantes :

\bullet A=\sqrt{27}+\sqrt{108}-2\sqrt{75} .

\bullet B=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\times  \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5} .

\bullet C=\frac{1-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}=\frac{1-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\times   \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}-6\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{-2}=-\frac{3-\sqrt{5}-6\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{2} .

Remarque :

\bullet 3-\sqrt{5} s’appelle la quantité conjuguée de l’expression  3+\sqrt{5} .

3. Les puissances :

Définition :

\bullet a^n=\underb{a\times   a \times   a\times   ...\times   a}_{n\,\,\,fois}.

Propriété :

• Si  a\neq 0\,,\,a^{-n}=\frac{1}{a^n}\,\,a^0=1.

\bullet \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.

\bullet {(a^m)}^n=a^{mn}\,,\,{(ab)}^n=a^n\times   b^n.

• Si  b\neq 0\,,\,{(\frac{a}{b})}^n=\frac{a^n}{b^n}.

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Ensemble de nombres, ordre et calcul

QCM sur les ensembles de nombres.

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