Nombres seconde : ensembles de nombres et calculs : cours de

Nombres seconde : ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de en PDF.

Les ensembles de nombres dans un cours de maths en 2de faisant intervenir les ensembles des nombres réels, des rationnels et des irrationnels puis des entiers naturels et relatifs. Dans cette leçon en seconde, nous aborderons les différents ensemble de nombres et leur notation puis nous effectuerons des rappels de calculs sur les puissances et racines carrées.

L’essentiel : Les ensembles de nombres s’emboîtent : $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Un rationnel s’écrit $\frac{a}{b}$ avec $a$ entier et $b$ entier non nul ; un réel non rationnel, comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$, est irrationnel. L’intervalle $[a;b]$ regroupe les réels compris entre $a$ et $b$.

I. Introduction aux différents ensembles de nombres :

1. L’ensemble des réels :

Définition :

L’ensemble de tous les nombres se nomme l’ensemble des réels.

On le note $\mathbb{R} – nombres seconde$ (de l’allemand real)

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres réels :

$0;1;-3;\sqrt{2};\frac{3}{5};\pi$

2. L’ensemble des entiers naturels :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs ou nul.

On le note $\mathbb{N} – nombres seconde$ (de l’italien naturale)

Remarque :

$\mathbb{N} ={0;1;2;3;4;.....}$

3. L’ensemble des entiers relatifs :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs, négatifs et nul.

On le note $\mathbb{Z} – nombres seconde$ (de l’allemand zahlen : compter)

Remarque :

$\mathbb{Z} ={........;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;.....}$

4. L’ensemble des nombres décimaux :

Définition :

C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de décimales.

On le note $\mathbb{D} – nombres seconde$ (du français décimale) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres décimaux :

$0\,;\,1\,;\,-3,2\,;\,5,689\,;\,\frac{4}{5}$

par contre 0,333333…… n’est pas un nombre décimal puisque sa partie décimale est infinie.

5. L’ensemble des nombres rationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers relatifs.

On le note $\mathbb{Q} – nombres seconde$ (de l’italien quotienté ) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres rationnels :

$0\,;\,1\,;\,-3,2\,;7,069\,;\,\frac{4}{5}$

6. L’ensemble des nombres irrationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels ; que l’on ne peut donc pas écrire sous forme de fraction.

On le note $\mathbb{R } – nombres seconde$ \ $\mathbb{Q}$ (l’ensemble des réels privé des rationnels) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres irrationnels :

$\pi\,;\,\sqrt{2}\,;\,\sqrt{3} – nombres seconde$

Bilan :

II. Règles de calculs :

1. Les fractions :

Propriété :

Soient a,b,c,d quatre nombres réels tels que $b\neq 0\,;\,d\neq 0 – nombres seconde$

$\bullet \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} .$

$\bullet\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd} – nombres seconde$

$\bullet\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} .$

$\bullet\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} – nombres seconde$

2. Les racines carrées :

Définition :

Soit x un nombre réel positif, la racine carrée de x est le nombre positif dont le carré est égal à x.

Ce nombre est noté : $\sqrt{x} .$

$\fbox{{(\sqrt{x})}^2=x} – nombres seconde$

Définition :

Également, • Si $a\ge 0\,,\,\sqrt{a^2}=a .$

• Si $a\ge 0\,b\ge 0 : \,,\,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b} – nombres seconde$

• Si $a\ge 0\,b> 0 : \,,\,\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}} .$

Exemples :

Simplifier les expressions suivantes :

$\bullet A=\sqrt{27}+\sqrt{108}-2\sqrt{75} – nombres seconde$

$\bullet B=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5} .$

$\bullet C=\frac{1-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}=\frac{1-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\times \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}-6\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{-2}=-\frac{3-\sqrt{5}-6\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{2} – nombres seconde$

Remarque :

$\bullet 3-\sqrt{5}$ s’appelle la quantité conjuguée de l’expression $3+\sqrt{5} – nombres seconde$ .

3. Les puissances :

Définition :

$\bullet a^n=\underb{a\times a \times a\times ...\times a}_{n\,\,\,fois}.$

Propriété :

• Si $a\neq 0\,,\,a^{-n}=\frac{1}{a^n}\,\,a^0=1 – nombres seconde$

$\bullet \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$

$\bullet {(a^m)}^n=a^{mn}\,,\,{(ab)}^n=a^n\times b^n – nombres seconde$

• Si $b\neq 0\,,\,{(\frac{a}{b})}^n=\frac{a^n}{b^n}.$

Bien travailler avec nombres seconde

Avant tout, recopie les propriétés importantes dans ton cahier. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur nombres seconde vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, le programme officiel de mathématiques est détaillé sur le site Éduscol. Également, tu peux continuer avec position relative d’une droite et d’un plan dans l’espace : cours de maths en 2de en PDF.

5/5 - (20047 votes)

Couverture du livre Mathovore « Cours de mathématiques 2de »

Le livre MathovoreCours de mathématiques 2deVous avez aimé cette leçon ? Retrouvez-la avec toutes les autres de l’année de 2de, rangées dans l’ordre du programme.Ouvrir le livre de cours

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de à télécharger en PDF» au format PDF.