cours maths 2de

Ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de

Les ensembles de nombres dans un cours de maths en 2de faisant intervenir les ensembles des nombres réels,  des rationnels et des irrationnels puis des entiers naturels et relatifs.
Dans cette leçon en seconde, nous aborderons les différents ensemble de nombres et leur notation puis nous effectuerons des rappels de calculs sur les puissances et racines carrées.

I.Introduction aux différents ensembles de nombres :

1. L’ensemble des réels :

Définition :

L’ensemble de tous les nombres se nomme l’ensemble des réels.

On le note \mathbb{R} (de l’allemand real)

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres réels :

 0;1;-3;\sqrt{2};\frac{3}{5};\pi

2. L’ensemble des entiers naturels :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs ou nul.

On le note  \mathbb{N} (de l’italien naturale)

Remarque :

 \mathbb{N} ={0;1;2;3;4;.....}

3. L’ensemble des entiers relatifs :

Définition :

c’est l’ensemble de tous les entiers positifs, négatifs et nul.

On le note \mathbb{Z} (de l’allemand zahlen :compter)

Remarque :

 \mathbb{Z} ={........;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;.....}

4. L’ensemble des nombres décimaux :

Définition :

C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de décimales.

On le note  \mathbb{D} (du français décimale) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres décimaux :

 0\,;\,1\,;\,-3,2\,;\,5,689\,;\,\frac{4}{5}

par contre 0,333333…… n’est pas un nombre décimal puisque sa partie décimale est infinie.

5. L’ensemble des nombres rationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers relatifs.

On le note \mathbb{Q} (de l’italien quotienté ) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres rationnels :

 0\,;\,1\,;\,-3,2\,;7,069\,;\,\frac{4}{5}

6. L’ensemble des nombres irrationnels :

Définition :

c’est l’ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels ; que l’on ne peut donc pas écrire sous forme de fraction.

On le note  \mathbb{R }\ \mathbb{Q}(l’ensemble des réels privé des rationnels) .

Exemples :

Les nombres suivants sont des nombres irrationnels :

 \pi\,;\,\sqrt{2}\,;\,\sqrt{3}

Bilan :

II. Règles de calculs :

1. Les fractions :

Propriété :

Soient a,b,c,d quatre nombres réels tels que  b\neq 0\,;\,d\neq 0 .

\bullet \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} .

\bullet\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd} .

\bullet\frac{a}{b}\times  \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} .

\bullet\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times  \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} .

2. Les racines carrées :

Définition :

Soit x un nombre réel positif,la racine carrée de x est le nombre positif dont le carré est égal à x.

Ce nombre est noté : \sqrt{x} .

\fbox{{(\sqrt{x})}^2=x} .

Définition :

• Si  a\ge 0\,,\,\sqrt{a^2}=a .

• Si  a\ge 0\,b\ge 0 : \,,\,\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times   \sqrt{b} .

• Si  a\ge 0\,b> 0 : \,,\,\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}} .

Exemples :

Simplifier les expressions suivantes :

\bullet A=\sqrt{27}+\sqrt{108}-2\sqrt{75} .

\bullet B=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}\times  \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5} .

\bullet C=\frac{1-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}=\frac{1-2\sqrt{3}}{3+\sqrt{5}}\times   \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}=\frac{3-\sqrt{5}-6\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{-2}=-\frac{3-\sqrt{5}-6\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{2} .

Remarque :

\bullet 3-\sqrt{5} s’appelle la quantité conjuguée de l’expression  3+\sqrt{5} .

3. Les puissances :

Définition :

\bullet a^n=\underb{a\times   a \times   a\times   ...\times   a}_{n\,\,\,fois}.

Propriété :

• Si  a\neq 0\,,\,a^{-n}=\frac{1}{a^n}\,\,a^0=1.

\bullet \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.

\bullet {(a^m)}^n=a^{mn}\,,\,{(ab)}^n=a^n\times   b^n.

• Si  b\neq 0\,,\,{(\frac{a}{b})}^n=\frac{a^n}{b^n}.


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de» au format PDF.



Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

.

D'autres fiches similaires à ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème ensembles de nombres et calculs : cours de maths en 2de, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 006 328 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 167 981 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

videos maths youtube
Mathovore

GRATUIT
VOIR