Équations : les systèmes d’équations : cours de maths en 2de en PDF.
Résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues : méthode par substitution et par combinaison linéaire (dite méthode par addition) à travers un cours de maths en 2de. Résolution de problème et traduction mathématique d’un énoncé).
L’essentiel : Un système de deux équations à deux inconnues \(x\) et \(y\) se résout par substitution, en exprimant une inconnue en fonction de l’autre, ou par combinaison, en additionnant des multiples des équations pour éliminer une inconnue. Par exemple, \(x+y=5\) et \(x-y=1\) donnent \(2x=6\), d’où \(x=3\) et \(y=2\).
0. Introduction (équations)
Problème (équations)
| Je dispose de deux récipients A et B dont la contenance est exprimée en centilitre (cL).
Si je prends un volume de A et trois volumes de B, j’obtiens 10Cl. Si je prends trois volumes de A et cinq volumes de B, j’obtiens 18 cL. Quelle est la contenance des récipients A et B? |
Nous remarquons que dans ce problème, il y a deux inconnues. Notons
x : la contenance du récipient A ;
et
y:la contenance du récipient B.
Si nous traduisons la première information, nous obtenons : x+3y=10 (E1).
Si nous traduisons la seconde information, nous obtenons : 3x+5y=18 (E2) .
Ainsi, nous obtenons deux équations du premier degré à deux inconnues qui sont dépendantes l’une de l autre.
Puis l’ensemble de ces deux cette méthode (E1) et (E2) est appelé système, noté (S) de deux cette propriété à deux inconnues du premier degré.
Premier degré car l’exposant le plus élevé des inconnues est 1.
Notation :
Première méthode : élimination par substitution
| Sur l‘exemple : | Cas général : |
| 1) Dans cet exemple, le coefficient de x dans la première équation est 1. On choisit pour plus de facilité d‘edxprimer x en fonction de y dans cette équation : x = -3y + 10 | 1) Exprimer, dans l‘une des deux cette notion, une inconnue en fonction de l‘autre. Parmi les quatres possibilités, on choisit celle qui rend les calculs plus simples |
| 2) On remplace x par -3y + 10 dans la seconde équation. On écrit le nouveau système obtenu :
|
2) Réécrire le système en remplaçant dans l‘autre équation l‘inconnue choisie, par l‘expression obtenue à l‘étape 1. On obtient ainsi un système dont l‘une des deux ce point est une équation du premier degré à une inconnue. Il a les mêmes solutions que le système de départ |
3) On résout la seconde équation à une inconnue y :
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3) Résoudre l‘équation du premier degré à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue. |
4) On reporte la valeur de y dans la première équation pour calculer x :
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4) Remplacer cette inconnue par sa valeur trouvée à l‘étape 3, dans l‘équation à deux inconnue et calculer la valeur de l‘autre inconnue |
>5) La solution du système :
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5) Conclure : la solution du système donné au départ est le couple de nombres trouvés. |
Deuxième méthode : élimination par combinaison
| Sur l‘exemple : | Cas général : |
| 1) Dans cet exemple, le coefficient de x
dans la première équation est 1. On choisit pour plus de facilité d‘éliminer x, on multiplie par -3 les deux membres de la première équation : -3x – 9y = -30. |
1) Choisir l‘inconnue que l‘on veut éliminer.
Multiplier les deux membres des deux cette propriété par des nombres choisis de façon à obtenir des coefficients de cette inconnue opposés dans chacune des deux ce résultat. |
2) On additionne membre à membre les deux ce point du système .
On obtient l‘équation -4y = -12. On écrit le nouveau système :
|
2) Ecrire le système dont les deux cette méthode ont des coefficients opposés pour l‘inconnue à éliminer et additionner membre à membre les deux ce résultat de ce système. Ecrire un nouveau système, avec cette équation et l‘une des deux cette notion de départ. On obtient ainsi un système dont l‘une cette notion est une équation du premier degré à une inconnue. Il a les mêmes solutions que le système de départ. |
3) On résout la première équation à une inconnue y :
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3) Résoudre l‘équation du premier degré à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue. |
4) On reporte la valeur de y dans la première équation pour calculer x :
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4) Remplacer cette inconnue par sa valeur trouvée à l‘étape 3, dans l‘équation à deux inconnue et calculer la valeur de l‘autre inconnue. |
5) La solution du système :
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5) Conclure : la solution du système donné au départ est le couple de nombres trouvés. |
Troisième étape : vérification et conclusion du problème.
On remplace les valeurs trouvées de x et y dans ce résultat (E1) et (E2) du système (S). Puis on vérifie si les égalités sont établies et on conclue par une phrase.
Conlusion:
Les contenances des récipients que je possédais sont 1 cL pour le contenant A et 3 cL pour le contenant B.
Bien travailler avec équations
Tout d’abord, repère les définitions et les propriétés encadrées. Ensuite, compare ta démarche avec ta leçon, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur cette propriété vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, pour aller plus loin, l’article Équation de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec rappels du collège sur les ensembles de nombres : cours de maths en 2de en PDF.
