Contrôle de maths 2de : optimisation et problèmes d’extremums

Exercice 1 : Lire des extremums sur une courbe (3 points)

Calculatrice autorisée.

On a tracé ci-dessous la courbe représentative \(\mathcal{C}_g\) d’une fonction \(g\) définie sur l’intervalle \([0\,;4]\).

1. Par lecture graphique, donner le maximum de \(g\) sur \([0\,;4]\) et la ou les valeurs de \(x\) pour lesquelles il est atteint. (1 point)
2. Donner de même le minimum de \(g\) sur \([0\,;4]\) et la ou les valeurs de \(x\) pour lesquelles il est atteint. (1 point)
3. Donner le maximum de \(g\) sur l’intervalle \([0\,;2]\), puis le minimum de \(g\) sur l’intervalle \([2\,;4]\). (1 point)

Exercice 2 : Une forme qui prouve un maximum (3 points)

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = -x^2 + 6x – 5\).

1. Démontrer que, pour tout réel \(x\), \(h(x) = 4 – (x – 3)^2\). (1 point)
2. En déduire que \(h\) admet un maximum sur \(\mathbb{R}\). Préciser sa valeur et la valeur de \(x\) pour laquelle il est atteint. (2 points)

Exercice 3 : L’enclos contre un mur (6 points)

Inès dispose de 20 mètres de grillage pour fabriquer un enclos rectangulaire pour ses poules, adossé à un mur. Le mur forme un côté de l’enclos : le grillage ne sert que pour les trois autres côtés. On note \(x\) la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur. Tout le grillage est utilisé.

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Expliquer pourquoi la longueur du côté parallèle au mur est \(20 – 2x\), puis pourquoi \(x\) appartient à l’intervalle \(]0\,;10[\). (1 point)
2. On note \(A(x)\) l’aire de l’enclos en \(\text{m}^2\). Démontrer que \(A(x) = 20x – 2x^2\). (1 point)
3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant, puis émettre une conjecture sur la valeur de \(x\) qui rend l’aire maximale. (1 point)
   

   \(x\)	2	4	5	6	8
   \(A(x)\)

4. Vérifier que, pour tout \(x\) de \(]0\,;10[\), \(A(x) = 50 – 2(x – 5)^2\). (1 point)
5. Démontrer la conjecture. Donner les dimensions de l’enclos d’aire maximale et cette aire maximale. (2 points)

Exercice 4 : Un rectangle dans un triangle (4 points)

\(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB = 8\) cm et \(AC = 6\) cm. Le point \(M\) se déplace sur le segment \([AB]\) et on note \(x = AM\), en cm, avec \(x \in [0\,;8]\). On construit le rectangle \(AMNP\) avec \(N\) sur \([BC]\) et \(P\) sur \([AC]\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Justifier que les droites \((MN)\) et \((AC)\) sont parallèles, puis démontrer que \(MN = 0{,}75(8 – x)\). (1,5 point)
2. En déduire que l’aire du rectangle \(AMNP\), en \(\text{cm}^2\), est \(S(x) = 6x – 0{,}75x^2\). (0,5 point)
3. Démontrer que, pour tout \(x\) de \([0\,;8]\), \(S(x) = 12 – 0{,}75(x – 4)^2\). (1 point)
4. Où placer le point \(M\) pour que l’aire du rectangle soit maximale ? Comparer cette aire maximale à l’aire du triangle \(ABC\). (1 point)

Exercice 5 : Le bénéfice d’un atelier (4 points)

Un atelier fabrique chaque jour entre 0 et 60 lampes. Le bénéfice journalier, en euros, réalisé pour \(q\) lampes fabriquées et vendues est donné par \(B(q) = -q^2 + 80q – 700\), pour \(q\) entier compris entre 0 et 60.

1. Calculer \(B(0)\) et interpréter ce résultat dans le contexte. (0,5 point)
2. Vérifier que, pour tout \(q\), \(B(q) = 900 – (q – 40)^2\). (1 point)
3. En déduire le nombre de lampes à fabriquer pour que le bénéfice soit maximal, et la valeur de ce bénéfice maximal. (1 point)
4. Démontrer que \(B(q) = (q – 10)(70 – q)\). En déduire les quantités pour lesquelles l’atelier réalise un bénéfice strictement positif. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : optimisation et problèmes d’extremums

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Variations de fonctions et extremums » en 2de.

Retrouve tous les contrôles de maths en 2de classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 2de sur ce thème

• Contrôle de maths 2de : sens de variation, tableaux et extremums

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 2dePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 2de à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗