Sommaire de cette fiche
L’élève devra avoir acquis les pré-requis suivants afin de pouvoir aborder ce chapitre :
Résoudre
- une équation de type ax + b = 0;
- une équation produit;
- une inéquation de type ax + b > 0;
- représenter les solutions sur un axe gradué
Factoriser
- avec les identités remarquables;
- avec un facteur commun évident.
I. Signe d’une fonction affine
La fonction affine définie sur
son domaine de définition pour
Preuve :
Soit f une fonction affine définie sur par f (x) = ax + b avec a
.
f (x) = 0 implique ax + b = 0 soit ax = −b et .
Si a > 0, la fonction f est croissante.
Pour
,
.Or
donc
.
Pour
,
.Or
donc
.
Donc f est négative sur puis positive sur
.
Si a < 0, la fonction f est décroissante.
Pour
,
.Or
donc
.
Pour
,
.Or
donc
.
Donc f est positive sur puis négative
.
1.Méthode : dresser le tableau de signes d’une fonction affine.
Sur la première ligne on indique les bornes du domaine de définition de la fonction et
la valeur qui annule la fonction.
Sur la deuxième ligne, par des pointillés verticaux sous la valeur qui annule,
on crée deux cases dans lesquelles on indique le signe de la fonction.
Exemple :
Dresser le tableau de signes de la fonction g définie sur par
Le coefficient directeur,−3, est négatif donc g est décroissante.
Recherche de la valeur qui annule :
−3x + 4 = 0 soit .
2. Factorisation
Remarque :
En classe de seconde, on a déjà des outils pour factoriser une grande partie
des polynômes de degré 2. D’autres outils seront étudiés en Première.
En Terminale, dans certaines séries, toutes les expressions seront factorisables.
3. Méthode : factoriser une expression littérale.
Exemple :
Factoriser les expressions suivantes :
1) 4ac − 6ab
2) (x − 2)(5x − 1) + (2x + 7)(x − 2)
3)
4)
1)
2)
3)
4) .
II. Signe du produit de deux fonctions affines
1. Méthode : étudier le signe du produit de deux fonctions affines.
signes à 4 lignes.
1) La 1e ligne indique les bornes de l’ensemble de définition
et les valeurs qui annulent le produit des deux fonctions affines.
2) Les 2e et 3e lignes indiquent le signe de chacune des deux fonctions affines.
3) La 4e ligne se remplit avec la règle des signes du produit de deux nombres relatifs :
a) des facteurs de même signe donnent un produit positif ;
b) des facteurs de signes contraires donnent un produit négatif.
Exemple :
Résoudre l’inéquation .
On étudie le signe de la fonction h définie sur par h(x) = (3x + 4)(−2x + 6).
Recherche des valeurs qui annulent :
3x + 4 = 0 implique
.
−2x + 6 = 0 implique x = 3.
Les solutions de cette inéquation sont les nombres de l’ensemble .;
III. Signe d’une fonction homographique
fonctions affines. Soit a, b, c, d quatre réels tels que
dite « valeur interdite ».
Sa courbe représentative est une hyperbole qui comporte deux branches disjointes.
1.Méthode : donner le domaine de définition d’une fonction homographique.
Exemple :
Quel est le domaine de définition de la fonction f définie par ?
Recherche de la valeur interdite : .
Le domaine de définition de la fonction f définie par est
.
2.Méthode : donner le tableau de signes d’une fonction homographique.
La valeur qui annule le dénominateur ne faisant pas partie du domaine de définition de la
fonction doit être indiquée par une double barre.
Exemple :
Résoudre l’inéquation
On étudie le signe de la fonction l définie par .
Recherche de la valeur interdite :
implique
donc l est définie sur R \
.
Recherche de la valeur qui annule l :
3x − 5 = 0 implique .
Comparaison des valeurs trouvées pour les ranger sur la 1re ligne du tableau :
.
Les solutions de l’inéquation sont les nombres de l’ensemble
.
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