Contrôle de maths 2de : intervalles, valeur absolue et nombres réels

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice interdite pour l’exercice 1, autorisée pour la suite du sujet.

Répondre directement, sans justification.

1. Quel est le plus petit ensemble parmi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) qui contient \(-7\) ? (0,5 point)
2. Donner l’écriture décimale de \(\frac{3}{8}\). (0,5 point)
3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient \(\sqrt{49}\) ? (0,5 point)
4. Calculer \(|-5| + |3 – 8|\). (0,5 point)
5. Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des réels \(x\) tels que \(-2 < x \leq\, 3\). (0,5 point)
6. Calculer \(15\,\%\) de 80. (0,5 point)
7. Le nombre 0 appartient-il à l’intervalle \(]0\,;1]\) ? (0,5 point)
8. Calculer \(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\) et donner le résultat sous forme irréductible. (0,5 point)

Exercice 2 : Les ensembles de nombres (3 points)

1. Pour chacun des nombres suivants, donner le plus petit ensemble parmi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\) auquel il appartient, en justifiant brièvement. On admet que \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel. (1,5 point)

   \(-4\) ; \(\frac{12}{4}\) ; \(\frac{7}{20}\) ; \(\frac{1}{3}\) ; \(\sqrt{2}\) ; \(\sqrt{\frac{9}{4}}\)

2. On veut démontrer que \(\frac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal. On raisonne par l’absurde : on suppose qu’il existe un entier \(a\) et un entier naturel \(n\) tels que \(\frac{1}{3} = \frac{a}{10^n}\).

   Montrer qu’alors \(10^n = 3a\), puis expliquer pourquoi c’est impossible en remarquant que \(10^n – 1\) s’écrit uniquement avec des chiffres 9. Conclure. (1,5 point)

Exercice 3 : Intervalles sur la droite réelle (4 points)

On a représenté ci-dessous deux intervalles \(I\) (en bleu) et \(J\) (en rouge) sur la droite réelle.

1. Écrire \(I\) et \(J\) avec la notation des intervalles, en lisant soigneusement le sens des crochets. (1 point)
2. Déterminer \(I \cap J\) et \(I \cup J\). (1,5 point)
3. Traduire chacune des phrases suivantes par une inégalité ou un encadrement : « \(x \in\, ]-\infty\,;1]\) » et « \(x \in\, ]-1{,}5\,;4]\) ». (1 point)
4. Le nombre 2 appartient-il à \(I \cup J\) ? à \(I \cap J\) ? Justifier. (0,5 point)

Exercice 4 : Valeur absolue et distance (4 points)

On rappelle que, pour tous réels \(x\) et \(a\), \(|x – a|\) est la distance entre les nombres \(x\) et \(a\) sur la droite réelle.

1. Écrire sans barres de valeur absolue : \(|-7{,}2|\), \(|3 – \pi|\) et \(|\sqrt{2} – 2|\). (1 point)
2. Résoudre l’équation \(|x – 3| = 5\) en utilisant l’interprétation en termes de distance. (1 point)
3. Écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x – 1| \leq\, 4\). (1 point)
4. Pour la fête du lycée, Inès doit acheter un fil dont la longueur, en mètres, appartient à l’intervalle \([2\,;10]\). Trouver deux nombres \(a\) et \(r\) tels que « \(x \in [2\,;10]\) » équivaut à « \(|x – a| \leq\, r\) ». (1 point)

Exercice 5 : Parité et démonstrations (5 points)

Dans cet exercice, on rappelle qu’un entier \(n\) est pair s’il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k\), et impair s’il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k + 1\).

1. Donner la liste de tous les diviseurs positifs de 36. (1 point)
2. Démontrer que la somme de deux nombres impairs est un nombre pair. (1,5 point)
3. Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair. (1 point)
4. Théo affirme : « Pour tout entier \(n\), le nombre \(n^2 + n\) est pair. » Démontrer cette affirmation en distinguant le cas où \(n\) est pair et le cas où \(n\) est impair. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : intervalles, valeur absolue et nombres réels

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Ensembles de nombres et calculs » en 2de et « Rappels du collège sur les ensembles de nombres » en 2de et « Nombres entiers et rationnels et calcul du PGCD » en 2de et « Racine carrée » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés calculs et problèmes, valeur absolue et intervalle, racine carrée.

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