Exercices maths 2de

Exercices sur les calculs, fractions, puissances, calcul littéral et intervalles en 2de

Des exercices sur les ensemble de nombres en classse de seconde, cette fiche correspond au chapitre sur les nombres, intervalle et la valeur absolue en seconde (2de).

 Etude d’une expression complexe

Soit X=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}

a. Montrer que X<0.

b. Calculer X^2 .

c. En déduire la valeur de X.

Corrigé de cet exercice

Calculs sur les puissances

Calculer :

A=(-2)^3\times 5+3^2\times 2^4-5\times 2^2

B=9\times (\frac{2}{3})^2-(3^2\times 2)^4-5\times 2^2

Corrigé de cet exercice

Calculs avec des fractions

Calculer les fractions suivantes et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.

A=1+\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}-\frac{1}{6}:\frac{3}{4}

B=(7-\frac{3}{2})\times (\frac{25}{7}+\frac{3}{5})

Corrigé de cet exercice

Développer et réduire des expressions

1. Développer et réduire:

a= (5x+1)(2x+3)    

b= (4x-5)(7x-1)  

c= (2x+5)(7x-3)
d= (-4x-6)(2x-1)

2. Développer et réduire:

e= (5x+1)(2x+3)+(5x+1)(x+2)    

f= (4x-5)(7x-1)-(4x-5)(3x+2)

g= (-4x-6)(2x-1)+(2x-3)(8x-11)  

h= (x-8)(5+3x)-(x-8)(7-x)

Corrigé de cet exercice

Encadrement et comparaisons de nombres

Encadrer x^2   lorsque -\sqrt{5}\leq\, x< 1 .

Corrigé de cet exercice

Le calcul littéral et factorisation

Factoriser  les expressions suivantes :

A=(3x-5)^2+3x-5

B=-7x(x+2)+14(x+2)

C=(4x-8)^2-(1-x)(4x-8)^3

Corrigé de cet exercice

Les nombres

Simplifier au maximum :

A=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{27}

B=\frac{3-\sqrt{6}}{4-\sqrt{5}}

Corrigé de cet exercice

Nombres pairs et impairs

1. Sous quelle forme s’écrit un nombre pair ?

2. Sous quelle forme s’écrit un nombre impair ?

3.  Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair.

Corrigé de cet exercice

Somme de cinq entiers consécutifs

1. Calculer la somme de 5 entiers consécutifs.

 Que remarque-ton ? (Faire plusieurs essais)
 2. Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5.

Corrigé de cet exercice

Produit de quatre entiers consécutifs

1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1.
 Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais)
 2. Montrer que, pour tout réel x, on a :
 x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2
 Expliquer le résultat observé  à  la question 1.

Corrigé de cet exercice

Des entiers amicaux

Deux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m (autres

que m) est  égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n (autres que n) est égale à m.
 Les plus petits nombres amicaux sont 220 et 284.
 a. Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284.
 b.  Vérifier que 220 et 284 sont amicaux.

Corrigé de cet exercice

Ecrire sous la forme d’intervalle

Ecrire sous forme d’intervalles (x\in...)  :

-5<x\leq\, 2\\x\geq\, \frac{3}{2}\\x\leq\, -\frac{1}{4}\\x>-5\,et\,x\leq\, 3,5

Corrigé de cet exercice

Hervé et le coup du 1

A=(2x+5)^2+(2x+5)(x-4)+2x+5

1. Hervé doit factoriser A.

Voici sa réponse :

{\color{Blue} A=(2x+5)(2x+5+x-4)}

{\color{Blue} A=(2x+5)(3x+1)}

Tester l’égalité obtenue pour par Hervé pour x=0.

Que peut-on en conclure ?

2. Pour factoriser A, on peut penser à écrire :

A=(2x+5)^2+(2x+5)(x-4)+(2x+5)1

Factoriser alors correctement A.

Corrigé de cet exercice

Factoriser chaque expression

Factoriser chaque expression en mettant en évidence un facteur commun.

A=9a+15\\B=3x^2-15x\\C=8x-x^2(5x-1)\\D=(3x-2)^2-(2x-1)(3x-2)

Corrigé de cet exercice

Développer puis réduire

Développer puis réduire :

A=(7x+1)^2\\B=(x-3)^2\\C=(-3-2x)^2\\D=(5x-4)^2\\E=(3x+1)(3x-1)

Corrigé de cet exercice

Ecrire simplement une racine complexe

Ecrire plus simplement l’expression numérique suivante :

E=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}

Corrigé de cet exercice

Supprimer des valeurs absolues

Ecrire sans barres de valeurs absolues, les nombres suivants :

 x= | \sqrt{2}-1 |\\y= | \sqrt{3}-5 |\\z= | \pi-5 |\\t= | 7-2\pi |\\v= | 3-\pi |

Corrigé de cet exercice

Intersections d’intervalles

Ecrire plus simplement :

[-6;2[\cap ]-4;1]\\]-1;3]\cap [2;4[\\]-\infty;4[\cap ]2;+\infty[\\]-\infty;-3]\cap [2;+\infty[\\[-1;+\infty[\cap [3;+\infty[\\]-\infty;2]\cap [2;4[

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Simplification d’une fraction rationnelle

Simplifier :

A=\frac{a^{-4}b^5(ac^2)^3}{(ba^{-2})^5}

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Le nombre d’or

Le nombre d’or est le nombre \phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Vérifier les égalités suivantes :

1.    \phi^2 =\phi+1 .

2.    \phi =\frac{1}{\phi}+1 .

3.    \phi^3 =2\phi+1

Corrigé de cet exercice

Vitesse de la lumière

La vitesse de la lumière est estimée à 3\times 10^8 m/s

 et la distance moyenne Terre-Soleil à 149 millions de kilomètres.
 Calculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au
Soleil.

Corrigé de cet exercice

Calculer une expression littérale

Pour x=-\frac{1}{2} , calculer :

A=4x^3-2x^2+x+3\\B=\frac{x^3-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Corrigé de cet exercice

Calculer la longueur de la diagonale d’un carré

Démonter que la diagonale d’un carré de coté  a est  a\sqrt{2} .

Corrigé de cet exercice

Démontrer que le carré d’un entier impair est un nombre impair

1. Démontrer que le carré d’un entier impair est un nombre impair.

Corrigé de cet exercice

Facteurs premiers et pgcd

1. Décomposer 630 puis 3150 en produit de facteurs premiers.

2. Réduire la fraction \frac{3150}{630} .

3. Calculer PGCD(630 ; 3150).

Corrigé de cet exercice

Racines carrées et fractions

1.  Simplifier les nombres suivants en utilisant la décomposition en facteurs premiers .

A=\frac{10\times \,\sqrt{45}\times \,\sqrt{288}}{\sqrt{150}\times \,\sqrt{40}}

B=\frac{252}{28\times \,55\times \,44}

2.Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles.

A=\frac{1-\frac{2}{3}}{4+\frac{1}{9}}

B=\frac{2}{9}-\frac{5}{9}\times \,\frac{7}{10}+\frac{5}{3}

Corrigé de cet exercice

Calculer le carré d’un multiple de 5

15 ² = 225 ; 25 ² = 625 ; 35 ² = 1225 ; 45 ² = 2025 ; 85 ²  = 7225 ….

1. Il existe une méthode  pour calculer mentalement le carré d’un nombre entier dont le chiffre des unités est 5.

Trouve le en regardant les nombres ci dessus.

2. Tu vas justifier !

k est un entier naturel dont le nombre des dizaines est a ( a appartient à N)

Par exemple, a = 13 pour 135.

On décompose k :       k = a x 10 + 5
k  = 10a +5

Prouve alors ce que tu as trouvé en mettant au carré !
Ton proccédé fonctionne-t-il pour le produit de deux nombres entiers à 2 chiffres dont les chiffres des dizaines sont égaux et la somme des unités est 10 ?

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ordre et intervalles

Exercice n° 1 :logique.

1. Pour chaque ligne, reconstruire la phrase en utilisant Si……alors …. ou …si et seulement si ….:

a.

 A_1. Il pleut …….. . A_2. je prends mon parapluie.

 B_1 I milieu de [AB] …….. . B_2. AI=BI

 C_1.\,a\ge b …….. . C_2.\, a-b\ge 0.

 D_1.\,a\le 3 …….. . D_2.\, a\le 5.

 E_1.\,AB=AC …….. . E_2.. ABC est isocèle .

Exercice n° 2 :

Pour n entier naturel, comparer les nombres suivants :

 \frac{n+1}{n+2} \,;\,\frac{n+6}{n+3}\,;\,1\,;\,\frac{n+7}{n+3}

Exercice n° 3 :

Pour  a\ge 0\,;\,b\ge 0 ,comparer les nombres :

 \sqrt{a+b}\,;\,\sqrt{a}+\sqrt{b}

Exercice n° 4 :Intervalles

1. Compléter à l’aide des symboles  \in\,;\notin

a.  \sqrt{2}...]1;3[

b.  \frac{2}{\sqrt{2}} ...[\sqrt{2};5]

2. Préciser l’intervalle correspondant à :

a.  [2;5]\cup ]-1;7]

b.  [-1;\pi[\cup ]\sqrt{2};5]

c.  [3;+\infty[\cup ]0;3[\cup \{3\}

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Ensemble de nombres

Exercice n° 1 :

1. Calculer:

a.

 \frac{3}{8}\times (3-\frac{1}{3})

b.

 \frac{1+\frac{1}{2}}{2-\frac{23}{7}}\times (3-\frac{1}{3})

2. Simplifier puis donner sous forme d’écriture scientifique la fraction suivante :

 \frac{(6\times 10^{-2})^2\times 3^2\times 10^{-4}}{3^3\times 10^{12}}

3. Simplifier les écritures suivantes :

a.  \sqrt{343}-10\sqrt{112}+\sqrt{7}

b.  \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}

c.  (1-2\sqrt{2})^2

3. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre  A=34\times 12 .

Exercice n° 2 :

a. Indiquer la nature des nombres suivants :

 A=1+\frac{1}{3}\\ B=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{9}}\\C=\sqrt{7^{500}} \\ \\ D=1+\pi

b. Simplifier l’écriture du nombre suivant :

 A=(3\sqrt{2}+5\sqrt{2})(3\sqrt{6}-2\sqrt{2})

Corrigé de cet exercice


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