Calculs, fractions, puissances et algèbre : exercices Maths 2de corrigé

Mise à jour le 22 octobre 2020

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Des exercices sur les ensemble de nombres en classe de seconde, cette fiche correspond au chapitre sur les nombres, intervalle et la valeur absolue en seconde (2de).

Exercice 1 – Etude d’une expression complexe

Soit $X=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$

a. Montrer que X<0.

b. Calculer X^2 .

c. En déduire la valeur de

Exercice 2 – Calculs sur les puissances

Calculer :

$A=(-2)^3\times 5+3^2\times 2^4-5\times 2^2$

$B=9\times (\frac{2}{3})^2-(3^2\times 2)^4-5\times 2^2$

Exercice 3 – Calculs avec des fractions

Calculer les fractions suivantes et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible.

$A=1+\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}-\frac{1}{6}:\frac{3}{4}$

$B=(7-\frac{3}{2})\times (\frac{25}{7}+\frac{3}{5})$

Exercice 4 – Développer et réduire des expressions

1. Développer et réduire:

a= (5x+1)(2x+3)

b= (4x-5)(7x-1)

c= (2x+5)(7x-3)
d= (-4x-6)(2x-1)

2. Développer et réduire:

e= (5x+1)(2x+3)+(5x+1)(x+2)

f= (4x-5)(7x-1)-(4x-5)(3x+2)

g= (-4x-6)(2x-1)+(2x-3)(8x-11)

h= (x-8)(5+3x)-(x-8)(7-x)

Exercice 5 – Encadrement et comparaisons de nombres

Encadrer x^2 lorsque $-\sqrt{5}\leq\, x< 1$ .

Exercice 6 – Le calcul littéral et factorisation

Factoriser les expressions suivantes :

Exercice 7 – Les nombres

Simplifier au maximum :

$A=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{27}$

$B=\frac{3-\sqrt{6}}{4-\sqrt{5}}$

Exercice 8 – Nombres pairs et impairs

1. Sous quelle forme s’écrit un nombre pair ?

2. Sous quelle forme s’écrit un nombre impair ?

3. Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair.

Exercice 9 – Somme de cinq entiers consécutifs

1. Calculer la somme de 5 entiers consécutifs.

Que remarque-ton ? (Faire plusieurs essais)

2. Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5.

Exercice 10 – Produit de quatre entiers consécutifs

1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1.

Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais)

2. Montrer que, pour tout réel x, on a :

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2

Expliquer le résultat observé à la question 1.

Exercice 11 – Des entiers amicaux

Deux entiers positifs m et n sont dits amicaux, si la somme des diviseurs de m (autres

que m) est égale à n et simultanément la somme des diviseurs de n (autres que n) est égale à m.

Les plus petits nombres amicaux sont 220 et 284.

a. Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284.

b. Vérifier que 220 et 284 sont amicaux.

Exercice 12 – Ecrire sous la forme d’intervalle

Ecrire sous forme d’intervalles $(x\in...)$ :

$-5<x\leq\, 2\\x\geq\, \frac{3}{2}\\x\leq\, -\frac{1}{4}\\x>-5\,et\,x\leq\, 3,5$

Exercice 13 – Hervé et le coup du 1

1. Hervé doit factoriser A.

Voici sa réponse :

${\color{Blue} A=(2x+5)(2x+5+x-4)}$

${\color{Blue} A=(2x+5)(3x+1)}$

Tester l’égalité obtenue pour par Hervé pour x=0.

Que peut-on en conclure ?

2. Pour factoriser A, on peut penser à écrire :

Factoriser alors correctement A.

Exercice 14 – Factoriser chaque expression

Factoriser chaque expression en mettant en évidence un facteur commun.

$A=9a+15\\B=3x^2-15x\\C=8x-x^2(5x-1)\\D=(3x-2)^2-(2x-1)(3x-2)$

Exercice 15 – Développer puis réduire

Développer puis réduire :

$A=(7x+1)^2\\B=(x-3)^2\\C=(-3-2x)^2\\D=(5x-4)^2\\E=(3x+1)(3x-1)$

Exercice 16 – Ecrire simplement une racine complexe

Ecrire plus simplement l’expression numérique suivante :

$E=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}-\sqrt{(2\sqrt{2}-\sqrt{5})^2}$

Exercice 17 – Supprimer des valeurs absolues

Ecrire sans barres de valeurs absolues, les nombres suivants :

$x= | \sqrt{2}-1 |\\y= | \sqrt{3}-5 |\\z= | \pi-5 |\\t= | 7-2\pi |\\v= | 3-\pi |$

Exercice 18 – Intersections d’intervalles

Ecrire plus simplement :

$[-6;2[\cap ]-4;1]\\]-1;3]\cap [2;4[\\]-\infty;4[\cap ]2;+\infty[\\]-\infty;-3]\cap [2;+\infty[\\[-1;+\infty[\cap [3;+\infty[\\]-\infty;2]\cap [2;4[$

Exercice 19 – Simplification d’une fraction rationnelle

Simplifier :

$A=\frac{a^{-4}b^5(ac^2)^3}{(ba^{-2})^5}$

Exercice 20 – Le nombre d’or

Le nombre d’or est le nombre $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Exercice 21 – Vérifier les égalités suivantes :

1. $\phi^2 =\phi+1$ .

2. $\phi =\frac{1}{\phi}+1$ .

3. $\phi^3 =2\phi+1$

Exercice 22 – Vitesse de la lumière

La vitesse de la lumière est estimée à $3\times 10^8$ m/s
et la distance moyenne Terre-Soleil à 149 millions de kilomètres.
Calculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au
Soleil.

Exercice 23 – Calculer une expression littérale

Pour $x=-\frac{1}{2}$ , calculer :

$A=4x^3-2x^2+x+3\\B=\frac{x^3-1}{(x-1)(x^2+x+1)}$

Exercice 24 – Calculer la longueur de la diagonale d’un carré

Démonter que la diagonale d’un carré de coté est $a\sqrt{2}$ .

Exercice 25 – Démontrer que le carré d’un entier impair est un nombre impair

Démontrer que le carré d’un entier impair est un nombre impair.

Exercice 26 – Facteurs premiers et pgcd

1. Décomposer 630 puis 3150 en produit de facteurs premiers.

2. Réduire la fraction $\frac{3150}{630}$ .

3. Calculer PGCD(630 ; 3150).

Exercice 27 – Racines carrées et fractions

1. Simplifier les nombres suivants en utilisant la décomposition en facteurs premiers .

$A=\frac{10\times \,\sqrt{45}\times \,\sqrt{288}}{\sqrt{150}\times \,\sqrt{40}}$

$B=\frac{252}{28\times \,55\times \,44}$

2.Mettre les nombres suivants sous forme de fractions irréductibles.

$A=\frac{1-\frac{2}{3}}{4+\frac{1}{9}}$

$B=\frac{2}{9}-\frac{5}{9}\times \,\frac{7}{10}+\frac{5}{3}$

Exercice 28 – Calculer le carré d’un multiple de 5

15 ² = 225 ; 25 ² = 625 ; 35 ² = 1225 ; 45 ² = 2025 ; 85 ² = 7225 ….

1. Il existe une méthode pour calculer mentalement le carré d’un nombre entier dont le chiffre des unités est 5.

Trouve le en regardant les nombres ci dessus.

2. Tu vas justifier !

k est un entier naturel dont le nombre des dizaines est a ( a appartient à N)

Par exemple, a = 13 pour 135.

On décompose k : k = a x 10 + 5
k = 10a +5

Prouve alors ce que tu as trouvé en mettant au carré !
Ton proccédé fonctionne-t-il pour le produit de deux nombres entiers à 2 chiffres dont les chiffres des dizaines sont égaux et la somme des unités est 10 ?

Exercice 29 – Ordre et intervalles

1. Pour chaque ligne, reconstruire la phrase en utilisant Si……alors …. ou …si et seulement si ….:

A_1 . Il pleut …….. . A_2 . je prends mon parapluie.

B_1 I milieu de [AB] …….. . B_2 . AI=BI

$C_1.\,a\ge b$ …….. . $C_2.\, a-b\ge 0$ .

$D_1.\,a\le 3$ …….. . $D_2.\, a\le 5$ .

$E_1.\,AB=AC$ …….. . E_2. . ABC est isocèle .

Exercice 30

Pour n entier naturel, comparer les nombres suivants :

$\frac{n+1}{n+2} \,;\,\frac{n+6}{n+3}\,;\,1\,;\,\frac{n+7}{n+3}$

Exercice 31

Pour $a\ge 0\,;\,b\ge 0$ ,comparer les nombres :

$\sqrt{a+b}\,;\,\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Exercice 32 – Intervalles

1. Compléter à l’aide des symboles $\in\,;\notin$

a. $\sqrt{2}...]1;3[$

b. $\frac{2}{\sqrt{2}} ...[\sqrt{2};5]$

2. Préciser l’intervalle correspondant à :

a. $[2;5]\cup ]-1;7]$

b. $[-1;\pi[\cup ]\sqrt{2};5]$

c. $[3;+\infty[\cup ]0;3[\cup \{3\}$

Exercice 33 – Ensemble de nombres

1. Calculer:

$\frac{3}{8}\times (3-\frac{1}{3})$

$\frac{1+\frac{1}{2}}{2-\frac{23}{7}}\times (3-\frac{1}{3})$

2. Simplifier puis donner sous forme d’écriture scientifique la fraction suivante :

$\frac{(6\times 10^{-2})^2\times 3^2\times 10^{-4}}{3^3\times 10^{12}}$

3. Simplifier les écritures suivantes :

a. $\sqrt{343}-10\sqrt{112}+\sqrt{7}$

b. $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

c. $(1-2\sqrt{2})^2$

3. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre $A=34\times 12$ .

Exercice 34

a. Indiquer la nature des nombres suivants :

$A=1+\frac{1}{3}\\ B=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{9}}\\C=\sqrt{7^{500}} \\ \\ D=1+\pi$

b. Simplifier l’écriture du nombre suivant :

$A=(3\sqrt{2}+5\sqrt{2})(3\sqrt{6}-2\sqrt{2})$

Corrigé de ces exercices de calculs sur les fractions, puissances et calcul littéral

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