Contrôle de maths 2de : calcul numérique et calcul littéral

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Donne directement la réponse, sous la forme la plus simple possible.

1. \(2^3 \times 2^{-5}\) (0,5 point)
2. \(\dfrac{10^{4} \times 10^{-6}}{10^{-3}}\) (0,5 point)
3. \(\sqrt{50}\), sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) entier le plus petit possible. (0,5 point)
4. \(\dfrac{2}{3} – \dfrac{1}{4}\) (0,5 point)
5. Développe \((x – 3)^2\). (0,5 point)
6. Factorise \(x^2 – 49\). (0,5 point)
7. \(|3 – 7|\) (0,5 point)
8. \(\dfrac{7}{3} : \dfrac{14}{9}\) (0,5 point)

Exercice 2 : Puissances et intervalles (3,5 points)

1. Donne l’écriture scientifique du nombre \(A = \dfrac{3 \times 10^{5} \times 8 \times 10^{-2}}{6 \times 10^{-4}}\) en détaillant les étapes. (1 point)
2. On a représenté ci-dessous un ensemble \(I\) de nombres réels. Écris \(I\) sous forme d’intervalle. (0,5 point)

   

3. On note \(J = ]1\,;5]\). Détermine \(I \cap J\) et \(I \cup J\). (1 point)
4. Détermine l’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x – 2| \leq\, 3\), en l’interprétant comme une distance. Donne la réponse sous forme d’intervalle. (1 point)

Exercice 3 : Calculs avec des racines carrées (3,5 points)

Écris chaque nombre sous la forme la plus simple possible, en détaillant les calculs.

1. \(B = \sqrt{75} – 2\sqrt{12} + \sqrt{27}\), sous la forme \(a\sqrt{3}\). (1 point)
2. \(C = (2\sqrt{3} – 1)^2\), sous la forme \(a + b\sqrt{3}\) avec \(a\) et \(b\) entiers. (1 point)
3. \(D = (3 + \sqrt{5})(3 – \sqrt{5})\). (0,5 point)
4. \(F = \dfrac{2}{\sqrt{5} – 1}\), sans racine carrée au dénominateur. (1 point)

Exercice 4 : Développer, factoriser, résoudre (4 points)

On considère l’expression \(E = (2x – 3)^2 – (x + 1)(2x – 3)\), où \(x\) est un nombre réel.

1. Développe et réduis \(E\). (1,25 point)
2. Factorise \(E\). (1,25 point)
3. En choisissant la forme la plus adaptée, calcule la valeur exacte de \(E\) pour \(x = \sqrt{2}\). (0,75 point)
4. Résous l’équation \(E = 0\). (0,75 point)

Exercice 5 : Étude de signe d’un produit (5 points)

Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x) = 9 – (x – 1)^2\).

1. Montre que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = (4 – x)(x + 2)\). (1 point)
2. Dresse le tableau de signes de \((4 – x)(x + 2)\) selon les valeurs de \(x\). (1,5 point)
3. Déduis-en l’ensemble des solutions de l’inéquation \(f(x) \geq\, 0\). (0,5 point)
4. Résous l’inéquation \(\dfrac{x + 2}{4 – x} \leq\, 0\). (1 point)
5. Montre que, pour tout réel \(x\), \(f(x) \leq\, 9\). Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = 9\) ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : calcul numérique et calcul littéral

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Ensembles de nombres et calculs » en 2de et « Rappels du collège sur les ensembles de nombres » en 2de et « Nombres entiers et rationnels et calcul du PGCD » en 2de et « Racine carrée » en 2de et « Factorisation et étude de signe » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés calculs et problèmes, valeur absolue et intervalle, racine carrée.

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