Contrôle de maths 2de : images, antécédents et courbe d’une fonction

Exercice 1 : Automatismes (3 points)

Calculatrice interdite pour l’exercice 1, autorisée pour la suite du sujet.

Répondre directement, sans justification. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x^2 – 1\).

1. Calculer \(f(2)\). (0,5 point)
2. Calculer \(f(-1)\). (0,5 point)
3. Compléter : « Si \(h(4) = 7\), alors 7 est … de 4 par \(h\), et 4 est … de 7 par \(h\). » (0,5 point)
4. Le point \(A(1\,;5)\) appartient-il à la courbe de la fonction \(x \mapsto 2x + 3\) ? (0,5 point)
5. Donner l’ensemble de définition de la fonction \(x \mapsto \dfrac{1}{x – 2}\). (0,5 point)
6. Quel est l’antécédent de 0 par la fonction \(x \mapsto 2x – 8\) ? (0,5 point)

Exercice 2 : Images et antécédents par le calcul (4 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 – 4x + 1\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère.

1. Calculer les valeurs exactes de \(f(-3)\), \(f(\frac{1}{2})\) et \(f(\sqrt{2})\). (1,5 point)
2. Déterminer par le calcul les antécédents de 1 par \(f\). (1,5 point)
3. Les points \(B(5\,;6)\) et \(C(-1\,;5)\) appartiennent-ils à \(\mathcal{C}_f\) ? Justifier. (1 point)

Exercice 3 : Lecture graphique (6 points)

On a tracé ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_g\) d’une fonction \(g\). Le quadrillage est de 0,5 unité en 0,5 unité. Les deux extrémités de la courbe font partie de la courbe.

1. Quel est l’ensemble de définition de \(g\) ? (0,5 point)
2. Lire graphiquement \(g(-1)\), \(g(1)\) et \(g(4)\). (1,5 point)
3. Lire graphiquement les antécédents de 3 par \(g\), puis ceux de 0. (1,5 point)
4. Combien le nombre 2 a-t-il d’antécédents par \(g\) ? Le nombre \(-1\) a-t-il des antécédents par \(g\) ? Justifier par une phrase. (1 point)
5. On admet que, pour tout \(x\) de l’ensemble de définition, \(g(x) = \frac{1}{4}(x + 2)(x – 2)(x – 3)\). Vérifier par le calcul la valeur de \(g(1)\) lue en b), puis démontrer que 4 est bien un antécédent de 3 par \(g\). (1,5 point)

Exercice 4 : Une fonction écrite en Python (4 points)

Yanis a écrit la fonction Python suivante.

def f(x):
    y = x - 1
    y = y ** 2
    return y + 2

1. Quelle valeur renvoie f(4) ? (0,5 point)
2. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\). (0,5 point)
3. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. (1,5 point)
   

   \(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   \(f(x)\)

4. Déterminer par le calcul tous les antécédents de 11 par \(f\). (1 point)
5. Le nombre 1 a-t-il un antécédent par \(f\) ? Justifier. (0,5 point)

Exercice 5 : L’aire d’un triangle dans un carré (3 points)

\(ABCD\) est un carré de côté 6 cm. Le point \(M\) est sur le segment \([AB]\) et le point \(N\) sur le segment \([BC]\), avec \(AM = BN = x\) (en cm). On note \(f(x)\) l’aire, en cm², du triangle \(DMN\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Dans quel intervalle \(x\) peut-il varier ? (0,5 point)
2. En retirant de l’aire du carré les aires de trois triangles rectangles, démontrer que \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 – 3x + 18\). (1,5 point)
3. Calculer \(f(2)\), puis déterminer les antécédents de 18 par \(f\) et interpréter le résultat sur la figure. (1 point)

Réviser avant le contrôle : images, antécédents et courbe d’une fonction

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Généralités sur les fonctions numériques » en 2de et « Les fonctions numériques » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés fonctions.

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