Contrôle de maths 2de : coordonnées de vecteurs et colinéarité

Exercice 1 : Lectures et calculs dans un repère (4 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O \,;\, \vec{i}, \vec{j})\). On a placé les points \(A\), \(B\), \(C\) et représenté un vecteur \(\vec{u}\).

1. Lis les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(C\). (1 point)
2. Calcule les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (1 point)
3. Lis les coordonnées du vecteur \(\vec{u}\). (0,5 point)
4. Calcule les coordonnées du vecteur \(\vec{w} = 2\vec{AB} – 3\vec{u}\). (1 point)
5. Calcule la distance \(AB\) (valeur exacte). (0,5 point)

Exercice 2 : Déterminant et colinéarité (4 points)

1. Les vecteurs \(\vec{u}(3 \,;\, -6)\) et \(\vec{v}(-2 \,;\, 4)\) sont-ils colinéaires ? Justifie avec leur déterminant. (1 point)
2. Même question pour \(\vec{r}(5 \,;\, 2)\) et \(\vec{s}(7 \,;\, 3)\). (1 point)
3. Détermine le réel \(m\) pour que les vecteurs \(\vec{a}(m \,;\, 4)\) et \(\vec{b}(6 \,;\, 8)\) soient colinéaires. (1 point)
4. Détermine les réels \(y\) pour lesquels les vecteurs \(\vec{c}(2 \,;\, y)\) et \(\vec{d}(y \,;\, 8)\) sont colinéaires. (1 point)

Exercice 3 : Trois points alignés (4 points)

Dans un repère, on donne les points \(A(1 \,;\, 2)\), \(B(3 \,;\, 5)\), \(C(9 \,;\, 14)\) et \(D(-1 \,;\, -2)\).

1. Calcule les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\). (1 point)
2. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ? (1 point)
3. Les points \(A\), \(B\) et \(D\) sont-ils alignés ? (1 point)
4. Détermine les coordonnées du point \(E\) de l’axe des abscisses tel que \(A\), \(B\) et \(E\) soient alignés. (1 point)

Exercice 4 : Un parallélogramme et son centre (4 points)

Dans un repère, on donne les points \(P(-1 \,;\, 2)\), \(Q(3 \,;\, 4)\), \(R(5 \,;\, 1)\) et \(S(1 \,;\, -1)\).

1. Calcule les coordonnées des vecteurs \(\vec{PQ}\) et \(\vec{SR}\). (1 point)
2. En déduire la nature du quadrilatère \(PQRS\). (0,5 point)
3. Calcule les coordonnées du centre \(K\) de ce quadrilatère. (1 point)
4. On définit le point \(T\) par \(\vec{PT} = \dfrac{1}{2}\vec{PQ} + \vec{QR}\). Calcule les coordonnées de \(T\). (1 point)
5. Montre que \(T\) est le milieu du segment \([RS]\). (0,5 point)

Exercice 5 : Parallélisme dans un triangle (4 points)

Dans un repère orthonormé, on considère le triangle \(ABC\) avec \(A(-2 \,;\, -1)\), \(B(4 \,;\, 2)\) et \(C(1 \,;\, 5)\). On définit les points \(M\) et \(N\) par :
\(\vec{AM} = \dfrac{1}{3}\vec{AC}\) et \(\vec{BN} = \dfrac{1}{3}\vec{BC}\).

1. Calcule les coordonnées du point \(M\). (1 point)
2. Calcule les coordonnées du point \(N\). (1 point)
3. Démontre que les droites \((MN)\) et \((AB)\) sont parallèles. (1 point)
4. Sur la figure, la droite \((AB)\) semble passer par l’origine \(O\) du repère. Démontre-le. (1 point)

Réviser avant le contrôle : coordonnées de vecteurs et colinéarité

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les vecteurs et la translation » en 2de puis entraîne-toi avec les exercices corrigés vecteurs et translation.

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