Les fonctions numériques : cours de maths en 2de

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Les fonctions numériques dans un cours de maths en 2de ou nous aborderons le vocabulaire et la définition ainsi que la représentation graphique d’une fonction. Dans cette leçon en seconde, nous étudierons l’image, l’antécédent et la résolution graphique d’équations ainsi que l’étude de tableaux de signe et du sens de variation et des extremums d’une fonction.

I. Définir une fonction numérique :

1. Ensemble R et intervalles :

Définition :

L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé l’ensemble des nombres réels.

On note \mathbb{R} l’ensemble de tous ces nombres.

Certaines parties de \mathbb{R} sont appelées des intervalles; on les note en utilisant des crochets.

Ensemble des réels x tels que :   Intervalle
x<b     ]-\infty;b[
x\geq\, a      [a;+\infty[
a\leq\, x\leq\, b        [a;b]
a<x< b        ]a;b[
a\leq\, x< b      [a;b[

On définit de la même façon les intervalles ]a;b]]a;+\infty[ et ]-\infty,b].

2. Vocabulaire des fonctions numériques :

Définition :

Définir une fonction f sur une partie D de \mathbb{R}, c’est associer à tout nombre de D, un nombre unique appelé image du nombre x.

Définition et vocabulaire :
  • L’image du nombre x par la fonction f est notée f(x).
  • La fonction f est parfois notée
  • On dit que D est l’ensemble de définition de f.
  • Si f(a)=b, on dit que a est un antécédent de b par f ou que b est l’image de a par f.

Exemple 1 : Une fonction définie par un graphique.

L’ensemble de définition de f est l’intervalle [- 7;2].

Le nombre – 5 a pour image 2 donc f(- 5 ) = 2.

Exemple 2 : une fonction g définie par un tableau de valeurs.

Le nombre 0 a une seule image 1.

g(-1)=4 et g(3)=4 donc des antécédents de 4 par g sont -1 et 3.

Nombre x – 4 – 1 0 2 3
Image g(x) 5 4 1 2 4

Exemple 3 : une fonction h définie par une formule algébrique.

La fonction h associe à un nombre réel x quelconque, le nombre h(x)=2x^2-3.

L’ensemble de définition de h est \mathbb{R}.

Pour calculer l’image de – 5, on remplace x  par – 5 dans l’expression de h(x) :

h(-5)=2\times   (-5)^2-3=47.

II. Courbes et résolutions graphiques :

1. Courbe représentative d’une fonction :

Définition :

f est une fonction définie sur D. Dans un repère du plan, la courbe représentative (ou représentation graphique)  \zeta de f est l’ensemble des points M(x;y) dont:

  • l’abscisse x décrit l’ensemble de définition D;
  • l’ordonnée y est l’image de x par f.

Autrement dit: M(x;y) \in \zeta si, et seulement si, x \in D et y=f(x).

Vocabulaire :

On dit que \zeta a pour équation y=f(x) dans le repère choisi.

Exemple  :

f est la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-x^2+2x.

Voici la courbe représentative de cette fonction :

Le point A(2;0) appartient-il à la courbe ?

oui car f(2)=-2^2+2\times   2=0.

Le point B(- 2 ; – 7) appartient-il à la courbe ?

Non car f(-2)=-(-2)^2+2\times   (-2)=-8\neq -7.

2. Résolution graphique d’équations :

Cf et Cg sont les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère.

a. Equations f(x)=k (avec k un réel) :

Propriété:

Les solutions de l’équation f(x)=k sont les abscisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la droite y=k.

b. Equations f(x)=g(x)

Propriété:

les solutions de l’équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes Cf et Cg.

III. Sens de variation et extremums :

f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative Cf dans un repère du plan.

1. Fonction croissante :

Définition :

Dire que f est croissante sur I signifie que pour tout nombre réel u et v de I, si u\leq\, v alors f(u)\leq\, f(v).

2. Fonction décroissante :

Définition :

Dire que f est décroissante sur I signifie que pour tout nombre réel u et v de I, si u\leq\, v alors f(u)\geq\, f(v).

3. Extremum : maximum et minimum.

a. Maximum d’une fonction :

Définition :

a désigne un nombre réel de l’intervalle I. Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que, pour tout réel x de I : f(x)\leq\, f(a).

b. Minimum d’une fonction :

Définition :

a désigne un nombre réel de l’intervalle I. Dire que f(a) est le minimum de f sur I signifie que, pour tout réel x de I : f(x)\geq\, f(a).

Vocabulaire :

On dit que f(a) est un extremum de f sur I pour indiquer que f(a) est un maximum ou un minimum de f sur I.

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