Corrigé du contrôle de maths 2de : images, antécédents et courbe d’une fonction

Exercice 1 : Automatismes (3 points)

1. \(f(2) = 3 \times 2^2 – 1 = 12 – 1\). \(f(2) = 11\).
2. \(f(-1) = 3 \times (-1)^2 – 1 = 3 – 1\). \(f(-1) = 2\).
3. 7 est l’image de 4 par \(h\), et 4 est un antécédent de 7 par \(h\).
4. \(2 \times 1 + 3 = 5\), qui est l’ordonnée de \(A\). Oui, \(A\) appartient à la courbe.
5. Le dénominateur s’annule pour \(x = 2\). L’ensemble de définition est \(]-\infty\,;2[ \cup \,]2\,;+\infty[\).
6. \(2x – 8 = 0\) équivaut à \(x = 4\). L’antécédent de 0 est 4.

Barème : 0,5 point par réponse exacte ; en c), les deux mots sont exigés.

Exercice 2 : Images et antécédents par le calcul (4 points)

1. \(f(-3) = (-3)^2 – 4 \times (-3) + 1 = 9 + 12 + 1 = 22\).

   \(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} – 4 \times \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} – 2 + 1 = \frac{1}{4} – \frac{4}{4} = -\frac{3}{4}\).

   \(f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 – 4\sqrt{2} + 1 = 2 – 4\sqrt{2} + 1 = 3 – 4\sqrt{2}\).

   \(f(-3) = 22\), \(f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4}\) et \(f(\sqrt{2}) = 3 – 4\sqrt{2}\).

2. On résout \(f(x) = 1\) :

   \(x^2 – 4x + 1 = 1\) équivaut à \(x^2 – 4x = 0\), soit \(x(x – 4) = 0\).

   Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x = 0\) ou \(x – 4 = 0\).

   Les antécédents de 1 par \(f\) sont 0 et 4.

3. \(f(5) = 25 – 20 + 1 = 6\), qui est l’ordonnée de \(B\) : \(B \in \mathcal{C}_f\).

   \(f(-1) = 1 + 4 + 1 = 6\) et \(6 \neq 5\) : \(C \notin \mathcal{C}_f\).

Barème : a) 0,5 point par image ; b) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour la factorisation, 0,5 point pour les deux solutions ; c) 0,5 point par point justifié.

Erreur fréquente : calculer \(f(-3)\) en écrivant \(-3^2 = -9\) : il faut remplacer \(x\) par \((-3)\) avec ses parenthèses.

Exercice 3 : Lecture graphique (6 points)

1. La courbe s’étend de l’abscisse \(-2\) à l’abscisse 4, extrémités comprises. \(g\) est définie sur \([-2\,;4]\).
2. On part de l’abscisse sur l’axe horizontal, on monte jusqu’à la courbe et on lit l’ordonnée. \(g(-1) = 3\), \(g(1) = 1{,}5\) et \(g(4) = 3\).
3. On trace la droite horizontale d’équation \(y = 3\) : elle coupe la courbe en trois points, d’abscisses \(-1\), 0 et 4. Les antécédents de 3 sont \(-1\), 0 et 4.

   La courbe coupe l’axe des abscisses en trois points, d’abscisses \(-2\), 2 et 3. Les antécédents de 0 sont \(-2\), 2 et 3.

4. La droite d’équation \(y = 2\) coupe la courbe en trois points : 2 a trois antécédents par \(g\). La courbe reste toujours au-dessus de la droite d’équation \(y = -1\) (son point le plus bas a une ordonnée proche de \(-0{,}3\)) : \(-1\) n’a aucun antécédent par \(g\).
5. \(g(1) = \frac{1}{4}(1 + 2)(1 – 2)(1 – 3) = \frac{1}{4} \times 3 \times (-1) \times (-2) = \frac{6}{4} = 1{,}5\) : la lecture \(g(1) = 1{,}5\) est confirmée.

   \(g(4) = \frac{1}{4}(4 + 2)(4 – 2)(4 – 3) = \frac{1}{4} \times 6 \times 2 \times 1 = \frac{12}{4} = 3\). L’image de 4 est 3, donc 4 est un antécédent de 3 par \(g\).

Barème : a) 0,5 point (crochets fermés exigés) ; b) 0,5 point par image ; c) 0,75 point pour les antécédents de 3, 0,75 point pour ceux de 0 (0,25 point retiré par antécédent oublié) ; d) 0,5 point par réponse justifiée ; e) 0,75 point par calcul.

Erreur fréquente : confondre les deux lectures. Pour une image, on part de l’axe des abscisses ; pour un antécédent, on part de l’axe des ordonnées, et il peut y avoir plusieurs réponses.

Exercice 4 : Une fonction écrite en Python (4 points)

1. Avec \(x = 4\) : \(y = 4 – 1 = 3\), puis \(y = 3^2 = 9\), puis la fonction renvoie \(9 + 2 = 11\). f(4) renvoie 11.
2. Le programme soustrait 1, élève au carré, puis ajoute 2. \(f(x) = (x – 1)^2 + 2\).

3. \(f(-2) = (-3)^2 + 2 = 11\) ; \(f(-1) = (-2)^2 + 2 = 6\) ; \(f(0) = (-1)^2 + 2 = 3\) ;

   \(f(1) = 0^2 + 2 = 2\) ; \(f(2) = 1^2 + 2 = 3\) ; \(f(3) = 2^2 + 2 = 6\).

   \(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   \(f(x)\)	\(11\)	\(6\)	\(3\)	\(2\)	\(3\)	\(6\)

4. On résout \((x – 1)^2 + 2 = 11\), soit \((x – 1)^2 = 9\), c’est-à-dire \((x – 1)^2 – 3^2 = 0\).

   \((x – 1 – 3)(x – 1 + 3) = 0\), soit \((x – 4)(x + 2) = 0\), donc \(x = 4\) ou \(x = -2\).

   Les antécédents de 11 par \(f\) sont \(-2\) et 4 (ce que confirment la question a) et le tableau).

5. \(f(x) = 1\) équivaut à \((x – 1)^2 = -1\). Un carré n’est jamais strictement négatif, donc cette équation n’a pas de solution. 1 n’a aucun antécédent par \(f\) (on a même \(f(x) \geq\, 2\) pour tout réel \(x\)).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point ; c) 0,25 point par valeur ; d) 0,5 point pour l’équation \((x – 1)^2 = 9\), 0,5 point pour les deux solutions ; e) 0,5 point avec la justification.

Erreur fréquente : en d), ne donner que la solution 4 en écrivant \(x – 1 = 3\) : l’équation \(X^2 = 9\) a deux solutions, 3 et \(-3\).

Exercice 5 : L’aire d’un triangle dans un carré (3 points)

1. \(M\) est sur le segment \([AB]\), de longueur 6 cm, donc \(0 \leq\, AM \leq\, 6\). \(x \in [0\,;6]\).
2. L’aire du carré vaut \(6^2 = 36\) cm². On lui retire les aires de trois triangles rectangles :

   \(ADM\), rectangle en \(A\) : \(\frac{AD \times AM}{2} = \frac{6x}{2} = 3x\) ;

   \(MBN\), rectangle en \(B\), avec \(MB = 6 – x\) et \(BN = x\) : \(\frac{(6 – x)x}{2} = 3x – \frac{1}{2}x^2\) ;

   \(NCD\), rectangle en \(C\), avec \(NC = 6 – x\) et \(CD = 6\) : \(\frac{6(6 – x)}{2} = 18 – 3x\).

   \(f(x) = 36 – 3x – (3x – \frac{1}{2}x^2) – (18 – 3x) = 36 – 3x – 3x + \frac{1}{2}x^2 – 18 + 3x\).

   \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 – 3x + 18\).

3. \(f(2) = \frac{1}{2} \times 4 – 6 + 18 = 2 – 6 + 18\). \(f(2) = 14\) cm².

   \(f(x) = 18\) équivaut à \(\frac{1}{2}x^2 – 3x = 0\), soit \(x(\frac{1}{2}x – 3) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 6\). Les antécédents de 18 sont 0 et 6.

   Pour \(x = 0\), \(M = A\) et \(N = B\) : le triangle \(DMN\) est le triangle \(DAB\), moitié du carré. Pour \(x = 6\), \(M = B\) et \(N = C\) : c’est le triangle \(DBC\), autre moitié du carré. Dans les deux cas, l’aire vaut bien \(36 : 2 = 18\) cm².

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,25 point par aire de triangle, 0,75 point pour la soustraction et la réduction ; c) 0,25 point pour \(f(2)\), 0,5 point pour les antécédents, 0,25 point pour l’interprétation.

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Après le corrigé du contrôle : images, antécédents et courbe d’une fonction

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