Contrôle de maths 2de : sens de variation, tableaux et extremums

Exercice 1 : Lecture graphique des variations (5 points)

Calculatrice autorisée.

On donne ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’une fonction \(f\). Les extrémités de la courbe sont marquées par un point.

1. Quel est l’ensemble de définition de \(f\) ? (0,5 point)
2. Lire \(f(-2)\) et \(f(1)\). Combien de solutions l’équation \(f(x) = 0\) admet-elle ? (1 point)
3. Dresser le tableau de variations de \(f\). (1,5 point)
4. Donner le maximum et le minimum de \(f\) sur son ensemble de définition, en précisant où ils sont atteints. (1 point)
5. Quel est le maximum de \(f\) sur l’intervalle \([-4\,;1]\) ? (0,5 point)
6. Sans lire les valeurs, comparer \(f(-1)\) et \(f(0)\) en utilisant le tableau de variations. (0,5 point)

Exercice 2 : Exploiter un tableau de variations (5 points)

Une fonction \(g\), définie sur \([-3\,;6]\), a le tableau de variations suivant. On admet que \(g\) est strictement monotone sur chacun des intervalles \([-3\,;0]\), \([0\,;4]\) et \([4\,;6]\).

1. Donner le maximum et le minimum de \(g\) sur \([-3\,;6]\), et les valeurs de \(x\) pour lesquelles ils sont atteints. (1 point)
2. Comparer \(g(1)\) et \(g(3)\). (0,5 point)
3. Comparer \(g(-2)\) et \(g(5)\). (1 point)
4. Peut-on comparer \(g(-1)\) et \(g(2)\) ? Justifier. (1 point)
5. Combien de solutions l’équation \(g(x) = 0\) admet-elle sur \([-3\,;6]\) ? Justifier. (1 point)
6. Tracer dans un repère une courbe pouvant représenter la fonction \(g\). (0,5 point)

Exercice 3 : Démontrer un sens de variation (5 points)

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -3x + 7\). On considère deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(a < b\). Calculer \(f(b) – f(a)\), étudier son signe et en déduire le sens de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (2 points)
2. On considère deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(0 \leq\, a < b\). Montrer que \(b^2 – a^2 = (b – a)(b + a)\), puis en déduire que la fonction carré est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\). (2 points)
3. En utilisant le résultat de la question b), déterminer le sens de variation sur \([0\,;+\infty[\) de la fonction \(h\) définie par \(h(x) = 2x^2 – 1\). (1 point)

Exercice 4 : La température d’une serre (5 points)

Un jour de printemps, la température dans une serre, en degrés Celsius, est modélisée par \(T(t) = -0{,}5t^2 + 6t + 4\), où \(t\) est le temps écoulé en heures depuis 8 h, avec \(t \in [0\,;12]\).

1. Calculer \(T(0)\) et \(T(12)\), et interpréter ces résultats. (0,5 point)
2. Vérifier que, pour tout \(t\) de \([0\,;12]\), \(T(t) = 22 – 0{,}5(t – 6)^2\). (1 point)
3. En déduire que \(T(t) \leq\, 22\) pour tout \(t\) de \([0\,;12]\), puis donner la température maximale et l’heure à laquelle elle est atteinte. (1,5 point)
4. On admet que \(T\) est croissante sur \([0\,;6]\) et décroissante sur \([6\,;12]\). Dresser le tableau de variations de \(T\). (1 point)
5. Le jardinier ouvre les aérations lorsque la température atteint ou dépasse 20 °C. En utilisant la forme de la question b), déterminer pendant quelle plage horaire la température est supérieure ou égale à 20 °C. (1 point)

Réviser avant le contrôle : sens de variation, tableaux et extremums

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Variations de fonctions et extremums » en 2de.

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