Vecteurs et translation : cours de maths en 2de en PDF.

Les vecteurs et la translation dans un cours de maths en 2de où nous aborderons la définition et les caractéristiques d’un vecteur. Nous représenterons des vecteurs ainsi que la somme puis nous calculerons ses coordonnées ainsi que sa norme. Nous terminerons cette leçon en seconde avec l’étude de la translation et de ses propriétés de conservation.

0. Point de vue historique :

Un peu d’histoire :

Le mot « vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter)La notion de vecteur est le fruit d‘une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans.

I. Les vecteurs :

1.Définition et vocabulaire :

Définition :

Un vecteur $\vec{u}$ est un objet mathématique défini par :

– une direction;

– un sens;

– une longueur.

On le représente par une flèche .

Si on représente cette flèche à partir d‘un point A (appelée origine) et qu‘on note B son extrémité,

alors :

– La direction du vecteur $\vec{u}$ est celle de la droite (AB),

– Le sens du vecteur $\vec{u}$ est le sens de l‘origine A vers l‘extrémité B,

– La longueur (appelée norme) du vecteur $\vec{u}$ est la longueur AB du segment [AB].

On a :

$\|\vec{u}\|=\|\vec{AB}\|= AB$

Vocabulaire :

– Le vecteur $\vec{BA}$ est l‘opposé du vecteur $\vec{AB}$ .

On a $\vec{u}= - \vec{AB}$

– $\vec{AA}=\vec{BB}$ est appelé le vecteur nul et est noté $\vec{0}$ .

2. Egalité de deux vecteurs :

Propriétés :

– a. Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si et seulement si :

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ont même direction, le même sens et la même longueur (norme).

– b. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D;

– c. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ;

Réciproquement,

si ABDC est un parallélogramme alors $\vec{AB} = \vec{CD}$

3. Milieu d‘un segment :

Propriétés :

Soint A et B deux points distincts du plan .

– Si M est le milieu de [AB], alors $\vec{AM}=\vec{MB}$ .
– Réciproquement, si

$\vec{AM}=\vec{MB}$ alors M est le milieu de [AB].

II. La translation :

1. Vocabulaire :

Définition :

– Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu‘elles ont la même direction- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers B ou bien de B vers A

Définition :

Le déplacement de la figure a été effectué :

– dans la direction de la droite (AB)

– dans le sens A vers B, que l‘on indique par la flèche

– d‘une longueur égale à AB.

On dit que le dessin en position B est l‘image du dessin en position A par la translation qui transforme A en B

ou, autrement dit,

par la translation de vecteur $\vec{AB}$ .

2. Propriétés des translations :

Construire l‘image d‘une figure par une translation revient à faire glisser cette figure dans une direction, un sens et avec une longueur donnée.

Un tel glissement n‘entraîne pas de déformation ni de changement de disposition .

Propriétés :

Dans une translation ;

– les longueurs;

– le parallélisme;

– la perpendicularité;

– les angles

sont conservés.

– Une translation transforme une droite en une droite parallèle.

– Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable.

– Pour construire l‘image d‘une figure géométrique, on ne construit donc que l‘image de ses points caractéristiques :

– pour un segment, ses extrémités;

– pour un triangle, ses trois sommets;

– pour un cercle, son centre et son rayon.

3. Egalité de deux vecteurs :

Propriétés :

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont égaux si et seulement si :
– a. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D;- b. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ;

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs :

Propriétés :

Soient A, B et C trois points du plan, la composée de la translation de vecteur $\vec{AB}$ suivie de la translation de vecteur $\vec{BC}$ est la translation de vecteur $\vec{AC}$ .

On dit que le vecteur $\vec{AC}$ est la somme des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ .

On note : $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$

( cette relation est appelée « relation de Chasles »)

Construction de la somme de deux vecteurs :

On utilise la méthode du << bout à bout>>,

C‘est à dire qu‘on représente le vecteur $\vec{AB}$ et a son extrémité on ajoute le vecteur $\vec{BC}$ et on obtient le vecteur $\vec{AB}+\vec{BC}$ qui est égal au vecteur $\vec{AC}$ (d‘après la relation de Chasles).

L‘extrémité de l‘un est aussi l‘origine de l‘autre .

IV. Composée de deux symétrie centrales :

Propriétés :

Soient I et J deux points du plan,

la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de

centre J est la translation de vecteur $\vec{IJ}+\vec{IJ}$ ,

que l‘on note $2\vec{IJ}$ .

Preuve :

I milieu de [AA‘] et J milieu de [A‘A‘‘]

On en déduit que $\vec{AA'}=2\vec{IJ}$ d‘après les propriétés de la droite des milieux dans un triangle (étudié en quatrième).

V. Coordonnées dans un repère :

1. Repères :

Définition :

Trois points non alignés O,I,J ,tels que $\vec{OI}=\vec{i},\vec{OJ}=\vec{J}$ , définissent un repère du plan. On note souvent $(O,\vec{i},\vec{j})$

2. Coordonnées d‘un vecteur.

Propriétés :

Dans le plan muni d‘un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ ,

si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées $(x_B-x_A\\y_B-y_A )$ .

Ces coordonnées correspondent au déplacement horizontal puis vertical pour aller de A à B (affectés de signes).

Exemple :

Dans un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan, soient A(1 ; 2) et B(3 ; 4)

donc les coordonnées de sont .

3. Coordonnées du milieu d‘un segment :

Propriétés :

Dans le plan muni d‘un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ ,

si deux points A et B ont pour coordonnées respectives et ,

alors

le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\, et\,y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$ .

Exemple :

Dans un repère ,

on donne A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :

Conclusion :

Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont (2 ; 3)

Propriétés :

Dans le plan muni d‘un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$ ,

si deux points A et B ont pour coordonnées respectives et .

alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Attention :

Aucune simplification n‘est possible dans cette formule entre la racine et les carrés .

Preuve :

Considérons le triangle ABC de la figure rectangle en C,

d‘après le théorème de Pythagore (étudié en quatrième)

d‘ où

Exemple :

Dans un repère du plan ,

Reprenons l‘exemple précédent avec A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$AB=\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}$
$AB=\sqrt{2^2+2^2}$

$AB=\sqrt{8}$

Conclusion :

La distance AB vaut $\sqrt{8}$ .

4.2/5 - (69 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «les vecteurs et la translation : cours de maths en 2de en PDF.» au format PDF.

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à les vecteurs et la translation : cours de maths en 2de en PDF..

Des documents similaires à les vecteurs et la translation : cours de maths en 2de en PDF. à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours et exercices de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définitions, propriétés et théorèmes) en vous exerçant sur des milliers de documents disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.

Bac S 2019 aux centres étrangers : sujet et corrigé à télécharger en PDF
66
SESSION 2019 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l’épreuve : 4 heures Enseignement obligatoire – Coefficient : 7 Exercice 1 (4 points) Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.) qui envisage quatre situations relatives à une station de ski. Les quatre questions sont indépendantes.…
Bac S de maths 2018 en France : sujet et corrigé à télécharger en PDF
63
MATHÉMATIQUES - Série S - Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Durée de l’épreuve : 4 heures Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats Dans cet exercice, on munit le plan d’un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous la courbe d’équation : . Cette courbe est appelée une «…
Brevet maths 2019 : sujet blanc pour réviser en ligne.
61
Un sujet de brevet de maths 2019 blanc afin de permettre aux élèves de réviser en ligne et de se préparer dans les meilleures conditions pour les épreuves du DNB 2019 en mathématiques au collège. Exercice 1 : 20 points. Partie 1 On s’intéresse à une course réalisée au début…

Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à les vecteurs et la translation : cours de maths en 2de en PDF. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 2 566 992 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.

Les vecteurs et la translation : cours de maths en 2de en PDF.

0. Point de vue historique :

I. Les vecteurs :

1.Définition et vocabulaire :

2. Egalité de deux vecteurs :

3. Milieu d‘un segment :

II. La translation :

1. Vocabulaire :

2. Propriétés des translations :

3. Egalité de deux vecteurs :

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs :

IV. Composée de deux symétrie centrales :

V. Coordonnées dans un repère :

1. Repères :

2. Coordonnées d‘un vecteur.

3. Coordonnées du milieu d‘un segment :

Vous avez assimilé ce cours sur les vecteurs en 2de?

Résumé-Quiz

Information

Résultats

Categories