Les vecteurs et la translation : cours de maths en 2de en PDF.
Mis à jour le 25 avril 2025
0. Point de vue historique :
Le mot « vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter)La notion de vecteur est le fruit d‘une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans.
I. Les vecteurs :
1.Définition et vocabulaire :
Un vecteur 
est un objet mathématique défini par :
– une direction;
– un sens;
– une longueur.
On le représente par une flèche .
Si on représente cette flèche à partir d‘un point A (appelée origine) et qu‘on note B son extrémité,
alors :
– La direction du vecteur est celle de la droite (AB),
– Le sens du vecteur est le sens de l‘origine A vers l‘extrémité B,
– La longueur (appelée norme) du vecteur est la longueur AB du segment [AB].
On a :
– Le vecteur est l‘opposé du vecteur .
On a
– est appelé le vecteur nul et est noté .
2. Egalité de deux vecteurs :
– a. Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si :
Les vecteurs et ont même direction, le même sens et la même longueur (norme).
– b. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D;
– c. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ;
Réciproquement,
si ABDC est un parallélogramme alors
3. Milieu d‘un segment :
Soint A et B deux points distincts du plan .
– Si M est le milieu de [AB], alors .
– Réciproquement, si
alors M est le milieu de [AB].
II. La translation :
1. Vocabulaire :
– Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu‘elles ont la même direction- Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers B ou bien de B vers A
– dans la direction de la droite (AB)
– dans le sens A vers B, que l‘on indique par la flèche
– d‘une longueur égale à AB.
On dit que le dessin en position B est l‘image du dessin en position A par la translation qui transforme A en B
ou, autrement dit,
par la translation de vecteur .
2. Propriétés des translations :
Construire l‘image d‘une figure par une translation revient à faire glisser cette figure dans une direction, un sens et avec une longueur donnée.
Un tel glissement n‘entraîne pas de déformation ni de changement de disposition .
Dans une translation ;
– les longueurs;
– le parallélisme;
– la perpendicularité;
– les angles
sont conservés.
– Une translation transforme une droite en une droite parallèle.
– Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable.
– Pour construire l‘image d‘une figure géométrique, on ne construit donc que l‘image de ses points caractéristiques :
– pour un segment, ses extrémités;
– pour un triangle, ses trois sommets;
– pour un cercle, son centre et son rayon.
3. Egalité de deux vecteurs :
et sont égaux si et seulement si :– a. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D;- b. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ;
III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs :
Soient A, B et C trois points du plan, la composée de la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est la translation de vecteur .
On dit que le vecteur est la somme des vecteurs et .
On note :
( cette relation est appelée « relation de Chasles »)
On utilise la méthode du << bout à bout>>,
C‘est à dire qu‘on représente le vecteur et a son extrémité on ajoute le vecteur et on obtient le vecteur qui est égal au vecteur (d‘après la relation de Chasles).
L‘extrémité de l‘un est aussi l‘origine de l‘autre .
IV. Composée de deux symétrie centrales :
Soient I et J deux points du plan,
la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de
centre J est la translation de vecteur ,
que l‘on note .
Preuve :
I milieu de [AA‘] et J milieu de [A‘A‘‘]
On en déduit que d‘après les propriétés de la droite des milieux dans un triangle (étudié en quatrième).
V. Coordonnées dans un repère :
1. Repères :
Trois points non alignés O,I,J ,tels que , définissent un repère du plan. On note souvent
2. Coordonnées d‘un vecteur.
Dans le plan muni d‘un repère ,
si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées .
Ces coordonnées correspondent au déplacement horizontal puis vertical pour aller de A à B (affectés de signes).
Exemple :
Dans un repère du plan, soient A(1 ; 2) et B(3 ; 4)
donc les coordonnées de 
3. Coordonnées du milieu d‘un segment :
Dans le plan muni d‘un repère ,
si deux points A et B ont pour coordonnées respectives et ,
alors
le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :
.
Exemple :
Dans un repère 
on donne A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :
Conclusion :
Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont (2 ; 3)
Dans le plan muni d‘un repère ,
si deux points A et B ont pour coordonnées respectives et .
alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule :
Attention :
Aucune simplification n‘est possible dans cette formule entre la racine et les carrés .
Preuve :
Considérons le triangle ABC de la figure rectangle en C,
d‘après le théorème de Pythagore (étudié en quatrième)
d‘ où
Exemple :
Dans un repère
Reprenons l‘exemple précédent avec A(1 ; 2) et B(3 ; 4) :
Conclusion :
La distance AB vaut .
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