Cette série réunit de nombreux exercices de mathématiques de seconde consacrés aux vecteurs et à la translation. On y construit des représentants de vecteurs sur un quadrillage, on cherche l’image de points par une translation dans un pavage d’hexagones et on transforme des égalités vectorielles grâce à la relation de Chasles, pour exprimer un vecteur en fonction de deux autres ou prouver que deux points sont confondus.
Beaucoup d’énoncés se placent dans un repère : calcul des coordonnées d’un vecteur, d’un milieu ou d’une distance, puis utilisation du déterminant de deux vecteurs pour établir une colinéarité, un alignement de points ou le parallélisme de deux droites. Des problèmes plus longs font enfin travailler le parallélogramme, le trapèze, la droite d’Euler d’un triangle et une ellipse visualisée avec GeoGebra.
Cherchez chaque question au brouillon en rédigeant vos justifications, puis comparez votre démarche avec le corrigé détaillé de ces exercices, qui reprend les calculs étape par étape.
Exercice 1 – Les point sont-ils alignés (vecteurs et translation)
Les points P, Q et R sont-ils alignés ?
Exercice 2 – Points alignés et vecteurs
ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AB].
E est le point tel que \(\vec{DE}=\frac{2}{3}\vec{DI}\)
1. Effectuer la figure suivante.
2. Déterminer les coordonnées des points de la figure
dans le repère \((A;\vec{AB};\vec{AD})\) .
3. Les points A, E et C sont-ils alignés ?
Exercice 3 – Exprimer un vecteur en fonction de deux autres (vecteurs et translation)
A et B sont deux points distincts du plan .
On définit le point M par la relation vectorielle suivante :
\(3\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\) .
1. Exprimer \(\vec{AM}\) en fonction de \(\vec{AB}\) .
2. Placer le point M .
Exercice 4 – Etude d’un parallélogramme
ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels que :
\(\vec{AM}=\frac{3}{2}\vec{AB}\,;\,\vec{BN}=\frac{3}{2}\vec{BC}\,;\,\vec{CP}=\frac{3}{2}\vec{CD}\,;\,\vec{DQ}=\frac{3}{2}\vec{DA}\)
1.
a. Démontrer que \(\vec{MB}=\vec{DP}\) .
b. Déduisez-en que O est le milieu de [MP] .
Exercice 5 – Parallélogramme (vecteurs et translation)
ABCD est un parallélogramme de centre O.
Donner l’ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.
Exercice 6
(O,I,J) est un repère orthonormal avec OI=OJ=1 cm.
a. Placer les points A(-4;6), B(-2;-3),C(2;0),D(0;3), E(2;3).
b. Quelles sont les coordonnées des points A et B dans le repère (O;C,D), puis dans le repère (O;D,C) ?
c. Quelles sont les coordonnées du point O dans le repère (E;C,D)?
Exercice 7 (vecteurs et translation)
La figure ci-dessous représente des hexagones réguliers de centres a,b,c,d.
1. Déterminer les images de chacun des points C,E,A,M par la translation de vecteur :
a. \(\vec{AB}\)
b. \(\vec{BC}\)
c. \(\vec{AC}\)
2. Démontrer que C est le milieu de [AK].
Exercice 8
Démontrer que pour tous points A, B, C, D.
\(\boxed{\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BD}}\).
Exercice 9 (vecteurs et translation)
Dans un répère, on considère les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).
a. Placer les points A,B,C.
b. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB},\vec{AC},\vec{BC}.\) .
c. En déduire les coordonnées du point M tel que \(\vec{AM}=\vec{u}.\)
d. Vérifier que B est le milieu de [AM] .
e. Calculer la distance AB .
Exercice 10
ABC est un triangle.
D,E,F sont les points tels que :
\(\vec{CD}=-\vec{CB}\,;\,\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AC}\,;\,\vec{BF}=-2\vec{BA} .\)
Démontrer que les points D, E, F sont alignés.
Indication : utiliser la relation de Chasles .
Exercice 11 – Droite d’EULER d’un triangle (vecteurs et translation)
ABC est un triangle scalène*. A’, B’, C’ sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
O est le centre de son cercle circonscrit.
1. On note P le point défini par \(\vec{OP}= \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\)
a. Faire une construction à la main ou avec le logiciel de géométrie « GEOGEBRA ».
b. Montrer que : \(\vec{AP}=2\vec{OA^{\prime}}\)
c. Démontrer que (AP) est perpendiculaire à (BC).
d. Démontrer de même que (BP) est perpendiculaire à (AC)
e. Quelle position particulière occupe le point P ? (Dans la suite de l’exercice le point P sera noté H)
2. On note G le centre de gravité du triangle ABC, c’est à dire le point d’intersection des médianes.
On rappelle que si G est le centre de gravité du triangle ABC alors :
\(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}= \vec{0}\)
Montrer que :
\(\vec{OH} = 3. \vec{OG}\)
Que déduit-on alors de la position des points O, H et G ?
Notes :
1- Scalène : un triangle est dit «scalène» lorsque ses trois côtés ont des mesures différentes.
Un triangle scalène n’est ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral.
2- La droite qui passe par les trois points O , H , G est appelée : « Droite d’EULER du triangle ».
Exercice 12 – Des perpendiculaires dans un triangle
On considère un triangle isocèle de base [BC] et de sommet A.
De même, on désigne par O le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
On désigne par M le milieu de [AB] et par G le centre de gravité du triangle AMC.
Montrer que les droites (MC) et (OG) sont perpendiculaires.
Exercice 13 – Orthogonalité dans un triangle (vecteurs et translation)
On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O.
On désigne par H l’orthocentre du triangle ABC et par M le milieu de [BC].
La droite (MH) coupe, l’arc \(\overset{\frown}{AB}\) qui ne contient pas C, en I.
Montrez que les droites (MH) et (AI) sont perpendiculaires.
Exercice 14 – Déterminer les coordonnées d’un point M
Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), on donne K ( – 3 ; 5) et L(4 ; 2).
Déterminer l’abscisse du point M d’ordonnée – 2 tel que K, L et M soient alignés.
Exercice 15 – Etude de droites dans un repère (vecteurs et translation)
Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), on donne A(2 ;- 3) B(0 ; – 3) C( – 3 ; 0).
1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que \(\vec{CE}=\frac{1}{2}\vec{AB}\).
2. Que peut-on dire des droites (CE) et (AB) ? Justifier.
3. Donner les équations de (CE) et (AB).
Exercice 16 – Points alignés dans un repère
Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), on donne :
E(3 ; – 1) F(7 ; – 7) G(5 ; – 4).
Déterminer si les trois points E, F et G sont alignés.
Exercice 17 – Coordonnées et vecteurs colinéaires (vecteurs et translation)
1. Les vecteurs \(\vec{u}(1+\sqrt{3};4)\) et \(\vec{v}(\frac{1}{2};\sqrt{3}-1)\) sont-ils colinéaires ?
2. Déterminer \(m\) tel que les vecteurs \(\vec{u}(2;m)\) et \(\vec{v}(5;-1)\) soient colinéaires.
Exercice 18 – Quatre points quelconques du plan
Soient A, B, C et D, quatre points quelconques du plan.
Montrer que :
\(3\vec{DA}-\vec{DB}-2\vec{DC}=3\vec{BA}-2\vec{BC}\)
Exercice 19 – Démontrer que des points sont confondus (vecteurs et translation)
Démontrer que les points B et D sont confondus sachant que :
\(\vec{BA}+\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{CA}+\vec{DB}-\vec{CD}\)
Exercice 20 – Problème sur les vecteurs
A et B sont deux points distincts.
On cherche à construire le point M tel que :
\(3\vec{MA}+4\vec{MB}=\vec{0}\)
1. Les vecteurs \(\vec{MA}\) et \(\vec{MB}\) sont-ils colinéaires ?ont-ils le même sens?ont-ils la même norme?
2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que l’on a l’égalité :
\(7\vec{MA}+4\vec{AB}=\vec{0}\)
3. En déduire \(\vec{AM}\) en fonction de \(\vec{AB}\) .
Construire le point M.
Exercice 21 – Colinéarité de deux vecteurs (vecteurs et translation)
Les vecteurs \(\vec{u}(\sqrt{2};1-\sqrt{3})\) et \(\vec{v}(1+\sqrt{3};-\sqrt{2})\) sont-ils colinéaires ?
Exercice 22 – Relation de Chasles
On considère un triangle ABC et les points I et J tels que :
\(\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB}\)
\(\vec{AJ}=3\vec{AC}\)
1. Montrer à l’aide de la relation de Chasles que \(\vec{BJ}=3\vec{IC}\) .
2. Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC) ?
Exercice 23 – Vecteurs colinéaires (vecteurs et translation)
Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.
1. \(\vec{AC}+\vec{DC}=\vec{BD}\) .
2. \(2\vec{CB}-9\vec{CA}-7\vec{AD}=\vec{0}\)
Exercice 24 – Démontrer que deux points sont confondus
Démontrer que les points A et D sont confondus sachant que :
\(\vec{AC}+\vec{AD}-\vec{BC}=\vec{AB}\) .
Exercice 25 – Placer des points à partir d’égalités vectorielles (vecteurs et translation)
1. Placer le point E tel que \(\vec{BE}=\vec{AC}\) .
2. Placer le point F tel que \(\vec{BF}=-\vec{AC}\) .
3. Placer le point G tel que \(\vec{BG}=\vec{AC}+\vec{BA}\) .
Exercice 26
(O,I,J) est un repère orthonormal avec OI=OJ=1 cm.
a. Placer les points A(-4;6), B(-2;-3),C(2;0),D(0;3), E(2;3).
b. Quelles sont les coordonnées des points A et B dans le repère (O;C,D), puis dans le repère (O;D,C) ?
c. Quelles sont les coordonnées du point O dans le repère (E;C,D)?
Exercice 27 (vecteurs et translation)
Démontrer que pour tous points A, B, C, D.
\(\boxed{\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BD}}\).
Exercice 28
Dans un repère, on considère les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).
a. Placer les points A,B,C.
b. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB},\vec{AC},\vec{BC}.\) .
c. En déduire les coordonnées du point M tel que \(\vec{AM}=\vec{u}.\)
d. Vérifier que B est le milieu de [AM] .
e. Calculer la distance AB .
Exercice 29 (vecteurs et translation)
ABC est un triangle.
D,E,F sont les points tels que :
\(\vec{CD}=-\vec{CB}\,;\,\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AC}\,;\,\vec{BF}=-2\vec{BA} .\)
Démontrer que les points D, E, F sont alignés .
Indication : utiliser la relation de Chasles .
Exercice 30 – Coordonnées de points et longueurs
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note E l’ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation :
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\).
On considère également les points F(4;0) et F'(-4;0).
1. Calculer les coordonnées des points d’intersection de E avec les axes du repères.
2. A l’aide du logiciel Geogebra, visualiser l’ensemble E et faire une conjecture sur la somme des distances MF + MF’ lorsque M est un point de E.
3. Soit M(x;y) un point de E.
a) Exprimer \(y^2\) en fonction de\(x^2\) et en déduire que \(x^2\leq\,\,\, 25\).
b) Montrer que \(MF^2=(\frac{4}{5}x-5)^2\) .
c) Sachant que \(x\leq\,\,\, 5\), montrer que \(\frac{4}{5}x-5\leq\,\,\, 0\)
puis en déduire que \(MF=5-\frac{4}{5}x\) .
d) Valider la conjecture .
Exercice 31 – Vecteurs et parallélogramme (vecteurs et translation)
Soit ABCD est un parallélogramme .
1) Placer les points M et N définis par les égalités suivantes:
\(\vec{AM}=\vec{AD}+\frac{2}{5}\times \vec{DB}\)
\(\vec{CN}=-\vec{CB}-\frac{1}{3}\times \vec{BA}\)
2) Montrer en utilisant la relation de chasles que \(\vec{DN}=-\vec{CB}-\frac{2}{3}\times \vec{BA}\) .
3) Exprimer le vecteur \(\vec{DN}\) en fonction des vecteurs \(\vec{AD}\) et \(\vec{DB}\) .
Exercice 32 – Coordonnées dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormal \((O,\vec{i},\vec{j})\) , on donne les points :
A(5 ; 4), B(– 1 ; 6) et C(– 3 ; 1)
1° a) Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Déterminer les coordonnées de D.
b) Calculer les coordonnées du point I centre du parallélogramme ABCD.
c) Le point F est le symétrique du point C par rapport au point E(– 2 ; – 1).
Calculer les coordonnées de F.
d) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{EI}\) et \(\vec{FA}\) .
Que remarque-t-on ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
2° Soit le point M défini par : \(\vec{AM}+3\vec{DM}=\vec{0}\) .
a) Calculer les coordonnées du point M.
b) Les points M, I et D sont-ils alignés ?
Exercice 33 – Vecteurs et parallèles (vecteurs et translation)
Soit ABCD un parallélogramme et soit les points M,N et P définis par :
\(\vec{AM}=\frac{3}{8}\vec{AD}\,\,;\,\vec{BN}=\frac{3}{4}\vec{BC}\,\,;\,\vec{CP}=\frac{2}{3}\vec{CD}\)
1. Construire les points M, N et P sur la figure ci-dessous.
2. On veut démontrer que les droites (BM) et (PN) sont parallèles.
On propose deux méthode au choix :
| Méthode A :
a) Exprimer les vecteurs \(\vec{BM}\) et \(\vec{PN}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) . b) Que peut-on dire des vecteurs \(\vec{BM}\) et \(\vec{PN}\) . c) Conclure |
Méthode B :
On se place dans le repère \((A,\vec{AB},\vec{AD})\) a) Donner (sans justification) les coordonnées des b) Calculer les coordonnées des points M, N et P. c) Conclure |
Exercice 34 :
Soit ABCD un trapèze convexe tel que : (AB)//(DC), AB = 5 et DC = 7.
1) a) A partir de ces hypothèses, montrer que \(\vec{DC}=\frac{7}{5}\vec{AB}\)
b) Exprimer \(\vec{AC}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\).
2) On considère le point E tel que 5\(\vec{EC}\) = 2\(\vec{DE}\)
a) Déterminer \(\vec{DE}\) en fonction de \(\vec{DC}\) , puis placer E.
b) Montrer que les segments [AE] et [BD] ont même milieu.
3) A chaque réel x , on fait correspondre le point M tel que \(\vec{AM}\) = x\(\vec{AB}\) +\(\vec{AD}\).
a) Pour quelle valeur de x le point M est-il le symétrique de C par rapport à D ?
b) Exprimer \(\vec{DM}\) en fonction de \(\vec{AB}\). Sur quelle ligne se déplace le point M lorsque x varie ?
Exercice 35 (vecteurs et translation)
Soit ABC un triangle et x un réel.
A chaque valeur de x on associe les points E et F tels que : \(\vec{AE}=\frac{1}{3}\vec{AB}\,+x\vec{AC}\) et \(\vec{AF}=x\vec{AB}\,+\frac{1}{3}\vec{AC}\)
1) Construire E et F pour \(x=-\frac{1}{2}\).
2) Montrer que, pour tout x de \(\mathbb{R}\), \(\vec{EF}\) est colinéaire à \(\vec{BC}\) .
3) Pour quelles valeurs de x a-t-on :
a) E = F ?
b) BCFE est un parallélogramme ?
Exercice 36 :
Soit ABCD un quadrilatère, on défini les points M et N par : \(\vec{AM}=a\vec{AB}\) et \(\vec{DN}=a\vec{DC}\) ( a étant un réel)
1) Montrer que pour tout réel a , on a : \(\vec{MN}=a\vec{BC}\,+(1-a)\vec{AD}\)
2) Que dire de MBCN si ABCD est un parallélogramme ?
Exercice 37 (vecteurs et translation)
Soit un réel a et un triangle RST. Soit aussi les points M, N et U définis par
\(\vec{RM}=\frac{1}{4}\vec{RS}\,+(a+\frac{5}{2})\vec{RT}\) ; \(\vec{RN}=(a+2)\vec{RS}\,+\frac{3}{4}\vec{RT}\) ; \(\vec{RU}=\,\frac{3}{4}\vec{RS}\,-(a+\,\frac{3}{2})\vec{RT}\)
1) Placer les points M, N et U lorsque a = 0.
2) Démontrer que pour tout réel a , les vecteurs \(\vec{MN}\) et \(\vec{ST}\) sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?
3) Démontrer que pour tout réel a , SMTU est un parallélogramme
Exercice 38 :
Soit ABC un triangle.
1) On donne G tel que \(\vec{GA}\,+2\vec{GB}\,+3\vec{GC}\,=\vec{0}\) .
Déterminer \(\vec{CG}\) en fonction de \(\vec{CA}\) et \(\vec{CB}\) puis construire G.
2) Soit H tel que \(\vec{AH}\,=\frac{2}{3}\vec{AB}\) , montrer que G est le milieu de [HC]
3) Montrer que pour tout point M, \(\vec{MA}+2\vec{MB}\,+3\vec{MC}\,=6\vec{MG}\).
4) Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :
a) \(\,\|\,\vec{MA}+2\vec{MB}\,+3\vec{MC}\,\,\|=6AB\).
b) \(\vec{MA}+2\vec{MB}\,+3\vec{MC}\) est colinéaire à \(\vec{BC}\).
Exercice 39 (vecteurs et translation)
Recopier et compléter les égalités suivantes avec le nombre réel manquant.
- \(\vec{c}=\ldots\,\vec{a}\) ; \(\vec{b}=\ldots\,\vec{e}\) ; \(\vec{d}=\ldots\,\vec{g}\) ; \(\vec{d}=\ldots\,\vec{i}\)
- \(\vec{a}=\ldots\,\vec{c}\) ; \(\vec{b}=\ldots\,\vec{h}\) ; \(\vec{i}=\ldots\,\vec{g}\) ; \(\vec{f}=\ldots\,\vec{c}\)
Exercice 40 :
1.A partir de la figure, citer un vecteur :
a) opposé à \(\vec{CD}\).
b) de même direction et de même sens que \(\vec{AC}\).
c) de même direction que \(\vec{BC}\) mais de sens contraire.
d) égal au vecteur \(\vec{BA}\).
Exercice 41 :
A partir de la figure :
- Donner les images des points C, D, E par la translation de vecteur \(\vec{AB}\).
- Citer trois vecteurs égaux au vecteur \(\vec{AB}\).
- Citer les trois parallélogrammes définis par les trois égalités vectorielles du 2.
Exercice 42 :
1.Reproduire la figure ci-dessous.
2.Construire un représentant de chacun des vecteurs suivants.
a) \(-\vec{r}\) ; b) \(\vec{w}+\vec{r}\) ; c) \(\vec{r}+\vec{v}\) ; d) \(\vec{w}-\vec{r}\)
Exercice 43 :
En utilisant les points de la figure, donner un vecteur égal à :
- a) \(\vec{DE}+\vec{HI}\) ; b) \(\vec{GF}+\vec{CB}\) ; c) \(\vec{AJ}-\vec{EI}\)
- d) \(\vec{BG}+\vec{GH}\) ; e) \(\vec{BC}+\vec{CB}+\vec{BC}\) ; f) \(\vec{IJ}+\vec{CF}+\vec{JC}+\vec{FE}\)
- g) \(\vec{AB}-\vec{CB}\) ; h) \(\vec{HF}-\vec{BC}+\vec{CD}\) ; i) \(\vec{BD}+\vec{IH}-\vec{BH}-\vec{FD}\)
Exercice 44 :
- Calculer les déterminants des vecteurs suivants.
- Dire s’ils sont colinéaires.
- S’ils sont colinéaires, trouver un coefficient de colinéarité.
- a) \(\vec{u}\begin{pmatrix}-2 \cr 3\end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix}3 \cr -4{,}5\end{pmatrix}\)
- b) \(\vec{s}\begin{pmatrix}7 \cr -2\end{pmatrix}\) et \(\vec{t}\begin{pmatrix}14 \cr 4\end{pmatrix}\)
- c) \(\vec{u}\begin{pmatrix}-2 \cr 3\end{pmatrix}\) et \(\vec{r}\begin{pmatrix}3 \cr 4{,}5\end{pmatrix}\)
- d) \(\vec{v}\begin{pmatrix}3 \cr -4{,}5\end{pmatrix}\) et \(\vec{w}\begin{pmatrix}-8 \cr 12\end{pmatrix}\)
- e) \(\vec{s}\begin{pmatrix}7 \cr -2\end{pmatrix}\) et \(\vec{m}\begin{pmatrix}1 \cr -\dfrac{3}{7}\end{pmatrix}\)
- f) \(\vec{m}\begin{pmatrix}1 \cr -\dfrac{3}{7}\end{pmatrix}\) et \(\vec{t}\begin{pmatrix}14 \cr 4\end{pmatrix}\)
Exercice 45 :
Soit trois points A, B et C distincts non alignés.
Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires dans les cas suivants ?
- a) \(\vec{u}=2\vec{AB}\) et \(\vec{v}=-6\vec{AB}\)
- b) \(\vec{u}=-2\vec{AB}+3\vec{AC}\) et \(\vec{v}=4\vec{AB}-6\vec{AC}\)
- c) \(\vec{u}=3\vec{AB}-\vec{AC}\) et \(\vec{v}=9\vec{AB}-2\vec{AC}\)
- d) \(\vec{u}=\dfrac{1}{2}\vec{AB}+3\vec{AC}\) et \(\vec{v}=-\dfrac{3}{2}\vec{AB}-9\vec{AC}\)
Exercice 46 :
En utilisant les points de la figure, compléter les égalités suivantes :
- \(\vec{OM}+\vec{JK}=\vec{O\ldots}\)
- \(\vec{BO}+\vec{MK}=\vec{A\ldots}\)
- \(\vec{LE}+\vec{BM}=\vec{\ldots O}\)
- \(\vec{NA}+\vec{IO}=\vec{\ldots A}\)
Exercice 47 :
Soient les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3} \cr \dfrac{3}{2}y+1\end{pmatrix}\) ; \(\vec{v}\begin{pmatrix}-2x-1 \cr \dfrac{1}{3}y-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\) ; \(\vec{w}\begin{pmatrix}x-1 \cr y+2\end{pmatrix}\).
Déterminer les valeurs des réels x et y pour que :
a. \(\vec{u}-\vec{v}\,=\,\vec{w}\)
b. \(3\vec{u}=-\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w}\)
c. \(-4\vec{u}+3\vec{v}-\frac{2}{3}\vec{w}=\vec{0}\)
Exercice 48 :
Calculer les déterminants suivants :
a. \(\begin{vmatrix}2 1 \cr 2 1\end{vmatrix}\) ; b. \(\begin{vmatrix}2 1 \cr 2 -1\end{vmatrix}\) ; c. \(\begin{vmatrix}0 5 \cr 4 1\end{vmatrix}\) ; d. \(\begin{vmatrix}4 0 \cr 5 0\end{vmatrix}\)
Exercice 49 :
Soit un carré ABCD de côté de longueur 1, ABE et BCF sont des triangles équilatéraux.
Soit H le pied de la hauteur issue de E du triangle ABE.
1.Calculer la longueur EH.
2.Dans toute la suite on considère le repère \((A,\,\vec{AB},\,\vec{AD})\)
a. Montrer que le repère \((A,\,\vec{AB},\,\vec{AD})\) est orthonormé.
b. Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure dans le repère \((A,\,\vec{AB},\,\vec{AD})\).
c. En déduire que les points D, E et F sont alignés.
Vecteurs et translation : méthode de travail
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Translation (géométrie) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec systèmes de deux équations : exercices de maths en 2de corrigés en PDF.
