Exercices maths 2de

Vecteurs et translation : exercices maths 2de corrigés en PDF

Des exercices de maths sur les vecteurs et la translation en classe de seconde.Vous trouverez pour chaque exercice sa correction détaillée.

Les point sont-ils alignés

Les points P, Q et R sont-ils alignés ?

Corrigé de cet exercice

Points alignés et vecteurs

ABCD est un parallélogramme.

I est le milieu de [AB].
 E est le point tel que  \vec{DE}=\frac{2}{3}\vec{DI}
 1. Effectuer la figure suivante.
 2. Déterminer les coordonnées des points de la figure
dans le repère (A;\vec{AB};\vec{AD}) .
 3.  Les points A, E et C sont-ils alignés ?

Corrigé de cet exercice

Exprimer un vecteur en fonction de deux autres

A et B sont deux points distincts du plan .

On définit le point M par la relation vectorielle suivante :

3\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0} .

1. Exprimer \vec{AM} en fonction de \vec{AB} .

2. Placer le point M .

Corrigé de cet exercice

Etude d’un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels que :

\vec{AM}=\frac{3}{2}\vec{AB}\,;\,\vec{BN}=\frac{3}{2}\vec{BC}\,;\,\vec{CP}=\frac{3}{2}\vec{CD}\,;\,\vec{DQ}=\frac{3}{2}\vec{DA}

1.

a. Démontrer que \vec{MB}=\vec{DP} .

b. Déduisez-en que O est le milieu de [MP] .

Corrigé de cet exercice

Parallélogramme

ABCD est un parallélogramme de centre O.
Donner l’ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

Corrigé de cet exercice

Exercice n° 1 :

(O,I,J) est un repere orthonormal avec OI=OJ=1 cm.

a. Placer les points A(-4;6), B(-2;-3),C(2;0),D(0;3), E(2;3).

b. Quelles sont les coordonnées des points A et B dans le repere (O;C,D)dans le repère (O;D,C)?

c. Quelles sont les coordonnées du point O dans le repere (E;C,D)?

Exercice n° 2 :

La figure ci-dessous représente des hexagones reguliers de centres a,b,c,d.

cours maths seconde

1. Determiner les images de chacun des points C,E,A,M par la translation de vecteur :

a. \vec{AB}

b. \vec{BC}

c. \vec{AC}

2. Demontrer que C est le milieu de [AK].

Exercice n° 3 :

Demontrer que pour tous points A, B, C, D.

\fbox{\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BD}}.

Exercice n° 4 :

Dans un repere, on considere les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).

a.Placer les points A,B,C.

b. Calculer les coordonnees des vecteurs \vec{AB},\vec{AC},\vec{BC}. .

c. En deduire les coordonnees du point M tel que \vec{AM}=\vec{u}.

d. Verifier que B est le milieu de [AM] .

e. Calculer la distance AB .

Exercice n° 5 :

ABC est un triangle.

D,E,F sont les points tels que :

\vec{CD}=-\vec{CB}\,;\,\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AC}\,;\,\vec{BF}=-2\vec{BA} .

Demontrer que les points D, E, F sont alignes .

Indication : utiliser la relation de Chasles .

Corrigé de cet exercice

Droite d’EULER d’un triangle

 ABC est un triangle scalène*. A’, B’, C’ sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
O est le centre de son cercle circonscrit.
1. On note P le point défini par \vec{OP}= \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}
a. Faire une construction à la main ou avec le logiciel de géométrie « GEOGEBRA ».
b. Montrer que: \vec{AP}= 2. \vec{OA'}
c. Démontrer que (AP) est perpendiculaire à (BC).
d. Démontrer de même que (BP) est perpendiculaire à (AC)
e. Quelle position particulière occupe le point P ? (Dans la suite de l’exercice le point P sera noté H)
2. On note G le centre de gravité du triangle ABC, c’est à dire le point d’intersection des médianes.
On rappelle que si G est le centre de gravité du triangle ABC alors :
                     \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}= \vec{0}
Montrer que :
                    \vec{OH} = 3. \vec{OG}
Que déduit-on alors de la position des points O, H et G ?
Notes :
1- Scalène : un triangle est dit «scalène» lorsque ses trois côtés ont des mesures différentes.
Un triangle scalène n’est ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral.
2- La droite qui passe par les trois points O , H , G est appelée : « Droite d’EULER du triangle ».

Corrigé de cet exercice

Des perpendiculaires dans un triangle

On considère un triangle isocèle de base [BC] et de sommet A.

On désigne par O le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

On désigne par M le milieu de [AB] et par G le centre de gravité du triangle AMC.

Montrer que les droites (MC) et (OG) sont perpendiculaires.

Corrigé de cet exercice

Orthogonalité dans un triangle

On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O.

On désigne par H l’orthocentre du triangle ABC et par M le milieu de [BC].

La droite (MH) coupe, l’arc \overset{\frown}{AB}  qui ne contient pas C, en I.

Montrez que les droites (MH) et (AI) sont perpendiculaires.

Corrigé de cet exercice

Déterminer les coordonnées d’un point M

Dans un repère (O;\vec{i};\vec{j}), on donne K ( – 3 ; 5) et L(4 ; 2).

Déterminer l’abscisse du point M d’ordonnée – 2 tel que K, L et M soient alignés.

Corrigé de cet exercice

Etude de droites dans un repère

Dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}), on donne A(2 ;- 3)  B(0 ; – 3)  C( – 3 ; 0).

1.  Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que \vec{CE}=\frac{1}{2}\vec{AB}.

2. Que peut-on dire des droites (CE) et (AB) ? Justifier.

3.  Donner les équations de (CE) et (AB).

Corrigé de cet exercice

Points alignés dans un repère

Dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}), on donne :

E(3 ; – 1) F(7 ; – 7)   G(5 ; – 4).

Déterminer si les trois points E, F et G sont alignés.

Corrigé de cet exercice

Coordonnées et vecteurs colinéaires

1. Les vecteurs \vec{u}(1+\sqrt{3};4)  et \vec{v}(\frac{1}{2};\sqrt{3}-1) sont-ils colinéaires ?

2. Déterminer m tel que les vecteurs \vec{u}(2;m) et \vec{v}(5;-1) soient colinéaires.

Corrigé de cet exercice

Quatre points quelconques du plan

Soient A, B, C et D, quatre points quelconques du plan.

Montrer que :

3\vec{DA}-\vec{DB}-2\vec{DC}=3\vec{BA}-2\vec{BC}

Corrigé de cet exercice

Démontrer que des points sont confondus

Démontrer que les points B et D sont confondus sachant que :

\vec{BA}+\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{CA}+\vec{DB}-\vec{CD}

Corrigé de cet exercice

Problème sur les vecteurs

A et B sont deux points distincts.
On cherche à construire le point M tel que :
3\vec{MA}+4\vec{MB}=\vec{0}
1. Les vecteurs \vec{MA} et \vec{MB} sont-ils colinéaires ?ont-ils le même sens?ont-ils la même norme?
2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que l’on a l’égalité :
7\vec{MA}+4\vec{AB}=\vec{0}
3. En déduire \vec{AM} en fonction de \vec{AB} .
Construire le point M.

Colinéarité de deux vecteurs

Les vecteurs \vec{u}(\sqrt{2};1-\sqrt{3}) et \vec{v}(1+\sqrt{3};-\sqrt{2}) sont-ils colinéaires ?

Corrigé de cet exercice

Relation de Chasles

On considère un triangle ABC et les points I et J tels que :

\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB}

\vec{AJ}=3\vec{AC}

1. Montrer à l’aide de la relation de Chasles que \vec{BJ}=3\vec{IC} .

2. Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC) ?

Corrigé de cet exercice

Vecteurs colinéaires

Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs \vec{AB} et \vec{CD} sont colinéaires.

1.  \vec{AC}+\vec{DC}=\vec{BD} .

2.  2\vec{CB}-9\vec{CA}-7\vec{AD}=\vec{0}

Corrigé de cet exercice

Démontrer que deux points sont confondus

Démontrer que les points A et D sont confondus sachant que :

\vec{AC}+\vec{AD}-\vec{BC}=\vec{AB} .

Corrigé de cet exercice

Placer des points à partir d’égalités vectorielles

1. Placer le point E tel que \vec{BE}=\vec{AC} .

2. Placer le point F tel que \vec{BF}=-\vec{AC} .

3. Placer le point G tel que \vec{BG}=\vec{AC}+\vec{BA} .

Corrigé de cet exercice

Exercice n° 1 :

(O,I,J) est un repere orthonormal avec OI=OJ=1 cm.

a. Placer les points A(-4;6), B(-2;-3),C(2;0),D(0;3), E(2;3).

b. Quelles sont les coordonnées des points A et B dans le repere (O;C,D)dans le repère (O;D,C)?

c. Quelles sont les coordonnées du point O dans le repere (E;C,D)?

Exercice n° 2 :

Demontrer que pour tous points A, B, C, D.
\fbox{\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BD}}.

Exercice n° 3 :

Dans un repere, on considere les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).
a.Placer les points A,B,C.
b. Calculer les coordonnees des vecteurs \vec{AB},\vec{AC},\vec{BC}. .
c. En deduire les coordonnees du point M tel que \vec{AM}=\vec{u}.

d. Verifier que B est le milieu de [AM] .

e. Calculer la distance AB .

Exercice n°4 :

ABC est un triangle.
D,E,F sont les points tels que :

\vec{CD}=-\vec{CB}\,;\,\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AC}\,;\,\vec{BF}=-2\vec{BA} .

Demontrer que les points D, E, F sont alignes .

Indication : utiliser la relation de Chasles .

Corrigé de cet exercice

Coordonnées de points et longueurs

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note E l’ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation :
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.

On considère également les points F(4;0) et F'(-4;0).
1. Calculer les coordonnées des points d’intersection de E avec les axes du repères.
2. A l’aide du logiciel géogebra, visualiser l’ensemble E et faire une conjecture sur la somme des distances MF + MF’ lorsque M est un point de E.
3. Soit M(x;y) un point de E.
a) Exprimer y^2 en fonction dex^2 et en déduire que x^2\leq\, 25.

b) Montrer que  MF^2=(\frac{4}{5}x-5)^2  .

c) Sachant que x\leq\, 5, montrer que \frac{4}{5}x-5\leq\, 0

puis en déduire que MF=5-\frac{4}{5}x .

d) Valider la conjecture .

Corrigé de cet exercice

Vecteurs et parallèlogramme

Soit ABCD est un parallelogramme .

1) Placer les points M et N définis par les égalités suivantes:

\vec{AM}=\vec{AD}+\frac{2}{5}\times \vec{DB}

\vec{CN}=-\vec{CB}-\frac{1}{3}\times \vec{BA}

2) Montrer en utilisant la relation de chasles que \vec{DN}=-\vec{CB}-\frac{2}{3}\times \vec{BA} .

3) Exprimer le vecteur  \vec{DN} en fonction des vecteurs \vec{AD} et \vec{DB} .

Corrigé de cet exercice

Coordonnées dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) , on donne les points  :

 A(5 ; 4), B(– 1 ; 6) et C(– 3 ; 1)
1° a) Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
          Déterminer les coordonnées de D.
b) Calculer les coordonnées du point I centre du parallélogramme ABCD.
c) Le point F est le symétrique du point C par rapport au point E(– 2 ; – 1).
    Calculer les coordonnées de F.
d) Calculer les coordonnées des vecteurs \vec{EI} et \vec{FA} .
 Que remarque-t-on ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
2° Soit le point M défini par : \vec{AM}+3\vec{DM}=\vec{0} .
a) Calculer les coordonnées du point M.
b) Les points M, I et D sont-alignés ?

Vecteurs et parallèles

Soit  ABCD un parallélogramme et soit les points M,N et P définis par :
\vec{AM}=\frac{3}{8}\vec{AD}\,\,;\,\vec{BN}=\frac{3}{4}\vec{BC}\,\,;\,\vec{CP}=\frac{2}{3}\vec{CD}
1. Construire les points M, N et P sur la figure ci-dessous.
2.  On veut démontrer que les droites (BM) et (PN) sont parallèles.
On propose deux méthode au choix :
Méthode A
a) Exprimer les vecteurs \vec{BM} et \vec{PN}
        en fonction de \vec{AB} et \vec{AD} .
b)  Que peut-on dire des vecteurs \vec{BM} et \vec{PN} .
c) Conclure
Méthode B
On se place dans le repère (A,\vec{AB},\vec{AD})
a) Donner (sans justification) les coordonnées des
points A, B, C et D.
b) Calculer les coordonnées des points M, N et P.
c) Conclure

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