Vecteurs et translation : exercices de maths en 2de corrigés en PDF.

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Des exercices de maths sur les vecteurs et la translation en classe de seconde. Vous trouverez pour chaque exercice sa correction détaillée.

Exercice 1 – Les point sont-ils alignés

Les points P, Q et R sont-ils alignés ?

Exercice 2 – Points alignés et vecteurs

ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AB].
E est le point tel que  \vec{DE}=\frac{2}{3}\vec{DI}

1. Effectuer la figure suivante.
2. Déterminer les coordonnées des points de la figure
dans le repère (A;\vec{AB};\vec{AD}) .
3.  Les points A, E et C sont-ils alignés ?

Exercice 3 – Exprimer un vecteur en fonction de deux autres

A et B sont deux points distincts du plan .

On définit le point M par la relation vectorielle suivante :

3\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0} .

1. Exprimer \vec{AM} en fonction de \vec{AB} .

2. Placer le point M .

Exercice 4 – Etude d’un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels que :

\vec{AM}=\frac{3}{2}\vec{AB}\,;\,\vec{BN}=\frac{3}{2}\vec{BC}\,;\,\vec{CP}=\frac{3}{2}\vec{CD}\,;\,\vec{DQ}=\frac{3}{2}\vec{DA}

1.

a. Démontrer que \vec{MB}=\vec{DP} .

b. Déduisez-en que O est le milieu de [MP] .

Parallélogramme

Exercice 5 – Parallélogramme
ABCD est un parallélogramme de centre O.
Donner l’ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

Parallélogramme
Exercice 6
(O,I,J) est un repere orthonormal avec OI=OJ=1 cm.

a. Placer les points A(-4;6), B(-2;-3),C(2;0),D(0;3), E(2;3).

b. Quelles sont les coordonnées des points A et B dans le repere (O;C,D)dans le repère (O;D,C)?

c. Quelles sont les coordonnées du point O dans le repere (E;C,D)?

Exercice 7

La figure ci-dessous représente des hexagones reguliers de centres a,b,c,d.

Hexagone

1. Determiner les images de chacun des points C,E,A,M par la translation de vecteur :

a. \vec{AB}

b. \vec{BC}

c. \vec{AC}

2. Demontrer que C est le milieu de [AK].

Exercice 8

Demontrer que pour tous points A, B, C, D.

\fbox{\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BD}}.

Exercice 9

Dans un repere, on considere les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).

a.Placer les points A,B,C.

b. Calculer les coordonnees des vecteurs \vec{AB},\vec{AC},\vec{BC}. .

c. En deduire les coordonnees du point M tel que \vec{AM}=\vec{u}.

d. Verifier que B est le milieu de [AM] .

e. Calculer la distance AB .

Exercice 10

ABC est un triangle.

D,E,F sont les points tels que :

\vec{CD}=-\vec{CB}\,;\,\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AC}\,;\,\vec{BF}=-2\vec{BA} .

Demontrer que les points D, E, F sont alignes .

Indication : utiliser la relation de Chasles .

Exercice 11 – Droite d’EULER d’un triangle
ABC est un triangle scalène*. A’, B’, C’ sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
O est le centre de son cercle circonscrit.

1. On note P le point défini par \vec{OP}= \vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}
a. Faire une construction à la main ou avec le logiciel de géométrie « GEOGEBRA ».
b. Montrer que: \vec{AP}= 2. \vec{OA'}

c. Démontrer que (AP) est perpendiculaire à (BC).
d. Démontrer de même que (BP) est perpendiculaire à (AC)
e. Quelle position particulière occupe le point P ? (Dans la suite de l’exercice le point P sera noté H)

2. On note G le centre de gravité du triangle ABC, c’est à dire le point d’intersection des médianes.
On rappelle que si G est le centre de gravité du triangle ABC alors :

\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}= \vec{0}
Montrer que :
\vec{OH} = 3. \vec{OG}

Que déduit-on alors de la position des points O, H et G ?

Notes :

1- Scalène : un triangle est dit «scalène» lorsque ses trois côtés ont des mesures différentes.
Un triangle scalène n’est ni rectangle, ni isocèle, ni équilatéral.

2- La droite qui passe par les trois points O , H , G est appelée : « Droite d’EULER du triangle ».
Exercice 12 – Des perpendiculaires dans un triangle

On considère un triangle isocèle de base [BC] et de sommet A.

On désigne par O le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

On désigne par M le milieu de [AB] et par G le centre de gravité du triangle AMC.

Montrer que les droites (MC) et (OG) sont perpendiculaires.

Exercice 13 – Orthogonalité dans un triangle

On considère un triangle ABC et son cercle circonscrit de centre O.

On désigne par H l’orthocentre du triangle ABC et par M le milieu de [BC].

La droite (MH) coupe, l’arc \overset{\frown}{AB}  qui ne contient pas C, en I.

Montrez que les droites (MH) et (AI) sont perpendiculaires.

Exercice 14 – Déterminer les coordonnées d’un point M

Dans un repère (O;\vec{i};\vec{j}), on donne K ( – 3 ; 5) et L(4 ; 2).
Déterminer l’abscisse du point M d’ordonnée – 2 tel que K, L et M soient alignés.
Exercice 15 – Etude de droites dans un repère

Dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}), on donne A(2 ;- 3)  B(0 ; – 3)  C( – 3 ; 0).

1.  Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que \vec{CE}=\frac{1}{2}\vec{AB}.

2. Que peut-on dire des droites (CE) et (AB) ? Justifier.

3.  Donner les équations de (CE) et (AB).

Exercice 16 – Points alignés dans un repère

Dans un repère (O;\vec{i},\vec{j}), on donne :

E(3 ; – 1) F(7 ; – 7)   G(5 ; – 4).

Déterminer si les trois points E, F et G sont alignés.

Exercice 17 – Coordonnées et vecteurs colinéaires

1. Les vecteurs \vec{u}(1+\sqrt{3};4)  et \vec{v}(\frac{1}{2};\sqrt{3}-1) sont-ils colinéaires ?

2. Déterminer m tel que les vecteurs \vec{u}(2;m) et \vec{v}(5;-1) soient colinéaires.

Exercice 18 – Quatre points quelconques du plan

Soient A, B, C et D, quatre points quelconques du plan.

Montrer que :

3\vec{DA}-\vec{DB}-2\vec{DC}=3\vec{BA}-2\vec{BC}

Exercice 19 – Démontrer que des points sont confondus

Démontrer que les points B et D sont confondus sachant que :

\vec{BA}+\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{CA}+\vec{DB}-\vec{CD}

Exercice 20 – Problème sur les vecteurs
A et B sont deux points distincts.

On cherche à construire le point M tel que :

3\vec{MA}+4\vec{MB}=\vec{0}

1. Les vecteurs \vec{MA} et \vec{MB} sont-ils colinéaires ?ont-ils le même sens?ont-ils la même norme?

2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que l’on a l’égalité :

7\vec{MA}+4\vec{AB}=\vec{0}

3. En déduire \vec{AM} en fonction de \vec{AB} .

Construire le point M.
Exercice 21 – Colinéarité de deux vecteurs

Les vecteurs \vec{u}(\sqrt{2};1-\sqrt{3}) et \vec{v}(1+\sqrt{3};-\sqrt{2}) sont-ils colinéaires ?

Exercice 22 – Relation de Chasles

On considère un triangle ABC et les points I et J tels que :

\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB}

\vec{AJ}=3\vec{AC}

1. Montrer à l’aide de la relation de Chasles que \vec{BJ}=3\vec{IC} .

2. Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC) ?

Vecteurs

Exercice 23 – Vecteurs colinéaires

Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs \vec{AB} et \vec{CD} sont colinéaires.

1.  \vec{AC}+\vec{DC}=\vec{BD} .

2.  2\vec{CB}-9\vec{CA}-7\vec{AD}=\vec{0}

Exercice 24 – Démontrer que deux points sont confondus

Démontrer que les points A et D sont confondus sachant que :

\vec{AC}+\vec{AD}-\vec{BC}=\vec{AB} .

Exercice 25 – Placer des points à partir d’égalités vectorielles

1. Placer le point E tel que \vec{BE}=\vec{AC} .

2. Placer le point F tel que \vec{BF}=-\vec{AC} .

3. Placer le point G tel que \vec{BG}=\vec{AC}+\vec{BA} .

Quadrillage

Exercice 26

(O,I,J) est un repere orthonormal avec OI=OJ=1 cm.

a. Placer les points A(-4;6), B(-2;-3),C(2;0),D(0;3), E(2;3).

b. Quelles sont les coordonnées des points A et B dans le repere (O;C,D)dans le repère (O;D,C)?

c. Quelles sont les coordonnées du point O dans le repere (E;C,D)?

Exercice 27

Demontrer que pour tous points A, B, C, D.
\fbox{\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BD}}.

Exercice 28

Dans un repere, on considere les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).
a.Placer les points A,B,C.
b. Calculer les coordonnees des vecteurs \vec{AB},\vec{AC},\vec{BC}. .
c. En deduire les coordonnees du point M tel que \vec{AM}=\vec{u}.

d. Verifier que B est le milieu de [AM] .

e. Calculer la distance AB .

Exercice 29

ABC est un triangle.
D,E,F sont les points tels que :

\vec{CD}=-\vec{CB}\,;\,\vec{AE}=\frac{3}{2}\vec{AC}\,;\,\vec{BF}=-2\vec{BA} .

Demontrer que les points D, E, F sont alignes .

Indication : utiliser la relation de Chasles .

Exercice 30 – Coordonnées de points et longueurs

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note E l’ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation :
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.

On considère également les points F(4;0) et F'(-4;0).
1. Calculer les coordonnées des points d’intersection de E avec les axes du repères.
2. A l’aide du logiciel géogebra, visualiser l’ensemble E et faire une conjecture sur la somme des distances MF + MF’ lorsque M est un point de E.
3. Soit M(x;y) un point de E.
a) Exprimer y^2 en fonction dex^2 et en déduire que x^2\leq\, 25.

b) Montrer que  MF^2=(\frac{4}{5}x-5)^2  .

c) Sachant que x\leq\, 5, montrer que \frac{4}{5}x-5\leq\, 0

puis en déduire que MF=5-\frac{4}{5}x .

d) Valider la conjecture .

Exercice 31 – Vecteurs et parallèlogramme

Soit ABCD est un parallelogramme .

1) Placer les points M et N définis par les égalités suivantes:

\vec{AM}=\vec{AD}+\frac{2}{5}\times   \vec{DB}

\vec{CN}=-\vec{CB}-\frac{1}{3}\times   \vec{BA}

2) Montrer en utilisant la relation de chasles que \vec{DN}=-\vec{CB}-\frac{2}{3}\times   \vec{BA} .

3) Exprimer le vecteur  \vec{DN} en fonction des vecteurs \vec{AD} et \vec{DB} .

Exercice 32 – Coordonnées dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) , on donne les points  :
A(5 ; 4), B(– 1 ; 6) et C(– 3 ; 1)

1° a) Placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Déterminer les coordonnées de D.

b) Calculer les coordonnées du point I centre du parallélogramme ABCD.

c) Le point F est le symétrique du point C par rapport au point E(– 2 ; – 1).
Calculer les coordonnées de F.

d) Calculer les coordonnées des vecteurs \vec{EI} et \vec{FA} .

Que remarque-t-on ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?

2° Soit le point M défini par : \vec{AM}+3\vec{DM}=\vec{0} .

a) Calculer les coordonnées du point M.

b) Les points M, I et D sont-alignés ?

Exercice 33 – Vecteurs et parallèles
Soit  ABCD un parallélogramme et soit les points M,N et P définis par :

\vec{AM}=\frac{3}{8}\vec{AD}\,\,;\,\vec{BN}=\frac{3}{4}\vec{BC}\,\,;\,\vec{CP}=\frac{2}{3}\vec{CD}

1. Construire les points M, N et P sur la figure ci-dessous.
2.  On veut démontrer que les droites (BM) et (PN) sont parallèles.

On propose deux méthode au choix :

Méthode Aa) Exprimer les vecteurs \vec{BM} et \vec{PN}

en fonction de \vec{AB} et \vec{AD} .

b)  Que peut-on dire des vecteurs \vec{BM} et \vec{PN} .

c) Conclure

Méthode BOn se place dans le repère (A,\vec{AB},\vec{AD})

a) Donner (sans justification) les coordonnées des
points A, B, C et D.

b) Calculer les coordonnées des points M, N et P.

c) Conclure

Repère

Corrigé de ces exercices sur les vecteurs et la translation

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