Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : dérivation et calcul intégral.
Ce sujet bilan type bac réunit la dérivation et le calcul intégral autour d’une même fonction, f(x) = (x + 1)e−x. Après quelques calculs rapides, tu étudies ses limites, ses variations et sa convexité, avec un point d’inflexion et une tangente.
Tu calcules ensuite l’aire d’un domaine grâce à une intégration par parties, puis la valeur moyenne de f. Le dernier exercice prolonge le domaine vers l’infini et fait appel au théorème des valeurs intermédiaires. Calculatrice autorisée, deux heures : garde du temps pour l’intégration par parties, c’est elle qui rapporte le plus de points.
- Niveau : Terminale
- Chapitres : Dérivation et convexité + Calcul d’intégrales
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 7 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 5 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : dériver un produit et une composée, déterminer des primitives et des intégrales
- Raisonner : étudier variations, convexité et point d’inflexion à partir des dérivées
- Chercher : mener une intégration par parties et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
- Représenter : relier une intégrale à l’aire d’un domaine sous une courbe
- Communiquer : interpréter une aire en unités et une valeur moyenne
Exercice 1 : Dérivée, primitive et intégrale (3 points)
Calculatrice autorisée.
- Calcule la dérivée de la fonction g définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = (3x – 1)\,\text{e}^{2x}\), et écris-la sous forme factorisée. (1 point)
- Détermine une primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction k définie par \(k(x) = x\,\text{e}^{x^2}\). (1 point)
- Calcule la valeur exacte de \(I = \displaystyle\int_0^1 (\text{e}^{2x} + 3) dx\), puis donne l’arrondi au centième. (1 point)
Exercice 2 : Étude d’une fonction exponentielle (7 points)
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 1)\,\text{e}^{-x}\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
- Détermine la limite de f en \(-\infty\). En remarquant que \(f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}} + \text{e}^{-x}\), détermine la limite de f en \(+\infty\) et interprète-la graphiquement. (1,5 point)
- Montre que, pour tout réel x, \(f^{\prime}(x) = -x\,\text{e}^{-x}\). Dresse le tableau de variations complet de f. (2 points)
- Calcule \(f^{\prime\prime}(x)\). Étudie la convexité de f et montre que \(\mathcal{C}_f\) admet un point d’inflexion A dont tu donneras les coordonnées exactes. (2 points)
- Détermine une équation de la tangente T à \(\mathcal{C}_f\) au point A. Précise, sans calcul supplémentaire, la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à T. (1,5 point)
Exercice 3 : Aire sous la courbe (5 points)
On reprend la fonction f de l’exercice 2. Le domaine \(\mathcal{D}\) est délimité par \(\mathcal{C}_f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\). Les unités graphiques sont 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée. (La figure n’est pas à l’échelle.)
- Justifie que f est positive sur \([0\,;2]\). (0,5 point)
- À l’aide d’une intégration par parties, montre que \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\, dx = 2 – 4\,\text{e}^{-2}\). (2,5 points)
- Déduis-en l’aire du domaine \(\mathcal{D}\) en \(\text{cm}^2\), arrondie au centième. (1 point)
- Calcule la valeur moyenne de f sur \([0\,;2]\), valeur exacte et arrondi au millième. (1 point)
Exercice 4 : Un domaine qui s’étend à l’infini (5 points)
Pour tout réel \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, dt\), où f est la fonction de l’exercice 2.
- Justifie que F est dérivable sur \([0\,;+\infty[\), précise \(F^{\prime}(x)\) et déduis-en le sens de variation de F. (1 point)
- Montre que, pour tout \(x \geq\, 0\), \(F(x) = 2 – (x + 2)\,\text{e}^{-x}\). Vérifie la cohérence avec l’exercice 3. (1,5 point)
- Détermine la limite de F en \(+\infty\) et interprète le résultat en termes d’aire. (1 point)
- Montre que l’équation \(F(x) = 1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;+\infty[\) et donne un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\). Interprète \(\alpha\) graphiquement. (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : dérivation et calcul intégral
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La dérivée d’une fonction » en Terminale et « Calculs d’intégrales » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés dérivée d’une fonction, intégrales et primitives.
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