Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : suites et fonction logarithme.
Ce sujet bilan type bac mélange deux chapitres de terminale : les suites numériques et la fonction logarithme népérien. Tu commences par une suite géométrique dont tu cherches un seuil en passant au logarithme, puis tu étudies la fonction x − ln x : limites, dérivée, variations et convexité.
Cette fonction sert ensuite à définir une suite par récurrence : tu dois démontrer un encadrement par récurrence, justifier la convergence et trouver la limite. Le dernier exercice transforme une suite grâce à ln. Calculatrice autorisée, deux heures.
- Niveau : Terminale
- Chapitres : Suites numériques et raisonnement par récurrence + La fonction logarithme népérien
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 6 points ; exercice 3 : 6 points ; exercice 4 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : démontrer une propriété par récurrence et justifier la convergence d’une suite
- Calculer : dériver et étudier une fonction faisant intervenir ln, déterminer des limites
- Chercher : déterminer un seuil en résolvant une inéquation avec le logarithme
- Modéliser : relier une suite définie par une relation de récurrence à la fonction associée
- Représenter : exploiter la courbe d’une fonction et la droite y = x
Exercice 1 : La valeur d’une voiture (4 points)
Calculatrice autorisée.
Camille achète une voiture neuve à 24 000 €. On estime que sa valeur baisse de \(15\,\%\) chaque année. Ainsi, on note \(v_n\) la valeur de la voiture, en euros, n années après l’achat : \(v_0 = 24\,000\).
- Justifie que la suite \((v_n)\) est géométrique et donne sa raison, puis exprime \(v_n\) en fonction de n. (1 point)
- Calcule la valeur de la voiture au bout de 5 ans, arrondie à l’euro. (1 point)
- Camille veut revendre sa voiture avant que sa valeur passe sous 6 000 €. Résous l’inéquation \(24\,000 \times 0{,}85^n < 6\,000\) à l’aide du logarithme népérien et conclus. (1,5 point)
- Enfin, détermine la limite de la suite \((v_n)\). (0,5 point)
Exercice 2 : Étude de la fonction x − ln x (6 points)
On considère la fonction f définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x – \ln x\).
- Détermine la limite de f en 0, puis en \(+\infty\). Pour la seconde, tu pourras écrire \(f(x) = x(1 – \dfrac{\ln x}{x})\). (1,5 point)
- Calcule \(f^{\prime}(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variations complet de f. (2 points)
- Ensuite, calcule \(f^{\prime\prime}(x)\) et étudie la convexité de f. (1 point)
- Déduis de la question b que, pour tout réel \(x > 0\), \(\ln x \leq\, x – 1\). (1,5 point)
Exercice 3 : Une suite définie avec ln (6 points)
On reprend la fonction f de l’exercice 2. On définit alors la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier naturel n, \(u_{n+1} = u_n – \ln(u_n)\), c’est-à-dire \(u_{n+1} = f(u_n)\). Par ailleurs, la figure représente la courbe de f, la droite d’équation \(y = x\) et la construction des premiers termes de la suite.
- Calcule \(u_1\) et \(u_2\), arrondis au millième. Quelle conjecture la figure suggère-t-elle sur le sens de variation et la limite de \((u_n)\) ? (1 point)
- Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel n : \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 2\). (2 points)
- Déduis-en que la suite \((u_n)\) est convergente. (1 point)
- On note \(\ell\) sa limite. De plus, on admet que \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\). Détermine alors \(\ell\). (1,5 point)
- À l’aide de la calculatrice, détermine le plus petit entier n tel que \(u_n – 1 < 10^{-6}\). (0,5 point)
Exercice 4 : Le logarithme des termes d’une suite (4 points)
On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_0 = \text{e}^3\) et, pour tout entier naturel n, \(v_{n+1} = \sqrt{\text{e}\, v_n}\). Tous ses termes sont admis strictement positifs. Enfin, on pose, pour tout entier naturel n, \(w_n = \ln(v_n) – 1\).
- Calcule la valeur exacte de \(v_1\). (0,5 point)
- Démontre que la suite \((w_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\) et précise son premier terme. (1,5 point)
- Exprime \(w_n\), puis \(v_n\), en fonction de n. (1 point)
- Enfin, détermine la limite de la suite \((v_n)\). (1 point)
Réviser avant le contrôle : suites et fonction logarithme
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Le raisonnement par récurrence » en Terminale et « Les suites numériques » en Terminale et « La fonction logarithme népérien » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés la récurrence, suites numériques, logarithmes.
Retrouve tous les contrôles de maths en Terminale classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.
