Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : suites et fonction logarithme.
Voici la correction rédigée des quatre exercices. Pour le seuil, tu vois pourquoi l’inégalité change de sens quand on divise par un logarithme négatif. L’étude de fonction donne le tableau de variations complet et l’inégalité ln x ≤ x − 1 qui en découle.
La récurrence est rédigée en trois temps (initialisation, hérédité, conclusion), puis le théorème de convergence monotone et la continuité de la fonction donnent la limite. Le dernier exercice montre comment le logarithme transforme une suite en suite géométrique. Le barème te permet d’évaluer ta copie question par question.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : suites et fonction logarithme.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : La valeur d’une voiture | 4 points |
| Exercice 2 : Étude de la fonction x − ln x | 6 points |
| Exercice 3 : Une suite définie avec ln | 6 points |
| Exercice 4 : Le logarithme des termes d’une suite | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : La valeur d’une voiture (4 points)
- Baisser de \(15\,\%\), c’est multiplier par \(1 – 0{,}15 = 0{,}85\). Pour tout entier naturel n, \(v_{n+1} = 0{,}85\, v_n\).
Ainsi, la suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}85\) et de premier terme \(v_0 = 24\,000\). Donc \(v_n = 24\,000 \times 0{,}85^n\). - \(v_5 = 24\,000 \times 0{,}85^5 \approx 10\,648{,}93\)
Au bout de 5 ans, la voiture vaut environ 10 649 €. - \(24\,000 \times 0{,}85^n < 6\,000\)
\(0{,}85^n < 0{,}25\)
\(n \ln(0{,}85) < \ln(0{,}25)\) (la fonction ln est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\))
\(n > \dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)}\) (car \(\ln(0{,}85) < 0\), l’inégalité change de sens)
\(\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}85)} \approx 8{,}53\), donc l’inéquation équivaut à \(n \geq\, 9\).
Contrôle : \(v_8 \approx 6\,540\) et \(v_9 \approx 5\,559\).
La valeur passe sous 6 000 € la 9e année. Camille doit donc revendre sa voiture au plus tard 8 ans après l’achat. - \(0 < 0{,}85 < 1\), donc \(\lim_{n \to +\infty} 0{,}85^n = 0\) et \(\lim_{n \to +\infty} v_n = 0\).
Barème : a) 0,5 point pour la raison justifiée, 0,5 point pour l’expression ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour le passage au logarithme, 0,5 point pour le changement de sens justifié, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point.
Erreur fréquente : écrire \(n < 8{,}53\) en oubliant que \(\ln(0{,}85)\) est négatif.
Exercice 2 : Étude de la fonction x − ln x (6 points)
- En 0 : \(\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty\), donc \(\lim_{x \to 0} (-\ln x) = +\infty\). De plus, \(\lim_{x \to 0} x = 0\), donc par somme \(\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty\).
En \(+\infty\) : par croissances comparées, \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} (1 – \dfrac{\ln x}{x}) = 1\). Comme \(\lim_{x \to +\infty} x = +\infty\), alors par produit \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\). - f est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \(f^{\prime}(x) = 1 – \dfrac{1}{x} = \dfrac{x – 1}{x}\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(x > 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(x – 1\). Il est ainsi négatif sur \(]0\,;1[\), nul en 1, positif sur \(]1\,;+\infty[\).
\(f(1) = 1 – \ln 1 = 1\).
f est strictement décroissante sur \(]0\,;1]\), strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\), et son minimum est \(f(1) = 1\).
- \(f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{x^2}\). Pour tout \(x > 0\), \(f^{\prime\prime}(x) > 0\).
La fonction f est convexe sur \(]0\,;+\infty[\). - D’après le tableau de variations, le minimum de f sur \(]0\,;+\infty[\) est 1. Donc, pour tout \(x > 0\), \(f(x) \geq\, 1\).
\(x – \ln x \geq\, 1\), donc \(x – 1 \geq\, \ln x\).
Pour tout réel \(x > 0\), \(\ln x \leq\, x – 1\). (Graphiquement : la courbe de ln est sous sa tangente au point d’abscisse 1.)
Barème : a) 0,5 point pour la limite en 0, 1 point pour la limite en \(+\infty\) avec les croissances comparées citées ; b) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour le signe, 1 point pour le tableau complet (limites et minimum) ; c) 0,5 point pour \(f^{\prime\prime}\), 0,5 point pour la conclusion ; d) 1 point pour l’utilisation du minimum, 0,5 point pour la conclusion.
Erreur fréquente : conclure en \(+\infty\) par « \(+\infty – \infty\) ». En effet, c’est une forme indéterminée, d’où la factorisation par x.
Exercice 3 : Une suite définie avec ln (6 points)
- \(u_1 = 2 – \ln 2 \approx 1{,}307\)
\(u_2 = u_1 – \ln(u_1) \approx 1{,}039\)
\(u_1 \approx 1{,}307\) et \(u_2 \approx 1{,}039\). Ainsi, la figure suggère que la suite est décroissante et converge vers 1. En effet, 1 est l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite \(y = x\).
Question b : démonstration par récurrence
- Pour tout entier naturel n, on note \(P(n)\) la propriété « \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 2\) ».
Initialisation : \(u_0 = 2\) et \(u_1 \approx 1{,}307\), donc \(1 \leq\, u_1 \leq\, u_0 \leq\, 2\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit n un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie : \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 2\). Or, d’après l’exercice 2, f est croissante sur \([1\,;+\infty[\), donc sur \([1\,;2]\). Par conséquent, elle conserve l’ordre :
\(f(1) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(u_n) \leq\, f(2)\)
c’est-à-dire \(1 \leq\, u_{n+2} \leq\, u_{n+1} \leq\, 2 – \ln 2\). Comme \(2 – \ln 2 \leq\, 2\), on obtient \(1 \leq\, u_{n+2} \leq\, u_{n+1} \leq\, 2\) : \(P(n+1)\) est donc vraie.
Conclusion : \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 2\).
Questions c à e : convergence et limite de la suite
- D’après b, la suite \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1} \leq\, u_n\)) et minorée par 1. Donc, d’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge. Sa limite \(\ell\) est alors comprise entre 1 et 2.
- \(f(\ell) = \ell \Leftrightarrow \ell – \ln \ell = \ell \Leftrightarrow \ln \ell = 0 \Leftrightarrow \ell = 1\)
(L’égalité \(f(\ell) = \ell\) vient de la continuité de f sur \([1\,;2]\) : on passe à la limite dans \(u_{n+1} = f(u_n)\).)
La suite \((u_n)\) converge donc vers 1, ce qui confirme la conjecture. - Enfin, à la calculatrice : \(u_3 – 1 \approx 7{,}5 \times 10^{-4}\) et \(u_4 – 1 \approx 2{,}8 \times 10^{-7}\).
Le plus petit entier cherché est n = 4.
Barème : a) 0,5 point pour les deux termes, 0,5 point pour la conjecture ; b) 0,5 point pour l’initialisation, 1 point pour l’hérédité (croissance de f citée), 0,5 point pour la conclusion ; c) 1 point avec le théorème cité ; d) 1 point pour la résolution, 0,5 point pour la conclusion ; e) 0,5 point.
Erreur fréquente : dire « la suite est décroissante, donc elle tend vers \(-\infty\) » ou « elle est minorée par 1, donc elle tend vers 1 ». En effet, la convergence vient du théorème. Quant à la valeur de la limite, elle vient de l’équation \(f(\ell) = \ell\).
Exercice 4 : Le logarithme des termes d’une suite (4 points)
- \(v_1 = \sqrt{\text{e} \times \text{e}^3} = \sqrt{\text{e}^4} = \text{e}^2\). \(v_1 = \text{e}^2\).
- Pour tout entier naturel n, \(v_n > 0\), donc :
\(\ln(v_{n+1}) = \ln(\sqrt{\text{e}\, v_n}) = \dfrac{1}{2}\ln(\text{e}\, v_n) = \dfrac{1}{2}(1 + \ln(v_n))\)
\(w_{n+1} = \ln(v_{n+1}) – 1 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\ln(v_n) – 1 = \dfrac{1}{2}\ln(v_n) – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}(\ln(v_n) – 1) = \dfrac{1}{2}\, w_n\)
\(w_0 = \ln(\text{e}^3) – 1 = 3 – 1 = 2\)
La suite \((w_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \(w_0 = 2\). - \(w_n = 2 \times (\dfrac{1}{2})^n\).
\(\ln(v_n) = w_n + 1 = 1 + 2 \times (\dfrac{1}{2})^n\), donc \(v_n = \text{e}^{1 + 2 \times (\frac{1}{2})^n}\).
(Contrôle : pour n = 1, \(\text{e}^{1 + 1} = \text{e}^2 = v_1\).) - \(0 < \frac{1}{2} < 1\), donc \(\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{2})^n = 0\) et \(\lim_{n \to +\infty} (1 + 2 \times (\frac{1}{2})^n) = 1\).
Or la fonction exponentielle est continue en 1, donc par composition \(\lim_{n \to +\infty} v_n = \text{e}^1 = \text{e}\).
Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point pour le calcul de \(w_{n+1}\) avec les propriétés de ln, 0,5 point pour \(w_0\) ; c) 0,5 point pour \(w_n\), 0,5 point pour \(v_n\) ; d) 0,5 point pour la limite de \(w_n\), 0,5 point pour la conclusion par composition.
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Après le corrigé du contrôle : suites et fonction logarithme
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