Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : équations différentielles y’ = ay + b.
Ce sujet porte sur les équations différentielles du programme de Terminale. Tu commences par les cas simples \(y^{\prime} = f\) et \(y^{\prime} = ay\), puis tu résous \(y^{\prime} = ay + b\) en cherchant la solution particulière constante. Tu détermines ensuite la solution qui vérifie une condition initiale, et tu traites une équation avec un second membre affine grâce à une solution particulière et à l’équation homogène.
Le problème final modélise le refroidissement d’un café par la loi de Newton : calcul de température, limite, durée. Calculatrice autorisée, compte une heure et demie.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Primitives et équations différentielles
- Durée conseillée : 1 heure 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 7 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : résoudre les équations y′ = f, y′ = ay et y′ = ay + b
- Raisonner : justifier qu’une fonction est solution et se ramener à l’équation homogène
- Modéliser : traduire la loi de refroidissement de Newton par une équation différentielle
- Représenter : lire et contrôler un résultat sur la courbe d’une solution
Exercice 1 : Premières équations différentielles (3 points)
Calculatrice autorisée.
Dans cet exercice, \(y\) désigne une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Détermine toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \(y^{\prime} = 3x^2 – e^{2x}\). (1 point)
- Détermine toutes les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle \(y^{\prime} = -2y\). (1 point)
- Détermine la solution \(f\) de l’équation \(y^{\prime} = 0{,}5y\) telle que \(f(0) = 3\). (1 point)
Exercice 2 : Résoudre y’ = ay + b (5 points)
On considère l’équation différentielle \((E) : y^{\prime} = -3y + 6\).
- Détermine la fonction constante solution de \((E)\). (1 point)
- Donne toutes les solutions de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
- Détermine la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0) = 5\). (1 point)
- Étudie les variations de \(f\) sur \([0 \,;\, +\infty[\) et calcule sa limite en \(+\infty\). (1,5 point)
Exercice 3 : Une équation avec second membre (5 points)
On considère l’équation différentielle \((E) : y^{\prime} = -y + 2x + 3\), et l’équation homogène associée \((E_0) : y^{\prime} = -y\).
- Détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que la fonction affine \(p : x \mapsto ax + b\) soit solution de \((E)\). (1,5 point)
- Démontre qu’une fonction \(y\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) est solution de \((E)\) si et seulement si la fonction \(y – p\) est solution de \((E_0)\). (1,5 point)
- Déduis-en toutes les solutions de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
- Détermine la solution \(g\) de \((E)\) telle que \(g(0) = 0\). (1 point)
Exercice 4 : Le refroidissement d’un café (7 points)
Inès se sert un café à \(80\) °C dans une pièce où la température est constante et égale à \(20\) °C. On note \(\theta(t)\) la température du café, en °C, \(t\) minutes après qu’il a été servi. D’après la loi de refroidissement de Newton, la fonction \(\theta\) vérifie, pour tout \(t \geq\, 0\) :
\[\theta^{\prime}(t) = -0{,}1(\theta(t) – 20) \text{ et } \theta(0) = 80.\]
La courbe représentative de \(\theta\) est tracée ci-dessous.
- Montre que \(\theta\) est solution de l’équation différentielle \(y^{\prime} = -0{,}1y + 2\). (0,5 point)
- Résous cette équation, puis montre que, pour tout \(t \geq\, 0\), \(\theta(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20\). (2 points)
- Calcule la température du café 5 minutes après avoir été servi, arrondie au dixième de degré. (1 point)
- Calcule la limite de \(\theta(t)\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\) et interprète-la. (1 point)
- Inès aime boire son café à 50 °C. Au bout de combien de temps, à la seconde près, le café atteint-il cette température ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée. (1,5 point)
- Contrôle le résultat de la question e) sur la courbe, puis lis graphiquement au bout de combien de minutes le café descend à 30 °C. Vérifie cette lecture par le calcul. (1 point)
Réviser avant le contrôle : équations différentielles y’ = ay + b
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les équations différentielles » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les équations différentielles.
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