Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : équations différentielles y’ = ay + b.
Cette correction applique toujours le même plan : on écrit la forme générale des solutions, puis on utilise la condition initiale pour trouver la constante. Pour \(y^{\prime} = ay + b\), la solution constante \(-\dfrac{b}{a}\) s’obtient en annulant la dérivée.
Avec un second membre non constant, la rédaction montre pas à pas pourquoi \(y\) est solution si et seulement si \(y – p\) est solution de l’équation homogène. Dans le problème du café, chaque résultat est traduit en phrase : la limite donne la température de la pièce et le logarithme fournit la durée cherchée, contrôlée ensuite sur la courbe.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : équations différentielles y’ = ay + b.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Premières équations différentielles | 3 points |
| Exercice 2 : Résoudre y’ = ay + b | 5 points |
| Exercice 3 : Une équation avec second membre | 5 points |
| Exercice 4 : Le refroidissement d’un café | 7 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Premières équations différentielles (3 points)
- D’abord, les solutions de \(y^{\prime} = f\) sont les primitives de \(f\). Or une primitive de \(3x^2\) est \(x^3\) et une primitive de \(e^{2x}\) est \(\dfrac{1}{2}e^{2x}\).
Les solutions sont donc les fonctions \(x \mapsto x^3 – \dfrac{1}{2}e^{2x} + C\), où \(C\) est un réel quelconque. - Les solutions de \(y^{\prime} = ay\) sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{ax}\), \(C\) réel. Ici \(a = -2\).
Ainsi, les solutions sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{-2x}\), \(C \in \mathbb{R}\). - Les solutions de \(y^{\prime} = 0{,}5y\) sont \(x \mapsto Ce^{0{,}5x}\). Ensuite, la condition \(f(0) = 3\) donne \(Ce^0 = 3\), donc \(C = 3\).
\(f(x) = 3e^{0{,}5x}\).
Barème : a) 1 point (0,5 pour chaque primitive, la constante \(C\) est exigée) ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour la forme générale, 0,5 point pour la constante.
Exercice 2 : Résoudre y’ = ay + b (5 points)
- Une fonction constante \(y = k\) a une dérivée nulle. Elle est donc solution si et seulement si \(0 = -3k + 6\), c’est-à-dire \(k = 2\).
Ainsi, la fonction constante égale à 2 est solution de \((E)\). - Les solutions de \(y^{\prime} = ay + b\) (avec \(a \neq 0\)) sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}\). Ici \(a = -3\), \(b = 6\) et \(-\dfrac{b}{a} = 2\).
Par conséquent, les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{-3x} + 2\), \(C \in \mathbb{R}\). - \(f(0) = 5 \iff Ce^0 + 2 = 5 \iff C = 3\).
\(f(x) = 3e^{-3x} + 2\). - \(f^{\prime}(x) = 3 \times (-3)e^{-3x} = -9e^{-3x}\). Or une exponentielle est strictement positive, donc \(f^{\prime}(x) < 0\) : \(f\) est strictement décroissante sur \([0 \,;\, +\infty[\).
De plus, \(\lim_{x \to +\infty} (-3x) = -\infty\) et \(\lim_{X \to -\infty} e^X = 0\), donc \(\lim_{x \to +\infty} e^{-3x} = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\). Ainsi, la courbe de \(f\) admet la droite d’équation \(y = 2\) pour asymptote en \(+\infty\).
Erreur fréquente : écrire la solution constante \(\dfrac{b}{a}\) au lieu de \(-\dfrac{b}{a}\). En effet, on trouverait ici \(-2\), et \(y = -2\) ne vérifie pas \(0 = -3y + 6\).
Barème : a) 1 point ; b) 1,5 point (1 pour la forme générale, 0,5 pour la constante 2) ; c) 1 point ; d) 1,5 point (0,5 pour la dérivée, 0,5 pour le sens de variation, 0,5 pour la limite justifiée).
Exercice 3 : Une équation avec second membre (5 points)
- \(p(x) = ax + b\) donc \(p^{\prime}(x) = a\). Ainsi, \(p\) est solution de \((E)\) si et seulement si, pour tout réel \(x\) :
\(a = -(ax + b) + 2x + 3\), c’est-à-dire \(a = (2 – a)x + 3 – b\).
Par identification des coefficients : \(2 – a = 0\) et \(3 – b = a\), donc \(a = 2\) et \(b = 1\).
\(p(x) = 2x + 1\). Vérification : \(p^{\prime}(x) = 2\) et \(-(2x + 1) + 2x + 3 = 2\). - Comme \(p\) est solution de \((E)\), pour tout réel \(x\) : \(p^{\prime}(x) = -p(x) + 2x + 3\).
Alors \(y\) est solution de \((E)\)
\(\iff y^{\prime}(x) = -y(x) + 2x + 3\) pour tout \(x\)
\(\iff y^{\prime}(x) – p^{\prime}(x) = -y(x) + 2x + 3 – (-p(x) + 2x + 3)\) pour tout \(x\)
\(\iff (y – p)^{\prime}(x) = -(y – p)(x)\) pour tout \(x\).
Donc \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(y – p\) est solution de \((E_0)\). - Les solutions de \((E_0)\) sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{-x}\), \(C\) réel. Donc, d’après b), \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(y(x) – (2x + 1) = Ce^{-x}\).
Ainsi, les solutions de \((E)\) sont les fonctions \(x \mapsto Ce^{-x} + 2x + 1\), \(C \in \mathbb{R}\). - \(g(0) = 0 \iff Ce^0 + 0 + 1 = 0 \iff C = -1\).
\(g(x) = -e^{-x} + 2x + 1\).
Barème : a) 1,5 point (0,5 pour l’égalité à identifier, 0,5 pour les deux coefficients, 0,5 pour la conclusion) ; b) 1,5 point (0,5 pour l’utilisation de \(p\) solution, 1 pour l’équivalence rédigée) ; c) 1 point ; d) 1 point.
Exercice 4 : Le refroidissement d’un café (7 points)
- Pour tout \(t \geq\, 0\) : \(\theta^{\prime}(t) = -0{,}1\theta(t) + 0{,}1 \times 20 = -0{,}1\theta(t) + 2\).
\(\theta\) est donc solution de \(y^{\prime} = -0{,}1y + 2\). - Ici \(a = -0{,}1\) et \(b = 2\), donc \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-0{,}1} = 20\). Les solutions sont alors les fonctions \(t \mapsto Ce^{-0{,}1t} + 20\), \(C\) réel.
Ensuite, \(\theta(0) = 80 \iff C + 20 = 80 \iff C = 60\).
Pour tout \(t \geq\, 0\), \(\theta(t) = 60e^{-0{,}1t} + 20\). - \(\theta(5) = 60e^{-0{,}5} + 20 \approx 60 \times 0{,}60653 + 20 \approx 56{,}39\).
Ainsi, au bout de 5 minutes, le café est à environ 56,4 °C.
Questions d à f : limite et temps de refroidissement
- \(\lim_{t \to +\infty} (-0{,}1t) = -\infty\) donc \(\lim_{t \to +\infty} e^{-0{,}1t} = 0\) et \(\lim_{t \to +\infty} \theta(t) = 20\).
Donc, à long terme, la température du café se rapproche de celle de la pièce, 20 °C. - D’abord, \(\theta(t) = 50 \iff 60e^{-0{,}1t} + 20 = 50 \iff e^{-0{,}1t} = \dfrac{30}{60} = \dfrac{1}{2}\).
Ensuite, la fonction \(\ln\) est définie et strictement croissante sur \(]0 \,;\, +\infty[\) : \(-0{,}1t = \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2\), donc \(t = 10\ln 2\).
Enfin, \(10\ln 2 \approx 6{,}9315\) min, et \(0{,}9315 \times 60 \approx 55{,}9\) s.
Le café atteint donc 50 °C au bout de \(10\ln 2\) minutes, soit environ 6 min 56 s. - Sur la courbe, l’ordonnée 50 correspond à une abscisse d’environ 7 min. C’est donc cohérent avec e).
De même, l’ordonnée 30 correspond graphiquement à une abscisse d’environ 18 min.
Calcul : \(60e^{-0{,}1t} + 20 = 30 \iff e^{-0{,}1t} = \dfrac{1}{6} \iff -0{,}1t = -\ln 6 \iff t = 10\ln 6 \approx 17{,}9\).
Ainsi, le café descend à 30 °C au bout d’environ 18 minutes (\(10\ln 6 \approx 17{,}9\) min).
Erreur fréquente : résoudre \(\theta^{\prime} = -0{,}1\theta\) en oubliant le terme constant 2. On obtiendrait alors \(\theta(t) = 80e^{-0{,}1t}\), qui tend vers 0 °C, ce qui est absurde dans une pièce à 20 °C.
Barème : a) 0,5 point ; b) 2 points (0,5 pour la solution constante 20, 0,5 pour la forme générale, 0,5 pour la condition initiale, 0,5 pour la conclusion) ; c) 1 point (0,5 pour le calcul, 0,5 pour l’arrondi avec l’unité) ; d) 1 point (0,5 pour la limite, 0,5 pour l’interprétation) ; e) 1,5 point (0,5 pour l’équation \(e^{-0{,}1t} = \dfrac{1}{2}\), 0,5 pour la valeur exacte, 0,5 pour la conversion en minutes et secondes) ; f) 1 point (0,5 pour les lectures, 0,5 pour le calcul).
Revenir à l’énoncé du contrôle
Après le corrigé du contrôle : équations différentielles y’ = ay + b
Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Les équations différentielles » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les équations différentielles.
Retrouve tous les contrôles de maths en Terminale classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.
