Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : primitives de fonctions usuelles.
Dans cette correction, chaque primitive est obtenue de la même façon : on reconnaît la forme de la fonction, on ajuste le coefficient qui manque pour faire apparaître \(u^{\prime}\), puis on écrit le résultat. Tu verras aussi comment la constante se détermine grâce à la condition imposée.
Pour les fonctions du type \((ax+b)e^x\), la méthode par identification est détaillée pas à pas. Le problème du drone montre qu’une primitive de la vitesse donne la position, et que la limite a un sens concret. Garde le réflexe de dériver ta réponse : c’est la meilleure vérification possible.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : primitives de fonctions usuelles.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Vérifier une primitive | 3 points |
| Exercice 2 : Primitives de fonctions usuelles | 6 points |
| Exercice 3 : Primitive vérifiant une condition | 3 points |
| Exercice 4 : Une primitive de x e^x | 4 points |
| Exercice 5 : L’altitude d’un drone | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Vérifier une primitive (3 points)
Pour montrer que \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\), on vérifie que \(F\) est dérivable sur \(I\) et que \(F^{\prime}(x) = f(x)\) pour tout \(x\) de \(I\).
- \(F\) est dérivable sur \(]0 \,;\, +\infty[\). La dérivée de \(x\ln x\) (produit) est \(1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1\), donc :
\(F^{\prime}(x) = \ln x + 1 – 1 = \ln x\).
\(F\) est une primitive de \(\ln\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\). - \(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, par la dérivée d’un produit :
\(G^{\prime}(x) = 2x e^x + (x^2 + 1)e^x = (x^2 + 2x + 1)e^x = (x + 1)^2 e^x = g(x)\).
\(G\) est une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\). - Pour tout réel \(x\), \(1 + e^x > 0\), donc \(H = \ln u\) avec \(u(x) = 1 + e^x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(H^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) :
\(H^{\prime}(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x} = h(x)\). \(H\) est une primitive de \(h\).
Les primitives de \(h\) sont les fonctions \(H + C\), \(C\) réel : par exemple \(x \mapsto \ln(1 + e^x) + 5\).
Barème : a) 1 point (0,5 pour la dérivée de \(x\ln x\), 0,5 pour la conclusion) ; b) 1 point (0,5 pour la dérivée du produit, 0,5 pour la factorisation \((x + 1)^2\)) ; c) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour une autre primitive.
Exercice 2 : Primitives de fonctions usuelles (6 points)
- Une primitive de \(x^2\) est \(\dfrac{x^3}{3}\), de \(x\) est \(\dfrac{x^2}{2}\), et de \(-\dfrac{1}{x^2}\) est \(\dfrac{1}{x}\). Donc :
\(F_1(x) = x^3 – 2x^2 + 5x + \dfrac{2}{x}\). - Avec \(u(x) = x^2 + x + 3\), \(u^{\prime}(x) = 2x + 1\) : \(f_2 = u^{\prime}u^4\), dont une primitive est \(\dfrac{u^5}{5}\).
\(F_2(x) = \dfrac{(x^2 + x + 3)^5}{5}\). - Avec \(u(x) = x^2 + 4 > 0\), \(u^{\prime}(x) = 2x\) : \(f_3(x) = 3 \times \dfrac{2x}{x^2 + 4} = 3\dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)}\), dont une primitive est \(3\ln u\).
\(F_3(x) = 3\ln(x^2 + 4)\). - Une primitive de \(e^{3x – 1}\) est \(\dfrac{1}{3}e^{3x – 1}\). Avec \(u(x) = x^2\), \(u^{\prime}(x) = 2x\) : \(x e^{x^2} = \dfrac{1}{2}u^{\prime}(x)e^{u(x)}\), de primitive \(\dfrac{1}{2}e^{x^2}\).
\(F_4(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x – 1} + \dfrac{1}{2}e^{x^2}\). - Avec \(u(x) = 2x + 5 > 0\) sur \(]-\dfrac{5}{2} \,;\, +\infty[\), \(u^{\prime}(x) = 2\) : \(f_5(x) = \dfrac{u^{\prime}(x)}{2\sqrt{u(x)}}\), qui est la dérivée de \(\sqrt{u}\).
\(F_5(x) = \sqrt{2x + 5}\). - Une primitive de \(\cos(ax + b)\) est \(\dfrac{1}{a}\sin(ax + b)\) ; une primitive de \(-\sin x\) est \(\cos x\).
\(F_6(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x + \dfrac{\pi}{3}) + 3\cos x\).
Erreur fréquente : oublier le coefficient correcteur, par exemple écrire \(e^{3x – 1}\) comme primitive de \(e^{3x – 1}\) : en dérivant, on obtient \(3e^{3x – 1}\), d’où le facteur \(\dfrac{1}{3}\).
Barème : 1 point par primitive (0,5 pour la forme usuelle reconnue, 0,5 pour le bon coefficient) ; toute réponse juste vérifiée par dérivation reçoit la totalité des points.
Exercice 3 : Primitive vérifiant une condition (3 points)
- Avec \(u(x) = x^2 + 1\), \(u^{\prime}(x) = 2x\) : \(f(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)^2}\). Une primitive de \(\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\) est \(-\dfrac{1}{u}\).
Les primitives de \(f\) sont donc \(F(x) = -\dfrac{1}{2(x^2 + 1)} + C\), \(C\) réel.
\(F(0) = 1 \iff -\dfrac{1}{2} + C = 1 \iff C = \dfrac{3}{2}\).
\(F(x) = \dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{2(x^2 + 1)}\). - Sur \(]0 \,;\, +\infty[\), les primitives de \(g\) sont \(G(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} – \ln x + C\), \(C\) réel.
\(G(1) = 0 \iff \dfrac{1}{2}e^2 – \ln 1 + C = 0 \iff C = -\dfrac{e^2}{2}\), car \(\ln 1 = 0\).
\(G(x) = \dfrac{1}{2}e^{2x} – \ln x – \dfrac{e^2}{2}\).
Barème : a) 1,5 point (0,5 pour la forme \(\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\), 0,5 pour l’expression générale, 0,5 pour la constante) ; b) 1,5 point (0,5 pour chaque primitive des deux termes, 0,5 pour la constante).
Exercice 4 : Une primitive de x e^x (4 points)
- \(\varphi\) est un produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\) :
\(\varphi^{\prime}(x) = a e^x + (ax + b)e^x = (ax + a + b)e^x\). C’est le résultat demandé. - On veut \(\varphi^{\prime}(x) = x e^x\) pour tout \(x\), c’est-à-dire \(ax + a + b = x\). Par identification : \(a = 1\) et \(a + b = 0\), donc \(b = -1\).
Une primitive de \(x \mapsto x e^x\) est \(x \mapsto (x – 1)e^x\).
Vérification : \(((x – 1)e^x)^{\prime} = e^x + (x – 1)e^x = x e^x\). - On veut \(ax + a + b = 2x + 5\) : \(a = 2\) et \(a + b = 5\), donc \(b = 3\).
Une primitive est \(x \mapsto (2x + 3)e^x\). - Soit \(\psi(x) = (ax + b)e^{-x}\). \(\psi^{\prime}(x) = a e^{-x} – (ax + b)e^{-x} = (-ax + a – b)e^{-x}\).
On veut \(-ax + a – b = x + 1\) : \(-a = 1\) donc \(a = -1\), et \(a – b = 1\) donc \(b = a – 1 = -2\).
Une primitive est \(x \mapsto (-x – 2)e^{-x}\).
Vérification : \(-e^{-x} – (-x – 2)e^{-x} = (-1 + x + 2)e^{-x} = (x + 1)e^{-x}\).
Erreur fréquente : dans d), oublier que la dérivée de \(e^{-x}\) est \(-e^{-x}\), ce qui change tous les signes.
Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour l’identification, 0,5 point pour la primitive ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour la dérivée de \(\psi\), 0,5 point pour les coefficients.
Exercice 5 : L’altitude d’un drone (4 points)
- Une primitive de \(e^{-0{,}5t}\) est \(\dfrac{1}{-0{,}5}e^{-0{,}5t} = -2e^{-0{,}5t}\). Donc une primitive de \(-4e^{-0{,}5t}\) est \(8e^{-0{,}5t}\), et :
\(z(t) = 4t + 8e^{-0{,}5t} + C\), \(C\) réel.
\(z(0) = 0 \iff 0 + 8e^0 + C = 0 \iff C = -8\).
\(z(t) = 4t + 8e^{-0{,}5t} – 8\). - \(z(2) = 4 \times 2 + 8e^{-1} – 8 = 8e^{-1}\).
Au bout de 2 secondes, le drone est à \(8e^{-1} = \dfrac{8}{e}\) mètres d’altitude (environ 2,9 m). - Pour \(t \geq\, 0\), \(-0{,}5t \leq\, 0\) donc \(e^{-0{,}5t} \leq\, 1\) et \(v(t) = 4 – 4e^{-0{,}5t} \geq\, 0\). Comme \(z^{\prime} = v\), \(z\) est croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\) : l’altitude augmente.
- Sur la figure, la courbe se rapproche de la droite d’équation \(y = 4\).
\(\lim_{t \to +\infty} (-0{,}5t) = -\infty\) et \(\lim_{X \to -\infty} e^X = 0\), donc par composée \(\lim_{t \to +\infty} e^{-0{,}5t} = 0\) et \(\lim_{t \to +\infty} v(t) = 4\).
La vitesse du drone se stabilise vers 4 m/s : c’est sa vitesse limite de montée.
Barème : a) 1,5 point (0,5 pour la primitive de \(e^{-0{,}5t}\), 0,5 pour l’expression générale, 0,5 pour la constante) ; b) 1 point (0,5 pour le calcul, 0,5 pour la valeur exacte avec l’unité) ; c) 0,5 point ; d) 1 point (0,5 pour la limite justifiée, 0,5 pour l’interprétation).
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Après le corrigé du contrôle : primitives de fonctions usuelles
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