Brevet maths 2022 Nlle-Calédonie : sujet et corrigé

Le sujet de mathématiques du brevet 2022 de Nouvelle-Calédonie, session du 13 décembre 2022, est proposé ici en entier avec son corrigé détaillé en bas de page. Sept exercices courts se succèdent : trois affirmations à vérifier (vitesse du son, développement, nombres premiers), un QCM mêlant tableur, moyenne, géographie terrestre et volume d’une boule, puis une étude statistique de la vitesse du vent sur une plage calédonienne. On construit ensuite un triangle pour appliquer la réciproque de Pythagore, la trigonométrie et Thalès, on compare trois tarifs d’un club de planche à voile avec des fonctions, on dénombre les issues de deux lancers d’un dé à quatre faces et on termine par un drapeau répété huit fois sous Scratch. L’annexe à rendre est intégrée aux exercices concernés.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le brevet de maths 2027 : tous les sujets récents y sont classés par session.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2022
Nouvelle-Calédonie — 13 décembre 2022
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 : Vrai ou Faux (18 points)

Pour chacune des trois affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

Affirmation n° 1 : La vitesse d’un avion qui vole à 1 200 km/h est supérieure à la vitesse du son qui est \(340{,}29\) m/s.

Affirmation n° 2 : Pour tout nombre \(x\), on a \(4(4x – 4) + 16 = 16x^2\).

Affirmation n° 3 : \(33 \times 13\) est la décomposition en produit de facteurs premiers de 429.

Exercice 2 : QCM (12 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Sur la copie, indiquer le numéro de la question et la réponse A, B ou C choisie.

Aucune justification n’est demandée.

Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.

Questions

Réponse A

Réponse B

Réponse C

Dans un tableur, quelle formule faut-il saisir dans la cellule D1 pour afficher la somme des nombres des cellules A1, B1 et C1 ?

	A	B	C	D
1	3	5	4

=somme(A1 : C1)

=(A1 : C1)

somme(A1*C1)

Soit la série de nombres : 15 ; 10 ; 13 ; 9 ; 10 ; \(x\).
La moyenne de la série est 11 pour \(x\) égal à …

Sur la Terre, l’équateur est :

un méridien

un demi-cercle

un parallèle

Le volume exact, en cm³, d’une boule de 6 cm de diamètre est :
On rappelle le volume \(V\) d’une boule de rayon \(R\) : \(V = \dfrac{4\pi R^3}{3}\)

\(36\pi\)

\(113{,}0973355\)

\(288\pi\)

Exercice 3 : Le vent (12 points)

On a relevé la vitesse du vent à 13 heures du 1er au 15 novembre sur une plage de Nouvelle-Calédonie.

Les vitesses approchées sont données, en nœuds, dans le tableau ci-dessous :

Jours du 1er au 15 novembre	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Vitesse du vent en nœuds	10	15	20	20	15	10	10	20	15	25	25	25	20	15	15

1. À partir des données ci-dessus, compléter le tableau figurant sur l’annexe.

Tableau à compléter (annexe à rendre avec la copie) :

Vitesse du vent (en nœuds)	10	15	20	25
Nombre de jours	3			3
Fréquence en % arrondie à l’unité		33

2. Calculer le pourcentage de jours où la vitesse de vent est supérieure ou égale à 15 nœuds sur la plage, entre le 1er et le 15 novembre.

3. Déterminer la vitesse médiane du vent sur la plage durant cette période.

Exercice 4 : Construction (20 points)

Un triangle MWB est tel que MB = 7,5 cm ; WB = 4,5 cm et MW = 6 cm.

1. Sur la copie, construire le triangle MWB.

2. Montrer que le triangle MWB est rectangle en W.

Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

3. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{BMW}\). Arrondir le résultat au degré près.

4. a. Placer le point F sur le segment [WB] tel que WF = 3 cm.

b. Tracer la parallèle à (MB) passant par F. Elle coupe (MW) en E. Placer le point E.

c. Calculer WE.

Rédiger la réponse en faisant apparaître les différentes étapes.

5. a. Placer le point T sur la demi-droite [MW) de la figure précédente tel que MT = 10 cm.

b. Tracer le segment [TB].

6. Calculer la longueur TE.

Faire apparaître les différentes étapes du calcul.

Exercice 5 : Le club (20 points)

Juliette désire apprendre la planche à voile, elle prend des renseignements auprès d’un club qui propose trois tarifs mensuels.

Le tarif découverte à 1 600 F par heure de cours.
Le tarif personnalisé qui comprend une carte d’adhérent à 4 800 F et un prix fixe de 600 F par heure de cours.
Le tarif renforcé à 9 600 F pour un nombre illimité d’heures de cours.

1. Calculer le prix à payer pour 4 heures de cours avec le tarif découverte.

2. a. Montrer que 4 heures de cours avec le tarif personnalisé coûtent 7 200 F.

b. Calculer le prix à payer pour 10 heures de cours avec le tarif personnalisé.

On désigne par \(x\) le nombre d’heures de cours. On note \(P(x)\) le prix à payer en francs avec le tarif personnalisé.

c. Exprimer \(P(x)\) en fonction de \(x\).

Les fonctions donnant les prix à payer avec les tarifs découverte et renforcé sont représentées sur l’annexe.

3. a. Pour combien d’heures de cours ces deux tarifs sont-ils égaux ?

b. Tracer la représentation graphique de la fonction \(P\) définie par \(P(x) = 600x + 4800\) sur l’annexe.

c. Quel est le tarif le plus économique pour Juliette si elle décide de prendre 7 heures de cours ? Justifier la réponse.

4. Pour combien d’heures de cours Juliette paie-t-elle le même prix avec le tarif personnalisé et le tarif renforcé ?

Exercice 6 : Les dés (13 points)

Gabriel lance deux fois de suite un dé équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4 et il relève le numéro qui figure sur la face cachée du dé.

Si Gabriel obtient 2 au premier lancer puis 4 au second, il note (2 ; 4).

1. Gabriel a noté (3 ; 2).

a. Quel numéro a-t-il obtenu au premier lancer ?

b. Quel numéro a-t-il obtenu au second lancer ?

2. Quelles sont les 16 issues possibles de ce jeu ?

3. Que dire de l’évènement \(A\) : « Obtenir 1 en additionnant les deux numéros obtenus » ?

L’évènement \(B\) : « Obtenir 7 en additionnant les deux numéros obtenus » peut être réalisé avec l’issue (3 ; 4) ou avec l’issue (4 ; 3).

4. Donner les quatre issues possibles qui réalisent l’évènement \(C\) : « Obtenir 5 en additionnant les deux numéros obtenus ».

5. Quelle est la probabilité que l’évènement \(C\) se réalise ?

Exercice 7 : Le drapeau (11 points)

1. Dessiner sur la copie le motif correspondant au script Scratch ci-contre, le stylo étant en position d’écriture.

On prendra 1 cm pour 10 pas.

2. Sur l’annexe, compléter les informations manquantes du script n° 2 qui permet d’obtenir la figure ci-dessous.

Script n° 2 (annexe à rendre avec la copie) :

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Affirmation n° 1

Pour comparer, on exprime les deux vitesses dans la même unité. Une heure compte 3 600 secondes et un kilomètre 1 000 mètres, donc :

\[ 340{,}29\ \text{m/s} = 340{,}29 \times 3600\ \text{m/h} = 1\,225\,044\ \text{m/h} \approx 1\,225\ \text{km/h} \]

(on peut aussi convertir la vitesse de l’avion : \(\dfrac{1\,200\,000}{3600} \approx 333{,}3\) m/s.)

Comme \(1\,200 \lt 1\,225\), l’avion vole moins vite que le son : l’affirmation n° 1 est fausse.

Affirmation n° 2

On développe le membre de gauche avec la distributivité : \(4(4x – 4) + 16 = 16x – 16 + 16 = 16x\).

On obtient \(16x\) et non \(16x^2\). Par exemple pour \(x = 2\) : le membre de gauche vaut \(4 \times 4 + 16 = 32\) alors que \(16 \times 2^2 = 64\). L’affirmation n° 2 est fausse.

Affirmation n° 3

Le produit \(33 \times 13\) vaut bien 429, mais 33 n’est pas un nombre premier puisque \(33 = 3 \times 11\). Une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers ; celle de 429 est \(429 = 3 \times 11 \times 13\).

L’affirmation n° 3 est fausse.

Exercice 2 :

Question 1 : réponse A

Une formule de tableur commence par le signe « = » et la fonction SOMME appliquée à la plage A1:C1 additionne les cellules A1, B1 et C1 (ici \(3 + 5 + 4 = 12\)). La réponse B n’utilise aucune fonction et la réponse C ne commence pas par « = » et multiplie au lieu d’additionner. Réponse A : =somme(A1 : C1).

Question 2 : réponse A

La série compte 6 nombres. Pour que la moyenne soit 11, leur somme doit valoir \(6 \times 11 = 66\). Or \(15 + 10 + 13 + 9 + 10 = 57\), donc \(x = 66 – 57 = 9\). Réponse A : 9.

Question 3 : réponse C

Les méridiens sont des demi-cercles qui relient les deux pôles ; les parallèles sont des cercles perpendiculaires à l’axe des pôles. L’équateur est le parallèle de latitude \(0^\circ\), un cercle complet. Réponse C : un parallèle.

Question 4 : réponse A

Le diamètre vaut 6 cm, donc le rayon vaut \(R = 3\) cm.

\[ V = \dfrac{4 \times \pi \times 3^3}{3} = \dfrac{4 \times 27 \times \pi}{3} = 36\pi\ \text{cm}^3 \]

La réponse B est une valeur approchée (\(36\pi \approx 113{,}097\)), pas la valeur exacte demandée. Réponse A : \(36\pi\).

Exercice 3 :

1. Tableau de l’annexe

On compte les jours pour chaque vitesse : 10 nœuds les jours 1, 6 et 7 (3 jours) ; 15 nœuds les jours 2, 5, 9, 14 et 15 (5 jours) ; 20 nœuds les jours 3, 4, 8 et 13 (4 jours) ; 25 nœuds les jours 10, 11 et 12 (3 jours). On vérifie que \(3 + 5 + 4 + 3 = 15\).

La fréquence en pourcentage est \(\dfrac{\text{nombre de jours}}{15} \times 100\) : \(\dfrac{3}{15} \times 100 = 20\) ; \(\dfrac{5}{15} \times 100 \approx 33{,}3\) ; \(\dfrac{4}{15} \times 100 \approx 26{,}7\).

Vitesse du vent (en nœuds)	10	15	20	25
Nombre de jours	3	5	4	3
Fréquence en % arrondie à l’unité	20	33	27	20

2. Jours à 15 nœuds ou plus

Seuls les 3 jours à 10 nœuds sont en dessous de 15 nœuds, donc \(15 – 3 = 12\) jours (5 + 4 + 3) atteignent au moins 15 nœuds.

\[ \dfrac{12}{15} \times 100 = 80 \]

Le vent a soufflé à 15 nœuds ou plus 80 % des jours. Attention : additionner les fréquences arrondies du tableau (33 + 27 + 20) donne ici aussi 80, mais ce n’est qu’une coïncidence ; le calcul fiable part des effectifs.

3. Vitesse médiane

On range les 15 vitesses dans l’ordre croissant : 10 ; 10 ; 10 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 15 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 25 ; 25 ; 25.

L’effectif 15 est impair : la médiane est la 8e valeur (7 valeurs avant, 7 après). Les valeurs de rang 4 à 8 valent 15, donc la 8e valeur est 15.

La vitesse médiane du vent est de 15 nœuds. Au moins la moitié des jours, le vent a soufflé à 15 nœuds ou moins, et au moins la moitié des jours à 15 nœuds ou plus.

Exercice 4 :

1. Construction du triangle MWB

On trace le segment [MB] de 7,5 cm. Au compas, on trace un arc de centre M et de rayon 6 cm, puis un arc de centre B et de rayon 4,5 cm. Le point W est l’intersection de ces deux arcs. La figure ci-dessous montre aussi les constructions des questions 4 et 5 (elle n’est pas en vraie grandeur).

2. Le triangle MWB est rectangle en W

Le plus long côté est [MB]. On calcule séparément :

\(MB^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25\) et \(MW^2 + WB^2 = 6^2 + 4{,}5^2 = 36 + 20{,}25 = 56{,}25\).

On constate que \(MB^2 = MW^2 + WB^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MWB est rectangle en W (le sommet opposé au plus grand côté).

3. Mesure de l’angle \(\widehat{BMW}\)

Dans le triangle MWB rectangle en W, pour l’angle \(\widehat{BMW}\) : [MW] est le côté adjacent et [MB] l’hypoténuse.

\[ \cos \widehat{BMW} = \dfrac{MW}{MB} = \dfrac{6}{7{,}5} = 0{,}8 \]

À la calculatrice : \(\widehat{BMW} = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ\).

Au degré près, \(\widehat{BMW} \approx 37^\circ\).

4. a. et b. Placement de F et de E

On place F sur [WB] à 3 cm de W (voir la figure). Pour tracer la parallèle à (MB) passant par F, on pose un côté de l’équerre le long de (MB), on appuie une règle contre l’autre côté, puis on fait glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à F. Cette parallèle coupe [MW] en E.

4. c. Calcul de WE

Les points W, E, M sont alignés, ainsi que W, F, B, et les droites (EF) et (MB) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles WEF et WMB :

\[ \dfrac{WE}{WM} = \dfrac{WF}{WB} = \dfrac{EF}{MB} \]

Avec les longueurs connues : \(\dfrac{WE}{6} = \dfrac{3}{4{,}5}\), donc \(WE = \dfrac{6 \times 3}{4{,}5} = \dfrac{18}{4{,}5} = 4\).

WE = 4 cm.

5. Placement de T et tracé de [TB]

La demi-droite [MW) part de M et passe par W ; comme MT = 10 cm est plus grand que MW = 6 cm, le point T se trouve au-delà de W. On le place à 10 cm de M (à 4 cm de W), puis on trace le segment [TB] (voir la figure).

6. Longueur TE

Les points M, E, W, T sont alignés dans cet ordre sur la demi-droite [MW).

W est entre M et T, donc \(WT = MT – MW = 10 – 6 = 4\) cm.

E est entre M et W, de l’autre côté de W par rapport à T, donc \(TE = TW + WE = 4 + 4 = 8\) cm.

TE = 8 cm.

Exercice 5 :

1. Tarif découverte pour 4 heures

\(4 \times 1\,600 = 6\,400\). 4 heures au tarif découverte coûtent 6 400 F.

2. a. Tarif personnalisé pour 4 heures

On paie la carte d’adhérent puis 600 F par heure : \(4\,800 + 4 \times 600 = 4\,800 + 2\,400 = 7\,200\). On retrouve bien 7 200 F.

2. b. Tarif personnalisé pour 10 heures

\(4\,800 + 10 \times 600 = 4\,800 + 6\,000 = 10\,800\). 10 heures au tarif personnalisé coûtent 10 800 F.

2. c. Expression de \(P(x)\)

Pour \(x\) heures, on paie 4 800 F de carte et \(600x\) F de cours : \(P(x) = 600x + 4\,800\). C’est une fonction affine.

3. a. Égalité des tarifs découverte et renforcé

Sur l’annexe, la droite du tarif découverte coupe la droite horizontale du tarif renforcé au point d’abscisse 6.

On le confirme par le calcul : \(1\,600x = 9\,600\) donne \(x = \dfrac{9\,600}{1\,600} = 6\).

Les tarifs découverte et renforcé sont égaux pour 6 heures de cours (ils coûtent alors 9 600 F).

3. b. Tracé de la droite de \(P\)

\(P\) est une fonction affine : sa représentation est une droite. On la trace à partir de deux points déjà calculés, par exemple \((4\ ;\ 7\,200)\) et \((10\ ;\ 10\,800)\) ; on peut contrôler avec \((0\ ;\ 4\,800)\) et \((8\ ;\ 9\,600)\).

3. c. Tarif le plus économique pour 7 heures

On calcule les trois prix :

tarif découverte : \(7 \times 1\,600 = 11\,200\) F ;
tarif personnalisé : \(P(7) = 600 \times 7 + 4\,800 = 9\,000\) F ;
tarif renforcé : 9 600 F.

Graphiquement, sur la verticale d’abscisse 7, la droite la plus basse est celle du tarif personnalisé. Pour 7 heures, le tarif personnalisé est le plus économique (9 000 F).

4. Égalité des tarifs personnalisé et renforcé

On résout \(600x + 4\,800 = 9\,600\), soit \(600x = 4\,800\), d’où \(x = \dfrac{4\,800}{600} = 8\).

Graphiquement, c’est l’abscisse du point où la droite de \(P\) coupe la droite du tarif renforcé. Pour 8 heures de cours, Juliette paie le même prix (9 600 F) avec ces deux tarifs.

Exercice 6 :

1. Lecture de la notation (3 ; 2)

Le premier nombre du couple correspond au premier lancer et le second au second lancer. a. Gabriel a obtenu 3 au premier lancer ; b. il a obtenu 2 au second lancer.

2. Les 16 issues

Chaque lancer offre 4 possibilités, soit \(4 \times 4 = 16\) couples :

1er lancer \ 2e lancer	1	2	3	4
1	(1 ; 1)	(1 ; 2)	(1 ; 3)	(1 ; 4)
2	(2 ; 1)	(2 ; 2)	(2 ; 3)	(2 ; 4)
3	(3 ; 1)	(3 ; 2)	(3 ; 3)	(3 ; 4)
4	(4 ; 1)	(4 ; 2)	(4 ; 3)	(4 ; 4)

3. L’évènement \(A\)

Chaque numéro vaut au moins 1, donc la somme des deux numéros vaut au moins \(1 + 1 = 2\). Aucune issue ne donne une somme égale à 1 : l’évènement \(A\) est impossible, sa probabilité est 0.

4. Les issues de l’évènement \(C\)

On cherche les couples dont la somme vaut 5 : (1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2) et (4 ; 1).

5. Probabilité de \(C\)

Le dé est équilibré, donc les 16 issues sont équiprobables. L’évènement \(C\) est réalisé par 4 issues :

\[ P(C) = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \]

La probabilité de l’évènement \(C\) est \(\dfrac{1}{4}\).

Exercice 7 :

1. Motif de base

Avec l’échelle 1 cm pour 10 pas, 60 pas font 6 cm et 40 pas font 4 cm. Supposons le lutin orienté vers la droite au départ.

« avancer de 60 » : on trace un segment horizontal de 6 cm vers la droite.
Premier tour de boucle : on prolonge ce segment de 4 cm (il mesure alors 10 cm en tout), puis on tourne de 90° vers la droite : le lutin regarde vers le bas.
Deuxième tour : on descend de 4 cm, puis on tourne vers la gauche de la feuille.
Troisième tour : on revient de 4 cm vers la gauche, puis on remonte.
Quatrième tour : on remonte de 4 cm et on retombe sur le point situé à 6 cm du départ ; le dernier quart de tour remet le lutin dans sa direction initiale.

Le motif est un drapeau : une hampe horizontale de 10 cm dont les 4 derniers centimètres forment le côté supérieur d’un carré de 4 cm de côté, situé sous la hampe (à droite du sens de déplacement, puisque le lutin tourne vers la droite).

2. Script n° 2 complété

La figure comporte 8 drapeaux régulièrement répartis autour du centre : il faut répéter le motif 8 fois et tourner à chaque fois de \(\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ\). Après un motif, le lutin s’est arrêté au pied du carré, à 6 cm du centre : il faut le ramener au centre \((0\ ;\ 0)\) avant de tourner.

quand le drapeau vert est cliqué
effacer tout
stylo en position d'écriture
aller à x: 0  y: 0
répéter 8 fois
    motif de base
    aller à x: 0  y: 0
    tourner ↻ de 45 degrés
    attendre 0,5 seconde

Valeurs à compléter : répéter 8 fois ; aller à x: 0 y: 0 ; tourner de 45 degrés.

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