Brevet maths 2022 Amérique du Sud : sujet et corrigé

Voici le sujet de mathématiques du brevet 2022 en Amérique du Sud, posé le 16 novembre 2022 (session de novembre), suivi de son corrigé détaillé sur cette même page. L’épreuve s’ouvre sur six affirmations à justifier : deux urnes à comparer, une médiane, une vitesse moyenne, une fonction affine face à une courbe, une identité remarquable et la diagonale d’un carré. On lit ensuite un diagramme sur la production photovoltaïque européenne et une feuille de tableur, puis on travaille dans un triangle rectangle avec un angle de 30° qui cache un triangle équilatéral. Un logo en rotation à programmer sous Scratch et la construction d’un carré potager en planches (budget, volume de terre) complètent le sujet. Chaque question est reprise pas à pas, avec les calculs et les propriétés utilisées.

Tous les sujets pour préparer le brevet 2027 de mathématiques sont regroupés, avec leurs corrigés, sur notre page de révision.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2022
Amérique du Sud — 16 novembre 2022
Mathématiques — Durée : 2 heures

Exercice 1 (25 points)

Voici six affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse.

On rappelle que chaque réponse doit être justifiée

1. Deux urnes opaques contiennent des boules de couleur, indiscernables au toucher.

Voici la composition de chaque urne :

Urne A : 20 boules dont 8 boules bleues
Urne B : 11 boules bleues et 14 boules vertes

Affirmation 1 : on a plus de chance de tirer au hasard une boule bleue dans l’urne B que dans l’urne A.

2. Voici une série statistique : 14 ; 12 ; 3 ; 14 ; 7 ; 11 ; 7 ; 12 ; 14.

Affirmation 2 : la médiane de cette série statistique est 11.

3. Lors d’une course à pied, un coureur a parcouru 36 km en 3 h 20.

Affirmation 3 : sa vitesse moyenne est de \(11{,}25\) km/h.

4. On considère deux fonctions \(f\) et \(g\).

La fonction \(f\) est définie par : \(f(x) = -4x – 5\).

Voici la représentation graphique de la fonction \(g\) :

Affirmation 4 : l’image de \(-1\) par la fonction \(f\) est inférieure à l’image de \(-1\) par la fonction \(g\).

5. Affirmation 5 : pour tout nombre \(x\), on a : \((x+5)^2 – 4 = (x+1)(x+9)\).

6. On considère un carré de longueur de côté 6 mètres.

Affirmation 6 : les diagonales de ce carré mesurent \(\sqrt{72}\) mètres.

Exercice 2 (20 points)

Le diagramme ci-dessous représente la production d’énergie solaire photovoltaïque en TWh (Térawattheure) des cinq plus gros producteurs dans l’Union européenne qui compte vingt-huit pays en 2019.

1. Avec la précision permise par le graphique, donner approximativement la production photovoltaïque en TWh du pays E.

2. La production photovoltaïque totale des 28 pays de l’Union européenne en 2019 est de \(131{,}8\) TWh.

a. Montrer que les pays A et B totalisent à eux seuls environ 54 % de la production européenne.

b. La production photovoltaïque totale des 28 pays de l’Union européenne était de \(122{,}3\) TWh en 2018.

Quel est le pourcentage d’augmentation de la production photovoltaïque totale entre 2018 et 2019 ?

Arrondir le résultat au dixième.

3. On veut étudier dans le pays D l’évolution de la production électrique par type d’énergie de 2017 à 2019. On utilise alors le tableur pour réaliser le tableau suivant.

	A	B	C	D
1	Type d’énergie	Production électrique (en TWh)
2	Type d’énergie	en 2017	en 2018	en 2019
3	Nucléaire	379,1	393,2	379,5
4	Thermique (gaz, fioul, charbon)	53,9	39,4	42,6
5	Hydraulique	53,5	68,3	60
6	Éolien	24,1	27,8	34,1
7	Solaire	9,2	10,2	11,6
8	Bioénergies	9,5	9,7	9,9
9	Total	529,3	548,6	537,7

a. Citer les types d’énergie dont la production a augmenté chaque année de 2017 à 2019.

b. Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B9 avant de l’étirer jusqu’à la cellule D9 ?

Exercice 3 (20 points)

Dans le triangle ADC rectangle en D, l’angle \(\widehat{DCA}\) mesure \(30^\circ\).

Le point B est le point du segment [AC] tel que les longueurs DB et CB sont égales.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur

1. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{DBC}\).

2. Montrer par le calcul que le segment [AD] mesure 5 cm.

3. Calculer la longueur DC au millimètre près.

4. Déterminer la nature du triangle ABD.

Exercice 4 (18 points)

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue

On souhaite réaliser le logo ci-dessous avec le logiciel Scratch à partir du script incomplet ci-dessous.

On rappelle que l’instruction « s’orienter à 90 degrés » consiste à orienter le lutin et le stylo horizontalement vers la droite.

Le bloc « Motif » permet de réaliser la figure ci-contre :

1. En mathématiques, comment appelle-t-on la transformation géométrique qui permet de passer d’un motif du logo au suivant ?

2. Ici, le stylo est orienté horizontalement vers la droite au départ.

Parmi les trois propositions suivantes, quelle est celle qui permet d’obtenir le motif souhaité ?

3. Compléter le script principal en recopiant sur la copie uniquement la boucle « répéter » (c’est-à-dire les instructions 4, 5, 6 et 7).

4. On veut placer l’instruction « ajouter 10 à la couleur du stylo » de façon à changer de couleur à chaque motif.

Sur la copie, indiquer un numéro d’instruction du script principal après laquelle on peut placer cette instruction.

Exercice 5 (17 points)

On souhaite construire un carré potager en utilisant des planches en bois et en suivant le montage ci-dessous.

Le carré potager souhaité n’a pas de fond et il a la forme d’un pavé droit de base carrée et de hauteur 30 cm.

Prix
Équerre à 8 trous	Planche en bois 250 cm × 15 cm × 2 cm	Vis Lot de 100	Sac de terre végétale 40 L
2,90 € la pièce	5,60 € la pièce	5,70 € le lot	6,90 € le sac

1. À l’achat, les planches en bois mesurent \(2{,}50\) m de longueur.

a. Combien de planches devra-t-on acheter ?

b. Déterminer le budget nécessaire (hors coût de la terre) pour réaliser ce carré potager.

On remplit le carré potager de terre végétale au minimum jusqu’aux deux tiers de sa hauteur.

On dispose la terre afin qu’elle forme un pavé droit dont la longueur du côté de la base carrée est de 118 cm.

2. Sept sacs de terre végétale seront-ils suffisants pour compléter au minimum le carré potager ?

On rappelle que : 1 L = 1 dm³.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. Affirmation 1

Toutes les boules ont la même chance d’être tirées : on est dans une situation d’équiprobabilité, et la probabilité d’obtenir une boule bleue est le quotient du nombre de boules bleues par le nombre total de boules.

Urne A : \(P_A = \dfrac{8}{20} = 0{,}4\).

Urne B : elle contient \(11 + 14 = 25\) boules, donc \(P_B = \dfrac{11}{25} = 0{,}44\).

Comme \(0{,}44 \gt 0{,}4\), on a davantage de chances de tirer une boule bleue dans l’urne B : l’affirmation 1 est vraie.

2. Affirmation 2

On range les 9 valeurs dans l’ordre croissant : 3 ; 7 ; 7 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 14.

L’effectif est impair (9 valeurs), donc la médiane est la valeur du milieu, c’est-à-dire la 5e : elle laisse 4 valeurs avant elle et 4 après. La 5e valeur est 12.

La médiane vaut 12 et non 11 : l’affirmation 2 est fausse.

3. Affirmation 3

Attention au piège : 3 h 20 ne vaut pas 3,20 h. Comme 20 minutes représentent un tiers d’heure, \(3\ \text{h}\ 20 = 3 + \dfrac{20}{60} = \dfrac{10}{3}\) h.

La vitesse moyenne est donc \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{36}{\frac{10}{3}} = 36 \times \dfrac{3}{10} = 10{,}8\) km/h.

La valeur \(11{,}25\) km/h s’obtient en divisant par erreur 36 par 3,2. La vitesse moyenne est de \(10{,}8\) km/h : l’affirmation 3 est fausse.

4. Affirmation 4

Image de \(-1\) par \(f\) : \(f(-1) = -4 \times (-1) – 5 = 4 – 5 = -1\).

Image de \(-1\) par \(g\) : on part de l’abscisse \(-1\) sur l’axe horizontal, on se déplace verticalement jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée du point obtenu : la courbe passe par le point de coordonnées \((-1\ ;\ -1)\), donc \(g(-1) = -1\).

Les deux images sont égales : \(f(-1) = g(-1) = -1\). L’image par \(f\) n’est donc pas inférieure à celle par \(g\) : l’affirmation 4 est fausse.

5. Affirmation 5

On développe chaque membre avec les identités remarquables et la double distributivité.

Membre de gauche : \((x+5)^2 – 4 = x^2 + 10x + 25 – 4 = x^2 + 10x + 21\).

Membre de droite : \((x+1)(x+9) = x^2 + 9x + x + 9 = x^2 + 10x + 9\).

Les deux expressions diffèrent par leur terme constant (21 d’un côté, 9 de l’autre). Par exemple pour \(x = 0\) : le membre de gauche vaut \(25 – 4 = 21\) et celui de droite vaut \(1 \times 9 = 9\). L’égalité est fausse pour \(x = 0\), elle n’est donc pas vraie pour tout nombre \(x\) : l’affirmation 5 est fausse.

Remarque : la bonne factorisation est \((x+5)^2 – 2^2 = (x+5-2)(x+5+2) = (x+3)(x+7)\).

6. Affirmation 6

Une diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 m et dont l’hypoténuse est la diagonale \(d\).

D’après le théorème de Pythagore : \(d^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\), donc \(d = \sqrt{72}\) m (soit \(6\sqrt{2} \approx 8{,}49\) m).

L’affirmation 6 est vraie.

Exercice 2 :

1. Production du pays E

Le haut de la barre du pays E se situe un peu en dessous de la ligne des 10 TWh, à peu près au milieu entre 5 et 15 mais légèrement sous 10. On peut lire environ 9,5 TWh (toute valeur entre 9 et 10 TWh est acceptable avec la précision du graphique).

2. a. Part des pays A et B

D’après les étiquettes du diagramme, les pays A et B produisent ensemble \(47{,}5 + 23{,}7 = 71{,}2\) TWh.

Leur part dans la production européenne est : \(\dfrac{71{,}2}{131{,}8} \times 100 \approx 54{,}0\ \%\).

Les pays A et B totalisent donc à eux seuls environ 54 % de la production photovoltaïque de l’Union européenne.

2. b. Pourcentage d’augmentation

Le taux d’évolution se calcule par \(\dfrac{\text{valeur d^{\prime}arrivée} – \text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}} \times 100\).

Ici : \(\dfrac{131{,}8 – 122{,}3}{122{,}3} \times 100 = \dfrac{9{,}5}{122{,}3} \times 100 \approx 7{,}77\).

La production photovoltaïque totale a augmenté d’environ 7,8 % entre 2018 et 2019.

3. a. Énergies en hausse chaque année

On compare, ligne par ligne, 2017 puis 2018 puis 2019 :

Nucléaire : 379,1 puis 393,2 puis 379,5 : baisse en 2019.
Thermique : 53,9 puis 39,4 puis 42,6 : baisse en 2018.
Hydraulique : 53,5 puis 68,3 puis 60 : baisse en 2019.
Éolien : \(24{,}1 \lt 27{,}8 \lt 34{,}1\) : hausse chaque année.
Solaire : \(9{,}2 \lt 10{,}2 \lt 11{,}6\) : hausse chaque année.
Bioénergies : \(9{,}5 \lt 9{,}7 \lt 9{,}9\) : hausse chaque année.

Les énergies dont la production a augmenté chaque année sont l’éolien, le solaire et les bioénergies.

3. b. Formule de la cellule B9

La cellule B9 contient le total de la colonne 2017, c’est-à-dire la somme des cellules B3 à B8. On peut saisir =SOMME(B3:B8) (ou encore =B3+B4+B5+B6+B7+B8). En étirant vers la droite, le tableur adapte la lettre de colonne et calcule =SOMME(C3:C8) puis =SOMME(D3:D8).

Exercice 3 :

1. Mesure de l’angle \(\widehat{DBC}\)

Comme DB = CB, le triangle DBC est isocèle en B. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux, donc \(\widehat{BDC} = \widehat{BCD} = 30^\circ\) (l’angle \(\widehat{BCD}\) est le même que \(\widehat{DCA}\) car B est sur [AC]).

La somme des angles d’un triangle vaut \(180^\circ\), d’où : \(\widehat{DBC} = 180^\circ – 30^\circ – 30^\circ = 120^\circ\).

L’angle \(\widehat{DBC}\) mesure \(120^\circ\).

2. Longueur AD

Dans le triangle ADC rectangle en D, [AC] est l’hypoténuse et [AD] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{DCA}\). On utilise le sinus :

\[ \sin \widehat{DCA} = \dfrac{AD}{AC} \quad \text{donc} \quad AD = AC \times \sin 30^\circ = 10 \times 0{,}5 = 5 \]

Le segment [AD] mesure bien 5 cm.

3. Longueur DC

Toujours dans le triangle ADC rectangle en D, le théorème de Pythagore donne : \(AC^2 = AD^2 + DC^2\), soit \(10^2 = 5^2 + DC^2\).

Donc \(DC^2 = 100 – 25 = 75\) et \(DC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}660\) cm.

On peut vérifier avec le cosinus : \(DC = AC \times \cos 30^\circ = 10 \times \cos 30^\circ \approx 8{,}660\) cm.

Au millimètre près, DC ≈ 8,7 cm.

4. Nature du triangle ABD

Angle en A : dans le triangle ADC, la somme des angles donne \(\widehat{DAC} = 180^\circ – 90^\circ – 30^\circ = 60^\circ\). Or \(\widehat{DAB} = \widehat{DAC}\) puisque B est sur [AC], donc \(\widehat{DAB} = 60^\circ\).

Angle en B : les points A, B et C sont alignés, donc les angles \(\widehat{ABD}\) et \(\widehat{DBC}\) sont supplémentaires : \(\widehat{ABD} = 180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\).

Angle en D : \(\widehat{ADB} = 180^\circ – 60^\circ – 60^\circ = 60^\circ\) (on retrouve aussi \(90^\circ – 30^\circ\)).

Un triangle dont les trois angles mesurent \(60^\circ\) est équilatéral : le triangle ABD est équilatéral. On peut le confirmer par les longueurs : AB = AD = DB = 5 cm, puisque B est alors le milieu de [AC].

Exercice 4 :

1. Transformation

Les cinq motifs tournent autour du même point (l’origine du repère), en gardant leur forme et leur taille : on passe d’un motif au suivant par une rotation de centre le point de départ commun et d’angle \(\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ\).

2. Choix du bloc Motif

Le motif commence par une tige horizontale, puis un parallélogramme placé en dessous de la ligne de départ.

La proposition 1 ne trace pas la tige : elle attaque directement le parallélogramme au point de départ. Elle ne convient pas.
La proposition 3 trace bien la tige, mais elle tourne vers la gauche : le parallélogramme se retrouve au-dessus de la tige. Elle ne convient pas.
La proposition 2 trace la tige de 50 pas, puis tourne vers la droite (sens des aiguilles d’une montre) : le parallélogramme est dessiné sous la tige, comme sur le modèle.

C’est donc la proposition 2 qui convient. On remarque au passage que ses rotations valent \(2 \times (40^\circ + 140^\circ) = 360^\circ\) : à la fin du motif, le lutin a retrouvé son orientation de départ.

3. Boucle du script principal

Il y a 5 motifs, donc 5 répétitions. Après chaque motif, le lutin n’est plus au centre (il s’est arrêté au bout de la tige) : il faut le ramener en \((0\ ;\ 0)\). Enfin, on le fait tourner de \(360^\circ : 5 = 72^\circ\) pour préparer le motif suivant.

4  répéter 5 fois
5      Motif
6      aller à x: 0  y: 0
7      tourner ↻ de 72 degrés

Réponse : répéter 5 fois ; aller à x: 0 y: 0 ; tourner de 72 degrés.

4. Changement de couleur

Pour que la couleur change à chaque motif, l’instruction doit être exécutée une fois par tour de boucle, donc placée à l’intérieur de la boucle « répéter ». On peut la placer par exemple après l’instruction 5 (juste après le tracé d’un motif). Les emplacements après l’instruction 4, 6 ou 7 (toujours dans la boucle) conviennent aussi.

Exercice 5 :

1. a. Nombre de planches

La hauteur du potager est de 30 cm et une planche fait 15 cm de large : il faut donc \(30 : 15 = 2\) planches superposées sur chaque côté. Avec 4 côtés, on a besoin de \(4 \times 2 = 8\) morceaux de 1,20 m.

Une planche de 2,50 m permet de découper deux morceaux de 1,20 m, car \(2 \times 1{,}20 = 2{,}40\) m et \(2{,}40 \leq\, 2{,}50\) (il reste une chute de 10 cm). Il faut donc \(8 : 2 = 4\) planches.

On devra acheter 4 planches.

1. b. Budget hors terre

Équerres : une par angle, soit 4 équerres : \(4 \times 2{,}90 = 11{,}60\) €.
Planches : \(4 \times 5{,}60 = 22{,}40\) €.
Vis : 8 vis par équerre, soit \(4 \times 8 = 32\) vis ; un seul lot de 100 suffit : 5,70 €.

Total : \(11{,}60 + 22{,}40 + 5{,}70 = 39{,}70\) €.

Le budget nécessaire, hors terre, est de 39,70 €.

2. Les sept sacs suffisent-ils ?

Hauteur minimale de terre : les deux tiers de 30 cm, soit \(\dfrac{2}{3} \times 30 = 20\) cm.

La terre forme un pavé droit à base carrée de côté 118 cm et de hauteur 20 cm. Pour obtenir directement des litres, on convertit en décimètres : 118 cm = 11,8 dm et 20 cm = 2 dm.

\[ V = 11{,}8 \times 11{,}8 \times 2 = 278{,}48\ \text{dm}^3 = 278{,}48\ \text{L} \]

Sept sacs de 40 L apportent \(7 \times 40 = 280\) L.

Comme \(280 \gt 278{,}48\), sept sacs suffisent pour remplir le potager au minimum jusqu’aux deux tiers de sa hauteur (il reste à peine 1,52 L de marge).

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