Calcul littéral et identités remarquables : cours de maths en 3ème.

Sommaire de cette fiche

1 I. Développer et réduire une expression.
2 II. Factoriser une somme de termes
3 III. Résolution d’une équation produit du type (ax + b) (cx +d) = 0 (avec a et c non nuls).
- 3.1 1. Produit nul:
- 3.2 2. Exemple :
4 Vous avez assimilé ce cours sur le calcul littéral en 3ème ?

Le calcul littéral et les 3 identités remarquables du collège dans un cours de maths en 3ème où nous étudierons la factorisation d’expressions littérales et le développement d’expressions algébriques. Dans cette leçon en troisième, nous aborderons également, les programmes de calcul.

I. Développer et réduire une expression.

0. Préambule: règle des signes.

Afin de pouvoir être à l’aise avec le calcul littéral (ou algébrique), il faut impérativement maîtriser la règle des signes.

Multiplié par	+	–
+	+	–
–	–	+

Définition :

Développer une expression c’est l’écrire sous la forme d’une somme de termes la plus simple possible.

(on développe les produits, on supprime les parenthèses et on regroupe les termes de même nature)

1. Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction : (rappels de 5ème et 4ème )

Propriété :

Soient a, b, c, d et k des nombres (réels IR) quelconques.

$k\times (a+b)=k\times a + k\times b$ ( simple distributivité)

$k\times (a-b)=k\times a - k\times b$ (simple distributivité)

$(a+b)\times (c+d)=a\times c + a\times d + b\times c + b\times d$ (double distributivité).

Exemples :

$A=5(x+3)$

$A=5\times x+5\times 3$

$A=5x+15$

$B=7(2x-3y)$

$B=7\times 2x-7\times 3y$

$B=14x-21y$

$C=(3x+2)(5x+6)$

$C=3x\times 5x+3x\times 6 +2\times 5x+2\times 6$

$C=\15x^2+18x+10x+12$

$C=\15x^2+28x+12$

$D=(2x-1)(5x-6)$

$D=2x\times 5x-2x\times 6-1\times 5x + 1 \times 6$

$D=10x^2-12x-5x +6$

$D=10x^2-17x +6$
$E=4(x+7)-(2x+4)(3x-1)$

$E=4\times x+4\times 7-[2x\times 3x-2x\times 1 + 4\times 3x -4\times 1]$

Lorsque le développement est précédé d’un signe moins,

on ouvre une parenthèse et on effectue le développement à l’intérieur.

$E=4x+28-[6x^2-2x + 12x -4]$

$E=4x+28-6x^2+2x -12x +4$

$E=-6x^2-6x +32$

2. Les identités remarquables.

Propriétés :

Soient a et b sont deux nombres (réels IR) quelconques.

A. Carré d’une somme

(a + b)² = a² + 2ab + b²

B. Carré d’une différence

(a – b)² = a² – 2ab + b²

C. Produit d’une somme de deux nombres par leur différence

(a + b) (a – b) = a² – b²

Preuves :

Utilisons la propriété de double distributivité rappelée au début de la leçon.

$(a+b)^2\,\\=\,(a+b)(a+b)\,\\\,=\,a\times \,a\,+a\times \,b+b\times \,a+b\times \,b$

$=\,a^2+ab+ba+b^2$ (or $ab\,=\,ba$ car la multiplication est commutative en effet $2\,\times \,3=3\,\times \,2$ )

donc

$(a+b)^2=\,a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2\,\\=\,(a-b)(a-b)\,\\=\,a\,\times \,a-a\times \,b-b\times \,a+b\times \,b\,\\=\,a^2-ab-ba+b^2$ (ne pas oublier la règle des signes.)

donc $(a-b)^2=\,a^2-2ab+b^2$

$(a-b)(a+b)\,\\=\,a\,\times \,a+a\,\times \,b-b\,\times \,a-b\,\times \,b\,\\=\,a^2+ab-ab-b^2\,\\=\,a^2-b^2$

Exemples :

$A=(x+9)^2$

$A=x^2+2\times x\times 9+9^2$

$A=x^2+18\times x+81$

$B=(x-7)^2$

$B=x^2-2\time x\times 7 +7^2$

$B=x^2-14\time x+49$

$C=(x-4)(x+4)$

$C=x^2-4^2$

$C=x^2-16$

$D=(2x-3)^2$

$D=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2$

$D=2x\times 2x-12x+9$

$D=4x^2-12x+9$

$E=(4x-5)^2$

$E=(4x)^2-2\times 4x \times 5 + 5^2$

$E=16x^2-40\times x + 25$

$F=(2x-9)(2x+9)$

$F=(2x)^2-9^2$

$F=4x^2-81$

$G=2x-(x-4)^2$

Lorsque le développement est précédé d’un signe moins, on ouvre une parenthèse et on effectue le développement à l’intérieur.

$G=2x-(x^2-8x+16)$

On supprime ensuite les parenthèses.

$G=2x-x^2+8x-16$

$G=-x^2+10x-16$

II. Factoriser une somme de termes

Définition :

Factoriser une somme de termes, c’est la transformer en un produit de facteurs.

Méthode 1 :

On recherche un facteur commun aux différents termes de la somme.

$A=4x+12$ (4 est un facteur commun à 4x et à 12)

$A=4\times x + 4\times 3$

On fait apparaître le facteur commun et on l’entoure en rouge dans chaque terme.

$A=4(x+3)$

On applique la règle de la distributivité (dans le sens de la factorisation)

$B=5a^2-25a$

$B=5a\times a- 5a \times 5$

$B=5a(a-5)$

$C = (2x + 1)(7x - 3) + (2x+ 1)( x + 2)$

$C = (2x + 1)[(7x - 3) + ( x + 2)]$

$C = (2x + 1)(7x - 3 + x + 2)$

$C = (2x + 1)(8x - 1)$

$D = (5x - 1)(3x - 7) - (5x - 1)(5x - 3)$

$D = (5x - 1)[(3x - 7) - (5x - 3)]$

$D = (5x - 1) (3x - 7 - 5x + 3)$

$D = (5x - 1) (-2x-4)$

Méthode 2 :

on reconnaît une identité remarquable.

$E = x^2 + 10x + 25$

Cette expression ressemble à a² + 2ab + b² qui vaut (a + b)² .

a vaudrait $x$ et b vaudrait 5.

vérifions si $10x$ est le double produit 2ab.

$E =x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2$

$10x$ est bien le double produit donc :

$E=(x+5)^2$
$F=9x^2-24x+16$

Cette expression ressemble à a² – 2ab + b² qui vaut (a – b)²

$F=(3x)^2-2\times 3x \times 4+4^2$

a vaut $3x$ et b vaudrait 4 donc :

$F=(3x-4)^2$

$G=9x^2 - 16$

Cette expression ressemble à a² – b² qui vaut (a + b) (a – b)

$G=(3x)^2 - 4^2$

a vaut $3x$ et b vaut 4 donc :

$G=(3x-4)(3x+4)$

III. Résolution d’une équation produit du type (ax + b) (cx +d) = 0 (avec a et c non nuls).

1. Produit nul:

Théorème :

Si A = 0 ou B = 0 alors A x B = 0 .

Si A x B = 0 alors A = 0 ou B = 0 (c’est la réciproque) .

Autrement dit :
Dire qu’un produit de facteurs est nul revient à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul.

2. Exemple :

Résoudre l’équation (4x + 8) (9x – 63) = 0

Résoudre cette équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité donnée.

Ici on veut qu’un produit de deux facteurs soit égal à zéro.

Dire qu’un produit de facteurs est nul revient à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul .

On a donc

$4x\,+\,8\,=\,0$ ou $9x\,-\,63\,=\,0$

$4x\,=\,-8$ ou $9x\,=\,63$

$x\,=\,-\,2$ ou $x\,=\,7$

Conclusion :

Les solutions de cette équation sont – 2 et 7.

Ainsi

S ={ – 2 ; 7 }

Vous avez assimilé ce cours sur le calcul littéral en 3ème ?

Effectuez ce QCM sur le calcul littéral en 3ème afin d’évaluer vos acquis sur cette leçon en troisième.

Le calcul littéral

QCM sur le calcul littéral en troisième.

Un autre QCM sur le calcul littéral à effectuer.

Le calcul littéral et les identités remarquables

QCM sur le calcul littéral et les identités remarquables en troisième.

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «calcul littéral et les identités remarquables : cours de maths en 3ème en PDF.» au format PDF.

Vous devez vous inscrire ou vous connecter à votre compte afin de pouvoir télécharger ce document au format PDF.

Réviser les leçons et les exercices avec nos Q.C.M :

Q.C.M en 6ème Q.C.M en 5ème Q.C.M en 4ème Q.C.M en 3ème Q.C.M en 2de Q.C.M en 1ère Q.C.M en Terminale

D'autres utilitaires pour progresser en autonomie :

Chronomètre Horloge France Tables Multiplication Arrondir des décimaux Rapporteur et Angles Médiatrice Symétrie Axiale d'un triangle Symétrie Centrale d'un triangle Translation d'un triangle Rotation Homothétie Bissectrice Tracer droite parallèle Conversion Aires et Volumes Addition de deux relatifs Soustraction Relatifs Addition et soustraction de trois relatifs Produit Deux Relatifs Produit Trois Relatifs Quotient Relatifs Carré Entier Racine Carrée Théorème Pythagore Liste Diviseurs Décomposition Facteurs Premiers Calcul du PGCD PGCD Algorithme Euclide Test Nombre Premier Déterminer Fonction Linéaire Déterminer Fonction Affine Traceur Courbe Trigonométrie Angle Trigonométrie Longueur Périmètre d'un Cercle Aire d'un Disque Volume du Parallélépipède Rectangle Volume du cylindre Surface d'une Sphère et Volume d'une boule Volume d'une pyramide à base rectangulaire Section d'une pyramide Visualiser Section Cône en 2D Section d'un Cône Carte Mondiale Coordonnées Géographiques

Mathovore c'est 14 070 255 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.

Calcul littéral et les identités remarquables : cours de maths en 3ème en PDF.