Brevet Maths 2022 : sujet de mathématiques du brevet en Amérique du Nord

BREVET DE MATHÉMATIQUES

AMERIQUE DU NORD

Session : JUIN 2022

Durée de l’épreuve : 2 heures

Exercice 1 : 22 points (brevet maths 2022)

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.

• les points M, A et S sont alignés
• les points M, T et H sont alignés
• MH = 5 cm
• MS = 13 cm
• MT = 7 cm

1. Démontrer que la longueur HS est égale à 12 cm.
2. Calculer la longueur AT.
3. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{HMS}\). On arrondira le résultat au degré près.
4. Parmi les transformations suivantes quelle est celle qui permet d’obtenir le triangle MAT à partir
   du triangle MHS ? Dans cette question, aucune justification n’est attendue. Recopier la réponse sur la copie.

• Une symétrie centrale
• Une symétrie axiale
• Une rotation
• Une translation
• Une homothétie

5. Sachant que la longueur MT est 1,4 fois plus grande que la longueur HM, un élève affirme :

«L’aire du triangle MAT est 1,4 fois plus grande que l’aire du triangle MHS »
Cette affirmation est-elle vraie ? On rappelle que la réponse doit être justifiée.

Exercice 2 : 15 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre
réponses est exacte.
Sur la copie, écrire le numéro de la question et la réponse choisie.

	Question	Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
1	On lance un dé équilibré à 20 faces numérotées de 1 à 20. La probabilité pour que le numéro tiré soit inférieur ou égal à 5 est …	\(\dfrac{1}{20}\)	\(\dfrac{1}{4}\)	\(\dfrac{1}{5}\)	\(\dfrac{5}{6}\)
2	Une boisson est composée de sirop et d’eau dans la proportion d’un volume de sirop pour sept volumes d’eau (c’est-à-dire dans le ratio 1 : 7). La quantité d’eau nécessaire pour préparer 560 mL de cette boisson est …	70 mL	80 mL	400 mL	490 mL
3	La fonction linéaire \(f\) telle que \(f(\dfrac{4}{5})=1\) est …	\(f(x)=x+\dfrac{1}{5}\)	\(f(x)=\dfrac{4}{5}x\)	\(f(x)=\dfrac{5}{4}x\)	\(f(x)=x-\dfrac{1}{5}\)
4	La décomposition en produit de facteurs premiers de 195 est …	\(5\times 39\)	\(3\times 5\times 13\)	\(1\times 100+9\times 10+5\)	\(3\times 65\)
5	Le volume de ce prisme droit est …	40 cm³	60 cm³	64 cm³	120 cm³

Exercice 3 : 20 points (brevet maths 2022)

Pour être en bonne santé, il est recommandé d’avoir régulièrement une pratique physique. Puis une recommandation serait de faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. Sur 1,6 million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, 81 % d’entre eux ne respectent pas cette recommandation.
D’après un communiqué de presse sur la santé

1. Sur les 1,6 million d’adolescents de 11 à 17 ans interrogés, combien ne respectent pas cette
recommandation ?
Après la lecture de ce communiqué, un adolescent se donne un objectif.
Objectif : « Faire au moins une heure de pratique physique par jour en moyenne. »
Pendant 14 jours consécutifs, il note dans le calendrier suivant, la durée quotidienne qu’il consacre
à sa pratique physique :

Jour 1	Jour 2	Jour 3	Jour 4	Jour 5	Jour 6	Jour 7
50 min	15 min	1 h	1 h 40 min	30 min	1 h 30 min	40 min
Jour 8	Jour 9	Jour 10	Jour 11	Jour 12	Jour 13	Jour 14
15 min	1 h	1 h 30 min	30 min	1 h	1 h	0 min

2.a. Quelle est l’étendue des 14 durées quotidiennes notées dans le calendrier ?
b. Donner une médiane de ces 14 durées quotidiennes.
3.a. Montrer que, sur les 14 premiers jours, cet adolescent n’a pas atteint son objectif.
b. Pendant les 7 jours suivants, cet adolescent décide alors de consacrer plus de temps au sport
pour atteindre son objectif sur l’ensemble des 21 jours.
Sur ces 7 derniers jours, quelle est la durée totale de pratique physique qu’il doit au minimum
prévoir pour atteindre son objectif ?

Exercice 4 : 21 points

Dans cet exercice, aucune justification n’est attendue.

On a créé un jeu de hasard à l’aide d’un logiciel de programmation.
Lorsqu’on appuie sur le drapeau, le lutin dessine trois motifs côte à côte.
Chaque motif est dessiné aléatoirement : soit c’est une croix, soit c’est un rectangle.
Ensuite, le joueur gagne si l’affichage obtenu comporte trois motifs identiques.
Au lancement du programme, le lutin est orienté horizontalement vers la droite.

1. En prenant pour échelle 1 cm pour 20 pas, représenter le motif obtenu par le bloc « rectangle ».
2. Voici un exemple d’affichage obtenu en exécutant le programme principal :

Quelle est la distance d entre les deux rectangles sur l’affichage, exprimée en pas ?

3. Quelle est la probabilité que le premier motif dessiné par le lutin soit une croix ?
4. Dessiner à main levée les 8 affichages différents que l’on pourrait obtenir avec le programme
principal.
5. On admettra que les 8 affichages ont la même probabilité d’apparaître.
Quelle est la probabilité que le joueur gagne ?

6. On souhaite désormais que, pour chaque motif, il y ait deux fois plus de chances d’obtenir un
rectangle qu’une croix. Pour cela, il faut modifier l’instruction dans la ligne 5.
Sur la copie, recopier l’instruction suivante en complétant les cases :

Exercice 5 : 22 points (brevet maths 2022)

On considère le programme de calcul suivant, appliqué à des nombres entiers :

Nombre choisi au départ
Programme de calcul :

• Calculer le carré du nombre de départ
• Ajouter le nombre de départ

Nombre obtenu à l’arrivée

PARTIE A

1. Vérifier que si le nombre de départ est 15, alors le nombre obtenu à l’arrivée est 240.

2. Voici un tableau de valeurs réalisé à l’aide d’un tableur :
Il donne les résultats obtenus par le programme de calcul en fonction de quelques valeurs du nombre choisi au départ.
Quelle formule a pu être saisie dans la cellule B2 avant d’être étirée vers le bas ?
Aucune justification n’est attendue.
3. On note x le nombre de départ.
Écrire, en fonction de x, une expression du résultat obtenu avec ce programme de calcul.

	A	B
1	Nombre choisi au départ	Nombre obtenu à l’arrivée
2	0	0
3	1	2
4	2	6
5	3	12
6	4	20
7	5	30
8	6	42
9	7	56
10	8	72
11	9	90
12	10	110

PARTIE B (brevet maths 2022)

On considère l’affirmation suivante :

« Pour obtenir le résultat du programme de calcul, il suffit de multiplier le nombre de départ
par le nombre entier qui suit. »
4. Vérifier que cette affirmation est vraie lorsque le nombre entier choisi au départ est 9.
5. Démontrer que cette affirmation est vraie quel que soit le nombre entier choisi au départ.
6. Démontrer que le nombre obtenu à l’arrivée par le programme de calcul est un nombre pair
quel que soit le nombre entier choisi au départ.

Corrigé du sujet

Exercice 1 (brevet maths 2022)

1. Puis le triangle MHS est rectangle en H. D’après le théorème de Pythagore :

\(MS^2=MH^2+HS^2\), donc \(HS^2=MS^2-MH^2=13^2-5^2=169-25=144\).

Comme HS est une longueur positive, \(HS=\sqrt{144}=12\). HS = 12 cm.

2. De plus, les droites (HS) et (AT) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (HT) : elles sont donc parallèles.

Les droites (AS) et (TH) sont sécantes en M, les points A, M, S d’une part et T, M, H d’autre part sont alignés, et (AT) // (HS). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{MT}{MH}=\dfrac{MA}{MS}=\dfrac{AT}{HS}\), soit \(\dfrac{7}{5}=\dfrac{AT}{12}\).

Donc \(AT=\dfrac{7\times 12}{5}=\dfrac{84}{5}=16{,}8\). AT = 16,8 cm.

3. Ensuite, dans le triangle MHS rectangle en H, on connaît le côté adjacent à l’angle \(\widehat{HMS}\) et le côté opposé :

\(\tan\widehat{HMS}=\dfrac{HS}{MH}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\).

À la calculatrice, \(\widehat{HMS}\approx 67{,}38^\circ\), donc \(\widehat{HMS}\approx 67^\circ\) au degré près. (On obtient la même valeur avec \(\cos\widehat{HMS}=\dfrac{5}{13}\).)

4. Par ailleurs, le triangle MAT est un agrandissement du triangle MHS, « retourné » de l’autre côté du point M : c’est l’image de MHS par l’homothétie de centre M et de rapport \(-1{,}4\). Puis la réponse est une homothétie.

5. Aire du triangle MHS, rectangle en H : \(\dfrac{MH\times HS}{2}=\dfrac{5\times 12}{2}=30\text{ cm}^2\).

Aire du triangle MAT, rectangle en T : \(\dfrac{MT\times AT}{2}=\dfrac{7\times 16{,}8}{2}=58{,}8\text{ cm}^2\).

Or \(\dfrac{58{,}8}{30}=1{,}96\) et non 1,4. C’est normal : dans un agrandissement de rapport \(k\), les aires sont multipliées par \(k^2\), et \(1{,}4^2=1{,}96\).

L’affirmation est fausse : l’aire du triangle MAT est 1,96 fois plus grande que celle du triangle MHS.

Exercice 2 :

1. Il y a 5 numéros favorables (1, 2, 3, 4, 5) sur 20 numéros équiprobables : \(p=\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\). Réponse B.
2. Le ratio 1 : 7 partage la boisson en \(1+7=8\) parts égales : une part vaut \(560: 8=70\text{ mL}\). L’eau représente 7 parts : \(7\times 70=490\text{ mL}\). Réponse D.
3. Une fonction linéaire s’écrit \(f(x)=ax\). On veut \(a\times \dfrac{4}{5}=1\), donc \(a=\dfrac{5}{4}\) ; on vérifie : \(\dfrac{5}{4}\times \dfrac{4}{5}=1\). Les réponses A et D ne sont pas linéaires. Réponse C.
4. \(195=3\times 65=3\times 5\times 13\), et 3, 5, 13 sont des nombres premiers (39 et 65 ne le sont pas). Réponse B.
5. La base est un triangle rectangle de côtés de l’angle droit 3 cm et 5 cm : son aire vaut \(\dfrac{3\times 5}{2}=7{,}5\text{ cm}^2\). Volume : \(7{,}5\times 8=60\text{ cm}^3\). Réponse B.

Exercice 3 (brevet maths 2022)

1. \(81\,\%\) de 1,6 million : \(\dfrac{81}{100}\times 1\,600\,000=1\,296\,000\).

1 296 000 adolescents ne respectent pas la recommandation.

2.a. Convertissons tout en minutes : 50 ; 15 ; 60 ; 100 ; 30 ; 90 ; 40 ; 15 ; 60 ; 90 ; 30 ; 60 ; 60 ; 0.

La plus grande durée est 100 min (1 h 40 min) et la plus petite 0 min. Étendue : \(100-0=100\). L’étendue est de 100 min, soit 1 h 40 min.

b. Rangeons les 14 durées dans l’ordre croissant :

0 ; 15 ; 15 ; 30 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 60 ; 60 ; 60 ; 90 ; 90 ; 100.

L’effectif est pair (14) : une médiane est comprise entre la 7e valeur (50 min) et la 8e valeur (60 min). Ensuite, on peut prendre \(\dfrac{50+60}{2}=55\). Une médiane est 55 min (toute valeur entre 50 min et 60 min convient).

3.a. Durée totale sur 14 jours : \(50+15+60+100+30+90+40+15+60+90+30+60+60+0=700\) min.

Moyenne quotidienne : \(700: 14=50\) min, et \(50\lt 60\).

Sa moyenne est de 50 min par jour, inférieure à une heure : l’objectif n’est pas atteint.

b. Puis pour atteindre une moyenne d’au moins 60 min sur 21 jours, il faut une durée totale d’au moins \(21\times 60=1\,260\) min.

Il a déjà fait 700 min, il lui reste donc au minimum \(1\,260-700=560\) min à faire en 7 jours.

Il doit prévoir au minimum 560 min, soit 9 h 20 min (en moyenne 80 min par jour).

Exercice 4 :

1. De plus, le bloc « rectangle » fait avancer le lutin de 60 pas vers la droite, tourner de 90° vers la gauche, avancer de 80 pas vers le haut, tourner de 90°, et recommence : il trace un rectangle de 60 pas de large et 80 pas de haut.

À l’échelle 1 cm pour 20 pas : \(60: 20=3\) et \(80: 20=4\). On trace un rectangle de 3 cm de large et 4 cm de haut, à partir du coin inférieur gauche.

2. Après chaque motif, le lutin avance de 100 pas : deux motifs consécutifs commencent donc à 100 pas l’un de l’autre. Ensuite, un rectangle mesure 60 pas de large, donc \(d=100-60=40\). d = 40 pas.

3. Par ailleurs, le programme dessine une croix si le nombre aléatoire tiré parmi 1 et 2 est égal à 1 : il y a une issue favorable sur deux issues équiprobables. La probabilité est \(\dfrac{1}{2}\).

4. Puis en notant C une croix et R un rectangle, les 8 affichages possibles (de gauche à droite) sont :

C C C	C C R	C R C	C R R
R C C	R C R	R R C	R R R

5. Ensuite, le joueur gagne avec trois motifs identiques : CCC ou RRR, soit 2 affichages sur 8 équiprobables. \(p=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\). La probabilité de gagner est \(\dfrac{1}{4}\).

6. Puis il faut une chance sur trois d’avoir une croix et deux chances sur trois d’avoir un rectangle : on tire un nombre au hasard parmi 1, 2 et 3, et on dessine une croix seulement s’il vaut 1.

nombre aléatoire entre 1 et 3 = 1

Ainsi \(P(\text{croix})=\dfrac{1}{3}\) et \(P(\text{rectangle})=\dfrac{2}{3}\), qui est bien le double.

Exercice 5 :

Partie A

1. \(15^2=225\), puis \(225+15=240\). On obtient bien 240.

2. De plus, le nombre de départ est dans la cellule A2. Ensuite, on peut saisir =A2*A2+A2 (ou =A2^2+A2).

3. Par ailleurs, le carré de \(x\) est \(x^2\), puis on ajoute \(x\) : le résultat est \(x^2+x\).

Partie B

4. Avec le programme : \(9^2+9=81+9=90\). Puis en multipliant 9 par l’entier qui suit : \(9\times 10=90\). Les deux résultats sont égaux, l’affirmation est vraie pour 9.

5. Soit \(x\) le nombre entier de départ ; l’entier qui suit est \(x+1\). Ensuite, en développant :

\(x(x+1)=x\times x+x\times 1=x^2+x\).

On retrouve l’expression de la question 3 : l’affirmation est vraie quel que soit l’entier de départ.

6. D’après la question 5, le résultat est \(x(x+1)\), produit de deux entiers consécutifs.

• Si \(x\) est pair, \(x=2k\) avec \(k\) entier, et \(x(x+1)=2\times k(x+1)\) est un multiple de 2.
• Si \(x\) est impair, alors \(x+1\) est pair : \(x+1=2k\), et \(x(x+1)=2\times kx\) est un multiple de 2.

Dans tous les cas, l’un des deux entiers consécutifs est pair, donc leur produit est pair : le nombre obtenu à l’arrivée est toujours pair.

Bien travailler avec brevet maths 2022

Tout d’abord, souligne les données utiles de chaque énoncé. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, brevet maths 2022 demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, pour aller plus loin, l’article Mathématiques de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec brevet de maths 2024 blanc n° 2 : sujet et corrigé en PDF.