Théorème de Thalès : exercices de maths en 3ème corrigés en PDF.

Exercice 1 – écrire les rapports

Dans chaque cas, écrire toutes les égalités des rapports de longueur du théorème de Thalès.

Les droites en pointillés sont parallèles.

Exercice 2 – partie directe du théorème de Thalès

Exercice 3 – Contrefort et théorème de Thalès
Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois.
Sur le dessin ci-dessous, on donne :

BS = 6 m ; BN = 1,8 m ; AM = 1,95 m ; AB = 2,5m.

1 En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol,
calculer la longueur AS.

2 Calculer les longueurs SN et SM.

3 Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.

Exercice 4 – Mur et théorème de Thalès

Le mur ci-dessous est constitué de briques de 10 cm sur 20 cm (et 10 cm de profondeur).
Il constitue le point d’appui d’une structure métallique.

Pour cela il est nécessaire d’avoir (AB) parallèle à (CD).

A-t-on (AB) parallèle à (CD) ?

Le démontrer.

Remarque:

Pour sceller (« coller ») les briques, il est nécessaire d’avoir du mortier.

On ne tiendra  pas compte de cette épaisseur car elle est déjà incluse dans les 10 × 10 × 20 cm.

Exercice 5 – Funiculaire , théorème de Thalès et Pythagore.

Un funiculaire part de D pour se rendre à A suivant la droite (DA) .
DM = 420m ;  DH = 1000m;   MP = 252m.

Les triangles DPM et DAH sont respectivement rectangles en P et H.

1) Calculer la distance DP en mètre .

2) a) Démontrer que les droite (MP) et (HA) sont parallèles .

b) Calculer la distance DA en mètre puis en kilomètre.

Exercice 6 – Fabrication de boîtes par un artisan.

Un artisan fabrique des boîtes en forme de tronc de pyramide pour un confiseur.

Pour cela, il considère une pyramide régulière SABCD à base carrée où O est le centre du carré ABCD.

On a OA = 12 cm et SA = 20 cm.

a. Préciser la nature du triangle AOS et montrer que SO = 16 cm.

b. L’artisan coupe cette pyramide SABCD par un plan parallèle à la base tel que SM = 2cm où M est le centre de la section IJKL

ainsi obtenue.

Calculer le coefficient de réduction transformant la pyramide SABCD en la pyramide SIJKL.

c. En déduire la longueur SI puis la longueur IA.

Exercice 7 – Spectacle de marionnettes

Julien souhaite préparer un spectacle de marionnettes en ombres chinoises.

son écran mesure 2 m et sa marionnette mesure 24 cm.

Perché sur une estrade, il tient sa marionnette à 30 cm de la lumière, placée sous l’estrade.

A quelle distance de la source de lumière doit-il placer l’écran pour agrandir sa marionnette au maximum ?

Une deuxième série d’exercices sur le théorème de Thalès en 3ème.

Exercice 8 – Consolidation d’un bâtiment

Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois.

Sur le schéma ci-dessous, les mesures sont en mètre.

a. En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.

b. Calculer les longueurs SM et SN.

c. Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.

Exercice 9 – Parcours dans les bois

Par un beau dimanche ensoleillé, Julien se promène au pied de la montagne Sainte Victoire au bord de la rivière Arc.

Il se demande quelle est la largeur de cette rivière.

Il prend des repères, compte ses pas et dessine le schéma ci-dessous.

a. Quel est, en nombre de pas, la largeur de la rivière qu’obtient approximativement Julien ?

b. Julien estime la longueur de son pas à 65 cm.

Donner une valeur approximative de la largeur de cette rivière au centimètre près.

Exercice 10 – Sports d’hiver.

Un skieur dévale, tout schuss, une piste rectiligne représentée ci-dessous par le segment [BC] de longueur 1 200 m.

A son point de départ C, le dénivelé par rapport au bas de la piste, donné par la longueur AC, est de 200 m.

Après une chute, il est arrêté au point D sur la piste.

Le dénivelé, donné par la longueur DH, est alors de 150 m.

Calculer la longueur DB qu’il lui reste à parcourir.

Exercice 11 – Deux cônes de révolution

Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB sont opposés par le sommet.

Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles.

On a KA = 4,5 cm ; KS = 6 cm  et SI = 4 cm.

Calculer la longueur BI.

Exercice 12 – Utilisation du théorème de Thalès

Peut-on utiliser le théorème de Thalès dans les figures ci-dessous ?

justifier votre réponse.

e. [WX] est un diamètre du cercle  et [XZ] est un diamètre du cercle .

Exercice 13 – Lentilles convergentes et Thalès

Le schéma ci-dessus représente un objet [AB] et son image [A’B’] donnée par
une lentille convergente L.

Les points F et F’ sont les foyers de la lentille : OF = OF’ = 3 cm.

La droite (B’B ») est parallèle à l’axe de la lentille.
L’objet [AB] mesure 2,5 cm et est placé perpendiculairement à l’axe.

Le point A est placé à 8 cm de celle-ci et les points B, O et B’ sont alignés.

Calculer la hauteur A’B’ de l’image et sa position OA’.

Exercice 14 – Distance terre lune.

Mr Fantastic a un bras long de 2,80m.

Il peut ainsi masquer parfaitement la lune, avec une pièce de 3 euros, de 26 mm de diamètre, lorsqu’il la tient au bout de son bras tendu.

Sachant que le rayon de la lune est de 1737km,

Calculer la distance Terre-Lune arrondie au km.

Exercice 15 – Configuration du sablier.

On considère les points A,I et C alignés dans cet ordre et les points D,I et F alignés dans cet ordre.

On donne IF = 7;IC = 5x; IA = 7x + 5; ID = 12.

Déterminer la valeur de x pour laquelle les droites (FC) et (DA) sont parallèles.

Exercice 16 – Hauteur d’un bâton

un bâton est placé verticalement contre un mur. si on écarte le pied de ce bâton de 45 cm du bas du mur, son sommet glisse de 15cm vers le bas.

Quelle est la longueur de ce bâton ?

Exercice 17 – Problème sur le théorème de Thalès.

Construire un triangle ABC tel que AB=12cm,BC=16cm,AC=8cm .

1)Placer le point E sur (AB) tel que AE=9cm puis tracer la parallele à (BC) passant par E.Elle coupe (AC) en F. Calculez AF.

2)Dans la suite du problème,le point E se promene sur (AB) et on pose AE=x .

a)Donner un encadrement de x .
b)Calculer AF en fonction de x .
c) En déduire FC et exprimer également EB en fonction de x .
3)La parallele à (AB) passant par F coupe (BC) en K .
a)Calculer BK en fonction de x .
b)Quelle est la naute du quadrilatere EFBK ? en déduire EF .

Exercice 18 – Théorème de thalès et sa réciproque.

ABC  est un triangle tel que : AB= 8cm ; AC= 6,4cm et BC= 4,9 cm .

Le point E appartient à la demi-droite [AB) et : AE= 12cm .

Le point F appartient à la demi-droite [AC) et : AF= 9,6cm .

a) Calculer L’angle  .

b) Quelle est la nature du triangle AEF ? Justifier votre réponse.

Exercice 19 – Une configuration de Desargues
Les points O,C,F ; O,B,E et O,A,D sont alignés.

(CB)//(FE) et (BA)//(ED).

Montrer que  (CA)//(FD) .

Exercice 20 – Réciproque du théorème de Thalès.

Exercice 21 – Théorème de Thalès.

On sait que (BM) // (AC) et que (AB) // (NC).

Montrer que .

Exercice 22 – Théorème de Thalès et problèmes

L’unité est le centimètre.

Dans la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
On donne DE = 6, AE = 10, AB = 20 et BE = 16.

Les deux figures de cette page ne sont pas réalisées en vraie grandeur.
Elles ne sont pas à reproduire.
1. Calculer la distance CD.
Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB].
Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16.
2.Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles .

Exercice 23 – Applications du théorème de Thalès.

On précisera pour chacune des deux questions de cet exercice la propriété de cours utilisée.

La figure ci-dessous n’est pas représentée en vraie grandeur.

Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
On donne :
AB 2,4 cm ; AC = 5,2 cm ;
AN = 7,8 cm et MN = 4,5 cm.

1. Calculer les longueurs AM et BC.
2. Sachant que AP = 2,6 cm et AR = 1,2 cm .
Montrer que les droites (PR) et (BC) sont parallèles.

Exercice 24 – Problème de la planche.

Le segment [AD] représente la planche.

Les segments [AB] et [EC] représentent les pieds.
Les droites (AB) et (EC) se coupent en O.
On donne :

1. Montrer que la droite (AC) est parallèle à la droite (EB).
2. Calculer l’écartement EB en cm.

Exercice 25 – Problème de la géode.

Dans le parc de la cité des sciences se trouve la Géode, salle de cinéma qui a, extérieurement, la forme d’une calotte sphérique posée sur le sol, de rayon 18 m.

1. Calculer OH .

2. Calculer HM ( donner le résultat arrondi à 1 m près).

3. calculer la hauteur totale de la géode .

4. a. Quelle est la forme de la surface au sol occupée par la géode ?

b. Calculer l’aire de cette surface (arrondir le résultat à 1 m² près) .

5. On veut représenter le triangle OMH à l’échelle .

a. Quelle est la longueur Om sur cette représentation ?

Construire le triangle OMH à l’échelle .

Exercice 26 – Le pommeau de vitesse.

La figure 1 représente le pommeau de levier de vitesse d’une automobile .
Il a la forme d’une demi-boule surmontant un cône dont on a sectionné l’extrémité comme l’indique la figure 2 .

On appelle le cône dont la base est le cercle de rayon [AH] et le cône dont la base est le cercle de rayon [EK].

Ces deux cercles sont situés dans des plans parallèles .

• Rappel des formules :

Volume d’un cône :

Volume d’une boule :

On pose : Sk = 4 cm ; SH=10 cm ; AH = 2 cm .

1. En se plaçant dans le triangle SAH, calculer la tangente de l’angle .

En déduire une valeur approchée, à un degré près, de l’angle .

2. En se plaçant dans le triangle rectangle ESK et en utilisant la tangente de l’angle , montrer que : EK= 0,8 cm .

3.a. Calculer les volumes et des cônes et .

On donnera des valeurs approchées pour les deux calculs de volumes demandés au près .

b. Calculer le volume de la demi-boule ; en donner une valeur approchée au près .

c. Déduire des résultats précédents une valeur approchée du volume du pommeau .

Exercice 27 – Problème du puits.

[AD] est un diamètre d’un puits de forme cylindrique .

Le point C est à la verticale de D, au fond du puits .

Une personne se place en un point E de la demi-droite [DA) de sorte que ses yeux soient alignés avec les points A et C.

On note Y le point correspondant aux yeux de cette personne.

On sait que :

AD = 1,5 m ; EY=1,7 m ; EA=0,6 m .

1.Démontrer que les droites (DC) et (EY) sont parallèles .

2. Calculer DC, la profondeur du puit.

Exercice 28 – Droite des milieux et ses propriétés

Les droites (MO) et (RT) sont parallèles.
Montrer que O est le milieu de [ST].

Exercice 29 – Propriétés et droite des milieux

1. Montrer que les droites (IO) et (BD) sont parallèles.
2. Montrer que J est le milieu de [AC].

Exercice 30 :

Un funiculaire part de D pour se rendre à A suivant la droite (DA) .

DM = 420 m ;  DH = 1 000 m;

MP = 252 m.

Les triangles DPM et DAH sont respectivement rectangles en P et H.

1) Calculer la distance DP en mètre.

2) a) Démontrer que les droites (MP) et (HA) sont parallèles.

b) Calculer la distance DA en mètre puis en kilomètre.

Exercice 31 :

Les droites (BD) et (CE) se coupent en A et les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

AC=3cm; AE=4,5 cm; AB = 4 cm et DE = 4,2 cm.

a. Calculer les longueurs AD et BC.
b. F et G sont les points indiqués des droites (AC) et (AB) tels que :
AF = 4,05 cm et AG= 5,4 cm.
Montrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.

Exercice 32 :

Les droites (BC) et (RT) sont parallèles.
Les points R et E appartiennent à la droite (AB) et le point T appartient à la droite (AC).
On donne :
AB=6 cm ; AC=72 cm ; BC=10 cm;
AR=4,5 cm et BE =2 cm.

a. Calculer AT,TR et AE.
b. Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles ?

Exercice 33 : 

Le triangle LJ’K’ est l’image du triangle LJK par l’homothétie de centre Let de rapport – 0,4.

Donner les longueurs des trois côtés du triangle LJ’K’.

Exercice 34 :

Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur d’un véhicule ne voit pas lors d’une
marche arrière.

Données :

• (AE) // (BD)
• AE = 1,50 m
• ED = 1,10 m
• EC =6 m

a. Calculer DC.
b. En déduire que ED = 1,60 m.
c. Une fillette mesure 1,10 m.
Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette.
Le conducteur peut-il la voir ? Expliquer.

Exercice 35 :

On souhaite fabriquer des cisailles de façon qu’à un écartement de 14 cm des poignées de la cisaille
corresponde une ouverture de 50 cm des lames, en jaune sur le schéma (le dessin n’est pas à l’échelle).
a. Représenter cette situation par un croquis à main levée et coder les longueurs connues.

b. Calculer une valeur approchée de la longueur des lames du ciseau.

Exercice 36 :

1.Démontrer que les droites (LF) et (HG) sont parallèles.

2.Calculer EF, EH et FG.

Exercice 37 :

Sur la figure ci-dessous, BR=2,5 cm, BL=15 cm, BE=1,5 cm et BI = 9 cm.

Les points I,B et E sont alignés dans le même ordre que L,B,R.

Montrer que les droites (IL) et (ER) sont parallèles.

Exercice 38 :  

Dans chaque cas, on passe du triangle OBE au triangle ABC par une homothétie.
Donner le centre et le rapport de l’homothétie, puis calculer les longueurs OE et BE.

Exercice 39 : 

Les points O, P et U sont alignés ainsi que les points O, Q et V.
Les droites (QP) et (VU) sont parallèles.
Calculer mentalement OU et QP.

Exercice 40 :

Les droites (BN) et (CM) se coupent en A.
Dans chaque cas, déterminer si les droites (BC) et (MN) sont parallèles ou non.

Exercice 41 :

La tour du One World Trade Center a été inaugurée en 2014, à New York (États-Unis).

Une personne de 1,65 m, située à 100 m de la tour, mesure (O représente son œil).

Calculer une valeur approchée à l’unité près de la hauteur, en m, de cette tour.

Exercice 42 :

Voici un plan de coupe de l’une des deux lucarnes de cette maison.

Déterminer une valeur approchée au degré près de :
a. la mesure de ,
b. la mesure de ,
c. la mesure de .

Exercice 43 :

Les droites (NM) et (AC) sont parallèles et les longueurs sont exprimées en cm.

Calculer la valeur de NM (donner la valeur exacte et la valeur approchée au millimètre).

Exercice 44 :  

Les droites (AD) et (CE) sont parallèles.

Calculer la valeur de CE (donner la valeur exacte et la valeur approchée au millimètre)

Exercice 45 :

LU Un géomètre, positionné en À, souhaite calculer l’altitude du sommet S d’une colline.

Son GPS lui indique qu’il se trouve lui-même à une altitude de 625 m.

Il’effectue les mesures suivantes :

a. Donner une valeur approchée au centième près de
la hauteur HS, en m, de la colline.
b. En déduire l’altitude du point S.

Exercice 46 :

Sur la figure ci-dessous :

– les droites (AE) et (TI) sont sécantes en L;

– les droites (EI) et (AT) sont parallèles.

Que peut-on penser des affirmations de Fatou et d’Arthur ?

Exercice 47 :

Océane peut, malgré le collège, voir de sa fenêtre le stade dans son intégralité.

Calculer la hauteur h du collège.
On considérera que les murs verticaux sont parallèles.

Exercice 48 :  

Pour ce piano :
GE= 48 cm;
GF=60cm;
ED=1,2met
C=1,5m.
Le sol est représenté par la droite (CD).
Le clavier est-il parallèle au sol ?

Exercice 49 :

Les droites (DB) et (CE) se coupent en A et les droites (DE) et (CB) sont parallèles.
Calculer la longueur AD.

Exercice 50 :  

Noé (N) doit rejoindre sa sœur Juliette (J).

Il coupe à travers le parc en passant par le point B.
Le parc est représenté par le rectangle AJDC.

Quelle distance Noé va-t-il parcourir ?

Exercice 51 :

Find the value of the height h, in the following diagram, at which the tennis ball must be hit so that
it will just pass over the net and land 5 meters away from the base of the net.

The diagram is not to scale.

Exercice 52 : 

Des élèves participent à une course.
Avant l’épreuve, un plan leur a été remis.
Il est représenté par la figure ci-dessous.

On convient que :

• les droites (AE) et (BD) se coupent en C,
•  les droites (AB) et (DE) sont parallèles,
• ABC est un triangle rectangle en A.

Calculer la longueur réelle du parcours ABCDE.

Exercice 53 :

Les questions 2, 3 et 4 sont indépendantes. L’unité est le centimètre.
1) Construire un triangle MAI rectangle en A tel que AM = 8 et IM = 12. Indiquer brièvement les étapes de la construction.
2) Calculer la valeur exacte de AI.
3) R est le point du segment [MI] tel que MR = 9.
La parallèle à (AI) passant par R coupe [AM] en E.
Calculer ME.
4) Calculer .
En déduire la valeur arrondie au degré de .

Exercice 54 :

Soit un triangle ADE rectangle en A tel que :
AD = 5 cm et AE = 3 cm.
B est le point de la demi-droite [AD) tel que BA = 8 cm.
La parallèle à la droite (DE) passant par B coupe (AE) en C.
1) Faire la figure.
2) Calculer DE. En donner une valeur arrondie au mm près.
3) Calculer AC.
4) Calculer BC. En donner une valeur arrondie au mm près.
5) Calculer  .
6) En déduire la mesure de l’angle    arrondie au degré.

Exercice 55 :

Soit IJK un triangle rectangle en I tel que IJ = 3,6 cm et IK = 4,8 cm.

On place le point L de la demi-droite [KI) tel que KL = 8 cm.

La parallèle à la droite (IJ) passant par L coupe (KJ) en M.

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur, elle n’est pas à reproduire.

1) Démontrer que KJ = 6 cm.

2) Calculer la valeur de KM, en justifiant la réponse.

3) Déterminer une mesure de l’angle  à 1 degré près.

Exercice 56 :

On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5, BC = 9, l’unité étant le cm.

1) Construire le triangle ABC en vraie grandeur.

2) Calculer la valeur exacte de AC.

3) Calculer la mesure de l’angle à un degré près par défaut.

4) Le cercle de centre B et de rayon AB coupe le segment [BC] en M. La parallèle à la droite (AC) qui passe par M coupe le segment [AB] en N.

• Compléter la figure.
• Calculer la valeur exacte de BN.

Exercice 57 :

Un fabricant d’enseignes lumineuses doit réaliser la lettre z (en tubes de verre soudés) pour la fixer sur le haut d’une vitrine. Voici le schéma donnant la forme et certaines dimensions de l’enseigne :

Les droites (AD) et (BC) se coupent en O.

1. Sachant que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, calculer les longueurs AB et OB (donner les résultats sous forme fractionnaire).
2. Démontrer que le tube [BC] est perpendiculaire à la droite (AD).
3. Calculer  .

En déduire la valeur arrondie de l’angle  à un degré prés.

Exercice 58 :

Soit ABC un triangle tel que : AB = 4,5 cm BC = 7,5 cm AC = 6 cm

1. Construire un tel triangle.
2. Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
3. Calculer à un degré près l’angle .
4. M est le point du segment [AB] tel que AM = 1,5 cm, et N est le point du segment [AC] tel que NC = 4 cm.

Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier.

Exercice 59 :

L’unité est le centimètre.

1. Construire un triangle RST tel que : RS = 4,5 ST = 6 RT = 7,5

On laissera les traits de construction.

2. Montrer que le triangle RST est rectangle.
3. a) Tracer le cercle (C) de centre R et de rayon 4,5. Le cercle (C) coupe le segment [RT] en K.
4. b) Tracer la droite d passant par le point K et parallèle à la droite (RS).

cette droite d coupe le segment [TS] en un point L.

Placer ce point sur la figure.

1. c) Calculer KL.
2. Calculer l’angle   (on donnera l’arrondi au degré).

Exercice 60 :

Construire le cercle (C) de centre O et de rayon 4 cm. Tracer un diamètre [AB] de ce cercle.

Construire le point S symétrique du point O par rapport au point A, puis le cercle (C’) de diamètre [OS]. Le cercle (C’) coupe le cercle (C) en deux points T et T’.

1. a) Démontrer que le triangle SOT est rectangle en T
2. b) Que représente la droite (ST) pour le cercle (C) ? Justifier.
3. Déterminer la mesure de l’angle .
4. La droite passant par B et parallèle à la droite (OT) coupe la droite (ST) en P
5. a) Construire la droite (BP).
6. b) Calculer BP