Probabilités : cours de maths en 3ème

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Les probabilités dans un cours de maths en 3ème où nous étudierons la définition d’une probabilité ainsi que la notion d’ensemble et d’expérience aléatoire. Nous verrons les différents événements impossible, contraires ou incompatibles. Dans cette leçon en troisième, nous tracerons des arbres de probabilités à une ou deux épreuves.

I. Notion de probabilité

1.Issues et arbre de probabilité

Définition :

Lorsqu’on effectue une expérience aléatoire, on ne peut pas prévoir à l’avance quel va être son résultat, parmi les différentes issues possibles.

Un arbre de probabilité est un schéma permettant de visualiser les différentes issues d’une expérience aléatoire..Sur chaque branche menant à une issue, on indique la probabilité de cette issue.

On dit que l’arbre est pondéré par les probabilités.

Exemple :

Katia lance un dé équilibré à six faces numérotées 1, 2, 2, 3, 3 et 3.On observe le nombre indiqué sur la face supérieure : les issues sont 1, 2 et 3.Le dé est équilibré, donc chaque face a autant de chance de sortir qu’une autre.

\star\, Ainsi, la probabilité de sortie du nombre 1 est de  \frac{1}{6} , puisqu’une seule face du dé porte le numéro 1.

\star\, Deux faces portent le nombre 2, donc la probabilité de l’issue 2 est de \frac{2}{6} soit \frac{1}{3}.

\star\, De même, celle de l’issue 3 est \frac{3}{6}  soit \frac{1}{2} soit encore 0,5 ou 50 %.

On résume ces résultats sur l’arbre de probabilité ci-dessous.

Arbre de probabilités

Propriété :

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.Elle peut être exprimée par un nombre en écriture fractionnaire, en écriture décimale, ou bien encore sous forme d’un pourcentage.

2.Evénements

Définition :
  • Un événement réalisé par aucune issue est appelé événement impossible.Sa probabilité est 0.
  •  Un événement réalisé par toute issue de l’expérience est appelé événement incertain.

Sa probabilité est 1.

\star\, L’événement contraire d’un événement A est l’événement, noté \overline{A}, qui est réalisé lorsque A n’est pas réalisé.

Propriété :

\star\, La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.\star\, La somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égale à 1.

Nous avons P(A)+P(\overline{A})=1.

Exemple :

Reprenons le dé de Katia.

  • L’événement « obtenir un multiple de 5 » est un événement impossible.
  • L’événement « obtenir un nombre à un chiffre » est un événement certain.
  • L’événement « obtenir un nombre impair » est réalisé par les issues 1 et 3.

Sa probabilité est donc \frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

On en déduit que la probabilité de l’événement contraire « obtenir un nombre pair » est de \frac{1}{3}.

Définition :
Deux événements sont dits incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.

Exemple :

Avec le dé de Katia, l’événement « obtenir un nombre pair » et l’événement « obtenir 3 » sont incompatible.

3.Des fréquences aux probabilités

Lorsque aucune considération de régularité ou de symétrie ne permet de connaître la probabilité d’une issue, on peut l’estimer en effectuant un grand nombre de fois une expérience aléatoire.

Propriété :

On considère une expérience aléatoire et un événement A dont la probabilité est notée P(A).Lorsqu’on répète un grand nombre de fois cette expérience aléatoire, la fréquence d’apparition de l’événement A a tendance à se stabiliser autour du nombre P(A).

Exemple :

En lançant un grand nombre de fois un bouchon de la même façon, on pourrait ainsi estimer la probabilité qu’il retombe dans l’une ou l’autre des positions ci-dessous.

bouchon

II.Expérience à deux épreuves

Propriété :
Sur un arbre de probabilité illustrant une expérience aléatoire à deux épreuves, la probabilité d’une issue est obtenue en multipliant les probabilités rencontrées sur les branches du chemin de l’arbre menant à cette issue.

Exemple :

On lance une pièce de monnaie équilibrée, puis ensuite on lance le dé de Katia.

On note P l’événement « la pièce tombe sur pile » et F « la pièce tombe sur face ».

Arbre de probabilité

L’arbre de probabilité permet de visualiser les six issues de cette expérience aléatoire à deux épreuves.

La probabilité que la pièce tombe sur face, puis que le dé tombe sur 1, notée (F;1) est donnée par le chemin de l’arbre représentant cette issue.

Elle est donc égale au produit \frac{1}{2}\times  \,\frac{1}{6}, soit \frac{1}{12}.

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