Par ailleurs, de plus, Voici le sujet n° 2 du bac de mathématiques 2024 posé aux centres étrangers (jour 2), destiné aux élèves de terminale qui suivent l’enseignement de spécialité. Ensuite, en outre, pour le bac centres étrangers 2024, l’épreuve dure quatre heures et comporte quatre exercices indépendants, suivis ici d’une correction entièrement rédigée.
Ensuite, le premier exercice relève du dénombrement et des probabilités : tirages avec remise de jetons, loi et espérance d’une variable aléatoire, somme de trois numéros. Par ailleurs, le deuxième propose l’étude d’une fonction mêlant exponentielle et quotient : limites et asymptotes, dérivée, tableau de variations, convexité, tangente et inégalité, puis équation résolue grâce au théorème des valeurs intermédiaires. Par ailleurs, le troisième travaille la géométrie dans l’espace dans un cube : vecteur normal, équation cartésienne d’un plan, représentation paramétrique, projeté orthogonal et volume d’une pyramide. De plus, de plus, le dernier associe une fonction racine carrée à une suite récurrente, avec raisonnement par récurrence, convergence et un script en Python.
Traitez d’abord chaque exercice au brouillon en temps limité, comme le jour de l’examen, puis comparez votre copie avec le corrigé détaillé placé sur une page dédiée : chaque réponse y est justifiée et chaque résultat vérifié.
Bac 2024 étrangers : organisation de l’épreuve
Avant tout, précisons que ce bac 2024 étrangers reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2024 aux centres étrangers dans sa version intégrale. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants, notés respectivement sur 5, 6, 5 et 4 points. Côté programme, il faut notamment maîtriser le dénombrement, l’espérance d’une variable aléatoire, les limites et la dérivation. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. Par conséquent, c’est un excellent entraînement en conditions réelles, à condition de le traiter sans regarder la correction.
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Centres étrangers – SESSION 2024
MATHÉMATIQUES
Jour 2
Durée de l’épreuve : 4 heures
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie.
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
Exercice 1 (5 points)
Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans
le sac.
Ensuite, dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton
numéro 1, alors le tirage correspondant est (4 ; 5 ; 1).
1. Par ailleurs, déterminer le nombre de tirages possibles.
2. a. Puis déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
b. Ensuite, en déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.
On note \(X_1\) la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, \(X_2\) celle égale au
numéro du deuxième jeton pioché et \(X_3\) celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu’il s’agit d’un tirage avec remise, les variables aléatoires \(X_1\), \(X_2\) et \(X_3\) sont
indépendantes et suivent la même loi de probabilité.
3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X_1\).
Exercice 1 du bac 2024 étrangers : questions 4 à 7
4. Puis déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(X_1\).
On note \(S=\,X_1\,+\,X_2\,+\,X_3\) la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois
jetons piochés.
5. De plus, déterminer l’espérance de la variable aléatoire \(S\).
6. Ensuite, déterminer \(P(S\,=\,24)\).
7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à 22, alors il gagne un lot.
a. Par ailleurs, justifier qu’il existe exactement 10 tirages permettant de gagner un lot.
b. Puis en déduire la probabilité de gagner un lot.
Exercice 2 (6 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(]-\infty;\,1[\) par \(f(x)\,=\,\frac{e^x\,}{x-1}\) .
De plus, on admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(]-\infty;\,1[\).
Ensuite, on appelle \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère.
1. a. Puis déterminer la limite de la fonction \(f\) en 1.
b. De plus, en déduire une interprétation graphique.
2. Ensuite, déterminer la limite de la fonction \(f\) en \(-\infty\).
3. a. Par ailleurs, montrer que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]-\infty;\,1[\), on a \(f^{\prime}(x)\,=\frac{(x-2)e^x}{(x-1)^2}\).
b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-\infty;\,1[\) .
4. Puis on admet que pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]-\infty;\,1[\), on a \(f^{\prime\prime}(x)\,=\frac{(x^2-4x+5)e^x}{(x-1)^3}\).
a. Étudier la convexité de la fonction \(f\) sur l’intervalle \(]-\infty;\,1[\) .
b. Ensuite, déterminer l’équation réduite de la tangente T à la courbe \(C_f\) au point d’abscisse 0.
c. Puis en déduire que, pour tout réel \(x\) de l’intervalle \(]-\infty;\,1[\), on a :
\(e^x\,\geq\,\,\,(-2x\,-\,1)(x\,-\,1)\).
5. a. De plus, justifier que l’équation \(f(x)=-2\) admet une unique solution \(\alpha\) sur l’intervalle \(]-\infty;\,1[\) .
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\).
Exercice 3 (5 points)
Le cube \(ABCDEFGH\) a pour arête 1 cm.
Ensuite, le point \(I\) est le milieu du segment \([AB]\) et le point \(J\) est le milieu du segment \([CG]\).
On se place dans le repère orthonormé \((A\,;\vec{AB},\,\vec{AD}\,,\vec{AE})\,.\)
1. Par ailleurs, donner les coordonnées des points \(I\) et \(J\).
2. Puis montrer que le vecteur \(\vec{EJ}\) est normal au plan \((FHI)\).
3. Ensuite, montrer qu’une équation cartésienne du plan \((FHI)\) est \(-\,2x-\,2y\,+\,z\,+\,1\,=\,0\).
4. Puis déterminer une représentation paramétrique de la droite \((EJ)\).
5. a. De plus, on note \(K\) le projeté orthogonal du point \(E\) sur le plan \((FHI)\).
Ensuite, calculer ses coordonnées.
b. Par ailleurs, montrer que le volume de la pyramide \(EFHI\) est \(\frac{1}{6}\text{ cm}^3\).
On pourra utiliser le point \(L\), milieu du segment \([EF]\). Puis on admet que ce point est le
projeté orthogonal du point \(I\) sur le plan \((EFH)\).
c. Ensuite, déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle \(FHI\).
Exercice 4 (4 points)
Partie A
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x+1}\) .
Puis on admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.
1. Démontrer que la fonction \(f\) est croissante sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\).
2. Démontrer que pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) :
\(f(x)-x=\frac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}\)
3. Ensuite, en déduire que sur l’intervalle \([0\,;\,+\infty[\) l’équation \(f(x)=x\) admet pour unique solution :
\(l=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
Partie B
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0\,=\,5\) et pour tout entier naturel \(n,\,u_{n+1}\,=\,f(u_n)\) où
\(f\) est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général \(u_n\) est bien définie pour tout entier naturel \(n\).
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), on a \(1\,\leq\,\,\,u_{n+1}\,\leq\,\,\,u_n\) .
2. Par ailleurs, en déduire que la suite \((u_n)\) converge.
3. Démontrer que la suite \((u_n)\) converge vers \(l=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
4. Puis on considère le script Python ci-dessous :
from math import *
def seuil(n):
u = 5
i = 0
l = (1 + sqrt(5)) / 2
while abs(u - l) >= 10**(-n):
u = sqrt(u + 1)
i = i + 1
return i
On rappelle que la commande abs(x) renvoie la valeur absolue de x.
a. Ensuite, donner la valeur renvoyée par seuil(2).
b. Puis la valeur renvoyée par seuil(4) est 9.
Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
Voir le corrigé détaillé : Corrigé du bac de maths 2024 aux centres étrangers (jour 2)
Comment réviser avec ce bac 2024 étrangers
D’abord, imprimez le sujet ou gardez-le à l’écran et traitez les exercices dans l’ordre qui vous convient, en temps limité. Puis ouvrez le corrigé détaillé pour vérifier vos réponses, en regardant surtout la rédaction attendue. Puis en outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment le dénombrement ou l’espérance d’une variable aléatoire, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, refaites les questions ratées deux ou trois jours plus tard, cette fois sans rien regarder. Ensuite, pour un rappel de cours indépendant, vous pouvez aussi consulter l’article de Wikipédia sur dénombrement.
Les pièges classiques
- En dénombrement, demandez-vous d’abord si l’ordre compte et si les répétitions sont permises : c’est ce qui décide entre k-uplets et combinaisons.
- Pour une espérance, vérifiez que les probabilités de la loi somment à 1 avant de calculer.
- Pour une limite, signalez explicitement la forme indéterminée puis la méthode choisie (factorisation, croissances comparées, composition).
Bac 2024 étrangers : questions fréquentes
Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, le dénombrement, l’espérance d’une variable aléatoire et les limites, mais aussi la dérivation.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
