Valeur absolue et intervalle : corrigé des exercices de maths en 2de à télécharger en PDF

EXERCICE 1 (corrigé valeur absolue)

a) \(|2-x|=|x-2|\lt 4\) équivaut à \(-4\lt x-2\lt 4\), soit \(-2 \lt x \lt 6\) : \(S=\,]-2;6[\).

b) \(|6-2x|=3\) équivaut à \(6-2x=3\) ou \(6-2x=-3\), soit \(2x=3\) ou \(2x=9\) : \(S=\{\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2}\}\).

c) \(|x+2|\gt 3\) : la distance entre \(x\) et \(-2\) dépasse 3, donc \(x \lt -5\) ou \(x \gt 1\) : \(S=\,]-\infty;-5[\,\cup\,]1;+\infty[\).

d) \(|x+2|\) est la distance entre \(x\) et \(-2\), \(|x+3|\) la distance entre \(x\) et \(-3\). L’inégalité signifie que \(x\) est plus proche de \(-2\) que de \(-3\), c’est-à-dire situé strictement à droite du milieu \(-\dfrac{5}{2}\) de ces deux nombres : \(S=\,]-\dfrac{5}{2};+\infty[\).

e) Une valeur absolue est toujours positive ou nulle, donc \(|x^3-1|+\pi\geq\, \pi \gt 0\) pour tout réel \(x\) : \(S=\mathbb{R}\).

f) \(3\lt |x+2|\lt 4\) équivaut à \(3\lt x+2\lt 4\) ou \(-4\lt x+2\lt -3\), soit \(1\lt x\lt 2\) ou \(-6\lt x\lt -5\) : \(S=\,]-6;-5[\,\cup\,]1;2[\).

g) \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\) est positif, donc l’équation s’écrit \((2x-3)^2=4\), soit \(2x-3=2\) ou \(2x-3=-2\) : \(S=\{\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\}\).

h) \(3x+1\) s’annule en \(-\dfrac{1}{3}\) et \(1-x\) en 1 ; on étudie trois cas.
Si \(x\lt -\dfrac{1}{3}\) : l’inéquation devient \(-(3x+1)+(1-x)=-4x\gt 3\), soit \(x\lt -\dfrac{3}{4}\).
Si \(-\dfrac{1}{3}\leq\, x\leq\, 1\) : elle devient \(3x+1+1-x=2x+2\gt 3\), soit \(x\gt \dfrac{1}{2}\), d’où \(\dfrac{1}{2}\lt x\leq\, 1\).
Si \(x\gt 1\) : elle devient \(3x+1+x-1=4x\gt 3\), vrai pour tout \(x\gt 1\).
\(S=\,]-\infty;-\dfrac{3}{4}[\,\cup\,]\dfrac{1}{2};+\infty[\).

i) \(1+x^2\gt 0\), donc \(|1+x^2|=1+x^2\) et l’équation s’écrit \(x^2-2x+1=0\), soit \((x-1)^2=0\) : \(S=\{1\}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

EXERCICE 2 (corrigé valeur absolue)

a) \(|-4|=4\) b) \(|3{,}8|=3{,}8\) c) \(|-\dfrac{100}{3}|=\dfrac{100}{3}\)

d) \(|5-6|=|-1|=1\) e) \(\sqrt{17}\gt \sqrt{4}=2\), donc \(|\sqrt{17}-2|=\sqrt{17}-2\)

f) \(2-\sqrt{17}\lt 0\), donc \(|2-\sqrt{17}|=\sqrt{17}-2\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

EXERCICE 3 (corrigé valeur absolue)

a) \(|4|+|-3|=4+3=7\) b) \(|1{,}2|-|-1{,}2|=1{,}2-1{,}2=0\)

c) \(\dfrac{|5-8|-3}{2}=\dfrac{3-3}{2}=0\) d) \(2|4-10|+|7-5|=2\times 6+2=14\)

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

EXERCICE 4 (corrigé valeur absolue)

1.a) On place 5 et \(\frac{1}{3}\) sur la droite graduée (\(\frac{1}{3}\) se trouve au tiers de l’unité entre 0 et 1).

b) La distance entre 5 et \(\frac{1}{3}\) est \(5-\frac{1}{3} = \frac{14}{3}\).

2. On place 3 et \(-\frac{4}{5}\) (entre \(-1\) et 0, à 4 cinquièmes d’unité de 0).

La distance entre 3 et \(-\frac{4}{5}\) est \(3-(-\frac{4}{5}) = \frac{19}{5}\).

3. On place \(-1\) et \(-\frac{4}{5}\), qui sont très proches.

La distance entre – 1 et \(-\frac{4}{5}\) est \(|-1-(-\frac{4}{5})| = |-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

EXERCICE 5 (corrigé valeur absolue)

a) \(|\frac{125}{3}-2| = \frac{119}{3}\)

b) \(|\sqrt{2}-5| = 5-\sqrt{2}\)

c) \(|-5-\frac{12}{5}| = \frac{37}{5}\)

d) \(|\pi -4| =4- \pi\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

EXERCICE 6 (corrigé valeur absolue)

a) \(|5-\pi|=5-\pi\)

b) \(|8-\frac{2}{3}| = |\frac{24}{3}-\frac{2}{3}|= | \frac{22}{3} | = \frac{22}{3}\)

c) \(|2-\frac{9}{2}| = | \frac{4}{2} – \frac{9}{2}| = |-\frac{5}{2}| = \frac{5}{2}\)

d)\(|-1-8| = |-9| = 9\)

e)\(|-5-\pi| = |\pi + 5|= \pi + 5\)

f) \(|\frac{1}{2}+6| = |\frac{13}{2}| = \frac{13}{2}\)

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

EXERCICE 7 (corrigé valeur absolue)

a) \(|x-100|\) représente la distance entre x et 100.

b) \(|x-\frac{1}{3}|\) représente la distance entre x et \(\frac{1}{3}\).

c) \(|x+5|\) représente la distance entre x et \(-5\).

d) \(|1{,}35-x|\) représente la distance entre \(x\) et \(1{,}35\).

e) \(|-7-x|\) représente la distance entre \(x\) et \(-7\).

f) \(|\pi-x|\) représente la distance entre \(x\) et \(\pi\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

EXERCICE 8 (corrigé valeur absolue)

a) L’inégalité \(|x-10|\leq\,\,\, 1\) est équivalente à \(-1\leq\,\,\, x-10\leq\,\,\, 1\), c’est-à-dire \(9\leq\,\,\, x\leq\,\,\, 11\).

Donc l’ensemble des réels x vérifiant cette inégalité est [9 ; 11].

b) L’inégalité \(|x-2,5|\leq\,\,\, 0,2\) est équivalente à \(-0,2\leq\,\,\, x-2,5\leq\,\,\, 0,2\), c’est-à-dire \(2,3\leq\,\,\, x\leq\,\,\, 2,7\). Donc l’ensemble des réels x vérifiant cette inégalité est [2,3 ; 2,7].

c) L’inégalité \(|x-\frac{1}{2}|\leq\,\,\, \frac{5}{2}\) est équivalente à \(-\frac{5}{2}\leq\,\,\, x-\frac{1}{2}\leq\,\,\, \frac{5}{2}\), c’est-à-dire \(-2\leq\,\,\, x\leq\,\,\, 3\).

Donc l’ensemble des réels x vérifiant cette inégalité est [-2 ; 3].

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

EXERCICE 9 (corrigé valeur absolue)

1. a) Le centre de [2 ; 6] est \(c=\frac{2+6}{2}=4\), et son rayon est \(r=\frac{6-2}{2}=2\).

b) |x – 4| représente la distance entre x et 4 sur la droite des réels.

c) \(x\in[2;6]\Leftrightarrow |x-4|\leq\,\,\, 2\).

2. a) Le centre de [1 ; 25] est \(c=\frac{1+25}{2}=13\), et son rayon est \(r=\frac{25-1}{2}=12\).

b) Le centre de [6 ; 20] est \(c=\frac{6+20}{2}=13\), et son rayon est \(r=\frac{20-6}{2}=7\).

\(|x-13|\leq\,\,\, 12\) pour [1 ; 25] et \(|x-13|\leq\,\,\, 7\) pour [6 ; 20].

c) Le centre de [1,2 ; 3] est \(c=\frac{1,2+3}{2}=2,1\) et son rayon est \(r=\frac{3-1,2}{2}=0,9\).

\(|x-2,1|\leq\,\,\, 0,9\) pour [1,2 ; 3].

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

EXERCICE 10 (corrigé valeur absolue)

On utilise le centre \(c\) et le rayon \(r\) de l’intervalle : \(x\in[c-r;c+r]\Leftrightarrow |x-c|\leq\, r\).

a) Centre \(\dfrac{-4+5}{2}=\dfrac{1}{2}\), rayon \(\dfrac{5-(-4)}{2}=\dfrac{9}{2}\) : \(|x-\dfrac{1}{2}|\leq\, \dfrac{9}{2}\).

b) Centre \(\dfrac{0+1{,}1}{2}=0{,}55\), rayon \(0{,}55\) : \(|x-0{,}55|\leq\, 0{,}55\).

c) Centre \(\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})=\dfrac{1}{2}\), rayon \(\dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{6}\) : \(|x-\dfrac{1}{2}|\leq\, \dfrac{1}{6}\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 11 (corrigé valeur absolue)

On lit les abscisses : A a pour abscisse 4, B a pour abscisse 1 et C a pour abscisse \(-3\). La distance entre deux points est la valeur absolue de la différence de leurs abscisses.

a. \(AB=|4-1|=\) 3 b. \(AC=|4-(-3)|=\) 7

c. \(BC=|1-(-3)|=\) 4 d. \(CC=|-3-(-3)|=\) 0

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 12 (corrigé valeur absolue)

Les abscisses sont : A : \(-1\), B : \(-3\), C : \(-8\).

a. \(AB=|-1-(-3)|=|2|=\) 2

b. \(AC=|-1-(-8)|=|7|=\) 7

c. \(BC=|-3-(-8)|=|5|=\) 5

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 13 :

a. Un carré est positif, donc \(|(1-\sqrt{2})^2|=(1-\sqrt{2})^2=1-2\sqrt{2}+2=\) \(3-2\sqrt{2}\).

b. \(2\sqrt{2}=\sqrt{8}\) et \(\sqrt{8}\gt \sqrt{3}\), donc \(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\gt 0\) et \(|2\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\) \(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\).

c. \(\pi\gt 3\) donc \(2\pi\gt 6\) et \(6-2\pi\lt 0\) : \(|6-2\pi|=\) \(2\pi-6\).

d. \(\dfrac{|-2|}{|-5+1|}=\dfrac{2}{|-4|}=\dfrac{2}{4}=\) \(\dfrac{1}{2}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 14 :

On utilise : pour \(r\gt 0\), \(|x-a|=r\) équivaut à \(x=a-r\) ou \(x=a+r\) ; et \(|x-a|=0\) équivaut à \(x=a\).

a. \(|x|=5\) : \(S=\{-5;5\}\).

b. \(|-x|=|x|\), donc \(|x|=19\) : \(S=\{-19;19\}\).

c. \(|x-7|=0\) : \(S=\{7\}\).

d. \(|x+5{,}4|=0\) : \(S=\{-5{,}4\}\).

e. \(|x-5|=8\) : \(x=5-8\) ou \(x=5+8\), \(S=\{-3;13\}\).

f. \(|x-\dfrac{7}{2}|=2\) : \(x=\dfrac{7}{2}-2\) ou \(x=\dfrac{7}{2}+2\), \(S=\{\dfrac{3}{2};\dfrac{11}{2}\}\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 15 :

On utilise : \(|x-a|\leq\, r\) équivaut à \(a-r\leq\, x\leq\, a+r\), et \(|x-a|\geq\, r\) équivaut à \(x\leq\, a-r\) ou \(x\geq\, a+r\).

a. \(|x-2|\leq\, 5\) : \(-3\leq\, x\leq\, 7\), \(S=[-3;7]\).

b. \(|x-5|\leq\, 1\) : \(4\leq\, x\leq\, 6\), \(S=[4;6]\).

c. \(|x+1{,}5|+2{,}5\lt 6\) équivaut à \(|x-(-1{,}5)|\lt 3{,}5\), soit \(-5\lt x\lt 2\) : \(S=\,]-5;2[\).

d. \(|x-\sqrt{3}|\lt \sqrt{3}\) : \(\sqrt{3}-\sqrt{3}\lt x\lt \sqrt{3}+\sqrt{3}\), \(S=\,]0;2\sqrt{3}[\).

e. \(|x-2|\geq\, \sqrt{3}\) : \(x\leq\, 2-\sqrt{3}\) ou \(x\geq\, 2+\sqrt{3}\), \(S=\,]-\infty;2-\sqrt{3}]\cup[2+\sqrt{3};+\infty[\).

f. \(|x+\pi|=|x-(-\pi)|\lt \sqrt{5}\) : \(S=\,]-\pi-\sqrt{5};-\pi+\sqrt{5}[\), soit environ \(]-5{,}38;-0{,}91[\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 16 :

Enoncé	Intervalle	Représentation graphique
\(-1\leq\, x\lt 3\)	\(x\in[-1;3[\)	segment de \(-1\) à 3, crochet fermé en \(-1\), crochet ouvert (tourné vers l’extérieur) en 3
\(4\gt x\gt 0\)	\(x\in\,]0;4[\)	segment de 0 à 4, crochets ouverts aux deux bouts
\(-7\geq\, x\gt -8\)	\(x\in\,]-8;-7]\)	segment de \(-8\) à \(-7\), crochet ouvert en \(-8\), fermé en \(-7\)
\(x\in\mathbb{R}^+\)	\(x\in[0;+\infty[\)	demi-droite partant de 0 (crochet fermé) vers la droite
\(x\neq 5\)	\(x\in\,]-\infty;5[\,\cup\,]5;+\infty[\)	toute la droite sauf le point 5 (deux crochets ouverts en 5)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 17 :

1) \(y\) vérifie les deux conditions à la fois : \(y \in\, ]-3;4[\).

2) Tout réel est supérieur à \(-3\) ou inférieur à 4 (un réel qui n’est pas supérieur à \(-3\) est inférieur à 4) : \(y\in\mathbb{R}=\,]-\infty;+\infty[\).

3) \(\dfrac{1}{3}\lt \dfrac{1}{2}\) : les deux conditions à la fois reviennent à \(y\leq\, \dfrac{1}{3}\), \(y \in\, ]-\infty;\dfrac{1}{3}]\).

4) L’une ou l’autre revient à \(y\leq\, \dfrac{1}{2}\) : \(y \in\, ]-\infty;\dfrac{1}{2}]\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 18 :

1) Le crochet est ouvert en 7 : \(7 \notin\, ]0;7[\).

2) \(5{,}9\gt 5{,}8\) : \(5{,}9 \in\, ]5{,}8;+\infty[\).

3) \(-0{,}3\lt -0{,}25\lt -0{,}2\) : \(-0{,}25 \in\, ]-0{,}3;-0{,}2[\) et, comme \(-0{,}25\) est négatif, \(-0{,}25 \notin\, ]1;2]\).

4) \(-0{,}2\lt -0{,}199\lt -0{,}19\) : \(-0{,}199 \in\, ]-0{,}2;-0{,}19[\).

5) \(\pi\approx 3{,}14159\gt 3{,}141\) : \(\pi \notin [3{,}14;3{,}141[\).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 19 :

1) Vrai : si \(x\geq\, 6{,}7\), alors \(x\geq\, 6\).
2) Faux : \(x=-2{,}5\) appartient à \(]-3;4[\) mais pas à \([-2;5[\).
3) Vrai : si \(x\notin[-5;2[\), alors \(x\lt -5\) (donc \(x\lt -3\)) ou \(x\geq\, 2\).
4) Vrai : tout réel \(x\) tel que \(0\lt x\lt 4\) vérifie \(0\leq\, x\lt 4\).
5) Vrai : tout entier naturel est un rationnel positif.
6) Vrai : tout nombre décimal est rationnel (\(\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\)), donc un nombre qui n’est pas rationnel ne peut pas être décimal.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 20 :

A = [ – 5 ; 12 [ (les deux intervalles se chevauchent sur [ – 2 ; 7 [)
B = ] – 2 ; +∞ [ (le premier intervalle est contenu dans le second)
C = ] –∞ ; +∞ [ \(=\mathbb{R}\)
\(D = [ – 10 ; \frac{4}{3} [\)
E : la borne supérieure du premier intervalle manque dans l’énoncé. Si cette borne \(b\) est strictement supérieure à \(\frac{1}{2}\), les deux intervalles se chevauchent et \(E=[-4;10]\). Si \(b=\frac{1}{2}\) (avec un crochet ouvert), il manque seulement le nombre \(\frac{1}{2}\) : \(E=[-4;\frac{1}{2}[\,\cup\,]\frac{1}{2};10]\), qu’on ne peut pas écrire comme un seul intervalle.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 21 :

1) I = [ 2 ; 5,5 ] et J = ] 1 ; 3 ] se chevauchent entre 2 et 3.

I ∩ J = [ 2 ; 3 ] ; I ∪ J = ] 1 ; 5,5 ]

2) I ∩ J = [ – 1 ; 3 ] ; I ∪ J = ] – 2 ; +∞ [

3) \(-\sqrt{2}\approx -1{,}41\lt -1\) et \(\pi\approx 3{,}14\gt 3\), donc I est contenu dans J.

I ∩ J = ] – 1 ; 3 ] = I ; I ∪ J = \([-\sqrt{2}; \pi [\) = J

4) 0 appartient à la fois à \(\mathbb{R}^-\) et à \(\mathbb{R}^+\).

I ∩ J = {0} ; I ∪ J = \(\mathbb{R}\)

5) Les entiers 1, 2, 3 et 4 appartiennent tous à [ – 5 ; 5 ].

I ∩ J = {1 ; 2 ; 3 ; 4} ; I ∪ J = [ – 5 ; 5 ]

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 22 :

Chaque graduation vaut une unité. Un crochet tourné vers la partie colorée indique une borne incluse, un crochet tourné vers l’extérieur une borne exclue.

a) Le segment va de \(-3\) (inclus) à 1 (inclus) : \([-3;1]\).

b) Il va de 0 (exclu) à 5 (inclus) : \(]0;5]\).

c) La partie colorée part de la gauche sans limite et s’arrête à 4 (inclus) : \(]-\infty;4]\).

d) Elle commence à 2 (exclu) et continue vers la droite sans limite : \(]2;+\infty[\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 23 :

a) [0 ; 3]
b) ]-2 ; 1[
\(c) ]-\infty ; 9]\)
\(d) ]-3,5 ; +\infty[\)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 24 :

a) ]1 ; 6]
b) [–0,5 ; 3,2]
\(c) ]-\infty ; 2]\)
\(d) [0 ; +\infty[\)

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 25 :

\(a) 0\leq\,\, x\leq\,\, 1,2\)
\(b) -\frac{5}{3}<x\leq\,\, 3\)
\(c) x\geq\,\, 4,73\)
d) x<0

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 26 :

a) \(0\leq\, 1{,}4\leq\, 7\) : \(1{,}4\in[0;7]\).

b) \(-\pi\approx -3{,}14\lt -3\) : \(-\pi\notin\,]-3;-1[\).

c) \(\frac{7}{3}\approx 2{,}33\lt 6\) : \(6\in[\frac{7}{3};+\infty[\).

d) \(-3\gt -3{,}5\) : \(-3\notin\,]-\infty;-3{,}5[\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 27 :

On compare les fractions en les mettant au même dénominateur 15 : \(\frac{2}{3}=\frac{10}{15}\), \(\frac{4}{5}=\frac{12}{15}\), \(\frac{3}{5}=\frac{9}{15}\), \(\frac{1}{3}=\frac{5}{15}\), \(\frac{2}{5}=\frac{6}{15}\).

a) \(0\leq\, \frac{10}{15}\leq\, \frac{12}{15}\) : Oui, \(\frac{2}{3}\in[0;\frac{4}{5}]\).
b) \(\frac{9}{15}\leq\, \frac{10}{15}\leq\, 1\) : Oui, \(\frac{2}{3}\in[\frac{3}{5};1]\).
c) \(\frac{10}{15}\gt \frac{6}{15}\) : Non, \(\frac{2}{3}\notin[\frac{1}{3};\frac{2}{5}]\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 28 :

\(I\cap J=\,]2;8]\) (nombres qui sont à la fois dans I et dans J) et \(I\cup J=[-6;100[\) (nombres qui sont dans I ou dans J).

Nombre	I	J	\(I\cap J\)	\(I\cup J\)
a) \(-10\)	non	non	non	non
b) \(-6\)	oui	non	non	oui
c) \(-0{,}5\)	oui	non	non	oui
d) 2	oui	non (crochet ouvert)	non	oui
e) \(8{,}1\)	non	oui	non	oui
f) \(99{,}9\)	non	oui	non	oui
g) 1 000	non	non	non	non
h) 0	oui	non	non	oui

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 29 :

On utilise \(|x-a|=d(x,a)\), puis \(d(x,a)\lt r\Leftrightarrow x\in\,]a-r;a+r[\) et \(d(x,a)\geq\, r\Leftrightarrow x\in\,]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[\).

Valeur absolue	Distance	Intervalle(s) auxquels appartient \(x\)	Inégalités vérifiées par \(x\)
\(|x+2|\lt 1\)	\(d(x,-2)\lt 1\)	\(x\in\,]-3;-1[\)	\(-3\lt x\lt -1\)
\(|x-a|\geq\, r\)	\(d(x,a)\geq\, r\)	\(x\in\,]-\infty;a-r]\cup[a+r;+\infty[\)	\(x\leq\, a-r\) ou \(x\geq\, a+r\)
\(|x|\geq\, 5\)	\(d(x,0)\geq\, 5\)	\(x\in\,]-\infty;-5]\cup[5;+\infty[\)	\(x\leq\, -5\) ou \(x\geq\, 5\)
\(|x-5|\lt 3\)	\(d(x,5)\lt 3\)	\(x\in\,]2;8[\)	\(2\lt x\lt 8\)

Pour la dernière ligne, le centre de \(]2;8[\) est \(\frac{2+8}{2}=5\) et son rayon \(\frac{8-2}{2}=3\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 30 :

a. Faux. Contre-exemple : avec \(a=1\) et \(b=-1\), \(|a+b|=|0|=0\) alors que \(|a|+|b|=2\).

b. Faux. L’égalité \(|x|=|-x|\) est vraie pour tout réel \(x\) : par exemple \(|3|=|-3|=3\) alors que \(3\neq 0\).

c. Vrai. \(b-a=-(a-b)\) et un nombre et son opposé ont la même valeur absolue ; en termes de distance, la distance de \(a\) à \(b\) est égale à la distance de \(b\) à \(a\).

d. Vrai. \(|4x+4y|=|4(x+y)|=|4|\times |x+y|=4|x+y|\).

Corrigé valeur absolue : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, corrigé valeur absolue en seconde demande surtout de la régularité.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, pour aller plus loin, l’article Intervalle (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec equations et inéquations : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.