Calcul littéral corrigé : calcul littéral : corrigé des exercices de maths en 2de.
Voici la correction complète des quinze exercices de la fiche de seconde consacrée aux expressions algébriques. Chaque calcul est rédigé ligne par ligne : on montre comment appliquer la distributivité, quand reconnaître une identité remarquable et comment faire apparaître un facteur commun, parfois caché derrière un signe moins ou un coefficient.
Pour les trinômes de l’exercice 9, la méthode passe par la forme canonique ou par un regroupement astucieux des termes, deux réflexes utiles avant le programme de première. Les problèmes concrets (coupe conique, parcelles, demi-cercles, pavés droits, bac à fleurs) sont résolus en trois temps : mise en équation, factorisation puis équation produit nul, et enfin vérification que la solution convient à la situation, avec des valeurs exactes et leurs arrondis.
Ce corrigé de calcul littéral s’utilise après une vraie recherche personnelle : reprenez d’abord les énoncés des exercices de calcul littéral, puis confrontez votre démarche à la nôtre et repérez vos erreurs de signe, les plus fréquentes.
L’essentiel : Voici les solutions rédigées des exercices de maths en Seconde sur « Calcul littéral ». On le consulte après avoir cherché seul ; corrigé gratuit à télécharger en PDF.
EXERCICE 1 (calcul littéral corrigé)
On distribue chaque terme, puis on range les termes par puissances décroissantes.
- a) \(3x(x+5)=\mathbf{3x^2+15x}\)
- b) \(-2x(x+6)=\mathbf{-2x^2-12x}\)
- c) \(-3x(4-5x)=-12x+15x^2=\mathbf{15x^2-12x}\)
- d) \((1+x)(1+2x)=1+2x+x+2x^2=\mathbf{2x^2+3x+1}\)
- e) \((x^2+2)(x-1)=x^3-x^2+2x-2=\mathbf{x^3-x^2+2x-2}\)
- f) \(2x^2(1-3x^2)=2x^2-6x^4=\mathbf{-6x^4+2x^2}\)
EXERCICE 2 :
- a) \((x+3)(x+5)-4x=x^2+5x+3x+15-4x=\mathbf{x^2+4x+15}\)
- b) \(x(3-2x)+5x^2+2x=3x-2x^2+5x^2+2x=\mathbf{3x^2+5x}\)
- c) \((5-t)(1+2t)+2(3t+4)=5+10t-t-2t^2+6t+8=\mathbf{-2t^2+15t+13}\)
- d) \(2x^2(x+6)-x^3+4x^2-2x=2x^3+12x^2-x^3+4x^2-2x=\mathbf{x^3+16x^2-2x}\)
EXERCICE 3 :
On utilise \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) et \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
- a) \((x+12)^2=x^2+2\times x\times 12+12^2=\mathbf{x^2+24x+144}\)
- b) \((3x+1)(3x-1)=(3x)^2-1^2=\mathbf{9x^2-1}\)
- c) \((6-x)^2=36-12x+x^2=\mathbf{x^2-12x+36}\)
- d) \((x+1)^2+(x-2)^2=x^2+2x+1+x^2-4x+4=\mathbf{2x^2-2x+5}\)
EXERCICE 4 :
- a) \(2\times x\times 10=20x\), donc \((x+10)^2=x^2+20x+100\).
- b) \(81=9^2\), donc \((x+9)(x-9)=x^2-81\).
- c) \(64=8^2\) et \(2\times x\times 8=16x\), donc \(x^2+16x+64=(x+8)^2\).
EXERCICE 5 :
- a) \((x+\dfrac{1}{2})^2=x^2+2\times x\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\mathbf{x^2+x+\dfrac{1}{4}}\)
- b) \((3x-\dfrac{1}{3})^2=9x^2-2\times 3x\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}=\mathbf{9x^2-2x+\dfrac{1}{9}}\)
- c) \((x+\dfrac{2}{5})(x-\dfrac{2}{5})=x^2-(\dfrac{2}{5})^2=\mathbf{x^2-\dfrac{4}{25}}\)
- d) \((a+\sqrt{5})^2=a^2+2\sqrt{5}\,a+(\sqrt{5})^2=\mathbf{a^2+2\sqrt{5}\,a+5}\)
EXERCICE 6 :
- a) \(3x-15=3\times x-3\times 5=\mathbf{3(x-5)}\)
- b) \(4x^2-7x=x\times 4x-x\times 7=\mathbf{x(4x-7)}\)
- c) \(3x^3-5x^2+8x=\mathbf{x(3x^2-5x+8)}\). On ne peut pas aller plus loin avec des facteurs du premier degré, car \(3x^2-5x+8=3[(x-\dfrac{5}{6})^2+\dfrac{71}{36}]\) est toujours strictement positif.
- d) \(3a^2-6a=\mathbf{3a(a-2)}\)
- e) \(3x^3+9x^2=\mathbf{3x^2(x+3)}\)
- f) \(2\sqrt{x}+x\sqrt{x}=\mathbf{\sqrt{x}\,(2+x)}\) (pour \(x\geq\, 0\)).
EXERCICE 7 :
- a) Facteur commun \(2x-3\) : \((2x-3)[(24x-3)+(-22x+5)]=(2x-3)(2x+2)=\mathbf{2(2x-3)(x+1)}\)
- b) Facteur commun \(15x+7\) : \((15x+7)[(3-x)+(12x+5)]=\mathbf{(15x+7)(11x+8)}\)
- c) Facteur commun \(7x-26\) : \((7x-26)[(11x+28)+(12x+4)]=\mathbf{(7x-26)(23x+32)}\)
- d) Facteur commun \(13t+5\) : \((13t+5)[(-5t+2)-(8t-15)]=(13t+5)(-5t+2-8t+15)=\mathbf{(13t+5)(-13t+17)}\)
EXERCICE 8 :
- a) \(x^2-12=x^2-(2\sqrt{3})^2=\mathbf{(x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})}\)
- b) \(9y^2+12y+4=(3y)^2+2\times 3y\times 2+2^2=\mathbf{(3y+2)^2}\)
- c) \(x^2-26x+169=x^2-2\times x\times 13+13^2=\mathbf{(x-13)^2}\)
- d) \(144x^2+144x+36=36(4x^2+4x+1)=\mathbf{36(2x+1)^2}\)
- e) \((3x+1)^2-(2x)^2=(3x+1-2x)(3x+1+2x)=\mathbf{(x+1)(5x+1)}\)
- f) \(9t^2-24t+16=(3t)^2-2\times 3t\times 4+4^2=\mathbf{(3t-4)^2}\)
- g) \(121x^2-22x+1=(11x)^2-2\times 11x\times 1+1^2=\mathbf{(11x-1)^2}\)
- h) \((x+1)^2-3^2=(x+1-3)(x+1+3)=\mathbf{(x-2)(x+4)}\)
EXERCICE 9 :
Pour un trinôme sans facteur commun évident, on peut écrire sa forme canonique puis utiliser \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), ou bien couper un terme en deux pour faire apparaître un facteur commun.
- \(A=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{4}+2=(x-\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{1}{2})^2\), donc \(A=(x-2)(x-1)\).
- \(B=-(9x^2+6x+1)\), donc \(B=-(3x+1)^2\).
- \(C=(x+5)^2-2x-10=(x+5)^2-2(x+5)=(x+5)(x+5-2)\), donc \(C=(x+5)(x+3)\).
- \(D=-2x^2+2x-x+1=-2x(x-1)-(x-1)\), donc \(D=(x-1)(-2x-1)=(1-x)(2x+1)\).
- \(E=(x+1)^2+1\) : cette expression est toujours supérieure ou égale à 1, elle ne s’annule jamais, donc E ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.
- \(F=x^2-(\sqrt{2})^2\), donc \(F=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\).
- \(G=4(x^2-3x+2)\) et d’après A, \(G=4(x-1)(x-2)\).
- \(x+2x-1=3x-1\), donc \(H=(3x-1)-(3x-1)^3=(3x-1)[1-(3x-1)^2]=(3x-1)(1-3x+1)(1+3x-1)\), soit \(H=3x(3x-1)(2-3x)\).
- \(x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\) et \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), donc \(I=(x-1)(x+1)^3(x^2+1)\).
- \(J=(x-3)(x+3)-2x(x-3)+(x-3)^2=(x-3)[(x+3)-2x+(x-3)]=(x-3)\times 0\), donc \(J=0\) pour tout x.
- \(33-3x=-3(x-11)\), donc \(K=(x-11)[(x-11)-3(x+2)]\), soit \(K=(x-11)(-2x-17)=-(x-11)(2x+17)\).
- \((1-2x)^2=(2x-1)^2\) et \(x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}(2x-1)\), donc \(L=(2x-1)[x+(2x-1)+\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{3}{2})]=(2x-1)(\dfrac{7}{2}x-\dfrac{7}{4})\), soit \(L=\dfrac{7}{4}(2x-1)^2\).
- Pour \(x\neq 0\) : \(x^2(1+\dfrac{1}{x})=x^2+x=x(x+1)\), donc \(M=(x+1)(x+2x+2)\), soit \(M=(x+1)(3x+2)\).
- \((2x-3)^2=4(x-1{,}5)^2\) et \(0{,}7x(1{,}5-x)=-0{,}7x(x-1{,}5)\), donc \(N=(x-1{,}5)[-1{,}2(x-1{,}5)-0{,}7x]\), soit \(N=(x-1{,}5)(1{,}8-1{,}9x)\).
- \(O=(0{,}5x)^2-2\times 0{,}5x\times 1+1^2\), donc \(O=(0{,}5x-1)^2=0{,}25(x-2)^2\).
- \(P=[x-(x+1)][x+(x+1)]=-1\times (2x+1)\), donc \(P=-(2x+1)\).
- \(Q=5[(1-x)^2-(3x)^2]=5(1-x-3x)(1-x+3x)\), donc \(Q=5(1-4x)(1+2x)\).
- En posant \(a=x+1\) : \(R=a^2-2a+1=(a-1)^2\), donc \(R=x^2\).
- \(25x^2-1=(5x-1)(5x+1)\), donc \(T=(5x-1)[(x+3)+3(5x+1)]=(5x-1)(16x+6)\), soit \(T=2(5x-1)(8x+3)\).
- \(49-28x+4x^2=(7-2x)^2\), donc \(U=(7-2x)[(7-2x)+(5-3x)]\), soit \(U=(7-2x)(12-5x)\).
- \(V=(x-4)(x^2+2x+1)\), donc \(V=(x-4)(x+1)^2\).
- \(W=(x+3)^2-9+5=(x+3)^2-2^2\), donc \(W=(x+1)(x+5)\).
- \(X=3x^2+6x+x+2=3x(x+2)+(x+2)\), donc \(X=(x+2)(3x+1)\).
- \(Y=-2x^2-2x+x+1=-2x(x+1)+(x+1)\), donc \(Y=(x+1)(1-2x)\).
- \(Z=2x^2-2x-x+1=2x(x-1)-(x-1)\), donc \(Z=(x-1)(2x-1)\).
- \(A^{\prime}=x(x^2+3x+2)=x[x(x+1)+2(x+1)]\), donc \(A^{\prime}=x(x+1)(x+2)\).
Exercice 10 :
Le diamètre de l’ouverture est 8 cm, donc le rayon du cône est \(r=4\) cm et sa hauteur est x (en cm).
\(V=\dfrac{1}{3}\pi\times 4^2\times x=\dfrac{16\pi x}{3}\) (en cm³).
Conversion : 100 cL = 1 dm³ = 1 000 cm³, donc 1 cL = 10 cm³. Ainsi 13 cL = 130 cm³ et 16 cL = 160 cm³.
On veut \(130\leq\,\dfrac{16\pi x}{3}\leq\, 160\). En multipliant par \(\dfrac{3}{16\pi}\), qui est positif, on ne change pas le sens des inégalités :
\(\dfrac{390}{16\pi}\leq\, x\leq\,\dfrac{480}{16\pi}\), c’est-à-dire \(\dfrac{195}{8\pi}\leq\, x\leq\,\dfrac{30}{\pi}\).
Or \(\dfrac{195}{8\pi}\approx 7{,}759\) et \(\dfrac{30}{\pi}\approx 9{,}549\). La coupe contient entre 13 cL et 16 cL lorsque \(\dfrac{195}{8\pi}\leq\, x\leq\,\dfrac{30}{\pi}\), soit environ entre 7,76 cm et 9,55 cm de hauteur.
Exercice 11 :
a. La parcelle rouge du haut est un rectangle de dimensions \(x+1\) et \(x\) ; celle du bas a pour dimensions \(x+2\) et \(x+1\).
\(A(x)=x(x+1)+(x+1)(x+2)\), soit après développement \(A(x)=2x^2+4x+2\).
b. On factorise par \(x+1\) : \(A(x)=(x+1)[x+(x+2)]=(x+1)(2x+2)\). Donc l’équation \(A(x)=500\) équivaut à \((x+1)(2x+2)=500\).
c. \((x+1)(2x+2)=2(x+1)^2\), donc l’équation devient \(2(x+1)^2=500\), soit \((x+1)^2=250\).
Comme \(x+1\gt 0\), on obtient \(x+1=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\), d’où \(x=5\sqrt{10}-1\approx 14{,}81\) m.
Vérification : les parcelles tiennent dans le terrain, car \(x+2\approx 16{,}81\lt 20\) et \(x+(x+1)\approx 30{,}62\lt 35\).
d. L’aire du terrain est \(20\times 35=700\) m². L’aire de la surface verte vaut donc \(700-500=\) 200 m².
Exercice 12 :
Les diamètres des trois demi-cercles bleus sont \(2x\), \(4x\) et \(20-6x\) (en cm), avec \(0\lt x\lt\dfrac{10}{3}\).
L’aire d’un demi-cercle de diamètre d est \(\dfrac{1}{2}\pi(\dfrac{d}{2})^2=\dfrac{\pi d^2}{8}\).
Aire bleue : \(\dfrac{\pi}{8}[(2x)^2+(4x)^2+(20-6x)^2]\). Moitié de l’aire du grand demi-cercle : \(\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\pi\times 20^2}{8}=\dfrac{\pi}{8}\times 200\).
L’égalité équivaut à \(4x^2+16x^2+400-240x+36x^2=200\), soit \(56x^2-240x+200=0\), puis, en divisant par 8, \(7x^2-30x+25=0\).
Forme canonique : \(7x^2-30x+25=7(x-\dfrac{15}{7})^2-\dfrac{225}{7}+25=7(x-\dfrac{15}{7})^2-\dfrac{50}{7}\).
L’équation devient \((x-\dfrac{15}{7})^2=\dfrac{50}{49}\), donc \(x-\dfrac{15}{7}=\dfrac{5\sqrt{2}}{7}\) ou \(x-\dfrac{15}{7}=-\dfrac{5\sqrt{2}}{7}\).
On obtient \(x=\dfrac{15-5\sqrt{2}}{7}\approx 1{,}13\) cm ou \(x=\dfrac{15+5\sqrt{2}}{7}\approx 3{,}15\) cm. Les deux valeurs sont inférieures à \(\dfrac{10}{3}\approx 3{,}33\), donc mathématiquement valables ; mais seule la première respecte la figure, où le troisième demi-cercle est le plus grand (avec \(x\approx 3{,}15\), son diamètre ne serait que d’environ 1,08 cm).
Exercice 13 :
a. Le premier pavé a une base carrée de côté \(2x+5\) et une hauteur 1 ; le second a une base carrée de côté \(x+1\) et une hauteur 9.
\(a(x)=(2x+5)^2\) et \(b(x)=9(x+1)^2\) (en m³).
b. \(a(x)-b(x)=(2x+5)^2-[3(x+1)]^2=(2x+5-3x-3)(2x+5+3x+3)\), donc \(a(x)-b(x)=(2-x)(5x+8)\).
c. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(2-x=0\) ou \(5x+8=0\), donc \(x=2\) ou \(x=-\dfrac{8}{5}\).
d. Comme x est positif, on garde \(x=2\). Vérification : \(a(2)=9^2=81\) et \(b(2)=9\times 3^2=81\) ; les deux solides ont alors un volume de 81 m³.
Exercice 14 :
Aire du carré : \(x^2\). Aire du triangle rectangle : \(\dfrac{2x\times 6}{2}=6x\).
On résout \(x^2=6x\), soit \(x^2-6x=0\), donc \(x(x-6)=0\).
Produit nul : \(x=0\) ou \(x=6\). La valeur \(x=0\) ne donne pas de figure, donc \(x=6\) : le carré et le triangle ont alors la même aire, 36.
Exercice 15 :
1. Les dimensions intérieures du bac sont \(26-2x\) et \(120-2x\) (en cm, car 1,2 m = 120 cm). Il faut \(x\gt 0\) et \(26-2x\gt 0\), c’est-à-dire \(x\lt 13\). Donc \(x\in\,]0\,;13[\).
2. L’intérieur est un pavé de profondeur 30 cm : \(V(x)=30(26-2x)(120-2x)\) (en cm³).
3. \((26-2x)(120-2x)=3\,120-52x-240x+4x^2=4x^2-292x+3\,120\).
Donc \(V(x)=30(4x^2-292x+3\,120)=\) \(120x^2-8\,760x+93\,600\).
4. a. 60,48 L = 60,48 dm³ = 60 480 cm³. On résout \(120x^2-8\,760x+93\,600=60\,480\), soit \(120x^2-8\,760x+33\,120=0\). En divisant par 120 : \(x^2-73x+276=0\).
b. \((x-69)(x-4)=x^2-4x-69x+276=\) \(x^2-73x+276\).
c. L’équation s’écrit \((x-69)(x-4)=0\), donc \(x=69\) ou \(x=4\). Comme \(x\) doit appartenir à \(]0\,;13[\), l’épaisseur est \(x=4\) cm. Vérification : \(30\times 18\times 112=60\,480\) cm³.
Calcul littéral corrigé : nos conseils pour progresser
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Calcul littéral sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec equations et inéquations : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
