Exercice 1 :
Exercice 2 :
Exercice 3 :
Exercice 4 :
Exercice 6 :
Exercice 7 :
1. Déterminer par lecture graphique les images de 1et de 2.5 par la fonction f. (à 0.1 près)
f(1)=0 et f(2,5)=1
2. Retrouver les valeurs exactes de ces résultats par le calcul.
3. Déterminer graphiquement les antécédents de 1. ( toujours à 0.1 près)
Les antécédents de 1 par f sont 0,2 et 2,4
4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) =0.
Cette équation a deux solutions qui sont x = 1 et x = 3.
5. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)> 1.
S= [-1,5;0,2[
Exercice 8 :
On donne
f(x) = 9x² – 4 + (3-2 x) (3x-2) et g (x) = x² +2x +1 – (2x-3)²
1. Développer, réduire et ordonner f(x) et g (x).
2. Factoriser f (x) et g (x).
Soit la fonction rationnelle définie par h(x) = (f(x))/(g(x))
1. Déterminer la condition d’existence de h(x).
donc h existe pour
2. Simplifier h(x).
3. Résoudre les équations et inéquations suivantes :
h(x) = 0 ;
donc
h(x) = 3
et h(x) < 0.
Exercice 9 :
et désignent des réels strictement positifs .
Un rectangle de dimension et (en centimètres) a pour aire .
a) Exprimer en fonction de .
donc (avec ) .
b) On définit une fonction en associant à la dimension ,
l’autre dimension .
Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?
l’ensemble de déinition de cette fonction est .
Exercice 10 :
f est la fonction définie sur par .
1- Démontrer que, pour tout nombre réel x, .
2- Résoudre graphiquement l’inéquation .
voir le graphique……
3- Factoriser et retrouver les solutions de l’inéquation à l’aide d’un tableau de signes.
donc
.
Exercice 11 :
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 4x² + 16x + 7
1) Démontrer que f(x) = 4(x+2)²-9
2) Factoriser f(x)
3) Choisir la forme la mieux adaptée et détailler les calcules pour calculer f(-1/2) et f( )
4) Dans le repère suivant tracer la représentation graphique de f
Voir la courbe ….
5 ) résoudre algébriquement f(x) = 0.
Effectuez les tracés sur la courbe …
Expliquer comment controler les solutions sur le graphique
cela revient à chercher les points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.
6a) résoudre algébriquement l’équation f(x) = 2x+7
Effectuer sur la courbe …
b) résoudre graphiquement la même équation
Effectuer sur la courbe …
7) quelle forme de f(x) permet d’affirmer que f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.
Démontrer alors que pour tout x de R, f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.
f(x) = 4(x+2)²-9
donc
Comment controler ce résultat sur le graphique ?
la courbe a pour ordonnée minimale – 9 .
Exercice 12 :
1. On considère les fonctions f, g , h définies sur par :
.
a. Donner l’expression algébrique de la fonction composée i=hofog .
Soit
b.
.
.
2. Décomposer les fonctions suivantes à l’aide des fonctions de référence (fonctions usuelles).
a. .
b. .
c. .
d. .
Exercice 13 :
On considère la fonction f définie sur par :
.
1. Montrer l’égalité des expressions algébriques suivantes :
2. On considère, désormais, la fonction f définie par :
a.
b. Sur f est décroissante et sur , f est croissante.
d. La valeur minimale de f est atteinte en x=3 et sa valeur est f(3)=-4.
Exercice 14 :
a. Par la fonction g, – 5 est l’image de 4.
b. 2 a pour image 0 par la fonction f.
c. Un antécédent de – 3 par h est 5.
d. Les images par f de – 3 et 5 sont nulles.
Exercice 15 :
Soient f et g deux fonctions définies sur par :
et .
1. Tracer à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions
f et g.
2. Conjecturer graphiquement les solutions de l’équation .
Ils y a deux points d’intersection pour et
3. Résoudre algébriquement l’équation .
Cherchons la forme canonique.
Un produit de facteur est nul si et seulement si
l’un des facteurs, au moins, est nul.
Les racines sont .
soit et
Exercice 16 :
Exercice 17 :
Soit f(x) l’aire du carré AMNP et g(x) l’aire du triangle DNC
1. Exprimer f(x) en fonction de x
f(x)=x²
2. Exprimer g(x) en fonction de x
3.Représenter dans un même repère les fonctions f et g pour tout x de [0;20]
4.Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles le carré AMNP et le triangle DNC ont la même aire .
Le nombre x étant une longueur par conséquent positif.
La seule valeur pour x est x= 10 cm .
Exercice 18 :
Partie A. Lecture graphique.
1°
a) Pour trouver la hauteur de la balle après 10 secondes, on cherche le point correspondant sur le graphe. On lit environ f(10) = 37 m.
b) La balle a été lancée à une hauteur de f(0) = 15 m.
c) Non, la balle ne peut pas être lancée à 20 m car la hauteur maximale atteinte est d’environ 37 m, comme on l’a vu à la question a).
d) La balle revient au sol lorsque sa hauteur est égale à 0. On lit sur le graphe que cela se produit environ à x = 2,1 s.
e) f(3) ≈ 0 et f(0) = 15. f(3) représente la hauteur de la balle après 3 secondes, c’est-à-dire lorsqu’elle touche le sol, et f(0) représente la hauteur initiale de la balle, c’est-à-dire lorsqu’elle est lancée.
2°
a) La hauteur maximale est atteinte lorsque la dérivée de f(x) s’annule. On calcule d’abord la dérivée :
f'(x) = -10x + 10
On cherche le x tel que f'(x) = 0 :
-10x + 10 = 0
x = 1
La hauteur maximale est donc atteinte à x = 1. On lit sur le graphe que f(1) ≈ 40 m.
b) Pour trouver les instants où la hauteur est égale à 15 m, on cherche les points correspondants sur le graphe. On lit environ x = 0,3 s et x = 2,7 s.
c) Résoudre graphiquement f(x) ≥ 18 revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles la courbe de f est au-dessus de la droite d’équation y = 18. On trouve que f(x) ≥ 18 pour x compris entre environ 0,45 s et 2,55 s. Cela signifie que la balle se trouve à une hauteur supérieure à 18 m pendant cette période de temps.
Partie B : Calculs .
1°
b) On a déjà trouvé f(0) = 15. Pour trouver le temps de chute, on cherche le x tel que f(x) = 0. En résolvant l’équation -5x² + 10x + 15 = 0, on trouve x = 3 s. Donc la balle revient au sol après 3 s.
2°
a) Il suffit de développer l’expression (x-1)² :
f(x) = -5x² + 10x + 15
= -5(x² – 2x + 1) + 20
= 20 – 5(x-1)²
On a bien l’expression demandée.
b) En résolvant l’équation -5(x-1)² + 20 = 15, on trouve (x-1)² = 1/5, donc x-1 = ±√(1/5), donc x ≈ 1,45 s ou x ≈ 0,55 s. On retrouve le résultat de la question 1°b), qui est f(0) = 15.
3°
Comme le coefficient de x² est négatif, la fonction f est une fonction décroissante sur l’intervalle [0 ; 3]. Donc f(0) est la hauteur maximale atteinte, et on retrouve le résultat de la question A1b).
4°
f(2) = -5(2)² + 10(2) + 15 = 5
f(2/3) = -5(2/3)² + 10(2/3) + 15 = 70/9
5°
Il s’agit de résoudre l’équation -5x² + 10x + 15 = 0. On peut la résoudre comme dans la question 1°b) en utilisant la formule quadratique, ou bien en remarquant que f(x) = 0 équivaut à f(x) = f(1) = 20 – 5(x-1)² = 0, donc à (x-1)² = 4, donc à x-1 = ±2, donc x = 3 ou x = -1. Comme x ∈ [0 ; 3], la seule solution possible est x = 3.
Exercice 19 :
Soit la fonction linéaire f : x 
a. f(5)=6 ; f(- 1,2)=-1,44 ; f(0)=0 ; f(100)=120.
b.
De même :
Exercice 20 :
Soit g la fonction linéaire telle que g 😡
a. le coefficient de la fonction g est a = -0,4
b. g(10)=-4 ; g(-5)=2 et g(1)=-0,4.
Exercice 21 :
On sait que 18 a pour image 23 par la fonction f et que 12 a pour image 14 par f.
f est-elle une fonction linéaire ?Pourquoi ?
Calculons :
donc cette fonction n’est pas linéaire.
Exercice 22 :
Exprimer la fonction linéaire f sous la forme x
1. Lorsque l’image de 10 est – 3 alors et
2. Lorsque f (- 100)= – 46 alors et .
3. Lorsque le coefficient de f est 2,5 alors f(x)=2,5x .
Exercice 29 :
Partie 1 :
1) La fonction est définie sur .
2)
3)
Ce sont les deux antécédents de 0.
4)
5)
Partie 2 :
1) f(0) = 4 ; f(-2)=-2 ; f(2,5)=3 .
2) -1,3 ;0 et 2,6 sont des valeurs approchées des antécédents de 4 par f .
3) f ( -1) = 5 et f (1) = 1
4)
5)
Exercice 30 :
Exercice 32 :
Exercice 33 :
1. est définie sur car le dénominateur est strictement positif .
2. Le numérateur est strictement positif ainsi que le dénominateur
donc f également en tant que quotient de nombres strictement positifs .
3. f est paire ( montrer que f(-x)=f(x) ) .
4.
5. La valeur du maximum de f sur [-1 ; 1] et sur [-2;1] est 1 .
6.
( car )
Faire un tableau de signe, et montrer que :
Exercice 34 :
Soit définie sur par
1. Calculer l’image de 0, l’image de 1 et l’image de par la fonction .
2. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par .
Propriété :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs, au moins, est nul.
Les antécédents de 3 sont
Exercice 35 :
est la fonction déinifie sur par :
.
1. Calculer l’image de 2.
2. Calculer
3. Est-il vrai que 4 n’admet pas d’antécédent par ?
or le carré d’un nombre est positif ou nul donc en effet 4 n’admet pas d’antécédent par f.
4. Est-il vrai que 0 admet un seul antécédent par ?
0 admet un unique antécédent par f qui est 1.
5. Déterminer un antécédent de – 12 .
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
ainsi
-12 admet exactement deux antécédents par f qui sont 3 et -1.
Exercice 36 :
est la fonction définie sur par :
1. Expliquer pourquoi n’est pas définie en .
car pour x=-2 le dénominateur est nul donc on ne peut pas calculer l’image de -2.
2. Calculer .
3. Déterminer l’antécédent de .
L’antécédent de par f est 0.
Exercice 37 :
Calucule la longueur DB qu’il lui reste à parcourir.
d’après la partie directe du théorème de Thalès :
Exercice 38 :
On fabrique une boîte à partir d’une feuille de carton carrée de 18 cm de côté dont on coupe et relève les coins.
On note x la largeur de l’encoche exprimée en cm, f(x) le volume de la boîte exprimée en cm cube.
1) Donner les valeurs possibles de x.
En déduire l’ensemble de définition D de f.
2) Donner l’expression de f sur D.
3) Représenter graphiquement cette fonction.
4) A l’aide du graphique, donner la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte est maximal et établir le tableau de variations de la fonction f.
Le volume de la boîte est maximal pour x = 3cm .
5) Montrer que f(x) – f(3) = 4 (x – 3)² (x – 12).
et
Conclusion :
f(x) – f(3) = 4 (x – 3)² (x – 12)
En déduire que f(x) est inférieur ou égal à f(3) pour tout x élément de [0;9].
Que peut-on en conclure ?
f(3) étant le maximum et f(3)=432.
Le volume maximal de la boîte est de 432
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