Fonctions : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

Sommaire

🔍Corrigés Détaillés

2de • Scolaire

Fonctions

🔎 Analyse : 23 min

🎯 Niveau : Scolaire

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Le corrigé des exercices de maths en 2de sur les généralités sur les fonctions. Savoir calculer une image ou un antécédent par une fonction. Etablir un tableau de signe et étudier la courbe représentative.

Exercice 1 :

Exercice 2 :

Exercice 3 :

Exercice 4 :

Exercice 6 :

Exercice 7 :

1. Déterminer par lecture graphique les images de 1et de 2.5 par la fonction f. (à 0.1 près)

f(1)=0 et f(2,5)=1

2. Retrouver les valeurs exactes de ces résultats par le calcul.

$f(1)=-0,2(1-1)^2(1-3)(1+2)=0\times (-2)\times 3=0$

$f(2,5)=-0,2(2,5-1)^2(2,5-3)(2,5+2)=-0.2\times 2,25\times (-0,5)\times 4,5=1,01$

3. Déterminer graphiquement les antécédents de 1. ( toujours à 0.1 près)

Les antécédents de 1 par f sont 0,2 et 2,4

4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) =0.

Cette équation a deux solutions qui sont x = 1 et x = 3.

5. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)> 1.

S= [-1,5;0,2[

Exercice 8 :

On donne

f(x) = 9x² – 4 + (3-2 x) (3x-2) et g (x) = x² +2x +1 – (2x-3)²

1. Développer, réduire et ordonner f(x) et g (x).

2. Factoriser f (x) et g (x).

Soit la fonction rationnelle définie par h(x) = (f(x))/(g(x))

1. Déterminer la condition d’existence de h(x).

$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$h(x)=\frac{(3x-2)(x+5)}{(3x-2)(-x+4)}$

$h(x)=\frac{x+5}{-x+4}$

donc h existe pour $x\neq,4$

2. Simplifier h(x).

$h(x)=\frac{x+5}{-x+4}$

3. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

h(x) = 0 ;

$h(x)=\frac{x+5}{-x+4}=0\Leftrightarrow,x+5=0$

donc

h(x) = 3

$h(x)=\frac{x+5}{-x+4}=3\Leftrightarrow,x+5=3(-x+4)$

$x=\frac{7}{4}$

et h(x) < 0.

$h(x)=\frac{x+5}{-x+4}<,0\Leftrightarrow,(x+5)(-x+4)<,0$

${\color{DarkRed},S=]-\infty;-5[\cup,]4;+\infty[}$

Exercice 9 :

et désignent des réels strictement positifs .

Un rectangle de dimension et (en centimètres) a pour aire $25\,cm^2$ .

a) Exprimer en fonction de .

donc $y=\frac{25}{x}$ (avec $x\neq 0$ ) .

b) On définit une fonction en associant à la dimension ,

l’autre dimension .

Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?

l’ensemble de déinition de cette fonction est $]0;+\infty[$ .

Exercice 10 :

f est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par .

1- Démontrer que, pour tout nombre réel x, .

2- Résoudre graphiquement l’inéquation .

voir le graphique……

3- Factoriser et retrouver les solutions de l’inéquation à l’aide d’un tableau de signes.

$\begin{tabular}{|c|ccccccc||} \hline x-\infty-1,72,3+\infty \\ \hline {x-2,3} -0-0+ \\ \hline {x+1,7} -0+0+ \\ \hline {f(x)-25,55} +0-0+\\ \hline \end{tabular}$

donc

${\color{DarkRed} f(x)< 25,55\Leftrightarrow f(x)-25,55< 0\Leftrightarrow x\in]-1,7;3[}$ .

Exercice 11 :

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 4x² + 16x + 7

1) Démontrer que f(x) = 4(x+2)²-9

$4(x+2)^2-9=4(x^2+4x+4)-9=4x^2+16x+16-9\\=4x^2+16x+7=f(x)$

2) Factoriser f(x)

$f(x)=4(x+2)^2-3^2\\=(2x+4)^2-3^2\\=(2x+4-3)(2x+4+3)\\=(2x+1)(2x+7)$

3) Choisir la forme la mieux adaptée et détailler les calcules pour calculer f(-1/2) et f( $\sqrt{2}$ )

$f(-\frac{1}{2})=(2\times \frac{-1}{2}+1)(2\times \frac{-1}{2}+7)$

${\color{DarkRed} f(-\frac{1}{2})=0}$

$f(\sqrt{2})=4(\sqrt{2})^2+16\sqrt{2}+7={\color{DarkRed} 16\sqrt{2}+15}$

4) Dans le repère suivant tracer la représentation graphique de f

Voir la courbe ….

5 ) résoudre algébriquement f(x) = 0.

Effectuez les tracés sur la courbe …

Expliquer comment controler les solutions sur le graphique

cela revient à chercher les points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.

6a) résoudre algébriquement l’équation f(x) = 2x+7

Effectuer sur la courbe …

b) résoudre graphiquement la même équation

Effectuer sur la courbe …

7) quelle forme de f(x) permet d’affirmer que f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.
Démontrer alors que pour tout x de R, f(x) est toujours supérieur ou égal a -9.

f(x) = 4(x+2)²-9

$f(x)-(-9)=4(x+2)^2\geq\, 0$

donc

${\color{DarkRed} f(x)\geq\, -9}$

Comment controler ce résultat sur le graphique ?

la courbe a pour ordonnée minimale – 9 .

Exercice 12 :
1. On considère les fonctions f, g , h définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=3x-1\,\,;\,\,g(x)=x^2\,\,;\,\,h(x)=2x-1$ .

a. Donner l’expression algébrique de la fonction composée i=hofog .
Soit $x\in\mathbb{R}\,,\,i(x)=h(f(g(x)))=h(3x^2-1)=2\times (3x^2-1)-1=6x^2-3$

b. $i(-1)=6\times (-1)^2-3=3$
$i(0)=6\times (0)^2-3=-3$ .
$i(1)=6\times (1)^2-3=3$ .

$c. i(x)=27\Leftrightarrow 6x^2-3=27\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=2\, ou\, x=-2$

2. Décomposer les fonctions suivantes à l’aide des fonctions de référence (fonctions usuelles).

a. $f=goh \,h(x)=x^2\,,\,g(x)=3x+1$ .

b. $g=kof \,avec \,k(x)=\frac{1}{x} \,et\, f(x)=3x+1$ .

c. $h=fogok \, avec \,k(x)=x^2,g(x)=1-x, f(x)=\sqrt{x}$ .

d. $i=kogohof \,avec\,f(x)=\sqrt{x}\,,\,g(x)=x^2\,,\,h(x)=5+x,k(x)=\frac{3}{x}$ .

Exercice 13 :
On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Montrer l’égalité des expressions algébriques suivantes :

$(x-3)^2-4=x^2-2\times 3\times x+9-4=x^2-6x+5$

2. On considère, désormais, la fonction f définie par :

a. $f=hokom\,,\,m(x)=x-3\,,\,k(x)=x^2\,,\,h(x)=x-4$

b. Sur $]-\infty\,;\,3]$ f est décroissante et sur $[3\,;\,+\infty [$ , f est croissante.

d. La valeur minimale de f est atteinte en x=3 et sa valeur est f(3)=-4.

Exercice 14 :

a. Par la fonction g, – 5 est l’image de 4.

b. 2 a pour image 0 par la fonction f.

c. Un antécédent de – 3 par h est 5.

d. Les images par f de – 3 et 5 sont nulles.

Exercice 15 :

Soient f et g deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

et .

1. Tracer à l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions

f et g.

2. Conjecturer graphiquement les solutions de l’équation .

Ils y a deux points d’intersection pour $x\simeq 1$ et $x\simeq -1,5.$

3. Résoudre algébriquement l’équation .

Cherchons la forme canonique.

$2(x^2+\frac{x}{2}-\frac{3}{2})=0$

$2((x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{4}-\frac{3}{2})=0$

$2((x+\frac{1}{4})^2-\frac{7}{4})=0$

$2((x+\frac{1}{4})^2-(\frac{\sqrt{7}}{2})^2)=0$

$2(x+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{7}}{2}) (x+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{7}}{2})=0$

$2(x+\frac{1+2\sqrt{7}}{4}) (x+\frac{1-2\sqrt{7}}{4})=0$

$2(x-\frac{-1-2\sqrt{7}}{4}) (x-\frac{-1+2\sqrt{7}}{4})=0$

Un produit de facteur est nul si et seulement si

l’un des facteurs, au moins, est nul.

Les racines sont $\frac{-1-2\sqrt{7}}{4};\frac{-1+2\sqrt{7}}{4}$ .

soit $x\simeq -1,57$ et $x\simeq -1,07$

Exercice 16 :

$f(x)= ( \frac{1}{2}x-1 )^2-(2x-1)(2x+1)$

$f(x)= ( \frac{1}{4}x^2-2\times \frac{1}{2}x \times 1+1 )-(4x^2-1)\\=\frac{1}{4}x^2-x+1-4x^2+1=-\frac{15}{4}x^2-x+2$

Exercice 17 :

Soit f(x) l’aire du carré AMNP et g(x) l’aire du triangle DNC

1. Exprimer f(x) en fonction de x

f(x)=x²

2. Exprimer g(x) en fonction de x

$g(x)=\frac{20(20-x)}{2}=10(20-x)=200-10x$

3.Représenter dans un même repère les fonctions f et g pour tout x de [0;20]

4.Déterminer graphiquement les valeurs de x pour lesquelles le carré AMNP et le triangle DNC ont la même aire .

Le nombre x étant une longueur par conséquent positif.

La seule valeur pour x est x= 10 cm .

Exercice 18 :

Partie A. Lecture graphique.

1°
a) Pour trouver la hauteur de la balle après 10 secondes, on cherche le point correspondant sur le graphe. On lit environ f(10) = 37 m.

b) La balle a été lancée à une hauteur de f(0) = 15 m.

c) Non, la balle ne peut pas être lancée à 20 m car la hauteur maximale atteinte est d’environ 37 m, comme on l’a vu à la question a).

d) La balle revient au sol lorsque sa hauteur est égale à 0. On lit sur le graphe que cela se produit environ à x = 2,1 s.

e) f(3) ≈ 0 et f(0) = 15. f(3) représente la hauteur de la balle après 3 secondes, c’est-à-dire lorsqu’elle touche le sol, et f(0) représente la hauteur initiale de la balle, c’est-à-dire lorsqu’elle est lancée.

2°
a) La hauteur maximale est atteinte lorsque la dérivée de f(x) s’annule. On calcule d’abord la dérivée :
f'(x) = -10x + 10
On cherche le x tel que f'(x) = 0 :
-10x + 10 = 0
x = 1
La hauteur maximale est donc atteinte à x = 1. On lit sur le graphe que f(1) ≈ 40 m.

b) Pour trouver les instants où la hauteur est égale à 15 m, on cherche les points correspondants sur le graphe. On lit environ x = 0,3 s et x = 2,7 s.

c) Résoudre graphiquement f(x) ≥ 18 revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles la courbe de f est au-dessus de la droite d’équation y = 18. On trouve que f(x) ≥ 18 pour x compris entre environ 0,45 s et 2,55 s. Cela signifie que la balle se trouve à une hauteur supérieure à 18 m pendant cette période de temps.

Partie B : Calculs .

1°
b) On a déjà trouvé f(0) = 15. Pour trouver le temps de chute, on cherche le x tel que f(x) = 0. En résolvant l’équation -5x² + 10x + 15 = 0, on trouve x = 3 s. Donc la balle revient au sol après 3 s.

2°
a) Il suffit de développer l’expression (x-1)² :
f(x) = -5x² + 10x + 15
= -5(x² – 2x + 1) + 20
= 20 – 5(x-1)²
On a bien l’expression demandée.

b) En résolvant l’équation -5(x-1)² + 20 = 15, on trouve (x-1)² = 1/5, donc x-1 = ±√(1/5), donc x ≈ 1,45 s ou x ≈ 0,55 s. On retrouve le résultat de la question 1°b), qui est f(0) = 15.

3°
Comme le coefficient de x² est négatif, la fonction f est une fonction décroissante sur l’intervalle [0 ; 3]. Donc f(0) est la hauteur maximale atteinte, et on retrouve le résultat de la question A1b).

4°
f(2) = -5(2)² + 10(2) + 15 = 5
f(2/3) = -5(2/3)² + 10(2/3) + 15 = 70/9

5°
Il s’agit de résoudre l’équation -5x² + 10x + 15 = 0. On peut la résoudre comme dans la question 1°b) en utilisant la formule quadratique, ou bien en remarquant que f(x) = 0 équivaut à f(x) = f(1) = 20 – 5(x-1)² = 0, donc à (x-1)² = 4, donc à x-1 = ±2, donc x = 3 ou x = -1. Comme x ∈ [0 ; 3], la seule solution possible est x = 3.

Exercice 19 :
Soit la fonction linéaire f : x 1,2x.
a. f(5)=6 ; f(- 1,2)=-1,44 ; f(0)=0 ; f(100)=120.
b. $f(x)=2400\\1,2x=2400\\x=\frac{2400}{1,2}=2000$

De même : $x=-\frac{45}{1,2}=37,5$

Exercice 20 :
Soit g la fonction linéaire telle que g 😡 – 0,4x.
a. le coefficient de la fonction g est a = -0,4
b. g(10)=-4 ; g(-5)=2 et g(1)=-0,4.

Exercice 21 :
On sait que 18 a pour image 23 par la fonction f et que 12 a pour image 14 par f.
f est-elle une fonction linéaire ?Pourquoi ?
Calculons :
$\frac{23}{18}-\frac{14}{12}=\frac{46}{36}-\frac{42}{36}=-\frac{4}{36}\ne0$
donc cette fonction n’est pas linéaire.

Exercice 22 :

Exprimer la fonction linéaire f sous la forme x ax ( le nombre a est à déterminer), puis calculer f(0) ; f(1) et f( – 2).
1. Lorsque l’image de 10 est – 3 alors $a=-\frac{10}{3}$ et $f(x)=-\frac{10}{3}x$
2. Lorsque f (- 100)= – 46 alors $a=\frac{-46}{-100}=0,46$ et .
3. Lorsque le coefficient de f est 2,5 alors f(x)=2,5x .

Exercice 29 :

Partie 1 :

1) La fonction est définie sur $\mathbb{R}$ .

2) $f(0)=-3(0-2)^2+5=-3\times ,4+5=-7$

$f(1)=-3(1-2)^2+5=-3\times ,1+5=2$ $f(-1)=-3(-1-2)^2+5=-3\times ,9+5=-22$ $f(-2)=-3(-2-2)^2+5=-3\times ,16+5=-43$

$(x-2)^2=\frac{5}{3}$

$x-2=-\sqrt{\frac{5}{3}}\,ou\,x-2=\sqrt{\frac{5}{3}}$

Ce sont les deux antécédents de 0.

$x=2-\sqrt{\frac{5}{3}}\,ou\,x=2+\sqrt{\frac{5}{3}}$

$f(x)=-3(x-2+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-2-\sqrt{\frac{5}{3}})$

$f(x)=-3(x-2+\frac{\sqrt{15}}{3})(x-2-\frac{\sqrt{15}}{3})$

$f(x)=-3(x+\frac{-6+\sqrt{15}}{3})(x-\frac{6+\sqrt{15}}{3})$

$f(x)=3(x+\frac{-6+\sqrt{15}}{3})(-x+\frac{6+\sqrt{15}}{3})$

$f(x)=3(\frac{-6+\sqrt{15}}{3}+x)(\frac{6+\sqrt{15}}{3}-x)$

${\color{DarkRed},f(x)=3(\frac{\sqrt{15}-6}{3}+x)(\frac{\sqrt{15}+6}{3}-x)}$

Partie 2 :

1) f(0) = 4 ; f(-2)=-2 ; f(2,5)=3 .

2) -1,3 ;0 et 2,6 sont des valeurs approchées des antécédents de 4 par f .

3) f ( -1) = 5 et f (1) = 1

4) $f(x)\geq\,,0\Leftrightarrow,x\geq\,,-1,7$

5) $f(x)<,0\Leftrightarrow,x<,-1,7$

Exercice 30 :

Exercice 32 :

Exercice 33 :

1. est définie sur $\mathbb{R}$ car le dénominateur est strictement positif .

2. Le numérateur est strictement positif ainsi que le dénominateur

donc f également en tant que quotient de nombres strictement positifs .

3. f est paire ( montrer que f(-x)=f(x) ) .

5. La valeur du maximum de f sur [-1 ; 1] et sur [-2;1] est 1 .

$f(x)\leq\, 1$

$\frac{(1-x^2)^2}{1+x^2}\leq\, 1$

$(1-x^2)^2\leq\, 1+x^2$ ( car )

$1-2x^2+x^4\leq\, 1+x^2$

$1-1-2x^2-x^2+x^4\leq\, 0$

$-3x^2+x^4\leq\, 0$

$x^2(-3+x^2)\leq\, 0$

$-3+x^2\leq\, 0$

$(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\leq\, 0$

Faire un tableau de signe, et montrer que :

$S=[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$

Exercice 34 :

Soit définie sur $\mathbb{R}$ par

1. Calculer l’image de 0, l’image de 1 et l’image de $\sqrt{2}$ par la fonction .

$f(0)=2\times ,0^2+0+3=3$

$f(1)=2\times ,1^2+1+3=6$

$f(\sqrt{2})=2\times ,\sqrt{2}^2+\sqrt{2}+3=2\times ,2+\sqrt{2}+3=7+\sqrt{2}$

2. Déterminer le (ou les) antécédent(s) de 3 par .

$\Leftrightarrow,2x^2+x+3=3$

$\Leftrightarrow,2x^2+x=0$

$\Leftrightarrow,x(2x+1)=0$

Propriété :

Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs, au moins, est nul.

$\Leftrightarrow,x=0\,\,ou\,\,2x+1=0$

$\Leftrightarrow,{\color{DarkRed}x,=0\,\,ou\,\,x=-\frac{1}{2}}$

Les antécédents de 3 sont $\color{DarkRed}x,=0\,\,et\,\,x=-\frac{1}{2}$

Exercice 35 :

est la fonction déinifie sur $\mathbb{R}$ par :

1. Calculer l’image de 2.

2. Calculer

$f(2)=-3(-3-1)^2=-3\times 16=-48$

3. Est-il vrai que 4 n’admet pas d’antécédent par ?

$(t-1)^2=-\frac{4}3{$

or le carré d’un nombre est positif ou nul donc en effet 4 n’admet pas d’antécédent par f.

4. Est-il vrai que 0 admet un seul antécédent par ?

0 admet un unique antécédent par f qui est 1.

5. Déterminer un antécédent de – 12 .

$(t-1)^2=\frac{-12}{-3}$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

$t-1-2=0\,ou\,t-1+2=0$

$t-3=0\,ou\,t+1=0$

$t=3\,ou\,t=-1$

ainsi

-12 admet exactement deux antécédents par f qui sont 3 et -1.

Exercice 36 :

est la fonction définie sur $]-2;+\infty[$ par :

$f(x)=\frac{1}{x+2}$

1. Expliquer pourquoi n’est pas définie en .

car pour x=-2 le dénominateur est nul donc on ne peut pas calculer l’image de -2.

2. Calculer .

$f(4)=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$

3. Déterminer l’antécédent de $\frac{1}{2}$ .

$f(x)=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2}$

L’antécédent de $\frac{1}{2}$ par f est 0.

Exercice 37 :

Calucule la longueur DB qu’il lui reste à parcourir.

$\{ D\in(BC) \\H\in (AB)\\(DH)//(AC).$ d’après la partie directe du théorème de Thalès :

$\frac{BD}{BC}=\frac{DH}{AC}$

$\frac{BD}{1200}=\frac{150}{200}$

$BD=\frac{150\times 1200}{200}$

${\color{DarkRed} BD=900\,m}$

Exercice 38 :

On fabrique une boîte à partir d’une feuille de carton carrée de 18 cm de côté dont on coupe et relève les coins.
On note x la largeur de l’encoche exprimée en cm, f(x) le volume de la boîte exprimée en cm cube.

1) Donner les valeurs possibles de x.

$18-2x\geq\, 0$

$18\geq\, 2x$

$0\leq\, x\leq\, 9$

En déduire l’ensemble de définition D de f.

2) Donner l’expression de f sur D.

3) Représenter graphiquement cette fonction.

4) A l’aide du graphique, donner la valeur de x pour laquelle le volume de la boîte est maximal et établir le tableau de variations de la fonction f.

Le volume de la boîte est maximal pour x = 3cm .

5) Montrer que f(x) – f(3) = 4 (x – 3)² (x – 12).

$f(x)-f(3)=x(18-2x)^2-3(18-6)^2)\\=x(18-2x)^2-3\times 144\\=x(324-72x+4x^2)-432\\=4x^3-72x^2+324x-432$

$4 (x - 3)^2 (x - 12)=4(x^2-6x+9)(x-12)\\=4(x^3-12x^2-6x^2+72x+9x-108)\\=4(x^3-18x^2+81x-108)=4x^3-72x+324x-432$

Conclusion :
f(x) – f(3) = 4 (x – 3)² (x – 12)

En déduire que f(x) est inférieur ou égal à f(3) pour tout x élément de [0;9].

Que peut-on en conclure ?

f(3) étant le maximum et f(3)=432.

Le volume maximal de la boîte est de 432

EXERCICE 39 :

1)a) On calcule $f(1+5\sqrt{2})$ :
$f(1+5\sqrt{2}) = -\frac{4}{5}(1+5\sqrt{2})^2 + 3(1+5\sqrt{2}) + 5 \\\\= -\frac{4}{5}(1+2\cdot5\sqrt{2}+50)+3+15\sqrt{2}+5 \\\\= -\frac{4}{5}\cdot51-4\cdot5\sqrt{2}+18\sqrt{2}+8 \\\\= -\frac{204}{5}+14\sqrt{2}$

On peut donc écrire : $f(1+5\sqrt{2}) = -\frac{204}{5} + 14\sqrt{2}$

b) On calcule $f(5-\sqrt{3})$ :
$f(5-\sqrt{3}) = -\frac{4}{5}(5-\sqrt{3})^2 + 3(5-\sqrt{3}) + 5 \\\\= -\frac{4}{5}(28-10\sqrt{3}) + 15 - 3\sqrt{3} + 5 \\\\= -\frac{112}{5} + \frac{40}{5}\sqrt{3} + 17 - 3\sqrt{3} \\\\= -\frac{145}{5} - \sqrt{3}$

On peut donc écrire : $f(5-\sqrt{3}) = -\frac{145}{5} - \sqrt{3}$

2) Pour f(x) = 1, on a :
$-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 5 = 1 \\-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 4 = 0$
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule de la discriminante :
$\Delta = 3^2 - 4 \times (-\frac{4}{5}) \times 4 = \frac{121}{5} > 0$
Les racines de l’équation sont alors :
$x_1 = \frac{-3+\sqrt{\frac{121}{5}}}{-\frac{8}{5}} \approx -0,157$
$x_2 = \frac{-3-\sqrt{\frac{121}{5}}}{-\frac{8}{5}} \approx 5,013$
Donc il n’y a pas de réel x tel que f(x) = 1.

Pour f(2) et f(0), on calcule :
$f(2) = \frac{4 \times 2+2}{1+2^2} = \frac{10}{5} = 2$
$f(0) = \frac{4 \times 0+2}{1+0^2} = 2$
Donc les images de 2 et de 0 par f sont égales.

3) On calcule $f(\frac{1}{2})$ :
$f(\frac{1}{2}) = \frac{4\cdot\frac{1}{2}+2}{1+\frac{1}{4}} = \frac{4+2}{\frac{5}{4}} = \frac{24}{5}$

4) On résout l’équation f(x) = 0 :
$-\frac{4}{5}x^2 + 3x + 5 = 0$
On utilise la formule de la discriminante :
$\Delta = 3^2 - 4 \times (-\frac{4}{5}) \times 5 = \frac{89}{5} > 0$
Les racines de l’équation sont alors :
$x_1 = \frac{-3+\sqrt{\frac{89}{5}}}{-\frac{8}{5}}$
$x_2 = \frac{-3-\sqrt{\frac{89}{5}}}{-\frac{8}{5}}$
Donc les antécédents de 0 sont et .

EXERCICE 40 :

1. On calcule f(3) :
$f(3)=\frac{4 \times 3 + 2}{1+3^2} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}.$
Donc f(3) n’est pas égal à 1.

2. On calcule f(2) et f(0) :
$f(2)=\frac{4\times 2+2}{1+2^2} = \frac{10}{5} = 2$
$f(0)=\frac{4\times 0+2}{1+0^2} = 2$
On a donc f(2) = f(0) = 2.

3. On calcule $f(\frac{1}{2})$ :
$f(\frac{1}{2})=\frac{4\times \frac{1}{2} + 2}{1+(\frac{1}{2})^2} = \frac{5}{2}$ .
L’image de $\frac{1}{2}$ par f est donc égale à $\frac{5}{2}$ .

4. On cherche les antécédents de 0 par f, c’est-à-dire les valeurs de x telles que .
On résout l’équation $\frac{4x+2}{1+x^2}=0$ :
$4x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ .
La seule solution est donc $x=-\frac{1}{2}$ .
L’antécédent de 0 par f est donc $-\frac{1}{2}$ .

EXERCICE 41 :

a) En lisant graphiquement, on trace une droite verticale passant par x=-1 et on cherche l’intersection avec la courbe. Cette intersection se situe à environ y=1.3. Donc l’image de -1 par f est environ 1.3.

b) En lisant graphiquement, on cherche la valeur de f(0) en lisant l’ordonnée en x=0 sur la courbe, qui est environ y=2. Donc l’image de 0 par f est environ 2.

c) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y en a deux, environ en $x=-\frac{3}{2}$ et x=2. Donc les antécédents de 1 par f sont environ $x=-\frac{3}{2}$ et x=2.

d) En lisant graphiquement, on trace une droite horizontale passant par y=3 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a une seule intersection, environ en x=3. Donc l’antécédent de 3 par f est environ x=3.

EXERCICE 42 :

a) En lisant graphiquement, on trouve que g(0) est environ 0.5.

b) En lisant graphiquement, on cherche les valeurs de g(1) et g(-2) en lisant les ordonnées en x=1 et x=-2 sur la courbe. On trouve que g(1) est environ -1 et que g(-2) est environ -1.5.

c) En lisant graphiquement, pour trouver les antécédents éventuels de -1, on trace une droite horizontale passant par y=-1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il y a deux intersections, environ en x=-1.5 et x=2. Donc les antécédents éventuels de -1 sont environ -1.5 et 2.

Pour trouver les antécédents éventuels de 1, on trace une droite horizontale passant par y=1 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

Pour trouver les antécédents éventuels de 5, on trace une droite horizontale passant par y=5 et on cherche les intersections avec la courbe. Il n’y a pas d’intersection.

EXERCICE 43 :

a) En estimant sur la courbe, on peut voir que f(x)=2 a deux solutions approximativement égales à 2,5 et 6,5.

b) f(x)=0 a trois solutions approximativement égales à 1,5, 3,5 et 6.

c) f(x)=-1 a une solution approximativement égale à 5,5.

d) f(x)=1 a deux solutions approximativement égales à 1 et 5.

EXERCICE 44 :

La première courbe est une fonction paire.
La deuxième courbe n’est ni paire, ni impaire.
La troisième courbe est une fonction impaire.

EXERCICE 45 :

a) La fonction est définie pour tout x sauf pour x = 10 car le dénominateur est nul.
b) g(x) >= 0 pour tout x et le domaine de définition de g est $[0;+\infty[$ .
c) h(x) est définie pour tout x et son domaine de définition est $[-3;+\infty[$ .
d) i(x) est définie pour tout x différent de 0 et son domaine de définition est $\mathbb{R}^{*}$ .

EXERCICE 46 :

1. Les courbes associées aux fonctions sont la droite y = x/2 et la droite y=2x+1.
2. L’équation $\frac{1}{x} = 2x+1$ peut être réécrite sous forme . En résolvant cette équation, on obtient les solutions $x = -1+\sqrt{2}$ et $x = -1-\sqrt{2}$ .
3. a) .
b) $(2x-1)(x+1) = (x-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}$ .
c) La parabole admet un sommet en $(-\frac{1}{2},\frac{5}{4})$ , donc la hauteur maximale atteinte par la balle est $\frac{5}{4}$ mètres.

EXERCICE 47 :

1. La fonction n’est pas définie en 2 donc l’image de 2 ne peut pas être déterminée.
2. La fonction n’est pas définie en -2 donc la valeur de f(-2) ne peut pas être déterminée.
3. Une valeur approchée des antécédents de 5 est 0,78 et 3,22.
4. f(x) = 4 est équivalent à . En résolvant cette équation, on obtient les solutions $x = 1-\sqrt{\frac{2}{3}}$ et $x = 1+\sqrt{\frac{2}{3}}$ .
5. f(x) < 6 est équivalent à .

En résolvant cette inéquation, on obtient $1-\sqrt{\frac{10}{3}} < x < 1+\sqrt{\frac{10}{3}}$ .
6. $f(x) \geq\,\, 8$ est équivalent à $-3x^2+6x-12 \geq\,\, 0$ .

Cette inéquation est équivalente à $x \leq\,\, 1-\sqrt{\frac{2}{3}}$ ou $x \geq\,\, 1+\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

On peut aussi dire que le complémentaire de l’ensemble des antécédents de 8 est l’intervalle $[1-\sqrt{\frac{2}{3}};1+\sqrt{\frac{2}{3}}]$ .

EXERCICE 48 :

1) Df est l’ensemble des réels tels que x+2>0, soit $D_f = ]-2, +\infty[$ .

2) On calcule :

– $f(-1) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$ ;
– $f(7) = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$ ;
– n’est pas défini car n’appartient pas à .

Donc, $f(-1) = 1, f(7) =\frac{ 1}{3}$ et f(-4) n’est pas défini.

3) Le ou les antécédents de 2 sont les solutions de l’équation , c’est-à-dire :

$2 = \frac{1}{\sqrt{x+2}}$ ⇔ $x+2 = \frac{1}{4}$ ⇔ $x = -\frac{15}{4}$ .

Donc, le seul antécédent de 2 est $-\frac{15}{4}$ .

4) Le ou les antécédents de -1 sont les solutions de l’équation f(x) = -1, c’est-à-dire :

$-1 = \frac{1}{\sqrt{x+2}}$ ⇔ ⇔ .

Donc, le seul antécédent de -1 est -1.

5) Voici le graphique de f :

EXERCICE 49 :

a) f(x) est définie si et seulement si .

Factorisons le polynôme : .

Le polynôme est négatif entre les racines, soit sur l’intervalle ]-1 ; 3[. Donc l’ensemble de définition de f est Df = ]-∞, -1[ U ]3, +∞[.

b) Pour déterminer l’image de 0, on calcule $f(0) = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$ .

Pour déterminer l’image de 2π, on calcule $f(2\pi) = \frac{1}{2\pi-\pi} = \frac{1}{\pi}$ .

c) Pour déterminer le ou les antécédents de 2, on résout l’équation $f(x) = \frac{2 }{2} = \frac{1}{x-\pi}$ ,

soit $x-\pi = \frac{1}{2}$ , donc $x = \frac{3}{2} +\pi$ . Le seul antécédent de 2 est donc $x = \frac{3}2{ + \pi$ .

Pour déterminer le ou les antécédents de 0, on résout l’équation f(x) = 0 : $0 = \frac{1}{x-\pi}$ ,

soit x-π = ∞, donc x = ∞ + π ou x = -∞ + π.

Il n’y a pas d’antécédent de 0.

d) Pour déterminer le signe de f, on étudie le signe de l’expression x-π. Si x-π > 0, alors f(x) est négatif, si x-π < 0, alors f(x) est positif. On peut résumer cela par :

– f(x) < 0 si x > π ;
– f(x) > 0 si x < π.

e) Le graphique de f est le suivant :

La courbe est une hyperbole d’asymptotes verticales x = π et x = -1, passant par le point (0,-1/4).

EXERCICE 50 :

On définit la fonction f sur ℝ par $x\,\mapsto \,\sqrt{2}x-\sqrt{3}$

1) L’image de $- \sqrt{2}$ par f est $f(- \sqrt{2}) = - \sqrt{6} - \sqrt{3}$ .

2) Pour déterminer les antécédents de 0 et $\sqrt{2}$ , on résout respectivement les équations et $f(x) = \sqrt{2}$ :

– f(x) = 0 ⇔ $x = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .
– $f(x) = \sqrt{2}$ ⇔ $\sqrt{2}x - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ ⇔ $x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ ou $x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ .

Donc, l’antécédent de 0 est √3/√2, et les antécédents de √2 sont $x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ et $x = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2}$ .

3) Pour tout réel x, on a $f(x) = \sqrt{2}x - \sqrt{3}$ .

Le coefficient √2 étant positif, le signe de f(x) est le même que celui de $x - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

En utilisant la valeur de l’antécédent de 0, on peut en déduire que f(x) est négatif si et seulement si $x < \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ , et positif si et seulement si $x > \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

Donc, f est positive sur l’intervalle $]\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};+\infty[$ et négative sur l’intervalle $]-\infty;\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[$ .

4) Voici le graphique de f :

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