Fonctions : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 1 (fonctions 2de corrigé)

a. \(x+1\geq\, 0 \Leftrightarrow x\geq\, -1\) et \(x-2\geq\, 0 \Leftrightarrow x\geq\, 2\). De plus, on applique la règle des signes d’un produit :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(x+1\)		−	0	+		+
\(x-2\)		−		−	0	+
\((x+1)(x-2)\)		+	0	−	0	+

\((x+1)(x-2)\) est positif sur \(]-\infty\,;-1]\cup[2\,;+\infty[\) et négatif sur \([-1\,;2]\).

b. \(2x+4\geq\, 0 \Leftrightarrow x\geq\, -2\) et \(x-2\geq\, 0 \Leftrightarrow x\geq\, 2\). Ensuite, le signe « moins » placé devant le produit inverse tous les signes de la dernière ligne :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(2x+4\)		−	0	+		+
\(x-2\)		−		−	0	+
\((2x+4)(x-2)\)		+	0	−	0	+
\(-(2x+4)(x-2)\)		−	0	+	0	−

\(-(2x+4)(x-2)\) est positif sur \([-2\,;2]\) et négatif sur \(]-\infty\,;-2]\cup[2\,;+\infty[\).

c. Un carré est toujours positif ou nul : \((x+1)^2\geq\, 0\) pour tout réel \(x\), et \((x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(+\infty\)
\((x+1)^2\)		+	0	+

\((x+1)^2\) est positif sur \(\mathbb{R}\) et ne s’annule qu’en \(-1\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 2 :

1. \(x+1\geq\, 0 \Leftrightarrow x\geq\, -1\) ; \(x-2\geq\, 0 \Leftrightarrow x\geq\, 2\) ; \(1-x\gt 0 \Leftrightarrow x\lt 1\). Par ailleurs, la valeur 1 annule le dénominateur : elle est interdite (double barre).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(x+1\)		−	0	+		+		+
\(x-2\)		−		−		−	0	+
\(1-x\)		+		+	0	−		−
\(\dfrac{(x+1)(x-2)}{1-x}\)		+	0	−	||	+	0	−
\(-\dfrac{(x+1)(x-2)}{1-x}\)		−	0	+	||	−	0	+

2. De même, on lit la dernière ligne du tableau (les valeurs qui annulent le numérateur sont solutions, la valeur interdite 1 ne l’est pas) :

\(-\dfrac{(x+1)(x-2)}{1-x}\geq\, 0 \Leftrightarrow x\in[-1\,;1[\,\cup\,[2\,;+\infty[\).

3. a. \((2x-1)(x-1)=2x^2-2x-x+1=\) \(2x^2-3x+1\).

b. D’après la question a., \(\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2+1}=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x^2+1}\). Puis pour tout réel \(x\), \(x^2+1\gt 0\), donc le quotient a le signe du numérateur \((2x-1)(x-1)\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{2}\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(2x-1\)		−	0	+		+
\(x-1\)		−		−	0	+
\(\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x^2+1}\)		+	0	−	0	+

Également, Conclusion : \(\dfrac{2x^2-3x+1}{x^2+1}\leq\, 0 \Leftrightarrow x\in[\dfrac{1}{2}\,;1]\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 3 (fonctions 2de corrigé)

Sur les deux graphiques, un carreau représente une unité et les courbes sont tracées pour \(x\) allant de −7 à 7.

1. a. Les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes : \(S=\{-5\,;1\}\).

b. \(g(x)\geq\, f(x)\) lorsque la courbe \(C_g\) est au-dessus de \(C_f\) (ou la coupe) : \(S=[-7\,;-5]\cup[1\,;7]\).

2. a. La courbe coupe l’axe des abscisses en quatre points : \(f(x)=0 \Leftrightarrow x\in\{-6\,;-3\,;0\,;6\}\).

b. La droite d’équation \(y=3\) ne rencontre la courbe qu’à ses extrémités : \(f(x)=3 \Leftrightarrow x\in\{-7\,;7\}\).

c. La courbe est sous l’axe des abscisses (ou dessus) entre −6 et −3, puis entre 0 et 6 : \(S=[-6\,;-3]\cup[0\,;6]\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 4 :

1. \(f(x)=\dfrac{1}{1+x}\) existe si et seulement si \(1+x\neq 0\), c’est-à-dire \(x\neq -1\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

\(g(x)=\sqrt{3-2x}\) existe si et seulement si \(3-2x\geq\, 0\), c’est-à-dire \(x\leq\, \dfrac{3}{2}\) : \(D_g=]-\infty\,;\dfrac{3}{2}]\).

2. \(f(3)=\dfrac{1}{1+3}=\dfrac{1}{4}\) et \(f(-1{,}5)=\dfrac{1}{1-1{,}5}=\dfrac{1}{-0{,}5}=-2\).

\(3\notin D_g\) (car \(3\gt 1{,}5\)) : 3 n’a pas d’image par \(g\). Ensuite, en revanche \(g(-1{,}5)=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}\).

Images : \(f(3)=\dfrac{1}{4}\) ; \(f(-1{,}5)=-2\) ; \(g(3)\) n’existe pas ; \(g(-1{,}5)=\sqrt{6}\).

3. \(f(2)=\dfrac{1}{3}\) ; \(f(-0{,}5)=\dfrac{1}{0{,}5}=2\) ; \(g(2)\) n’existe pas car \(2\notin D_g\) ; \(g(-0{,}5)=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2\).

4. Pour \(x\neq -1\) : \(f(x)=4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{1+x}=4 \Leftrightarrow 1+x=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{4}\).

Par ailleurs, pour \(x\leq\, \dfrac{3}{2}\) : \(g(x)=4 \Leftrightarrow \sqrt{3-2x}=4 \Leftrightarrow 3-2x=16 \Leftrightarrow x=-\dfrac{13}{2}\), qui appartient bien à \(D_g\).

L’antécédent de 4 par \(f\) est \(-\dfrac{3}{4}\) ; l’antécédent de 4 par \(g\) est \(-\dfrac{13}{2}\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 5 (fonctions 2de corrigé)

1. \(g(x)\) existe si et seulement si le dénominateur ne s’annule pas : \(3x-1\neq 0 \Leftrightarrow x\neq \dfrac{1}{3}\).

\(D_g=\mathbb{R}\setminus\{\dfrac{1}{3}\}\).

2. Pour \(x\neq \dfrac{1}{3}\) :

\(g(x)=2 \Leftrightarrow \sqrt{2}x+1=2(3x-1) \Leftrightarrow \sqrt{2}x+1=6x-2 \Leftrightarrow 3=6x-\sqrt{2}x \Leftrightarrow 3=(6-\sqrt{2})x \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{6-\sqrt{2}}\).

Enfin, on supprime la racine du dénominateur en multipliant par la quantité conjuguée \(6+\sqrt{2}\) :

\(x=\dfrac{3(6+\sqrt{2})}{(6-\sqrt{2})(6+\sqrt{2})}=\dfrac{18+3\sqrt{2}}{36-2}=\dfrac{18+3\sqrt{2}}{34}\).

De plus, cette valeur (environ 0,65) est différente de \(\dfrac{1}{3}\) : 2 a un unique antécédent par \(g\), qui est \(\dfrac{18+3\sqrt{2}}{34}\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 6 :

Une courbe représente une fonction si chaque réel \(x\) a au plus une image : toute droite verticale doit couper la courbe en un point au maximum.

• a) Une droite oblique : c’est la représentation graphique d’une fonction (une fonction affine).
• b) Une droite verticale : le réel correspondant aurait une infinité d’images, ce n’est pas la représentation graphique d’une fonction.
• c) Une droite horizontale : chaque \(x\) a une seule image, c’est la représentation graphique d’une fonction (fonction constante).
• d) Un cercle : une droite verticale le coupe en deux points, ce n’est pas la représentation graphique d’une fonction.
• e) Une ligne brisée parcourue de gauche à droite : c’est la représentation graphique d’une fonction.
• f) Les marches sont reliées par des segments verticaux : les abscisses de ces sauts auraient plusieurs images, ce n’est pas la représentation graphique d’une fonction.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 7 (fonctions 2de corrigé)

La courbe tracée est celle de \(f(x)=-0{,}2(x-1)^2(x-3)(x+2)\) sur \([-1{,}5\,;3{,}5]\) (c’est l’équation écrite en bas du graphique).

1. Ainsi, par lecture graphique : \(f(1)\approx 0\) et \(f(2{,}5)\approx 1\).

2. \(f(1)=-0{,}2\times (1-1)^2\times (1-3)\times (1+2)=-0{,}2\times 0\times (-2)\times 3=\) 0.

\(f(2{,}5)=-0{,}2\times (2{,}5-1)^2\times (2{,}5-3)\times (2{,}5+2)=-0{,}2\times 2{,}25\times (-0{,}5)\times 4{,}5=\) 1,0125, ce qui confirme la lecture \(f(2{,}5)\approx 1\).

3. De même, on trace la droite d’équation \(y=1\) : elle coupe la courbe en trois points. Les antécédents de 1 sont environ 0,1 ; 2,3 et 2,5. (La courbe atteint un maximum local d’environ 1,03 vers \(x=2{,}4\), juste au-dessus de la droite.)

4. Également, la courbe touche l’axe des abscisses en \(x=1\) et le traverse en \(x=3\) : \(S=\{1\,;3\}\).

5. \(f(x)\gt 1\) lorsque la courbe est strictement au-dessus de la droite \(y=1\) : \(S\approx[-1{,}5\,;0{,}1[\,\cup\,]2{,}3\,;2{,}5[\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 8 :

1. \(f(x)=9x^2-4+(3-2x)(3x-2)=9x^2-4+9x-6-6x^2+4x\), donc \(f(x)=3x^2+13x-10\).

\(g(x)=x^2+2x+1-(2x-3)^2=x^2+2x+1-(4x^2-12x+9)=x^2+2x+1-4x^2+12x-9\), donc \(g(x)=-3x^2+14x-8\).

2. On reconnaît \(9x^2-4=(3x-2)(3x+2)\), d’où le facteur commun \(3x-2\) :

\(f(x)=(3x-2)(3x+2)+(3-2x)(3x-2)=(3x-2)[(3x+2)+(3-2x)]\), donc \(f(x)=(3x-2)(x+5)\).

\(x^2+2x+1=(x+1)^2\), donc \(g(x)=(x+1)^2-(2x-3)^2=[(x+1)+(2x-3)][(x+1)-(2x-3)]\), soit \(g(x)=(3x-2)(4-x)\).

h. 1. \(h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\) existe si et seulement si \(g(x)\neq 0\), c’est-à-dire \(3x-2\neq 0\) et \(4-x\neq 0\).

\(h(x)\) existe pour \(x\neq \dfrac{2}{3}\) et \(x\neq 4\).

2. Pour \(x\neq \dfrac{2}{3}\) et \(x\neq 4\) : \(h(x)=\dfrac{(3x-2)(x+5)}{(3x-2)(4-x)}\), donc \(h(x)=\dfrac{x+5}{4-x}\).

3. Par ailleurs, \(h(x)=0 \Leftrightarrow x+5=0 \Leftrightarrow x=-5\), valeur autorisée : \(S=\{-5\}\).

\(h(x)=3 \Leftrightarrow x+5=3(4-x) \Leftrightarrow x+5=12-3x \Leftrightarrow 4x=7 \Leftrightarrow x=\dfrac{7}{4}\), valeur autorisée : \(S=\{\dfrac{7}{4}\}\).

\(h(x)\lt 0\) : tableau de signes du quotient \(\dfrac{x+5}{4-x}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-5\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(x+5\)		−	0	+		+
\(4-x\)		+		+	0	−
\(h(x)\)		−	0	+	||	−

\(h(x)\lt 0 \Leftrightarrow x\in\,]-\infty\,;-5[\,\cup\,]4\,;+\infty[\) (la valeur \(\dfrac{2}{3}\), interdite, n’est pas dans cet ensemble).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 9 (fonctions 2de corrigé)

\(x\) et \(y\) désignent des réels strictement positifs .

Un rectangle de dimension \(x\) et \(y\) (en centimètres) a pour aire \(25\,cm^2\) .

a) L’aire du rectangle vaut \(xy=25\). Comme \(x\neq 0\), on divise par \(x\) : \(y=\dfrac{25}{x}\).

b) \(x\) est une longueur strictement positive, et pour tout \(x\gt 0\) le quotient \(\dfrac{25}{x}\) existe et est strictement positif.

L’ensemble de définition de cette fonction est \(]0\,;+\infty[\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 10 :

1. On développe le membre de droite :

\(5(x-0{,}3)^2+5{,}55=5(x^2-0{,}6x+0{,}09)+5{,}55=5x^2-3x+0{,}45+5{,}55=5x^2-3x+6\).

Pour tout réel \(x\), \(f(x)=5(x-0{,}3)^2+5{,}55\).

2. Enfin, on trace la droite horizontale d’équation \(y=25{,}55\) : elle coupe la parabole en deux points d’abscisses environ −1,7 et 2,3. Puis la parabole est sous cette droite entre ces deux valeurs : \(S\approx\,]-1{,}7\,;2{,}3[\).

3. \(f(x)-25{,}55=5(x-0{,}3)^2-20=5[(x-0{,}3)^2-2^2]=5(x-0{,}3-2)(x-0{,}3+2)\).

\(f(x)-25{,}55=5(x-2{,}3)(x+1{,}7)\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1{,}7\)		\(2{,}3\)		\(+\infty\)
\(x+1{,}7\)		−	0	+		+
\(x-2{,}3\)		−		−	0	+
\(f(x)-25{,}55\)		+	0	−	0	+

\(f(x)\lt 25{,}55 \Leftrightarrow f(x)-25{,}55\lt 0\), donc \(S=\,]-1{,}7\,;2{,}3[\), ce qui confirme la lecture graphique.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 11 (fonctions 2de corrigé)

1) \(4(x+2)^2-9=4(x^2+4x+4)-9=4x^2+16x+16-9=4x^2+16x+7=f(x)\). Donc \(f(x)=4(x+2)^2-9\).

2) \(f(x)=4(x+2)^2-9=(2x+4)^2-3^2=(2x+4-3)(2x+4+3)\), donc \(f(x)=(2x+1)(2x+7)\).

3) Pour \(-\dfrac{1}{2}\), la forme factorisée est la plus simple car le premier facteur s’annule : \(f(-\dfrac{1}{2})=(2\times (-\dfrac{1}{2})+1)(2\times (-\dfrac{1}{2})+7)=0\times 6=\) 0.

Pour \(\sqrt{2}\), la forme développée est la plus pratique car \((\sqrt{2})^2=2\) : \(f(\sqrt{2})=4\times 2+16\sqrt{2}+7=\) \(15+16\sqrt{2}\).

4) Voir la parabole ci-dessus : son sommet est le point \((-2\,;-9)\) et elle coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;7)\).

5) \(f(x)=0 \Leftrightarrow (2x+1)(2x+7)=0\). De plus, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(2x+1=0\) ou \(2x+7=0\).

\(S=\{-\dfrac{7}{2}\,;-\dfrac{1}{2}\}\). Sur le graphique, ce sont les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses : on lit bien −3,5 et −0,5.

6a) \(f(x)=2x+7 \Leftrightarrow 4x^2+16x+7=2x+7 \Leftrightarrow 4x^2+14x=0 \Leftrightarrow 2x(2x+7)=0\), donc \(S=\{-\dfrac{7}{2}\,;0\}\).

b) On trace la droite d’équation \(y=2x+7\) (elle passe par \((0\,;7)\) et \((-3{,}5\,;0)\)) : elle coupe la parabole en deux points d’abscisses −3,5 et 0, ce qui confirme le calcul.

7) C’est la forme canonique \(f(x)=4(x+2)^2-9\) qui permet de conclure. Ensuite, pour tout réel \(x\), \((x+2)^2\geq\, 0\), donc \(4(x+2)^2\geq\, 0\) et \(4(x+2)^2-9\geq\, -9\).

Pour tout réel \(x\), \(f(x)\geq\, -9\), avec égalité pour \(x=-2\). Sur le graphique, le point le plus bas de la parabole (son sommet) a pour ordonnée −9.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 12 :

1. a. Pour tout réel \(x\) : \(i(x)=h(f(g(x)))=h(f(x^2))=h(3x^2-1)=2(3x^2-1)-1\), donc \(i(x)=6x^2-3\).

b. \(i(-1)=6\times (-1)^2-3=3\) ; \(i(0)=6\times 0^2-3=-3\) ; \(i(1)=6\times 1^2-3=3\).

\(i(-1)=3\) ; \(i(0)=-3\) ; \(i(1)=3\).

c. \(i(x)=27 \Leftrightarrow 6x^2-3=27 \Leftrightarrow 6x^2=30 \Leftrightarrow x^2=5 \Leftrightarrow x=\sqrt{5}\) ou \(x=-\sqrt{5}\).

Les antécédents de 27 par \(i\) sont \(-\sqrt{5}\) et \(\sqrt{5}\).

2. On enchaîne des fonctions de référence (on note \(u\circ v\) la fonction « \(v\) puis \(u\) ») :

• a. \(f=v\circ u\) avec \(u(x)=x^2\) puis \(v(x)=3x+1\).
• b. \(g=k\circ u\) avec \(u(x)=3x+1\) puis \(k(x)=\dfrac{1}{x}\).
• c. \(h=w\circ v\circ u\) avec \(u(x)=x^2\), puis \(v(x)=1-x\), puis \(w(x)=\sqrt{x}\).
• d. \(i=k\circ w\circ v\circ u\) avec \(u(x)=\sqrt{x}\), puis \(v(x)=5+x\), puis \(w(x)=x^2\), puis \(k(x)=\dfrac{3}{x}\).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 13 (fonctions 2de corrigé)

1. \((x-3)^2-4=x^2-2\times 3\times x+9-4=x^2-6x+5\). Les deux expressions sont égales.

2. a. On calcule d’abord \(m(x)=x-3\), puis on élève au carré avec \(k\), puis on retranche 4 avec \(h\) : \(h(k(m(x)))=(x-3)^2-4=f(x)\). Donc \(f=h\circ k\circ m\).

b. Sur \(]-\infty\,;3]\) : si \(x_1\lt x_2\leq\, 3\), alors \(x_1-3\lt x_2-3\leq\, 0\). Par ailleurs, la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), donc \((x_1-3)^2\gt (x_2-3)^2\), puis \((x_1-3)^2-4\gt (x_2-3)^2-4\) : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;3]\).

Sur \([3\,;+\infty[\) : si \(3\leq\, x_1\lt x_2\), alors \(0\leq\, x_1-3\lt x_2-3\). Puis la fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc \((x_1-3)^2\lt (x_2-3)^2\) et \(f(x_1)\lt f(x_2)\) : \(f\) est croissante sur \([3\,;+\infty[\).

c. Tableau de variation (avec \(f(3)=-4\)) :

\(x\)	\(-\infty\)		3		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↘	−4	↗

d. La valeur minimale de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) est −4, atteinte en \(x=3\).

e. Pour tout réel \(x\), \((x-3)^2\geq\, 0\), donc \(f(x)=(x-3)^2-4\geq\, -4\), et \(f(3)=0-4=-4\). Ensuite, on retrouve bien un minimum égal à −4 atteint en 3.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 14 :

• a. Par la fonction g, −5 est l’image de 4 : \(g(4)=-5\).
• b. 2 a pour image 0 par la fonction f : \(f(2)=0\).
• c. Un antécédent de −3 par h est 5 : \(h(5)=-3\).
• d. Les images par f de −3 et 5 sont nulles : \(f(-3)=0\) et \(f(5)=0\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 15 (fonctions 2de corrigé)

1. Voir l’écran ci-dessus : la parabole représente \(f\) et la droite représente \(g\).

2. De plus, les courbes semblent se couper en deux points d’abscisses \(x\approx -1{,}5\) et \(x\approx 1\).

3. \(f(x)=g(x) \Leftrightarrow 2x^2-2x=-3x+3 \Leftrightarrow 2x^2+x-3=0\).

Ainsi, on factorise : \(2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)\) (on vérifie en développant : \(2x^2+3x-2x-3=2x^2+x-3\)).

\((x-1)(2x+3)=0 \Leftrightarrow x=1\) ou \(x=-\dfrac{3}{2}\). \(S=\{-\dfrac{3}{2}\,;1\}\), ce qui confirme la conjecture.

4. \(g(1)=-3+3=0\) et \(g(-\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{2}+3=\dfrac{15}{2}\).

Les deux courbes se coupent aux points \((1\,;0)\) et \((-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{15}{2})\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 16 :

On utilise \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) et \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :

\(f(x)=(\dfrac{1}{4}x^2-2\times \dfrac{1}{2}x\times 1+1)-(4x^2-1)=\dfrac{1}{4}x^2-x+1-4x^2+1\).

\(f(x)=-\dfrac{15}{4}x^2-x+2\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 17 (fonctions 2de corrigé)

1. AMNP est un carré de côté \(AM=x\) : \(f(x)=x^2\).

2. Le triangle DNC a pour base \(DC=20\) et pour hauteur la distance de N à la droite (DC), soit \(20-x\) : \(g(x)=\dfrac{20(20-x)}{2}\), donc \(g(x)=200-10x\).

3. De même, \(f\) est représentée par un morceau de parabole et \(g\) par un segment de droite :

4. Également, sur \([0\,;20]\), les deux courbes se coupent en un seul point, de coordonnées \((10\,;100)\). Le carré et le triangle ont la même aire pour \(x=10\) (aire commune : 100).

Par ailleurs, Vérification : \(x^2=200-10x \Leftrightarrow x^2+10x-200=0 \Leftrightarrow (x-10)(x+20)=0\), et seule la solution 10 appartient à \([0\,;20]\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 18 :

Partie A. Lecture graphique.

1° a) La fonction n’est définie que sur \([0\,;3]\) : au bout de 3 s la balle est déjà au sol, donc après 10 secondes sa hauteur est 0 m. (Si l’énoncé voulait dire 1 seconde, on lit \(f(1)=20\) m.)

b) Au lancement, \(x=0\) : la balle est lancée à 15 m de hauteur.

c) Le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée 20 : la balle atteint 20 m, mais ne monte jamais plus haut.

d) La courbe coupe l’axe des abscisses en \(x=3\) : la balle revient au sol au bout de 3 secondes.

e) \(f(3)=0\) et \(f(0)=15\) : \(f(3)\) est la hauteur au bout de 3 s (la balle touche le sol) et \(f(0)\) la hauteur de lancement.

2° a) La hauteur maximale est 20 m, atteinte au bout d’une seconde.

b) La droite d’équation \(y=15\) coupe la courbe en \(x=0\) et \(x=2\) : la balle est à 15 m à l’instant 0 et au bout de 2 s.

c) La courbe est au-dessus de la droite \(y=18\) pour \(x\) compris entre environ 0,35 et 1,65 : la balle se trouve à 18 m ou plus pendant environ 1,3 seconde.

Partie B : Calculs.

1° \(f(0)=-5\times 0+10\times 0+15=\) 15 et \(f(3)=-5\times 9+10\times 3+15=-45+30+15=\) 0, ce qui confirme les réponses 1° b) et 1° d).

Exercice 18 : (suite)

2° a) \(20-5(x-1)^2=20-5(x^2-2x+1)=20-5x^2+10x-5=-5x^2+10x+15=f(x)\).

b) \(f(x)=15 \Leftrightarrow 20-5(x-1)^2=15 \Leftrightarrow (x-1)^2=1 \Leftrightarrow x-1=1\) ou \(x-1=-1\).

\(S=\{0\,;2\}\) : on retrouve le résultat de la question A 2° b).

3° Pour tout \(x\), \((x-1)^2\geq\, 0\), donc \(-5(x-1)^2\leq\, 0\) et \(f(x)=20-5(x-1)^2\leq\, 20\), avec égalité pour \(x=1\). On retrouve la hauteur maximale de 20 m atteinte au bout d’une seconde (question A 2° a).

4° \(f(2)=-20+20+15=\) 15 ; \(f(\dfrac{2}{3})=-5\times \dfrac{4}{9}+\dfrac{20}{3}+15=\dfrac{-20+60+135}{9}=\) \(\dfrac{175}{9}\) (environ 19,44 m).

5° \(f(x)=0 \Leftrightarrow 5(x-1)^2=20 \Leftrightarrow (x-1)^2=4 \Leftrightarrow x-1=2\) ou \(x-1=-2 \Leftrightarrow x=3\) ou \(x=-1\).

Enfin, comme \(-1\notin[0\,;3]\), la seule solution est \(x=3\).

Remarque : de même, \(f(x)\geq\, 18 \Leftrightarrow (x-1)^2\leq\, \dfrac{2}{5}\), soit \(x\in[1-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\,;1+\dfrac{\sqrt{10}}{5}]\approx[0{,}37\,;1{,}63]\), ce qui confirme la lecture graphique de A 2° c).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 19 (fonctions 2de corrigé)

\(f:x\mapsto 1{,}2x\).

a. \(f(5)=1{,}2\times 5=6\) ; \(f(-1{,}2)=1{,}2\times (-1{,}2)=-1{,}44\) ; \(f(0)=0\) ; \(f(100)=120\).

\(f(5)=6\) ; \(f(-1{,}2)=-1{,}44\) ; \(f(0)=0\) ; \(f(100)=120\).

b. \(f(x)=2\,400 \Leftrightarrow 1{,}2x=2\,400 \Leftrightarrow x=\dfrac{2\,400}{1{,}2}=2\,000\).

\(f(x)=-45 \Leftrightarrow 1{,}2x=-45 \Leftrightarrow x=\dfrac{-45}{1{,}2}=-37{,}5\).

Les nombres cherchés sont 2 000 et −37,5.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 20 :

\(g:x\mapsto -0{,}4x\).

a. Le coefficient de la fonction linéaire \(g\) est \(a=-0{,}4\).

b. \(g(10)=-0{,}4\times 10=-4\) ; \(g(-5)=-0{,}4\times (-5)=2\) ; \(g(1)=-0{,}4\).

c. \(g(10)=-4\) ; \(g(-5)=2\) ; \(g(1)=-0{,}4\) (le nombre qui a pour image −0,4 est 1).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 21 (fonctions 2de corrigé)

Pour une fonction linéaire \(x\mapsto ax\), le quotient \(\dfrac{f(x)}{x}\) vaut toujours \(a\). Or :

\(\dfrac{23}{18}=\dfrac{46}{36}\) et \(\dfrac{14}{12}=\dfrac{42}{36}\), donc \(\dfrac{23}{18}-\dfrac{14}{12}=\dfrac{4}{36}\neq 0\).

Les images ne sont pas proportionnelles aux nombres de départ : \(f\) n’est pas une fonction linéaire.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 22 :

1. \(f(10)=-3\), donc \(10a=-3\) et \(a=-0{,}3\) : \(f(x)=-0{,}3x\). Alors \(f(0)=0\) ; \(f(1)=-0{,}3\) ; \(f(-2)=0{,}6\).

2. \(f(-100)=-46\), donc \(-100a=-46\) et \(a=\dfrac{-46}{-100}=0{,}46\) : \(f(x)=0{,}46x\). Alors \(f(0)=0\) ; \(f(1)=0{,}46\) ; \(f(-2)=-0{,}92\).

3. De plus, le coefficient est 2,5 : \(f(x)=2{,}5x\). Alors \(f(0)=0\) ; \(f(1)=2{,}5\) ; \(f(-2)=-5\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 23 (fonctions 2de corrigé)

Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l’origine ; il suffit donc d’un second point.

• a. \(f(2)=2{,}5\times 2=5\) : la droite d passe par O et par le point \((2\,;5)\).
• b. La droite d’équation \(y=1{,}2x\) passe par O et par \((2{,}5\,;3)\). Elle représente la fonction linéaire \(x\mapsto 1{,}2x\).
• c. \(g(x)=-2x\) et \(g(1)=-2\) : la droite d’ passe par O et par \((1\,;-2)\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 24 :

a. \(f:x\mapsto 3x+7\) se lit « \(f\) est la fonction qui, à tout nombre \(x\), associe le nombre \(3x+7\) ». C’est une fonction affine de coefficient 3 et d’ordonnée à l’origine 7.

b. \(f(x)=-2x+3\) se lit « l’image du nombre \(x\) par la fonction \(f\) est \(-2x+3\) ». C’est la fonction affine \(x\mapsto -2x+3\) ; la notation met l’accent sur l’image d’un nombre.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 25 (fonctions 2de corrigé)

Une fonction affine s’écrit \(x\mapsto ax+b\) ; elle est linéaire lorsque \(b=0\).

• \(f:x\mapsto 5x+2\) : affine (\(a=5\), \(b=2\)).
• \(g:x\mapsto -4+3x\) : affine (\(a=3\), \(b=-4\)).
• \(h:x\mapsto 2x\) : linéaire (donc aussi affine).
• \(i:x\mapsto 8\) : affine (constante, \(a=0\), \(b=8\)).
• \(j:x\mapsto -4x^2-4\) : pas affine (terme en \(x^2\)).
• \(k:x\mapsto -\dfrac{3x}{7}\) : linéaire (\(a=-\dfrac{3}{7}\)).
• \(l:x\mapsto 3\sqrt{x}+7\) : pas affine (racine carrée de \(x\)).
• \(m:x\mapsto 3+\dfrac{1}{x}\) : pas affine (inverse de \(x\)).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 26 :

a. \(f(2)=-5\times 2+2=-8\) ; \(f(-3)=-5\times (-3)+2=17\) ; \(f(0)=2\).

b. \(f(4)=-20+2=\) −18.

c. \(-5x+2=\dfrac{5}{3} \Leftrightarrow -5x=\dfrac{5}{3}-\dfrac{6}{3}=-\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{15}\). Le nombre cherché est \(\dfrac{1}{15}\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 27 (fonctions 2de corrigé)

a. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite : on place les points \(A(3\,;5)\) et \(B(7\,;13)\) et on les relie.

b. \(a=\dfrac{f(7)-f(3)}{7-3}=\dfrac{13-5}{4}=2\). Puis \(f(3)=5\) donne \(2\times 3+b=5\), donc \(b=-1\).

\(f:x\mapsto 2x-1\) (vérification : \(f(7)=14-1=13\)).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 28 :

1. 100 g coûtent 3 €, donc 1 g coûte 0,03 €. Puis le prix payé est une fonction affine de la masse \(m\) (en g) : \(P(m)=0{,}03m+1{,}52\).

Sonia : \(0{,}03\times 750+1{,}52=22{,}5+1{,}52=24{,}02\). Samy : \(0{,}03\times 900+1{,}52=27+1{,}52=28{,}52\).

Sonia a payé 24,02 € et Samy 28,52 €.

2. Ainsi, notons \(p\) le prix d’une place et \(A\) le montant de l’abonnement : \(A+3p=16\) et \(A+5p=22\).

En soustrayant la première égalité à la seconde : \(2p=6\), donc \(p=3\), puis \(A=16-9=7\).

Une place coûte 3 € et l’abonnement 7 € (vérification : \(7+5\times 3=22\)).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 29 (fonctions 2de corrigé)

Partie 1 : \(f(x)=-3(x-2)^2+5\).

1) L’expression se calcule pour tout réel \(x\) : \(D_f=\mathbb{R}\).

2) \(f(0)=-3\times (-2)^2+5=-12+5=-7\) ; \(f(1)=-3\times (-1)^2+5=2\) ; \(f(-1)=-3\times (-3)^2+5=-22\) ; \(f(-2)=-3\times (-4)^2+5=-43\) ; \(f(\dfrac{1}{2})=-3\times (-\dfrac{3}{2})^2+5=-\dfrac{27}{4}+\dfrac{20}{4}=-\dfrac{7}{4}\).

\(f(0)=-7\) ; \(f(1)=2\) ; \(f(-1)=-22\) ; \(f(-2)=-43\) ; \(f(\dfrac{1}{2})=-\dfrac{7}{4}\).

3) Antécédents de 0 : \(-3(x-2)^2+5=0 \Leftrightarrow (x-2)^2=\dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x-2=\sqrt{\dfrac{5}{3}}\) ou \(x-2=-\sqrt{\dfrac{5}{3}}\). Comme \(\sqrt{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\), les antécédents de 0 sont \(2-\dfrac{\sqrt{15}}{3}\) et \(2+\dfrac{\sqrt{15}}{3}\) (environ 0,71 et 3,29).

De même, antécédents de 5 : \(-3(x-2)^2+5=5 \Leftrightarrow (x-2)^2=0 \Leftrightarrow x=2\). 5 a un seul antécédent : 2.

Antécédents de −5 : \(-3(x-2)^2=-10 \Leftrightarrow (x-2)^2=\dfrac{10}{3}\), donc les antécédents de −5 sont \(2-\dfrac{\sqrt{30}}{3}\) et \(2+\dfrac{\sqrt{30}}{3}\) (environ 0,17 et 3,83).

4) \(f(x)=-3(x^2-4x+4)+5=-3x^2+12x-12+5\), donc \(f(x)=-3x^2+12x-7\).

5) On part de la forme canonique et on fait apparaître une différence de deux carrés :

\(f(x)=-3[(x-2)^2-\dfrac{5}{3}]=-3[(x-2)^2-(\dfrac{\sqrt{15}}{3})^2]=-3(x-2-\dfrac{\sqrt{15}}{3})(x-2+\dfrac{\sqrt{15}}{3})\).

Or \(x-2-\dfrac{\sqrt{15}}{3}=-(\dfrac{\sqrt{15}+6}{3}-x)\) et \(x-2+\dfrac{\sqrt{15}}{3}=\dfrac{\sqrt{15}-6}{3}+x\). De plus, les deux signes « moins » se compensent :

\(f(x)=3[\dfrac{\sqrt{15}+6}{3}-x][\dfrac{\sqrt{15}-6}{3}+x]\).

6) Tableau de valeurs avec un pas de 0,5 :

\(x\)	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
\(f(x)\)	−7	−1,75	2	4,25	5	4,25	2	−1,75	−7

Exercice 29 (fonctions 2de corrigé) (suite)

7) On place les points du tableau et on les relie par une courbe régulière : c’est une parabole « tournée vers le bas », de sommet \(S(2\,;5)\), symétrique par rapport à la droite d’équation \(x=2\).

Partie 2 : lectures graphiques (un carreau vaut 0,5 en abscisse et 1 en ordonnée).

1) \(f(0)=4\) ; \(f(-2)=-2\) ; \(f(2{,}5)=6\).

2) On trace les droites horizontales correspondantes :

• De même, antécédents de 4 : environ −1,3 ; 0 et 2,3 ;
• Également, antécédents de 3 : environ −1,5 ; 0,3 et 2,2 ;
• Par ailleurs, antécédent de 0 : environ −1,8 (un seul) ;
• Enfin, antécédent de −1 : environ −1,9 (un seul).

3) \(f(-1)=5\) et \(f(1)=1\).

4) La courbe est au-dessus de l’axe des abscisses (ou dessus) à partir de son unique point d’intersection avec cet axe : \(f(x)\geq\, 0 \Leftrightarrow x\in[-1{,}8\,;2{,}5]\) environ.

5) \(f(x)\lt 0 \Leftrightarrow x\in[-2\,;-1{,}8[\) environ.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 30 :

1. La droite \(D\) passe par les points \((0\,;2)\) et \((4\,;0)\). Son ordonnée à l’origine est 2 et son coefficient directeur vaut \(\dfrac{0-2}{4-0}=-\dfrac{1}{2}\).

La droite \(D\) a pour équation \(y=-\dfrac{1}{2}x+2\).

2.

	Affirmation	Réponse et justification
1	L’image de −2 par \(f\) est 4.	Faux : \(f(-2)=-3\).
2	7 est un antécédent de 2 par \(f\).	Vrai : \(f(7)=2\).
3	\(f(1)=3\).	Vrai : le point \((1\,;3)\) est sur la courbe.
4	2 a trois antécédents par \(f\).	Vrai : la droite \(y=2\) coupe \(C_f\) en trois points (vers −0,3, vers 2 et en 7).
5	\(f(x)=1\) a 3 solutions dans \([-2\,;4]\).	Faux : seulement deux (vers −1,2 et en 2).
6	\(f(x)=-\dfrac{1}{2}x+2\) a 3 solutions dans \([-2\,;7]\).	Vrai : \(C_f\) et \(D\) ont trois points communs.
7	\(f\) est croissante sur \([-2\,;7]\).	Faux : \(f\) décroît sur \([1\,;4]\).
8	\(f\) est décroissante sur \([1\,;4]\).	Vrai : \(f\) passe de 3 à −2 en diminuant.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 31 (fonctions 2de corrigé)

Pour \(f(x)=3(1-x)^2+2\) sur \([1\,;+\infty[\), la démonstration complétée s’écrit :

• De plus, Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux réels de \([1\,;+\infty[\) tels que \(x_1\lt x_2\).
• Ainsi, en multipliant par −1 (ce qui change le sens de l’inégalité) : \(-x_1\gt -x_2\).
• De même, en ajoutant 1 : \(1-x_1\gt 1-x_2\).
• \(1-x_1\) et \(1-x_2\) sont négatifs ou nuls et la fonction carré est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) : \((1-x_1)^2\lt (1-x_2)^2\).
• Également, en multipliant par 3 (nombre positif) : \(3(1-x_1)^2\lt 3(1-x_2)^2\).
• En ajoutant 2 : \(3(1-x_1)^2+2\lt 3(1-x_2)^2+2\), c’est-à-dire \(f(x_1)\lt f(x_2)\).

Également, des réels rangés dans l’ordre croissant ont des images rangées dans le même ordre : \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).

Pour \(g(x)=-2(x-3)^2+4\) sur \([3\,;+\infty[\) :

• Par ailleurs, Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux réels de \([3\,;+\infty[\) tels que \(x_1\lt x_2\).
• Enfin, en retranchant 3 : \(x_1-3\lt x_2-3\), avec \(x_1-3\geq\, 0\) et \(x_2-3\gt 0\).
• De plus, la fonction carré est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\) : \((x_1-3)^2\lt (x_2-3)^2\).
• Ainsi, en multipliant par −2 (nombre négatif, le sens change) : \(-2(x_1-3)^2\gt -2(x_2-3)^2\).
• En ajoutant 4 : \(-2(x_1-3)^2+4\gt -2(x_2-3)^2+4\), c’est-à-dire \(g(x_1)\gt g(x_2)\).

Conclusion : la fonction \(g\) est strictement décroissante sur \([3\,;+\infty[\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 32 :

Il suffit de placer les points \(A(-3\,;-0{,}3)\), \(B(-1\,;-0{,}5)\), \(C(1\,;0{,}5)\) et \(D(3\,;0{,}3)\), puis de tracer une courbe qui descend de A à B, monte de B à C et redescend de C à D. Ensuite, il existe une infinité de courbes possibles ; en voici une (seule la partie comprise entre A et D répond à la question) :

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 33 (fonctions 2de corrigé)

1. Pour tout réel \(x\), \(x^2\geq\, 0\) donc \(1+x^2\geq\, 1\gt 0\) : le dénominateur ne s’annule jamais. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).

2. Le numérateur \((1-x^2)^2\) est un carré, donc positif ou nul, et le dénominateur est strictement positif. Le quotient est positif : \(f(x)\geq\, 0\) pour tout réel \(x\) (il s’annule en −1 et en 1).

3. Par ailleurs, pour tout réel \(x\), \(-x\in\mathbb{R}\) et \(f(-x)=\dfrac{(1-(-x)^2)^2}{1+(-x)^2}=\dfrac{(1-x^2)^2}{1+x^2}=f(x)\). \(f\) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

4. Enfin, Représentation graphique :

5. a. Sur \([-1\,;1]\), le point le plus haut est \((0\,;1)\) : le maximum vaut 1, atteint en 0.

b. Sur \([-2\,;1]\), le point le plus haut est l’extrémité gauche : \(f(-2)=\dfrac{(1-4)^2}{1+4}=\dfrac{9}{5}\). Le maximum vaut \(\dfrac{9}{5}=1{,}8\), atteint en −2.

6. De plus, comme \(1+x^2\gt 0\), on peut multiplier par \(1+x^2\) sans changer le sens :

\(f(x)\leq\, 1 \Leftrightarrow (1-x^2)^2\leq\, 1+x^2 \Leftrightarrow 1-2x^2+x^4\leq\, 1+x^2 \Leftrightarrow x^4-3x^2\leq\, 0 \Leftrightarrow x^2(x^2-3)\leq\, 0\).

\(x^2\geq\, 0\) : le produit est négatif ou nul lorsque \(x=0\) ou lorsque \(x^2-3\leq\, 0\), soit \((x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\leq\, 0\), c’est-à-dire \(-\sqrt{3}\leq\, x\leq\, \sqrt{3}\) (0 est déjà dans cet intervalle).

\(S=[-\sqrt{3}\,;\sqrt{3}]\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 34 :

1. \(f(0)=2\times 0^2+0+3=3\) ; \(f(1)=2\times 1^2+1+3=6\) ; \(f(\sqrt{2})=2\times (\sqrt{2})^2+\sqrt{2}+3=4+\sqrt{2}+3=7+\sqrt{2}\).

\(f(0)=3\) ; \(f(1)=6\) ; \(f(\sqrt{2})=7+\sqrt{2}\).

2. \(f(x)=3 \Leftrightarrow 2x^2+x+3=3 \Leftrightarrow 2x^2+x=0 \Leftrightarrow x(2x+1)=0\).

Ainsi, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul : \(x=0\) ou \(2x+1=0\).

Les antécédents de 3 par \(f\) sont 0 et \(-\dfrac{1}{2}\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 35 (fonctions 2de corrigé)

1. \(f(2)=-3(2-1)^2=\) −3.

2. \(f(-3)=-3(-3-1)^2=-3\times 16=\) −48.

3. \(f(t)=4 \Leftrightarrow -3(t-1)^2=4 \Leftrightarrow (t-1)^2=-\dfrac{4}{3}\). Par ailleurs, un carré n’est jamais strictement négatif : c’est vrai, 4 n’a pas d’antécédent par \(f\).

4. \(f(t)=0 \Leftrightarrow (t-1)^2=0 \Leftrightarrow t=1\). C’est vrai : 0 a un seul antécédent, qui est 1.

5. \(f(t)=-12 \Leftrightarrow (t-1)^2=4 \Leftrightarrow (t-1-2)(t-1+2)=0 \Leftrightarrow t=3\) ou \(t=-1\).

−12 a deux antécédents par \(f\) : 3 et −1 (il suffisait d’en donner un).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 36 :

1. Pour \(x=-2\), le dénominateur \(x+2\) vaut 0 et on ne peut pas diviser par 0 : \(f(-2)\) n’existe pas.

2. \(f(4)=\dfrac{1}{4+2}=\) \(\dfrac{1}{6}\).

3. \(f(x)=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x+2=2 \Leftrightarrow x=0\), et \(0\in\,]-2\,;+\infty[\).

L’antécédent de \(\dfrac{1}{2}\) par \(f\) est 0.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 37 (fonctions 2de corrigé)

Les droites (DH) et (AC) sont toutes les deux perpendiculaires à (AB), donc elles sont parallèles. De plus \(D\in[BC]\) et \(H\in[BA]\). D’après le théorème de Thalès dans le triangle ABC :

\(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{DH}{CA}\), donc \(\dfrac{BD}{1\,200}=\dfrac{150}{200}\) et \(BD=\dfrac{150\times 1\,200}{200}=900\).

Il reste 900 m à parcourir au skieur.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 38 :

1) La largeur de l’encoche est positive et on doit pouvoir découper deux encoches dans un côté de 18 cm : \(x\geq\, 0\) et \(18-2x\geq\, 0\), soit \(0\leq\, x\leq\, 9\).

\(D=[0\,;9]\).

2) La boîte a une base carrée de côté \(18-2x\) et une hauteur \(x\) : \(f(x)=x(18-2x)^2\).

3) Représentation graphique à la calculatrice :

4) Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse 3 : le volume est maximal pour \(x=3\) cm.

\(x\)	0		3		9
\(f(x)\)	0	↗	432	↘	0

5) \(f(3)=3\times 12^2=432\). D’une part : \(f(x)-f(3)=x(324-72x+4x^2)-432=4x^3-72x^2+324x-432\).

D’autre part : \(4(x-3)^2(x-12)=4(x^2-6x+9)(x-12)=4(x^3-12x^2-6x^2+72x+9x-108)=4x^3-72x^2+324x-432\).

Donc \(f(x)-f(3)=4(x-3)^2(x-12)\).

Pour \(x\in[0\,;9]\) : \((x-3)^2\geq\, 0\) et \(x-12\lt 0\), donc le produit \(4(x-3)^2(x-12)\) est négatif ou nul, soit \(f(x)\leq\, f(3)\).

Conclusion : \(f(3)=432\) est le maximum de \(f\) sur \([0\,;9]\) ; le volume maximal de la boîte est 432 cm³, obtenu pour des encoches de 3 cm.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 39 (fonctions 2de corrigé)

1) a) \((1+5\sqrt{2})^2=1+10\sqrt{2}+50=51+10\sqrt{2}\), donc :

\(f(1+5\sqrt{2})=-\dfrac{4}{5}(51+10\sqrt{2})+3(1+5\sqrt{2})+5=-40{,}8-8\sqrt{2}+3+15\sqrt{2}+5\).

\(f(1+5\sqrt{2})=-32{,}8+7\sqrt{2}\) (\(a=-32{,}8\) et \(b=7\)).

b) \((5-\sqrt{3})^2=25-10\sqrt{3}+3=28-10\sqrt{3}\), donc :

\(f(5-\sqrt{3})=-\dfrac{4}{5}(28-10\sqrt{3})+15-3\sqrt{3}+5=-22{,}4+8\sqrt{3}+20-3\sqrt{3}\).

\(f(5-\sqrt{3})=-2{,}4+5\sqrt{3}\).

2) \(f(x)=5 \Leftrightarrow -\dfrac{4}{5}x^2+3x=0 \Leftrightarrow x(-\dfrac{4}{5}x+3)=0 \Leftrightarrow x=0\) ou \(x=\dfrac{15}{4}\).

Les antécédents de 5 par \(f\) sont 0 et \(\dfrac{15}{4}\).

3) a) \((x-\dfrac{15}{8})^2-\dfrac{625}{64}=x^2-\dfrac{15}{4}x+\dfrac{225}{64}-\dfrac{625}{64}=x^2-\dfrac{15}{4}x-\dfrac{25}{4}\).

Donc \(-\dfrac{4}{5}[(x-\dfrac{15}{8})^2-\dfrac{625}{64}]=-\dfrac{4}{5}x^2+3x+5=f(x)\).

b) \(\dfrac{625}{64}=(\dfrac{25}{8})^2\), d’où une différence de deux carrés :

\(f(x)=-\dfrac{4}{5}(x-\dfrac{15}{8}-\dfrac{25}{8})(x-\dfrac{15}{8}+\dfrac{25}{8})\), soit \(f(x)=-\dfrac{4}{5}(x-5)(x+\dfrac{5}{4})\).

c) \(f(x)=0 \Leftrightarrow x-5=0\) ou \(x+\dfrac{5}{4}=0\). Les antécédents de 0 sont 5 et \(-\dfrac{5}{4}\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 40 :

1. \(f(3)=\dfrac{4\times 3+2}{1+3^2}=\dfrac{14}{10}=\dfrac{7}{5}\). Non, \(f(3)=\dfrac{7}{5}\neq 1\).

2. \(f(2)=\dfrac{8+2}{1+4}=\dfrac{10}{5}=2\) et \(f(0)=\dfrac{0+2}{1+0}=2\). Oui, les images de 2 et de 0 sont égales (à 2).

3. \(f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{4\times \dfrac{1}{2}+2}{1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{\dfrac{5}{4}}=4\times \dfrac{4}{5}=\) \(\dfrac{16}{5}\).

4. Le dénominateur \(1+x^2\) n’est jamais nul, donc \(f(x)=0 \Leftrightarrow 4x+2=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}\).

0 a un unique antécédent par \(f\) : \(-\dfrac{1}{2}\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 41 (fonctions 2de corrigé)

Un carreau représente une unité sur chaque axe.

• a) Le point de la courbe d’abscisse −1 a pour ordonnée 1,5 : l’image de −1 est environ 1,5.
• b) L’image de 0 est 3 (sommet de la courbe).
• c) La droite \(y=1\) coupe la courbe en deux points : les antécédents de 1 sont environ −1,4 et 1,4.
• d) La droite \(y=3\) ne touche la courbe qu’en son sommet : 3 a un seul antécédent, 0.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 42 :

La courbe de \(g\) est formée de deux segments : de \((-2\,;1)\) à \((0\,;3)\), puis de \((0\,;3)\) à \((3\,;-1)\).

a) \(g(0)=3\).

b) \(g(1)\approx 1{,}7\) (valeur exacte \(\dfrac{5}{3}\) sur le segment) et \(g(-2)=1\).

c) −1 a un seul antécédent : 3. 1 a deux antécédents : −2 et 1,5. 5 n’a aucun antécédent, car le maximum de \(g\) est 3.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 43 (fonctions 2de corrigé)

On lit les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale correspondante :

• a) \(f(x)=2\) : \(x=0\), \(x=3\) et \(x=4\).
• b) \(f(x)=0\) : \(x=1\), \(x=2\), \(x=5\) et \(x=6\).
• c) \(f(x)=-1\) : la courbe ne descend jamais jusqu’à −1, pas de solution.
• d) \(f(x)=1\) : \(x\approx 0{,}5\) ; \(x\approx 2{,}4\) ; \(x\approx 4{,}3\) et \(x=7\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 44 :

Un carreau représente une unité ; on lit \(g(-5)\approx 4{,}2\), \(g(0)=-2\), un maximum d’environ 4,5 en 2 et \(g(5)=-2\).

• a) \(g(x)=2\) : \(x\approx -2{,}5\) ; \(x\approx 1{,}1\) ; \(x\approx 3{,}5\).
• b) \(g(x)=-3\) : la plus petite valeur prise par \(g\) est −2, pas de solution.
• c) \(g(x)=4\) : \(x\approx -4{,}5\) ; \(x\approx 1{,}7\) ; \(x\approx 2{,}4\).
• d) \(g(x)=-1\) : \(x\approx -0{,}8\) ; \(x\approx 0{,}5\) ; \(x\approx 4{,}7\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 45 (fonctions 2de corrigé)

La courbe passe par \((-3\,;2)\), \((-2\,;1)\), \((-1\,;0)\), \((0\,;1)\), \((1\,;0)\), \((2\,;-1)\), \((3\,;-2)\) et \((4\,;-1)\).

• a) \(k(x)=1\) : \(S=\{-2\,;0\}\).
• b) \(k(x)=0\) : \(S=\{-1\,;1\}\) (en −1 la courbe touche l’axe sans le traverser).
• c) \(k(x)\gt -1\) : \(S=[-3\,;2[\).
• d) \(k(x)\lt 0\) : \(S=\,]1\,;4]\).
• e) \(k(x)\geq\, -2\) : le minimum de \(k\) est −2, donc \(S=[-3\,;4]\).
• f) \(k(x)\geq\, 2\) : seul le point de départ convient, \(S=\{-3\}\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 46 :

La courbe part de \((-5\,;-3)\), coupe l’axe des abscisses vers −1,5, passe par \((0\,;2)\), atteint 4 en 2, redescend à 1 en 3, remonte à 3 en 4, puis recoupe l’axe vers 4,8 et finit en \((5\,;-2)\).

• a) \(h(x)\geq\, 0\) : \(S\approx[-1{,}5\,;4{,}8]\).
• b) \(h(x)\lt -4\) : le minimum de \(h\) est −3, pas de solution.
• c) \(h(x)\lt -2\) : \(S\approx[-5\,;-3[\).
• d) \(h(x)\gt 2\) : \(S\approx\,]0\,;2{,}7[\,\cup\,]3{,}5\,;4{,}4[\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 47 (fonctions 2de corrigé)

La droite \(C_g\) passe par \((-2\,;-4)\) et \((3\,;1)\) ; la courbe \(C_f\) passe par \((-2\,;-2)\), \((-1\,;-3)\), \((1\,;-3)\), \((2\,;0)\) et \((3\,;3)\), avec un minimum d’environ −3,5 en 0.

• a) Les courbes se coupent en deux points : \(S=\{-1\,;2\}\).
• b) \(C_g\) est sous \(C_f\) (ou la coupe) : \(S=[-2\,;-1]\cup[2\,;3]\).
• c) \(f(x)\lt -3\) : \(S=\,]-1\,;1[\).
• d) \(g(x)\lt 2\) : la droite reste sous 2 sur tout l’intervalle (elle finit à 1), \(S=[-2\,;3]\).
• e) \(f(x)\geq\, -2\) : \(S\approx\{-2\}\cup[1{,}4\,;3]\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 48 :

La courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

• a) Symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : fonction paire.
• b) Symétrique par rapport à l’origine (elle passe par O, avec un minimum −1 et un maximum 1 placés symétriquement) : fonction impaire.
• c) Symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : fonction paire.
• d) Maximum 2 en 1 mais minimum −2 en −2 : aucune symétrie, et la courbe ne passe pas par O. Fonction ni paire ni impaire.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 49 (fonctions 2de corrigé)

• a) \(f(x)=\dfrac{5+x}{10-x}\) existe si \(10-x\neq 0\), soit \(x\neq 10\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{10\}\).
• b) \(g(x)=2\sqrt{x}+3\) existe si \(x\geq\, 0\) : \(D_g=[0\,;+\infty[\).
• c) \(h(x)=\dfrac{3x+x^2}{2}\) : on divise par 2, qui n’est jamais nul, \(D_h=\mathbb{R}\).
• d) \(i(x)=4x+\dfrac{1}{x}\) existe si \(x\neq 0\) : \(D_i=\mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 50 :

1. La fonction inverse est représentée par l’hyperbole (les deux branches rouges) ; la fonction affine \(g\) par la droite, qui coupe l’axe des ordonnées en 1.

2. De même, les deux courbes se coupent en deux points, d’abscisses −1 et 0,5 : \(S=\{-1\,;0{,}5\}\).

3. a) \((2x-1)(x+1)=2x^2+2x-x-1=\) \(2x^2+x-1\).

b) Pour \(x\neq 0\), on multiplie par \(x\) : \(\dfrac{1}{x}=2x+1 \Leftrightarrow 1=2x^2+x \Leftrightarrow 2x^2+x-1=0 \Leftrightarrow (2x-1)(x+1)=0\).

\(x=\dfrac{1}{2}\) ou \(x=-1\), deux valeurs non nulles : \(S=\{-1\,;\dfrac{1}{2}\}\), ce qui confirme la lecture graphique.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 51 (fonctions 2de corrigé)

La courbe est tracée sur \([-3\,;4]\) : elle monte jusqu’à son sommet, d’ordonnée environ 8,5, atteint en 1, puis redescend jusqu’à \((4\,;4)\). Puis un carreau représente une unité.

1. Également, L’image de 2 est 8.

2. \(f(-2)=4\).

3. Par ailleurs, la droite \(y=5\) coupe la courbe en deux points : les antécédents de 5 sont environ −1,6 et 3,6.

4. \(f(x)=4 \Leftrightarrow x=-2\) ou \(x=4\).

5. Enfin, la courbe est sous la droite \(y=6\) aux deux extrémités : \(S\approx[-3\,;-1{,}2[\,\cup\,]3{,}2\,;4]\).

6. De plus, la courbe est au-dessus de la droite \(y=8\) (ou dessus) entre 0 et 2 : \(S=[0\,;2]\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 52 :

1) \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}\) existe si la racine existe (\(x+2\geq\, 0\)) et n’est pas nulle (\(x+2\neq 0\)), donc si \(x+2\gt 0\).

\(D_f=\,]-2\,;+\infty[\).

2) \(f(-1)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}=1\) ; \(f(7)=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}\) ; \(-4\notin D_f\), donc −4 n’a pas d’image.

\(f(-1)=1\) et \(f(7)=\dfrac{1}{3}\).

3) Sur la courbe, la droite \(y=2\) est coupée en un seul point, d’abscisse environ −1,75. Par le calcul : \(\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}=2 \Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x+2=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x=-\dfrac{7}{4}\).

Le seul antécédent de 2 est \(-\dfrac{7}{4}=-1{,}75\).

4) Une racine carrée est positive, donc \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+2}}\gt 0\) pour tout \(x\in D_f\). −1 n’a aucun antécédent par \(f\).

5) Voici la courbe de \(f\) :

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 53 (fonctions 2de corrigé)

1) \(f(x)=\dfrac{2}{x-\pi}\) existe si \(x-\pi\neq 0\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{\pi\}\).

2) \(f(0)=\dfrac{2}{-\pi}=-\dfrac{2}{\pi}\) et \(f(2\pi)=\dfrac{2}{2\pi-\pi}=\dfrac{2}{\pi}\).

\(f(0)=-\dfrac{2}{\pi}\) et \(f(2\pi)=\dfrac{2}{\pi}\).

3) \(f(x)=2 \Leftrightarrow \dfrac{2}{x-\pi}=2 \Leftrightarrow x-\pi=1 \Leftrightarrow x=\pi+1\). Le seul antécédent de 2 est \(\pi+1\).

Ainsi, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul ; or le numérateur vaut 2. 0 n’a pas d’antécédent.

4) Le numérateur 2 est positif, donc \(f(x)\) a le signe de \(x-\pi\) :

\(f(x)\lt 0\) pour \(x\lt \pi\) et \(f(x)\gt 0\) pour \(x\gt \pi\).

5) La courbe est une hyperbole formée de deux branches, séparées par la droite verticale d’équation \(x=\pi\), dont elle se rapproche sans jamais la toucher :

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 54 :

1) \(f(-\sqrt{2})=\sqrt{2}\times (-\sqrt{2})-\sqrt{3}=\) \(-2-\sqrt{3}\).

2) \(f(x)=0 \Leftrightarrow \sqrt{2}x=\sqrt{3} \Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\). L’antécédent de 0 est \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).

\(f(x)=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2}x=\sqrt{2}+\sqrt{3} \Leftrightarrow x=1+\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\). L’antécédent de \(\sqrt{2}\) est \(\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\) (une fonction affine non constante n’a qu’un antécédent par valeur).

3) \(f\) est affine de coefficient \(\sqrt{2}\gt 0\) : elle est croissante et s’annule en \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).

\(f(x)\lt 0\) sur \(]-\infty\,;\dfrac{\sqrt{6}}{2}[\) et \(f(x)\gt 0\) sur \(]\dfrac{\sqrt{6}}{2}\,;+\infty[\).

4) \(C_f\) est une droite qui passe par \((0\,;-\sqrt{3})\approx(0\,;-1{,}73)\) et par \((\dfrac{\sqrt{6}}{2}\,;0)\approx(1{,}22\,;0)\) :

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 55 (fonctions 2de corrigé)

On met \(f(x)\) sous forme canonique : \(2x^2+2x+2=2(x^2+x)+2=2[(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}]+2=2(x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{2}\).

1) Pour tout réel \(x\), \((x+\dfrac{1}{2})^2\geq\, 0\), donc \(f(x)\geq\, \dfrac{3}{2}\gt 0\). \(f\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).

2) \(f(x)\geq\, \dfrac{3}{2}\) pour tout \(x\) et \(f(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}\). \(f\) admet un minimum égal à \(\dfrac{3}{2}\), atteint en \(-\dfrac{1}{2}\) ; elle n’a pas de maximum.

3) La courbe est une parabole « tournée vers le haut », de sommet \((-\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{3}{2})\), symétrique par rapport à la droite \(x=-\dfrac{1}{2}\). Quelques points : \(f(-2)=6\), \(f(-1)=2\), \(f(0)=2\), \(f(1)=6\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 56 :

1) Sur \(]-3\,;+\infty[\), \(x+3\gt 0\), donc \(\dfrac{1}{x+3}\gt 0\) et \(-\dfrac{1}{x+3}\lt 0\). \(f\) est strictement négative sur \(]-3\,;+\infty[\).

2) Soient \(-3\lt x_1\lt x_2\). Alors \(0\lt x_1+3\lt x_2+3\). Ensuite, la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\), donc \(\dfrac{1}{x_1+3}\gt \dfrac{1}{x_2+3}\). Puis en multipliant par −1 : \(-\dfrac{1}{x_1+3}\lt -\dfrac{1}{x_2+3}\), soit \(f(x_1)\lt f(x_2)\).

\(f\) est strictement croissante sur \(]-3\,;+\infty[\).

3) La courbe est une branche d’hyperbole située sous l’axe des abscisses : elle « plonge » vers le bas quand \(x\) se rapproche de −3 et se rapproche de l’axe des abscisses quand \(x\) devient grand. Points utiles : \(f(-2)=-1\), \(f(-1)=-\dfrac{1}{2}\), \(f(1)=-\dfrac{1}{4}\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 57 (fonctions 2de corrigé)

Forme canonique : \(-3x^2+6x-4=-3(x^2-2x)-4=-3[(x-1)^2-1]-4=-3(x-1)^2-1\).

1) \(f(x)=-1 \Leftrightarrow -3(x-1)^2=0 \Leftrightarrow x=1\) : l’antécédent de −1 est 1.

\(f(x)=-4 \Leftrightarrow -3x^2+6x=0 \Leftrightarrow 3x(2-x)=0\) : les antécédents de −4 sont 0 et 2.

\(f(x)=0 \Leftrightarrow (x-1)^2=-\dfrac{1}{3}\), impossible : 0 n’a pas d’antécédent.

2) \(-3(x-1)^2\leq\, 0\), donc \(f(x)\leq\, -1\lt 0\). \(f\) est strictement négative sur \(\mathbb{R}\).

3) Pour tout \(x\), \(f(x)\leq\, -1=f(1)\). \(f\) admet un maximum égal à −1, atteint en \(x=1\).

4) Si \(x_1\lt x_2\leq\, 1\), alors \(x_1-1\lt x_2-1\leq\, 0\), donc \((x_1-1)^2\gt (x_2-1)^2\) (carré décroissant sur les négatifs), puis \(-3(x_1-1)^2\lt -3(x_2-1)^2\) et \(f(x_1)\lt f(x_2)\). De même sur \([1\,;+\infty[\) l’ordre est inversé.

\(x\)	\(-\infty\)		1		\(+\infty\)
\(f(x)\)		↗	−1	↘

\(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\) et décroissante sur \([1\,;+\infty[\).

5) Parabole « tournée vers le bas », de sommet \((1\,;-1)\), passant par \((0\,;-4)\) et \((2\,;-4)\), entièrement sous l’axe des abscisses.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 58 :

1) \(f(x)=\dfrac{x+4}{x+2}\) existe si \(x\neq -2\) : \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

2) \(f(0)=\dfrac{4}{2}=2\) et \(f(\sqrt{2})=\dfrac{\sqrt{2}+4}{\sqrt{2}+2}=\dfrac{(\sqrt{2}+4)(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\dfrac{2\sqrt{2}-2+8-4\sqrt{2}}{2}=\dfrac{6-2\sqrt{2}}{2}\).

\(f(0)=2\) et \(f(\sqrt{2})=3-\sqrt{2}\).

3) Pour \(x\neq -2\) : \(\dfrac{x+4}{x+2}=\dfrac{x+2+2}{x+2}=1+\dfrac{2}{x+2}\).

Sur \(]-2\,;+\infty[\) : si \(-2\lt x_1\lt x_2\), alors \(0\lt x_1+2\lt x_2+2\), donc \(\dfrac{2}{x_1+2}\gt \dfrac{2}{x_2+2}\) et \(f(x_1)\gt f(x_2)\). De plus, le même raisonnement sur \(]-\infty\,;-2[\) (où \(x+2\lt 0\), la fonction inverse étant aussi décroissante sur \(]-\infty\,;0[\)) donne le même sens.

\(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;-2[\) et décroissante sur \(]-2\,;+\infty[\).

4) La courbe est une hyperbole de centre \((-2\,;1)\) : elle a deux branches, de part et d’autre de la droite \(x=-2\), qui se rapprochent de la droite \(y=1\). Points utiles : \((-4\,;0)\), \((-3\,;-1)\), \((-1\,;3)\), \((0\,;2)\), \((2\,;1{,}5)\).

5) La droite \(y=3\) coupe la courbe au point d’abscisse −1. Ensuite, en effet \(1+\dfrac{2}{x+2}=3 \Leftrightarrow x+2=1\). \(S=\{-1\}\).

6) On trace la droite \(y=x\) : la courbe est au-dessus sur deux intervalles, et les points d’intersection ont pour abscisses environ −2,6 et 1,6. \(S\approx\,]-\infty\,;-2{,}6[\,\cup\,]-2\,;1{,}6[\).

De même, Vérification : \(f(x)-x=\dfrac{-x^2-x+4}{x+2}\) et les racines de \(x^2+x-4\) sont \(\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\approx -2{,}56\) et \(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\approx 1{,}56\), ce qui confirme la lecture.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 59 (fonctions 2de corrigé)

1) \(f(x)=-x^2+x=-(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}\). Comme à l’exercice 57, on en déduit : \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;\dfrac{1}{2}]\), décroissante sur \([\dfrac{1}{2}\,;+\infty[\), avec un maximum \(\dfrac{1}{4}\) en \(\dfrac{1}{2}\).

\(g\) est affine de coefficient \(3\gt 0\) : \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).

2) \(C_f\) est une parabole de sommet \((\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{1}{4})\) passant par \((0\,;0)\) et \((1\,;0)\) ; \(C_g\) est la droite passant par \((0\,;1)\) et \((-1\,;-2)\).

3) On étudie le signe de la différence : \(f(x)-g(x)=-x^2+x-3x-1=-x^2-2x-1=-(x+1)^2\leq\, 0\).

\(C_f\) est toujours en dessous de \(C_g\), et les deux courbes se touchent en un seul point, d’abscisse −1 : le point \((-1\,;-2)\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 60 :

On décompose chaque fonction en fonctions de référence et on suit l’ordre des images étape par étape (une fonction croissante conserve l’ordre, une fonction décroissante l’inverse).

1. Sur \(]-\infty\,;-1]\), \(x+1\leq\, 0\) et le carré est décroissant sur les négatifs, donc \((x+1)^2\) puis \((x+1)^2-5\) décroissent : fonction décroissante.
2. De même, sur \(]-\infty\,;-\dfrac{1}{2}]\), \(2x+1\leq\, 0\) : \((2x+1)^2\) décroît, et diviser par 4 ne change pas le sens : fonction décroissante.
3. Sur \(\mathbb{R}^-\), \(x^2\) décroît, donc \(2x^2+1\) décroît en restant positif ; l’inverse renverse le sens : fonction croissante.
4. Également, sur \(]2\,;+\infty[\), \(x-2\gt 0\) croît, \(\dfrac{1}{x-2}\) décroît, \(\dfrac{3}{x-2}\) et \(2+\dfrac{3}{x-2}\) décroissent : fonction décroissante.
5. Par ailleurs, sur \(\mathbb{R}^+\), \(x^2+1\) croît, son inverse décroît, et la racine carrée (croissante) conserve ce sens : fonction décroissante.
6. Sur \(\mathbb{R}^-\), \(|x|=-x\) décroît, donc \(|x|+1\) décroît en restant supérieur à 1 ; le carré est croissant sur les positifs : fonction décroissante.
7. Sur \(]1\,;+\infty[\), \(x-1\gt 0\) croît, \((x-1)^2\) croît, \(\dfrac{2}{(x-1)^2}\) décroît, donc \(3+\dfrac{2}{(x-1)^2}\) : fonction décroissante.
8. Enfin, sur \(]-1\,;+\infty[\), \(x+1\gt 0\) croît, \(\dfrac{1}{x+1}\) décroît, la racine conserve le sens : fonction décroissante.
9. Sur \(]0\,;1]\), \(\dfrac{1}{x}\) décroît et reste supérieur ou égal à 1, donc \(\dfrac{1}{x}-1\geq\, 0\) décroît ; la racine conserve le sens : fonction décroissante.
10. Sur \([0\,;1[\), \(x^2\) croît de 0 à 1 (exclu), donc \(1-x^2\) décroît en restant strictement positif et \(|1-x^2|=1-x^2\) ; l’inverse renverse le sens : fonction croissante.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 61 (fonctions 2de corrigé)

Le graphique comporte deux courbes (un carreau représente une unité).

• Courbe a) : croissante sur \([-2\,;-1]\) (de 1 à 3), puis décroissante sur \([-1\,;2]\) (de 3 à −3).
• Courbe b) : décroissante sur \([-4\,;-2]\) (de 6 à 1), croissante sur \([-2\,;1]\) (de 1 à 3), puis décroissante sur \([1\,;2]\) (de 3 à 1).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 62 :

La fonction \(g\) est croissante sur \([-4\,;-2]\) (elle passe de −1 à 2), décroissante sur \([-2\,;0]\) (de 2 à 0), puis croissante sur \([0\,;1]\) (de 0 à 3).

Également, sur \([-4\,;1]\), son minimum est −1 (atteint en −4) et son maximum est 3 (atteint en 1).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 63 (fonctions 2de corrigé)

D’après le tableau : \(f\) décroît de 5 à 0 sur \([-3\,;1]\), croît de 0 à 2 sur \([1\,;2]\), puis décroît de 2 à −2 sur \([2\,;4]\).

1. Faux : \(f\) est décroissante sur \([0\,;1]\), donc elle n’est pas croissante sur \([0\,;2]\).
2. Vrai : \([-1\,;1]\) est inclus dans \([-3\,;1]\), où \(f\) est décroissante.
3. Faux : \(f\) est décroissante sur \([2\,;4]\) et \(2\lt 3\), donc \(f(3)\lt f(2)\).
4. Vrai : \(f\) est décroissante sur \([-3\,;1]\) et \(-3\lt 0\), donc \(f(0)\leq\, f(-3)=5\).
5. Vrai : sur \([-3\,;1]\), \(f(x)\) est compris entre \(f(1)=0\) et \(f(-3)=5\) ; sur \([1\,;2]\), entre 0 et 2. Dans tous les cas \(f(x)\geq\, 0\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 64 :

On place d’abord les points imposés : \((0\,;5)\) (maximum), \((3\,;-2)\) (minimum), \((-2\,;3)\), \((-1\,;2)\), \((-3\,;0)\) et \((6\,;0)\). Par ailleurs, on les relie en respectant les variations : \(f\) monte de \((-3\,;0)\) à \((-2\,;3)\), descend jusqu’à \((-1\,;2)\), monte jusqu’à \((0\,;5)\), descend jusqu’à \((3\,;-2)\), puis remonte jusqu’à \((6\,;0)\).

Par ailleurs, remarque : l’énoncé cite 0 parmi les antécédents de 0, ce qui contredit \(f(0)=5\). Comme \(f\) passe de 5 (en 0) à −2 (en 3), sa courbe coupe forcément l’axe des abscisses entre 0 et 3 : c’est ce troisième antécédent (ici vers 1,9) qu’il faut lire à la place de 0.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 65 (fonctions 2de corrigé)

On suppose \(g\) strictement décroissante : elle renverse l’ordre, donc \(g(a)\geq\, g(b) \Leftrightarrow a\leq\, b\).

a) \(g(x)\geq\, 0 \Leftrightarrow g(x)\geq\, g(1) \Leftrightarrow x\leq\, 1\). \(S=\,]-\infty\,;1]\).

b) \(g(x)\lt 1 \Leftrightarrow g(x)\lt g(0) \Leftrightarrow x\gt 0\). \(S=\,]0\,;+\infty[\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 66 :

Tableau : \(f\) croît de −2 à 2 sur \([-5\,;-1]\), décroît de 2 à 1 sur \([-1\,;3]\), puis croît de 1 à 3 sur \([3\,;5]\).

1. En un point : sur \([-5\,;-1]\), \(f\) passe de −2 à 2 sans lever le crayon, elle s’annule donc une fois ; sur \([-1\,;5]\), \(f(x)\geq\, 1\gt 0\).
2. Inférieure à 2 : \(0\in[-1\,;3]\), où \(f\) décroît de 2 à 1, donc \(1\lt f(0)\lt 2\) (elle n’est ni nulle ni négative).
3. \(f(a)\gt f(b)\) : \(b\lt a\) dans \([-5\,;-1]\), où \(f\) est croissante.
4. \(1\leq\, f(x)\leq\, 3\) : sur \([-1\,;5]\), le minimum de \(f\) est 1 et son maximum est 3 (valeurs atteintes en 3 et en 5).
5. \(f(x)\lt f(y)\) : \(y\lt 0\leq\, x\), donc \(y\lt x\) dans \([-1\,;3]\), où \(f\) est décroissante.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 67 (fonctions 2de corrigé)

\(h(20)=-0{,}05\times 400+0{,}9\times 20+2=-20+18+2=0\).

Après 20 mètres parcourus, la hauteur de la balle est 0 m : la balle touche le sol.

a) \(-0{,}05(x-9)^2+6{,}05=-0{,}05(x^2-18x+81)+6{,}05=-0{,}05x^2+0{,}9x-4{,}05+6{,}05=-0{,}05x^2+0{,}9x+2=h(x)\).

b) Un carré est toujours positif ou nul : \((x-9)^2\geq\, 0\).

c) Donc \(-0{,}05(x-9)^2\leq\, 0\) et \(h(x)\leq\, 6{,}05\), avec égalité pour \(x=9\).

La hauteur maximale atteinte par la balle est 6,05 m, au bout de 9 m parcourus.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 68 :

1. La largeur de la croix est positive et ne peut pas dépasser la largeur du rectangle : \(x\in[0\,;5]\).

2. La bande horizontale mesure \(7\times x\), la bande verticale \(5\times x\), mais le carré central de côté \(x\) est compté deux fois :

\(A(x)=7x+5x-x^2=12x-x^2\).

3.

\(x\)	0	1	2	3	4	5
\(A(x)\)	0	11	20	27	32	35

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 69 :

1. La station délivre au moins 5 litres et le réservoir contient au plus 40 litres : \(x\in[5\,;40]\).

2. \(D_P=[5\,;40]\).

3. Chaque litre coûte 1 €, donc \(x\) litres coûtent \(1\times x\) euros : \(P(x)=x\) (en euros).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 70 :

1. N est sur le segment [BC], de longueur 8 cm, et \(x=BN\) : \(0\leq\, x\leq\, 8\).

2. \(BM=AB-AM=10-x\).

3. \(CN=BC-BN=8-x\).

4. Enfin, le triangle BMN est rectangle en B : son aire vaut \(\dfrac{BM\times BN}{2}=\) \(\dfrac{x(10-x)}{2}\). De même, CNP est rectangle en C : son aire vaut \(\dfrac{CN\times CP}{2}=\dfrac{x(8-x)}{2}\).

5. \(f(x)=\dfrac{x(10-x)}{2}+\dfrac{x(8-x)}{2}=\dfrac{10x-x^2+8x-x^2}{2}=\dfrac{18x-2x^2}{2}=9x-x^2\).

6.a) \(-(x-4{,}5)^2+20{,}25=-(x^2-9x+20{,}25)+20{,}25=-x^2+9x=f(x)\).

b) \(-(x-4{,}5)^2\leq\, 0\), donc \(f(x)\leq\, 20{,}25\), avec égalité pour \(x=4{,}5\) (qui appartient bien à \([0\,;8]\)).

L’aire jaune est maximale, égale à 20,25 cm², lorsque BN = 4,5 cm.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 71 :

• a) \(f(x)=-2x+4\) est affine de coefficient négatif, décroissante sur \(\mathbb{R}\) : tableau \(u_3\).
• b) La fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\) : tableau \(u_4\).
• c) La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;+\infty[\), de minimum 0 : tableau \(u_2\).
• d) \(k(x)=\sqrt{x}+1\) n’est définie que sur \([0\,;+\infty[\), croissante, avec \(k(0)=1\) : tableau \(u_1\). (L’énoncé dit « définie sur \(\mathbb{R}\) », mais la racine carrée impose \(x\geq\, 0\).)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 72 :

On place les valeurs connues : \(f(-3)=1\), le maximum 6 sur \([-3\,;4]\) est atteint en −1 (fin de la montée), le minimum −3 sur \([-1\,;5]\) est atteint en 4 (fin de la descente) et \(f(5)=7\).

\(x\)	−3		−1		4		5
\(f(x)\)	1	↗	6	↘	−3	↗	7

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 73 :

La courbe cherchée doit commencer au point \((-2{,}5\,;-2)\), monter jusqu’à \((1\,;1{,}5)\), puis descendre jusqu’à \((2{,}5\,;-1)\).

• De plus, la courbe ② commence en \(x=-2\) et non en \(-2{,}5\) : elle ne convient pas.
• Ainsi, la courbe ③ commence en \(x=-3\) et commence par descendre : elle ne convient pas.
• La courbe ④ change plusieurs fois de sens de variation avant \(x=1\) (elle monte, descend puis remonte) : elle ne convient pas.

C’est la courbe ① qui correspond au tableau.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 74 :

D’après le tableau : \(f\) décroît de 5 à 1 sur \([-2\,;0]\), croît de 1 à 4 sur \([0\,;1]\), puis décroît de 4 à 0 sur \([1\,;7]\).

1. a) 2 et 4 appartiennent à \([1\,;7]\), où \(f\) est décroissante, et \(2\lt 4\) : \(f(2)\gt f(4)\).

b) −2 et −1 appartiennent à \([-2\,;0]\), où \(f\) est décroissante, et \(-2\lt -1\) : \(f(-2)\gt f(-1)\).

2. De plus, le minimum de \(f\) sur \([-2\,;7]\) est 0 (atteint en 7) : \(f(x)\geq\, 0\) pour tout \(x\). \(S=[-2\,;7]\).

3. Ainsi, sur \([-2\,;0]\), \(f\) décroît et \(f(-1{,}5)=4\) : \(f(x)\gt 4\) pour \(x\lt -1{,}5\) et \(f(x)\leq\, 4\) pour \(x\geq\, -1{,}5\). Sur \([0\,;7]\), \(f(x)\) ne dépasse jamais 4.

\(f(x)\leq\, 4 \Leftrightarrow x\in[-1{,}5\,;7]\) et \(f(x)\gt 4 \Leftrightarrow x\in[-2\,;-1{,}5[\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 75 :

A. 1. On découpe dans chaque coin du carré de 15 cm un carré de 3 cm de côté ; le fond de la boîte est un carré de côté \(15-2\times 3=9\) cm et les quatre rabats mesurent 9 cm sur 3 cm.

2. \(V=9\times 9\times 3=\) 243 cm³.

3. De même, Avec BM = 8 cm, il faudrait découper \(2\times 8=16\) cm dans un côté qui n’en mesure que 15 : c’est impossible.

B. 1. Le fond est un carré de côté \(15-2x\) et la hauteur vaut \(x\) : \(V(x)=x(15-2x)^2\).

2. Également, il faut \(x\geq\, 0\) et \(15-2x\geq\, 0\) : \(D_V=[0\,;7{,}5]\).

3. La courbe part de 0, monte jusqu’à un maximum de 250 pour \(x=2{,}5\), puis redescend jusqu’à 0 pour \(x=7{,}5\).

4. Par ailleurs, on trace la droite \(y=100\) : elle coupe la courbe pour \(x\approx 0{,}51\) et \(x\approx 5{,}34\). Le volume est supérieur ou égal à 100 cm³ pour \(x\) compris entre environ 0,51 cm et 5,34 cm.

5. Enfin, 1 dL = 0,1 L = 100 cm³. Oui, le volume peut dépasser 1 dL (question 4). Par exemple, avec \(x=2{,}5\) cm, la boîte mesure 10 cm × 10 cm × 2,5 cm et son volume vaut 250 cm³, soit 2,5 dL : c’est d’ailleurs le volume maximal.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 76 :

1. M est sur [AB] et AB = 6 cm, donc AM ne peut pas dépasser 6 : AM ne peut pas valoir 7. De plus BN = AM doit rester inférieur à BC = 8, ce qui est déjà vrai. \(D_f=[0\,;6]\).

2. De plus, on retire à l’aire du rectangle (48 cm²) les quatre triangles rectangles des coins :

• en A : \(AM=x\) et \(AQ=8-x\), aire \(\dfrac{x(8-x)}{2}\) ; en C : \(CP=x\) et \(CN=8-x\), même aire ;
• en B : \(BN=x\) et \(BM=6-x\), aire \(\dfrac{x(6-x)}{2}\) ; en D : \(DQ=x\) et \(DP=6-x\), même aire.

\(f(x)=48-x(8-x)-x(6-x)=48-8x+x^2-6x+x^2\), donc \(f(x)=2x^2-14x+48\).

3. Ainsi, la courbe est un morceau de parabole sur \([0\,;6]\) ; une fenêtre \(x\in[0\,;6]\), \(y\in[0\,;50]\) convient. Puis elle descend de 48 à 23,5 (en \(x=3{,}5\)) puis remonte à 36.

4. \(f(x)\geq\, 24 \Leftrightarrow 2x^2-14x+24\geq\, 0 \Leftrightarrow x^2-7x+12\geq\, 0 \Leftrightarrow (x-3)(x-4)\geq\, 0\).

De même, ce produit est positif à l’extérieur des racines 3 et 4. L’aire de MNPQ est supérieure ou égale à 24 cm² pour \(x\in[0\,;3]\cup[4\,;6]\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 77 :

D’après le tableau : \(g\) décroît de 4 à 3 sur \([-3\,;1]\), croît de 3 à 5 sur \([1\,;2]\), puis décroît de 5 à −3 sur \([2\,;5]\).

1. a) \(g\) est décroissante sur \([2\,;5]\).

b) \(3\lt 4\) dans \([2\,;5]\) où \(g\) décroît, donc \(g(3)\gt g(4)\) : le plus grand est \(g(3)\).

2. Également, \(1\lt 1{,}5\) dans \([1\,;2]\) où \(g\) croît : \(g(1)\lt g(1{,}5)\).

3. Par ailleurs, \(-2\lt 0\) dans \([-3\,;1]\) où \(g\) décroît : \(g(-2)\gt g(0)\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 78 :

La courbe descend du point \((-3\,;2)\) jusqu’à son point le plus bas, d’ordonnée environ −1, atteint pour \(x\) proche de −0,3, puis remonte jusqu’à l’extrémité \((4\,;\approx 1{,}6)\).

\(x\)	−3		≈ −0,3		4
\(f\)	2	↘	≈ −1	↗	≈ 1,6

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 79 :

La courbe part de \((-4\,;2)\), descend jusqu’à un minimum d’environ −1,6 en \(x=-1\), monte jusqu’à \((1\,;1)\), puis redescend jusqu’à \((4{,}5\,;-1{,}5)\).

\(x\)	−4		−1		1		4,5
\(f\)	2	↘	≈ −1,6	↗	1	↘	−1,5

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 80 :

La courbe part de \((-4\,;2)\), descend jusqu’à son minimum, d’environ −1,8, atteint en \(x=-1\), puis remonte jusqu’à \((5\,;2)\).

\(x\)	−4		−1		5
\(f\)	2	↘	≈ −1,8	↗	2

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 81 :

1. \(h(0)=-7\) donne \(0+0+b=-7\), donc \(b=-7\). Puis \(h(1)=-3\) donne \(1+a-7=-3\), donc \(a=3\).

\(a=3\) et \(b=-7\), soit \(h(x)=x^2+3x-7\). Vérification avec les autres valeurs : \(h(-1)=1-3-7=-9\) et \(h(2)=4+6-7=3\).

2. \(h(-1)=-9\) et \(h(1)=-3\) : \(h(-1)\neq h(1)\), donc \(h\) n’est pas paire ; \(h(-1)\neq -h(1)\), donc \(h\) n’est pas impaire. \(h\) n’est ni paire ni impaire.

3. \(h(x)=-7 \Leftrightarrow x^2+3x=0 \Leftrightarrow x(x+3)=0\). Les antécédents de −7 sont 0 et −3.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 82 :

1. \(f(x)=-2 \Leftrightarrow -2x+5=-2 \Leftrightarrow -2x=-7 \Leftrightarrow x=3{,}5\). L’antécédent de −2 est 3,5.

2. Enfin, pour tout réel \(b\), \(-2x+5=b \Leftrightarrow x=\dfrac{5-b}{2}\) : chaque nombre a exactement un antécédent. Ensuite, un programme en Python :

b = float(input("Valeur de b : "))
x = (5 - b) / 2
print("L'antécédent de", b, "est", x)

Par exemple, pour \(b=-2\), le programme affiche 3.5.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 83 :

1. On calcule \(h(x)=(3x+1)(5-x)\) pour chaque valeur :

\(x\)	−2	−1,5	−1	−0,5	0	0,5	1	1,5	2
\(h(x)\)	−35	−22,75	−12	−2,75	5	11,25	16	19,25	21

2. \(h(x)=0 \Leftrightarrow 3x+1=0\) ou \(5-x=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}\) ou \(x=5\). Or \(5\notin[-2\,;2]\).

Sur \([-2\,;2]\), le seul antécédent de 0 par \(h\) est \(-\dfrac{1}{3}\).

Fonctions 2de corrigé : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Puis en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Fonction (mathématiques) de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec calcul littéral : corrigé des exercices de maths en 2de.