Corrigés des exercices de maths en 2de
Le corrigé des exercices de maths en 2de sur les racinés carrées. Connaître la définition d’une racine carrée et savoir appliquer les formules du produit, du quotient de deux racines carrées en seconde.

Exercice 1 :

On pose mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Ecrire E sous forme mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

( a et b étant des nombres relatifs) .

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Exercice 2 :
Calculer D et E et donner les résultats sous la forme mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. où a et b sont des nombres entiers avec b le plus petit possible.

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Exercice 3 :
On donne :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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Ecrire A sous la forme mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et B sous la forme mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. où a et b sont deux entiers relatifs .

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Exercice 4 :

1. On a:

a² = 3(1 + 2√6 + 6) = 21 + 6√6

b² = (3 – √6)² = 9 – 6√6 + 6 = 15 – 6√6

a² + b² = 36 + 15 = 51

2. Pour montrer que a² + b² est un nombre entier, il suffit de remarquer que (a² + b²) est égal à l’opposé du coefficient de √6 dans les expressions de a et b. En effet, on a :

a² + b² = (21 + 6√6) + (15 – 6√6) = 36

Donc a² + b² est un nombre entier.

3. Si a et b sont les longueurs des côtés de l’angle droit dans un triangle rectangle, l’hypoténuse c aura une longueur telle que :

c² = a² + b²

En utilisant les valeurs trouvées précédemment, on a :

c² = 21 + 6√6 + 15 – 6√6 = 36

Donc c = 6.

Donc si a et b sont les longueurs des côtés de l’angle droit dans un triangle rectangle, l’hypoténuse a une longueur de 6.

Exercice 5 :

Une pièce rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur a une aire de 12,5 m².

Quelles sont ses dimensions?

Notons  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. la largeur de cette pièce rectangulaire.

Nous obtenons :

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donc soit

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or mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. est une largeur donc un nombre positif.

donc

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Conclusion : la largeur de ce rectangle est de 2,5 m et sa longueur est de 5 m.

Exercice 6 :

1. Sans calculer leur PGCD, explique pourquoi les nombres 648 et 972 ne sont pas premiers entre eux.

Ces deux nombres sont pairs donc divisibles par 2 donc mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ainsi ces deux nombres

ne sont pas premiers entre eux.

2. a. Calculer PGCD ( 972 ; 648 ) en expliquant la méthode utilisée.

Utilisons l’algorithme d’Euclide.

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Le pgcd (972,648) est le dernier reste non nul donc mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

b. Démontrer que mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

En utilisant  la question précédente :

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Exercice 7 :

Dans le triangle AHC rectangle en H, d’après la partie directe

du théorème de Pythagore :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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Exercice 8 :
mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 9  :
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Exercice 10 :
mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Exercice 11 :
a. son côté mesure mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. cm.

b. Son aire est mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. cm².

Exercice 12 :
mimetex.cgi? .\sqrt{4}\times  \sqrt{9}=\sqrt{2^2}\times  \sqrt{3^2}=2\times   3=6 \\ .\sqrt{0,01}\times  \sqrt{225}=\sqrt{0,1^2}\times  \sqrt{15^2}=0,1\times   15=1,5 \\ .\sqrt{2^2\times   3^2\times   5^2}=2\times   3 \times   5=30 \\. \sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3} \\. \sqrt{\frac{100}{81}}=\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{81}}=\frac{10}{9} \\ Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 13

a. On peut simplifier ces racines carrées :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

b. On peut simplifier ces racines carrées :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
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Exercice 14

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Exercice 15

On explicite les racines carrées :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Or, on a :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Donc :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 16 :

  1. On commence par construire un carré ADEF de côté 6 cm :

On marque le milieu I de [DE], puis on trace un arc de cercle de centre I et de rayon IF, où F est l’un des sommets du carré. Cet arc de cercle coupe le segment [AE] en un point B, et on trace la droite (BC) parallèle à (AD) passant par B. Cette droite coupe le segment [DE] en C, et on termine la construction en traçant la droite (AC) parallèle à (DE), qui coupe le côté [AE] du carré en D.

2.

On veut montrer que ABCD est un rectangle d’or, c’est-à-dire que le quotient de sa longueur AB sur sa largeur BC est égal au nombre d’or.

On a AB = AE – EB et BC = CE, donc il nous faut exprimer ces deux longueurs en fonction de la longueur du côté du carré.

On a AE = 6 cm car AE est un côté du carré. On a aussi EB = IF, car EBIF est un rectangle, et IF est le rayon de l’arc de cercle tracé précédemment, donc

mimetex.cgi?IF\,=\,ID\,=\,\frac{1}{2}DE\,=\,\frac{1}{2}\times  \,6\text{\,cm}=3\text{\,cm} Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

On a donc :

AB = AE – EB = 6 – 3  = 3  cm.

On a également CE = DE – DC.

Or, DC est la longueur de la projection de AD sur la droite (BC), donc (DC) est égal à la hauteur du triangle ABC par rapport au côté (AB).

Comme les droites (AB) et (BC) sont parallèles, on a :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

ou encore :

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Le triangle ABD est rectangle en D, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore pour exprimer DC en fonction de AB et AD :

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Or, BD est un côté du carré DEFI, donc BD = 6 cm. On en déduit que :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

On a donc :

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On en déduit que :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Finalement, le rapport AB/BC vaut :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Or, le nombre d’or est égal à mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., qui est approximativement égal à 1,618.

On a 2/3 < 1,618, donc le rapport mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ne vaut pas le nombre d’or. Cependant, le rectangle ABCD est très proche d’un rectangle d’or, et les mathématiciens de l’Antiquité et de la Renaissance ont utilisé cette construction pour créer des formes d’art et d’architecture qui s’approchent le plus possible de la proportion divine du nombre d’or.

correction-rectangle-or Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 17 :

a) On factorise les radicaux :

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Donc A peut être écrit sous la forme mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

b) On développe B :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Donc B peut être écrit sous la forme mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

c) On utilise l’identité remarquable mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Donc C est un entier.

Exercice 18 :

Démontrer, sans utiliser la calculatrice, que :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Utilisons l’identité remarquable mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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Exercice 19 :

Développer et donner le résultat sous la forme

la plus simplifiée possible .

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Exercice 20 :

Développer et réduire cette expression :

A = (2 racine Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. 7 -9)(2 racine Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. 7 )+9

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Exercice 21 :

Soient trois points O, U et I tels que :  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ; mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Les points O, U et I sont-ils alignés ? Justifier.

Si les points sont alignés alors la plus grande distance étant OI nous aurions OI=UI+OU .

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Conclusion : OI=UI+OU donc les trois points sont alignés .

Exercice 22 :

Développer et réduire les expressions suivantes et donne le résultat sous la forme  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ,

où a et b sont des entiers relatifs et c un nombre entier positif.

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Exercice 23 :

Exprimer les aires de ces trois rectangles sous la forme  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

(où mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont des nombres entiers ).

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geometrie-racine-carree Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 24 :

Dans le triangle OAB rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

Le triangle est isocèle en O.

La droite  (OB) est une hauteur mais aussi une médiatrice donc B est situé au milieu du segment .

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Conclusion : la hauteur maximale est mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

cloche-fromage Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 25 :

a.

Montrez en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle GCD que :

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b.

Le périmètre est mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. car BDG est un triangle équilatéral.

c.

(GK) est une hauteur mais également une médiatrice de [DB]

car GDB est un triangle équilatéral.

En appliquant le théorème de Pythagore dans GBK rectangle en K :

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d.

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Exercice 26 :

Appliquez le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles successifs et montrez que :

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racine-5-05 Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 27 :

a. AMI est un triangle rectangle isocèle,

d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

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En conclusion la diagonale d’un carré mesure mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. si la longueur du côté est mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Exercice 28 :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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racine-2-05 Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 29 :

Développer et réduire : mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  .

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Exercice 30 :

Développez en utilisant les identités remarquables :

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Exercice 31 :

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Exercice 32 :

En appliquant le théorème de Pythagore.

Vous vous apercevrez que :

– l’hypoténuse du premier triangle rectangle mesure  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

– l’hypoténuse du second triangle rectangle mesure mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

– l’hypoténuse du troisième triangle rectangle mesure mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

– l’hypoténuse du quatrième triangle rectangle mesure mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

– l’hypoténuse du cinquième  triangle rectangle mesure mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Donc l’hypoténuse du septième triangle rectangle mesurera mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

escargot-pythagore-14-10 Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.   escargot-pythagore-14-10-1 Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 33 :

On considère la fonction h telle que mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

1. Calculer l’image de 1 par la fonction h.

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

2. Calculer l’image de mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.   par la fonction h.

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

3.  Calculer l’image de mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  par la fonction h.

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 34 :

Un verre de la forme conique a une hauteur de 11 cm.

Quelle doit être la valeur exacte de la longueur de son diamètre, en cm, pour qu’il

contienne 25 cL ?

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mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ce volume sera en mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  avec mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. en mètre.

Or mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

d’où

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. or R est un nombre positif donc :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

donc la valeur exacte du diamètre doit être :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

verre-conique(1) Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Exercice 35 : En utilisant Pythagore :le périmètre est :mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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Exercice 36 :

racine-1-05 Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

a. mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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b. ABCD est un carré car AB=AD les côtés opposés sont parallèles et il possède 4 angles droits.

Exercice 37 :

Écrire sous la forme  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. , a étant un entier naturel:

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

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Ecrire sous la forme  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  ou m et p sont des entiers relatifs :

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Exercice 38 :

Mettre les nombres suivants sous la forme mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

où mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont deux nombres entiers et  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. le plus petit possible .

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Exercice 39 :

Mettre les nombres suivants sous la forme  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

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Exercice 40 :

Ce triangle est rectangle car  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  et mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

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Exercice 41 :

Calculer la longueur du segment [AC ] .

Dans les triangles ABC et EDC,

(AB) Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

d’après la partie directe du théorème de Thalès :

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tahles Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 42 :

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement l’un des facteurs, au moins, est nul .

a) 3x² =75

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b) x²= -36

Pas de solution un carré est positif ou nul .

c) 25x² =4

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d) 49x² = -64

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Pas de solution, un carré est positif ou nul .

e)  x²+9=0

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Pas de solution, un carré est positif ou nul .

f) 27x² = 12

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Exercice 43 :

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Exercice 44 :

Soit a=  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. (1- mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ) et b=5+ mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

a. Calculer a² et b².

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b. En déduire les valeurs de a²+b² et mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

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Exercice   45:

ABCD est un rectangle tel que :

mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  .

a) Démontrer que ABCD est un carré .

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donc AB=BC ainsi ABCD est un carré.

b) calculer son périmètre et son aire  .

Périmètre =  mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. cm

Aire = mimetex Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.   cm².


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