Racine carrée : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 1 (corrigé racine carrée)

On pose \(E=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-8\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)\) .

Ecrire E sous forme \(a+b\sqrt{5}\).

( a et b étant des nombres relatifs) .

\(E=5-3-8\times 5 +8\sqrt{5}=-38+8\sqrt{5}\)

Exercice 2 :

Calculer D et E et donner les résultats sous la forme \(a\sqrt{b}\) où a et b sont des nombres entiers avec b le plus petit possible.

\(D=2\sqrt{12}-5\sqrt{27}+7\sqrt{75}=2\sqrt{4\times 3}-5\sqrt{9\times 3}+7\sqrt{25\times 3}\)

\(D=4\sqrt{3}-15\sqrt{3}+35\sqrt{3}=24\sqrt{3}\)

\(E=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5=2+2\sqrt{6}+3-5=2\sqrt{6}\)

Exercice 3 (corrigé racine carrée)

On donne :

\(A=\sqrt{12}+5\sqrt{75}-2\sqrt{27}\)

\(B=(5+\sqrt{3})^2-(2\sqrt{7})^2\)

Ecrire A sous la forme \(a\sqrt{3}\) et B sous la forme \(b\sqrt{3}\) où a et b sont deux entiers relatifs .

\(A=\sqrt{4\times 3}+5\sqrt{25\times 3}-2\sqrt{9\times 3}=(2+25-6)\sqrt{3}=21\sqrt{3}\)

\(B=(5+\sqrt{3})^2-(2\sqrt{7})^2=25+10\sqrt{3}+3-28=10\sqrt{3}\)

Exercice 4 :

1. On développe avec les identités remarquables :

\(a^2=(\sqrt{3})^2(1+\sqrt{6})^2=3(1+2\sqrt{6}+6)=3(7+2\sqrt{6})=21+6\sqrt{6}\)

\(b^2=(3-\sqrt{6})^2=9-6\sqrt{6}+6=15-6\sqrt{6}\)

\(a^2+b^2=21+6\sqrt{6}+15-6\sqrt{6}=36\)

2. Les termes en \(\sqrt{6}\) sont opposés : ils s’éliminent dans la somme. On a donc :

a² + b² = 36, qui est bien un nombre entier.

3. Si a et b sont les longueurs des côtés de l’angle droit dans un triangle rectangle, d’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse c vérifie :

\(c^2=a^2+b^2=36\)

c est une longueur, donc un nombre positif : \(c=\sqrt{36}=6\).

L’hypoténuse mesure 6.

Exercice 5 (corrigé racine carrée)

Une pièce rectangulaire dont la longueur est le double de la largeur a une aire de 12,5 m².

Quelles sont ses dimensions?

Notons \(x\) la largeur de cette pièce rectangulaire.

Nous obtenons :

\(x\times 2x=12{,}5\)

\(2x^2=12{,}5\)

\(x^2=\dfrac{12{,}5}{2}\)

\(x^2=6{,}25\)

donc soit

\(x=\sqrt{6{,}25}\text{ ou }x=-\sqrt{6{,}25}\)

or \(x\) est une largeur donc un nombre positif.

donc

\(x=\sqrt{6{,}25}=2{,}5\text{ m}\)

Conclusion : la largeur de ce rectangle est de 2,5 m et sa longueur est de 5 m.

Exercice 6 :

1. Sans calculer leur PGCD, explique pourquoi les nombres 648 et 972 ne sont pas premiers entre eux.

Ces deux nombres sont pairs donc divisibles par 2 donc \(pgcd(648,972)\neq 1\) ainsi ces deux nombres

ne sont pas premiers entre eux.

2. a. Calculer PGCD ( 972 ; 648 ) en expliquant la méthode utilisée.

Utilisons l’algorithme d’Euclide.

\(972=1\times 648+324\)

\(648=2\times 324+0\)

Le pgcd (972,648) est le dernier reste non nul donc \(pgcd(972,648)=324\).

b. Démontrer que \(\sqrt{648}+\sqrt{972}=18(\sqrt{3}+\sqrt{2})\).

En utilisant la question précédente :

\(\sqrt{648}+\sqrt{972}=\sqrt{324\times 2}+\sqrt{324\times 3}\)

\(=\sqrt{324}\sqrt{ 2}+\sqrt{324}\sqrt{3}\)

\(=18\sqrt{ 2}+18\sqrt{3}\)

\({\color{DarkRed} =18(\sqrt{ 2}+\sqrt{3})}\)

Exercice 7 (corrigé racine carrée)

a. Dans le triangle AHC rectangle en H, d’après la partie directe

du théorème de Pythagore :

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(AC^2=6^2+12^2\)

\(AC^2=36+144\)

\(AC^2=180\)

\({\color{DarkRed} AC=\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}}\)

De même, dans le triangle AHB rectangle en H :

\(AB^2=AH^2+HB^2=6^2+3^2=36+9=45\)

\({\color{DarkRed} AB=\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}}\)

b. Les points C, H et B sont alignés, donc \(BC=CH+HB=12+3=15\) et \(BC^2=225\).

\(AC^2+AB^2=180+45=225\)

Donc \(BC^2=AC^2+AB^2\) : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

c. Les points C, K, A d’une part et C, H, B d’autre part sont alignés, et (KH) // (AB). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{KH}{AB}\)

\(\dfrac{KH}{3\sqrt{5}}=\dfrac{12}{15}\)

\(KH=\dfrac{12\times 3\sqrt{5}}{15}=\dfrac{36\sqrt{5}}{15}\)

\(KH=\dfrac{12\sqrt{5}}{5}\) (environ 5,37).

Exercice 8 :

\(\sqrt{1}=1\,,\,\sqrt{0{,}04}=0{,}2\,,\,\sqrt{64}=8\,,\,\sqrt{10000}=100\,,\,-\sqrt{36}=-6\)

Exercice 9 (corrigé racine carrée)

\(\sqrt{14}\neq{7} \,,\,\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3\,\)

L’élève a tort pour la première égalité : \(7^2=49\) et non 14, donc \(\sqrt{14}\neq 7\) (on a \(\sqrt{14}\approx 3{,}74\)). Il a raison pour la seconde, car 3 est positif et \(3^2=9\).

Exercice 10 :

\({\sqrt{3}}^2=3\,,\,-\sqrt{9}=-3\,,\,(-\sqrt{3})^2=-\sqrt{3}\times (-\sqrt{3})=+(\sqrt{3})^2=3\,,\,-\sqrt{3^2}=-3\,,\,\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\,,\,-{\sqrt{3}}^2=-3\).

Exercice 11 (corrigé racine carrée)

a. son côté mesure \(\sqrt{13}\) cm.

b. Son aire est \((\sqrt{6})^2=6\) cm².

Exercice 12 :

\(\sqrt{4}\times \sqrt{9}=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3^2}=2\times 3=6\)

\(\sqrt{0{,}01}\times \sqrt{225}=\sqrt{0{,}1^2}\times \sqrt{15^2}=0{,}1\times 15=1{,}5\)

\(\sqrt{2^2\times 3^2\times 5^2}=2\times 3 \times 5=30\)

\(\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2}{3}\)

\(\sqrt{\dfrac{100}{81}}=\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt{81}}=\dfrac{10}{9}\)

\(\sqrt{\dfrac{30}{7}}\times \dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{40}}=\sqrt{\dfrac{30}{7}\times \dfrac{21}{40}}=\sqrt{\dfrac{30\times 21}{7\times 40}}=\sqrt{\dfrac{3\times 2 \times 5\times 7 \times 3}{7\times 4 \times 2 \times 5}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3}{2}\)

Exercice 13 (corrigé racine carrée)

a. On peut simplifier ces racines carrées :

\(\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}\)

\(\sqrt{54}=\sqrt{9\times 6}=3\sqrt{6}\)

\(\sqrt{500}=\sqrt{100\times 5}=10\sqrt{5}\)

\(\sqrt{0{,}07}=\sqrt{0{,}01\times 7}=0{,}1\sqrt{7}\)

\(-\sqrt{125}=-\sqrt{25\times 5}=-5\sqrt{5}\)

b. On peut simplifier ces racines carrées :

\(A\,=\,\sqrt{63}\,+\,2\sqrt{28}\,-\,\sqrt{700}\,=\,3\sqrt{7}\,+\,4\sqrt{7}\,-\,10\sqrt{7}\,=\,-3\sqrt{7}\)

\(B\,=\,2\sqrt{28}\,-\,\sqrt{175}\,=\,2\sqrt{4\times \,7}\,-\,\sqrt{25\times \,7}\,=\,4\sqrt{7}\,-\,5\sqrt{7}\,=\,-\sqrt{7}\)

A = −3√7 et B = −√7.

Exercice 14 :

\(A\,=\,(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2\,=\,5\,+\,2\sqrt{5}\sqrt{7}\,+\,7\,=\,12\,+\,2\sqrt{35}\)

\(B\,=\,(\sqrt{7}-1)^2\,=\,7\,-\,2\sqrt{7}\,+\,1\,=\,8\,-\,2\sqrt{7}\)

\(C\,=\,(2\sqrt{2}-3)(2\sqrt{2}+3)\,=\,(2\sqrt{2})^2\,-\,3^2\,=\,8\,-\,9\,=\,-1\)

A = 12 + 2√35 ; B = 8 − 2√7 ; C = −1.

Exercice 15 (corrigé racine carrée)

On simplifie chaque terme en faisant apparaître \(\sqrt{6}\) :

\(3\sqrt{54}=3\sqrt{9\times 6}=3\times 3\sqrt{6}=9\sqrt{6}\)

\(\sqrt{2}\times \sqrt{12}=\sqrt{24}=\sqrt{4\times 6}=2\sqrt{6}\)

Donc :

\(E\,=\,9\sqrt{6}\,-\,7\sqrt{6}\,-\,2\sqrt{6}\,=\,(9-7-2)\sqrt{6}\,=\,0\)

On a bien E = 0.

Exercice 16 :

1. On construit le carré ADEF de côté 6 cm, puis on place le milieu I de [DE]. La pointe du compas en I et l’écartement IF, on trace l’arc de cercle qui coupe la demi-droite [DE) en C. On trace enfin la perpendiculaire à (DC) passant par C, qui coupe la demi-droite [AF) en B : on obtient le rectangle ABCD (voir la figure ci-dessous).

2. Il faut montrer que le quotient de la longueur DC par la largeur AD est égal au nombre d’or \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\).

I est le milieu de [DE], donc \(DI=IE=3\) cm. Dans le triangle IEF rectangle en E (angle du carré), d’après le théorème de Pythagore :

\(IF^2=IE^2+EF^2=3^2+6^2=9+36=45\)

\(IF=\sqrt{45}=\sqrt{9\times 5}=3\sqrt{5}\)

C est sur l’arc de centre I et de rayon IF, donc \(IC=IF=3\sqrt{5}\), d’où :

\(DC=DI+IC=3+3\sqrt{5}\)

La largeur du rectangle est \(AD=6\). Alors :

\(\dfrac{DC}{AD}=\dfrac{3+3\sqrt{5}}{6}=\dfrac{3(1+\sqrt{5})}{6}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Le quotient de la longueur par la largeur est le nombre d’or, donc ABCD est un rectangle d’or.

Exercice 17 (corrigé racine carrée)

a) On factorise les radicaux :

\(A\,=\,\sqrt{300}\,-\,4\sqrt{27}\,+\,6\sqrt{3}\,=\,\sqrt{3\times \,10^2}\,-\,4\times \,3\sqrt{3}\,+\,6\sqrt{3}\,=\,10\sqrt{3}\,-\,12\sqrt{3}\,+\,6\sqrt{3}\,=\,4\sqrt{3}\)

Donc A peut être écrit sous la forme \(4\sqrt{3}\).

b) On développe B :

\(B\,=\,(5+\sqrt{3})^2\,=\,5^2\,+\,2\times \,5\times \,\sqrt{3}\,+\,(\sqrt{3})^2\,=\,28\,+\,10\sqrt{3}\)

Donc B peut être écrit sous la forme \(28+10\sqrt{3}\).

c) On utilise l’identité remarquable \((a+b)(a-b)\,=\,a^2\,-\,b^2\) :

\(C\,=\,(3\sqrt{2}+\sqrt{5})(3\sqrt{2}-\sqrt{5})\,=\,(3\sqrt{2})^2\,-\,(\sqrt{5})^2\,=\,9\times \,2\,-\,5\,=\,13\)

Donc C est un entier.

Exercice 18 :

Démontrer, sans utiliser la calculatrice, que :

\(\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{11}(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}{(2\sqrt{3}-\sqrt{11})(2\sqrt{3}+\sqrt{11})}\)

Utilisons l’identité remarquable \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\)

\(\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}-\sqrt{11}}= \frac{2\sqrt{3}\sqrt{11}+11}{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{11})^2}= \frac{2\sqrt{33}+11}{12-11}=2\sqrt{33}+11\)

Exercice 19 (corrigé racine carrée)

Développer et donner le résultat sous la forme

la plus simplifiée possible .

\(K=2\sqrt{5}\times (3\sqrt{5}-1)-(3\sqrt{5}+2)\times (3\sqrt{5}-2)\)

\(K=2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}\times 1-(3\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}-2\times 3\sqrt{5}+2\times 3\sqrt{5}-2\times 2)\)

\(K=30-2\sqrt{5}-(45-4)\)

\(K=30-2\sqrt{5}-41\)

\({\color{DarkRed} K=-11-2\sqrt{5}}\)

Exercice 20 :

Développer et réduire cette expression :

\(A=(2\sqrt{7}-9)(2\sqrt{7})+9\)

\(A=2\sqrt{7}\times 2\sqrt{7}-9\times 2\sqrt{7}+9\)

\(A=28-18\sqrt{7}+9\)

\({\color{DarkRed} A=37-18\sqrt{7}}\)

Exercice 21 :

Soient trois points O, U et I tels que : \(UI=\sqrt{63}\) ; \(OU=\sqrt{343}\) et \(OI=\sqrt{700}\) .

Les points O, U et I sont-ils alignés ? Justifier.

Si les points sont alignés alors la plus grande distance étant OI nous aurions OI=UI+OU .

\(UI+OU=\sqrt{63}+\sqrt{343}=\sqrt{9\times 7}+\sqrt{49\times 7}\)

\(UI+OU=3\sqrt{7}+7\sqrt{7}=10\sqrt{7}\)

\(OI=\sqrt{700}=\sqrt{100\times 7 }=10\sqrt{7}\)

Conclusion : OI=UI+OU donc les trois points sont alignés .

Exercice 22 :

Développer et réduire les expressions suivantes et donne le résultat sous la forme \(a+b\sqrt{c}\) ,

où a et b sont des entiers relatifs et c un nombre entier positif.

\(D=\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)\)

\({\color{DarkRed} D=5-\sqrt{5}}\)

\(E=\sqrt{2}(\sqrt{2}-5)-7\sqrt{2}\)

\(E=2-5\sqrt{2}-7\sqrt{2}\)

\({\color{DarkRed} E=2-12\sqrt{2}}\)

Exercice 23 :

Exprimer les aires de ces trois rectangles sous la forme \(a+b\sqrt{5}\)

(où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers ).

\(A_{AFCB}=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)\)

\(A_{AFCB}=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=\sqrt{5}^2-1^2=5-1=4\)

\(A_{FEDC}=(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+1)\)

\(A_{FEDC}=5+\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\)

\({\color{DarkRed} A_{FEDC}=7+3\sqrt{5}}\)

\(A_{AEDB}=(\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+1)\)

\(A_{AEDB}=(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)\)

\(A_{AEDB}=2\sqrt{5}\times \sqrt{5}+2\sqrt{5}+\sqrt{5}+1\)

\(A_{AEDB}=10+3\sqrt{5}+1\)

\({\color{DarkRed} A_{AEDB}=11+3\sqrt{5}}\)

Exercice 24 :

Sur la figure, O est le centre de la demi-sphère, A un point du bord supérieur du fromage et B le centre de la face supérieure du fromage. On a OA = 9 cm (rayon de la cloche) et BA = 7 cm (rayon du fromage). Le fromage le plus haut possible touche la cloche en A.

Dans le triangle OAB rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(OA^2=OB^2+BA^2\)

\(9^2=OB^2+7^2\)

\(81=OB^2+49\)

\(OB^2=81-49\)

\(OB^2=32\)

\(OB=\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}\)

Conclusion : la hauteur maximale est \(4\sqrt{2}\simeq 5{,}66\text{ cm}\)

Exercice 25 :

a.

Montrez en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle GCD que :

\(GD=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\)

\(GD=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}\)

b.

Le périmètre est \(P_{BDG}=3\times 4\sqrt{2}=12\sqrt{2}\) car BDG est un triangle équilatéral.

c.

(GK) est une hauteur mais également une médiatrice de [DB]

car GDB est un triangle équilatéral.

En appliquant le théorème de Pythagore dans GBK rectangle en K :

\(GB^2=GK^2+KB^2\)

\((4\sqrt{2})^2=GK^2+(2\sqrt{2})^2\)

\(32=GK^2+8\)

\(GK^2=32-8\)

\(GK^2=24\)

\(GK=\sqrt{24}\)

\(GK=2\sqrt{6}\)

d.

\(A_{BGD}=\frac{BD\times KG}{2}=\frac{4\sqrt{2}\times 2\sqrt{6}}{2}\)

\(A_{BGD}=4\sqrt{12}\)

\({\color{DarkRed} A_{BGD}=8\sqrt{3}}\)

L’aire du triangle BGD vaut \(8\sqrt{3}\) cm², soit environ 13,86 cm².

Exercice 26 :

Appliquez le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles successifs et montrez que :

\(BC=\sqrt{2}\)

\(BD=\sqrt{3}\)

\(BE=\sqrt{4}=2\)

Exercice 27 :

a. AMI est un triangle rectangle isocèle en M,

d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

\(AI^2=AM^2+MI^2\)

\(AI^2=2{,}5^2+2{,}5^2=6{,}25+6{,}25=12{,}5\)

\(AI=\sqrt{12{,}5}=\sqrt{6{,}25\times 2}=2{,}5\sqrt{2}\)

La diagonale AI mesure \(2{,}5\sqrt{2}\) cm, soit environ 3,54 cm.

b. Dans le cas général, avec \(AN=AM=MI=a\) :

\(AI^2=AM^2+MI^2\)

\(AI^2=2AM^2\)

\(AI=\sqrt{2AM^2}\)

\(AI=\sqrt{2}AM\)

En conclusion la diagonale d’un carré mesure \(\sqrt{2}a\) si la longueur du côté est \(a\) .

Exercice 28 :

Le carré construit sur [AB] a une aire de 27 cm², donc \(AB=\sqrt{27}\) ; celui construit sur [AC] a une aire de 108 cm², donc \(AC=\sqrt{108}\). Le triangle ABC est rectangle en A, donc son aire est la moitié du produit des côtés de l’angle droit :

\(A_{ABC}=\dfrac{\sqrt{27}\times \sqrt{108}}{2}\)

\(A_{ABC}=\dfrac{\sqrt{9\times 3}\times \sqrt{36\times 3}}{2}\)

\(A_{ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}\times 6 \sqrt{3}}{2}\)

\(A_{ABC}=\dfrac{18\times 3}{2}=\dfrac{54}{2}=27\text{ cm}^2\)

L’aire du triangle ABC est 27 cm².

Exercice 29 :

Développer et réduire : \((\sqrt{2}+3)(4-5\sqrt{2})\) .

\((\sqrt{2}+3)(4-5\sqrt{2})=4\sqrt{2}-5\sqrt{2}\times \sqrt{2}+3\times 4-3\times 5\sqrt{2}\)

\((\sqrt{2}+3)(4-5\sqrt{2})=4\sqrt{2}-10+12-15\sqrt{2}\)

\((\sqrt{2}+3)(4-5\sqrt{2})=2-11\sqrt{2}\)

Exercice 30 :

Développez en utilisant les identités remarquables :

\(A=(1+\sqrt{2})^2\)

\(A=1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2\)

\(A=1+2\sqrt{2}+2\)

\({\color{DarkRed} A=3+2\sqrt{2}}\)

\(B=(2\sqrt{3}+4)^2\)

\(B=(2\sqrt{3})^2+2\times \,4\times \,2\sqrt{3}+4^2\)

\(B=12+16\sqrt{3}+16\)

\({\color{DarkRed} B=28+16\sqrt{3}}\)

\(C=(\sqrt{5}-\sqrt{6})(\sqrt{5}+\sqrt{6})\)

\(C=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{6})^2\)

\(C=5-6\)

\({\color{DarkRed} C=-1}\)

\(D=(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2\)

\(D=(\sqrt{7})^2-2\times \,\sqrt{7}\times \,\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2\)

\(D=7-2\times \,\sqrt{14}+2\)

\({\color{DarkRed} D=9-2\sqrt{14}}\)

Exercice 31 :

\(A=8\sqrt{7}-2\sqrt{4\times \,7}+\sqrt{16\times \,7}\)

\(A=8\sqrt{7}-2\times \,2\sqrt{7}+4\sqrt{7}\)

\(A=8\sqrt{7}-4\sqrt{7}+4\sqrt{7}\)

\({\color{DarkRed} A=8\sqrt{7}}\)

\(B=2\sqrt{24}-3\sqrt{96}+9\sqrt{294}\)

\(B=2\sqrt{4\times \,6}-3\sqrt{16\times \,6}+9\sqrt{49\times \,6}\)

\(B=4\sqrt{6}-12\sqrt{6}+63\sqrt{6}\)

\({\color{DarkRed} B=55\sqrt{6}}\)

Exercice 32 :

En appliquant le théorème de Pythagore.

Vous vous apercevrez que :

– l’hypoténuse du premier triangle rectangle mesure \(\sqrt{2}\)

Après cela, – l’hypoténuse du second triangle rectangle mesure \(\sqrt{3}\)

– l’hypoténuse du troisième triangle rectangle mesure \(\sqrt{4}\)

Ensuite, – l’hypoténuse du quatrième triangle rectangle mesure \(\sqrt{5}\)

– l’hypoténuse du cinquième triangle rectangle mesure \(\sqrt{6}\)

En effet, chaque nouveau triangle a pour côtés de l’angle droit l’hypoténuse précédente et un segment de longueur 1 : si l’hypoténuse précédente mesure \(\sqrt{n}\), la suivante mesure \(\sqrt{n+1}\) car \((\sqrt{n})^2+1^2=n+1\).

Donc l’hypoténuse du septième triangle rectangle mesurera \(\sqrt{8}\). Il suffit donc de prolonger l’escargot jusqu’au septième triangle.

Exercice 33 :

On considère la fonction h telle que \(h(x)=x^2+5x-3\).

1. Calculer l’image de 1 par la fonction h.

\(h(1)=1^2+5\times 1-3=3\)

2. Calculer l’image de \(\sqrt{2}\) par la fonction h.

\(h(\sqrt{2})=\sqrt{2}^2+5\times \sqrt{2}-3=5\sqrt{2}-1\)

3. Calculer l’image de \(2\sqrt{3}\) par la fonction h.

\(h(2\sqrt{3})=(2\sqrt{3})^2+5\times 2\sqrt{3}-3=12+10\sqrt{3}-3=9+10\sqrt{3}\)

Exercice 34 :

Un verre de la forme conique a une hauteur de 11 cm.

Quelle doit être la valeur exacte de la longueur de son diamètre, en cm, pour qu’il contienne 25 cL ?

\(11\text{ cm}=0{,}11\text{ m}\)

\(V=\dfrac{\pi R^2\times h}{3}\)

\(V=\dfrac{\pi R^2\times 0{,}11}{3}\) ce volume sera en \(\text{m}^3\) avec \(R\) en mètre.

Or \(25\text{ cL}=0{,}25\text{ L}=0{,}25\text{ dm}^3=0{,}000\,25\text{ m}^3\)

d’où

\(\dfrac{\pi R^2\times 0{,}11}{3}=0{,}00025\)

\(R^2=\dfrac{3\times 0{,}00025}{0{,}11\times \pi}\) or R est un nombre positif donc :

\(R=\sqrt{\dfrac{3\times 0{,}00025}{0{,}11\times \pi}}\)

donc la valeur exacte du diamètre doit être (en mètres) :

\(D=2\sqrt{\dfrac{3\times 0{,}00025}{0{,}11\times \pi}}\)

En centimètres (25 cL = 250 cm³), le même calcul donne \(R^2=\dfrac{3\times 250}{11\pi}=\dfrac{750}{11\pi}\), d’où :

\(D=2\sqrt{\dfrac{750}{11\pi}}\) cm, soit environ 9,32 cm.

Exercice 35 :

Les diagonales d’un cerf-volant sont perpendiculaires : elles partagent la figure en quatre triangles rectangles. L’une des diagonales est coupée en deux segments de 4 cm, l’autre en un segment de 2 cm et un segment de 8 cm.

En utilisant Pythagore, deux côtés mesurent \(\sqrt{4^2+2^2}\) et deux côtés mesurent \(\sqrt{4^2+8^2}\). Le périmètre est :

\(P=2\sqrt{4^2+2^2}+2\sqrt{4^2+8^2}\)

\(P=2\sqrt{20}+2\sqrt{16+64}\)

\(P=2\sqrt{20}+2\sqrt{80}\)

\(P=2\sqrt{4\times 5}+2\sqrt{16\times 5}\)

\(P=4\sqrt{5}+8\sqrt{5}\)

\(P=12\sqrt{5}\)

Le périmètre vaut \(12\sqrt{5}\) cm, soit environ 26,8 cm au millimètre près.

Exercice 36 :

a. \(5\sqrt{12}-\sqrt{75}=5\sqrt{4\times 3}-\sqrt{25\times 3}\)

\(=5\times 2\sqrt{3}-5\times \sqrt{ 3}\)

\(=10\sqrt{3}-5\times \sqrt{ 3}\)

\({\color{DarkRed} =5\sqrt{ 3}}\)

b. D’après la figure, ABCD a quatre angles droits : c’est un rectangle. De plus \(AB=5\sqrt{12}-\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) (question a) et \(AD=5\sqrt{3}\), donc AB = AD : ce rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur. ABCD est un carré.

c. Le périmètre d’un carré est quatre fois la longueur du côté :

\(P=4\times 5\sqrt{3}=20\sqrt{3}\)

Le périmètre de ABCD vaut \(20\sqrt{3}\) cm, soit environ 34,6 cm au millimètre près.

d. L’aire d’un carré est le carré de la longueur du côté :

\(\mathcal{A}=(5\sqrt{3})^2=25\times 3=75\)

L’aire de ABCD est exactement 75 cm².

Exercice 37 :

Écrire sous la forme \(a\sqrt{3}\) , a étant un entier naturel:

\(A=\sqrt{27}+7\sqrt{75}-\sqrt{300}\) .

\(A=\sqrt{9\times 3}+7\sqrt{25\times 3}-\sqrt{100\times 3}\)

\(A=3\sqrt{3}+7\times 5\sqrt{3}-10\sqrt{3}\)

\(A=3\sqrt{3}+35\sqrt{3}-10\sqrt{3}\)

\({\color{DarkRed} A=28\sqrt{3}}\)

Ecrire sous la forme \(p+m\sqrt{3}\) ou m et p sont des entiers relatifs :

\(A=(3\sqrt{3}-2)(4-\sqrt{3})\)

\(A=3\sqrt{3}\times 4-3\sqrt{3}\times \sqrt{3}-2\times 4+2\times \sqrt{3}\)

\(A=12\sqrt{3}-9-8+2\times \sqrt{3}\)

\({\color{DarkRed} A=-17+14\sqrt{3}}\)

Exercice 38 :

Mettre les nombres suivants sous la forme \(a\sqrt{b}\)

où \(a\) et \(b\) sont deux nombres entiers et \(b\) le plus petit possible .

\(t=\sqrt{96}\,\,\,;\,\,\,u=\sqrt{108}\,\,\,;\,\,\,v=\sqrt{162}\)

\(t=\sqrt{96}=\sqrt{6\times \,16}={\color{DarkRed} 4\sqrt{6}}\)

\(u=\sqrt{108}=\sqrt{3\times \,36}={\color{DarkRed} 6\sqrt{3}}\)

\(v=\sqrt{162}=\sqrt{81\times \,2}={\color{DarkRed} 9\sqrt{2}}\)

Exercice 39 :

Mettre les nombres suivants sous la forme \(a\sqrt{5}\) .

\(x=\sqrt{125}\,\,\,;\,\,\,y=\sqrt{500}\,\,\,;\,\,\,z=\sqrt{80}\)

\(x=\sqrt{125}=\sqrt{5\times \,25}=\sqrt{25}\times \,\sqrt{5}={\color{DarkRed} 5\sqrt{5}}\) .

\(y=\sqrt{500}=\sqrt{5\times \,100}=\sqrt{100}\times \,\sqrt{5}={\color{DarkRed} 10\sqrt{5}}\)

\(z=\sqrt{80}=\sqrt{5\times \,16}=\sqrt{16}\times \,\sqrt{5}={\color{DarkRed} 4\sqrt{5}}\)

Exercice 40 :

Ce triangle est rectangle car \(1^2+3^2=1+9=10\) et \((\sqrt{10})^2=10\) (réciproque du théorème de Pythagore) : les côtés de l’angle droit mesurent 1 cm et 3 cm.

L’aire de la base est donc :

\(\mathcal{B}=\dfrac{1\times 3}{2}=1{,}5\text{ cm}^2\)

Le volume d’un prisme droit est le produit de l’aire de la base par la hauteur (on ne divise pas par 3, ce n’est pas une pyramide) :

\(V=\mathcal{B}\times h\)

\(V=1{,}5\times \sqrt{20}\)

\(V=\dfrac{3}{2}\times \sqrt{4\times 5}\)

\(V=\dfrac{3}{2}\times 2\sqrt{5}\)

\(V=3\sqrt{5}\) cm³.

Exercice 41 :

Calculer la longueur du segment [AC ] .

Dans les triangles ABC et EDC, E appartient à (AC), D appartient à (CB) et les droites (ED) et (AB) sont parallèles.

d’après la partie directe du théorème de Thalès :

\(\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}\)

\(\frac{3}{CA}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

\(CA=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\)

\(CA=\frac{3\sqrt{5}\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\)

\(CA=\frac{3\sqrt{15}}{3}\)

\(CA=\sqrt{15}\)

Exercice 42 :

Propriété : l’équation x² = a a deux solutions \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\) si \(a\gt 0\), une seule solution 0 si \(a=0\), et aucune solution si \(a\lt 0\) (un carré est toujours positif ou nul).

a) 3x² =75

\(x^2=\frac{75}{3}\)

\(x^2=25\)

\({\color{DarkRed} x=5\text{ ou }x=-5}\)

b) x²= -36

Pas de solution un carré est positif ou nul .

c) 25x² =4

\(x^2=\frac{4}{25}\)

\(x=\frac{2}{5}\text{ ou }x=-\frac{2}{5}\)

d) 49x² = -64

\(x^2=-\frac{64}{49}\)

Pas de solution, un carré est positif ou nul .

e) x²+9=0

\(x^2=-9\)

Pas de solution, un carré est positif ou nul .

f) 27x² = 12

\(x^2=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}\)

\(x=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\text{ ou }x=-\sqrt{\frac{4}{9}}=-\frac{2}{3}\)

Exercice 43 :

\(A=\frac{3\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+2}\times \frac{-\sqrt{15}}{\sqrt{5}-2}\)

\(A=\frac{-\sqrt{15}(3\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}\)

\(A=\frac{-\sqrt{15}(3\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2-2^2}\)

\(A=\frac{-3\sqrt{5}\times \sqrt{15}+\sqrt{15}}{1}\)

\(A=-3\sqrt{75}+\sqrt{15}\)

\(A=-3\sqrt{25\times 3}+\sqrt{15}\)

\({\color{DarkRed} A=-15\sqrt{3}+\sqrt{15}}\)

Exercice 44 :

Soit a= \(\sqrt{5}\) (1- \(\sqrt{2}\) ) et b=5+ \(\sqrt{2}\) .

a. Calculer a² et b².

\(a^2=(\sqrt{5})^2(1-\sqrt{2})^2\)

\(a^2=5(1-2\sqrt{2}+2)\)

\(a^2=5(3-2\sqrt{2})\)

\({\color{DarkRed} a^2=15-10\sqrt{2}}\)

\(b^2=(5+\sqrt{2})^2=25+10\sqrt{2}+2=27+10\sqrt{2}\)

b. En déduire les valeurs de a²+b² et \(\sqrt{a^2+b^2}\) .

\(a^2+b^2=15-10\sqrt{2}+27+10\sqrt{2}=42\)

\(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{42}\)

Exercice 45:

ABCD est un rectangle tel que :

\(AB=(\sqrt{27}+\sqrt{3})\text{ cm}\) et \(BC=\sqrt{48}\text{ cm}\) .

a) Démontrer que ABCD est un carré .

\(AB=\sqrt{27}+\sqrt{3}=\sqrt{9\times 3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}+\sqrt{3}\)

\({\color{DarkRed} AB=4\sqrt{3}}\)

\(BC=\sqrt{48}=\sqrt{16\times 3}={\color{Red} 4\sqrt{3}}\)

donc AB=BC ainsi ABCD est un carré.

b) calculer son périmètre et son aire .

Périmètre = \(4\times 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}\) cm

Aire = \((4\sqrt{3})^2=16\times 3=48\) cm².

Exercice 46 :

On décompose chaque nombre sous le radical en produit d’un carré parfait et d’un entier le plus petit possible, puis on applique \(\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\).

\(A=8\sqrt{7}-2\sqrt{28}+\sqrt{112}\)

\(28=4\times 7\) et \(112=16\times 7\), donc \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\) et \(\sqrt{112}=4\sqrt{7}\).

\(A=8\sqrt{7}-2\times 2\sqrt{7}+4\sqrt{7}=8\sqrt{7}-4\sqrt{7}+4\sqrt{7}=(8-4+4)\sqrt{7}\)

\(A=8\sqrt{7}\)

\(B=2\sqrt{24}-3\sqrt{96}+9\sqrt{294}\)

\(24=4\times 6\), \(96=16\times 6\) et \(294=49\times 6\), donc \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\), \(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\) et \(\sqrt{294}=7\sqrt{6}\).

\(B=2\times 2\sqrt{6}-3\times 4\sqrt{6}+9\times 7\sqrt{6}=4\sqrt{6}-12\sqrt{6}+63\sqrt{6}=(4-12+63)\sqrt{6}\)

\(B=55\sqrt{6}\)

Corrigé racine carrée : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. Par ailleurs, corrigé racine carrée en seconde demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Racine carrée sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec calculs et problèmes : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.