Equations et inéquations : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Mis à jour le 29 mai 2025

🔍Corrigés Détaillés

2de • Scolaire

Equations et inéquations

🔎 Analyse : 38 min

🎯 Niveau : Scolaire

📱 Format : Gratuit

📄 PDF : Disponible

Le corrigé des exercices de maths en 2de sur la résolution d’équations et d’inéquations. Savoir résoudre une équation et une équation graphiquement et par le calcul en seconde.

Exercice 1 :

On pose .

1. Trouver une racine évidente de , c’est à dire une valeur $\alpha$ telle que $f(\alpha )=0$ .

Une racine évidente est x=2 car f(2)=0.

2. En déduire une factorisation de .

or si nous regardons le terme constant, il vaut $-3\times (-2)\times a=6a$ et qui est égal à -24

$a=\frac{-24}{6}=-4$

Conclusion :

3. Résoudre l’inéquation $f(x)\leq\, 0$ .

cela revient à résoudre

$(x-2)(x+4)\geq\, 0$

Effectuez un tableau de signe,

Conclusion : ${\color{DarkRed} S=]-\infty;-4]\cup [2;+\infty[}$
Exercice 2 :
a.
4x+3<7x
4x+3-3<7x-3
4x<7x-3
4x-7x<7x-3-7x
-3x<-3
$\frac{-3x}{-3}>\frac{-3}{-3}$
x>1
$\fbox{ S=]1\,;\,+\infty[ }$

b. 4(x+3)>7x
4x+12>7x
4x>7x-12
4x-7x>-12
-3x>-12
$\frac{-3x}{-3}<\frac{-12}{-3}$
x<4
$\fbox{S=]-\infty\,;\,4[ }$

$4x+3\ge 7x+8 \\ 4x-7x\ge 8-3 \\ -3x\ge 5 \\ \frac{-3x}{-3}\le \frac{5}{-3} \\ x \le -\frac{5}{3}$
$\fbox{S=]-\infty\,;\,-\frac{5}{3}] }$

$4x+3\le 7(x+8) \\ 4x+3\le 7x+56 \\ -3x\le 53 \\ x\ge -\frac{53}{3}$
$\fbox{S=[-\frac{53}{3};+\infty[ }$

4(x+3)>7(x+8)
4x+12>7x+56
-3x>44

$x< -\frac{44}{3}$
$\fbox{S=]-\infty\,;\,-\frac{44}{3}[ }$

$-4x+3\ge 7x-8 \\ -11x\ge-11 \\ x\le 1$
$\fbox{S=]-\infty\,;\,1] }$

$-4(x+3)\ge 7(x-8) \\ -4x-12\ge 7x-56 \\ -11x\ge -44 \\ x\le 4$
$\fbox{S=]-\infty\,;\,4] }$

$-4(x-3)\le 7x+8 \\ -4x+12\le 7x+8 \\ -11x\le -4 \\ x\ge \frac{4}{11}$ .
$\fbox{S=[\frac{4}{11};+\infty[ }$

-4(-x+3)>7(x-8)
4x-12>7x-56
-3x>-44
$x< \frac{44}{3}$
$\fbox{S=]-\infty\,;\,\frac{44}{3}[ }$

(2x-3)² < 4x²+2x-4
4x²-12x+9 < 4x²+2x-4
-14x < -13
$x> \frac{13}{14}$
$\fbox{S=]\frac{13}{14};+\infty[ }$

$-(2x-3)^2\le -4x^2+2x-4 \\ -(4x^2-12x+9) \le -4x^2+2x-4 \\ -4x^2+12x-9 \le -4x^2+2x-4 \\ 10x \le 5 \\ x\le \frac{5}{10} \\ x\le 0,5$
$\fbox{S=]-\infty\,;\,0,5] }$

$(-3x+2)(2-6x) \ge (2x-6)(1+9x) \\ -6x+18x^2+4-12x \ge 2x+18x^2-6-54x \\ -18x +4\ge -6-52x \\ 34x \ge -10\\ x \ge -\frac{10}{34}\\ x \ge -\frac{5}{17}$
$\fbox{S=[-\frac{5}{17};+\infty[ }$

Exercice 3 :

Résoudre l’équation suivante :

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

$2-x=0\,ou\,2x+5=0$

$x=2\,ou\,x=-\frac{5}{2}$

Conclusion : $S= \{ - \frac{5}{2};2 \}$ .

Exercice 4 :

1. Résoudre dans l’intervalle $[0;2\pi[$ , l’équation $cos\,x=-\frac{1}{2}$ .A l’aide du cercle trigonométrique(cercle unité), on a cos x = -1/2 si x = $\frac{2\pi }{3}$ ou x = $\frac{4\pi }{3}$ 2.

Résoudre dans l’intervalle $[4\pi;6\pi[$ , l’équation $sin\,x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

On remarque que cela revient à étudier sur [0,2 $\pi$ [ et d’ajouter 4 $\pi$ $sin\,x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ quand x = $\pi$ /3 + 4 $\pi$ = 13 $\pi$ /3 ou quand x = 2 $\pi$ /3 + 4 $\pi$ = 14 $\pi$ /3.

Exercice 5 :

Résoudre l’inéquation suivante : $\frac{(3x+2)(4x-1)}{5-2x}\geq\, 0$ .

Pour résoudre il suffit de faire un tableau des signes et vérifier que les valeurs sont positives

ou nulles 3x+2 s’annule en -2/34x-1 s’annule en 1/45-2x s’annule pour x = 5/2

or il est au dénominateur donc notre membre de gauche est défini sur $\mathbb{R}- \{ \frac{5}{2} \}$ x

-infini -2/3 1/4 5/2 +infini3x+2 – 0 +

4x-1 – 0 +

5-2x + 0 –

Ensuite nous pouvons conclure que l’ensemble solution est S = { ]-infini;-2/3]U[1/4;5/2[ }.

Exercice 6 :

Résoudre l’équation suivante :

$x-\frac{x+4}{x+1}=0$

$x=\frac{x+4}{x+1}$

$\frac{x}{1}=\frac{x+4}{x+1}$

On applique la règle du produit en croix :

x^2-4=0

C’est une équation-produit :

$x=2\,ou\,x=-2$ .

Exercice 7 :

Donner la forme factorisée de cette forme canonique :

$A(x)=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{2}$

$A(x)=-2[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}]$

$A(x)=-2[(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{2})^2]$

$A(x)=-2[(x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})]$

$A(x)=-2[(x-\frac{4}{2})(x-\frac{2}{2})]$

Exercice 8 :

Résoudre l’équation suivante :

$4x^2+2(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}=0$

$4(x^2+\frac{2(\sqrt{2}-1)x}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4})=0$

$x^2+\frac{2(\sqrt{2}-1)x}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{\sqrt{2}-1)}{4})^2-\frac{\sqrt{2}}{4}=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{2-2\sqrt{2}+1)}{16})-\frac{\sqrt{2}}{4}=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{3-2\sqrt{2})}{16})-\frac{\sqrt{2}}{4}=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{3-2\sqrt{2}+4\sqrt{2})}{16})=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{3+2\sqrt{2})}{16})=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2})}{16}})^2=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}+\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2})}{16}})(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2})}{16}})=0$

$(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}+\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4})(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4})=0$

${\color{DarkRed} x=-\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4}\,ou\,x=-\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}+\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4}}$

Exercice 9 :

1. Résoudre graphiquement l’équation .

Cela revient à trouver l’abscisse du point d’intersection de ces deux courbes donc ${\color{DarkRed} x=0\,et\,x=1}$ 2. Résoudre graphiquement l’inéquation $f(x)\geq\, g(x)$ .

Cela revient à trouver toutes les abscisses des points

de la courbe de la fonction f qui sont au-dessus

des points de la courbe de la fonction g .

${\color{DarkRed} S=[0;1]}$

Exercice 10 :

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul .

1. (x+4)² = (x+4) (3x+1)

${\color{DarkRed} x=-4\,ou\,x=\frac{3}{2}}$

2. (2x+1)² = (x+5)²

$x=4\,ou\,x=-\frac{6}{3}$

${\color{DarkRed} x=4\,ou\,x=-2}$

3. (x-2)²-2 = 2

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=4}$ .

Exercice 11 :

Trouver la longueur x.

Dans les triangles AEF et ACB ,

$\{ F \in (AB)\\E\in (AC) \\(FE)//(BC).$ d’après la partie directe du théorème de Thalès :

$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$

$\frac{x}{x+4}=\frac{1}{3}$

$3x=1\times (x+4)$

3x=x+4

3x-x=4

2x=4

$x=\frac{4}{2}$

${\color{DarkRed} x=2\,m}$

Exercice 12 :

Résoudre l’inéquation suivante :

$2x-5> \frac{4}{2x-5}$

$2x-5> 0\Leftrightarrow 2> \frac{5}{2}\Leftrightarrow x> 2,5$

Premier cas : alors .

et $2x-5> \frac{4}{2x-5}\Leftrightarrow (2x-5)^2> 4$

$\Leftrightarrow (2x-5)^2-2^2> 0$

$\Leftrightarrow (2x-5-2)(2x-5+2)> 0$

$\Leftrightarrow (2x-7)(2x-3)> 0$

Second cas : $si\,x< 2,5\,alors\,2x-5< 0$

$2x-5> \frac{4}{2x-5}\Leftrightarrow (2x-5)^2< 4$

$\Leftrightarrow (2x-7)(2x-3)< 0$

Conclusion : ${\color{DarkRed} S=]1,5;2,5[\bigcup ]3,5;+\infty[}$ .

Exercice 13 :

Comparer les fonctions et définies par :

Conclusion : les fonctions f et g sont les mêmes.

Exercice 14 :

Soit le polynôme .

1. Développer P(x) .

2. Factoriser P(x) .

Il fallait reconnaître l’identité remarquable

Exercice 15 :

Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$ .

1. .

2x+1=0

${\color{DarkRed} x=-\frac{1}{2}}$

2. .

On utilise l’identité remarquable (a+b)(a-b)=a²-b².

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

$x-3=0\,ou\,5x+11=0$

$x=3\,ou\,x=-\frac{11}{5}$

Conclusion : ${\color{DarkRed} S= \{ -\frac{11}{5} ;3 \}}$ .

Exercice 16 :
Pour chacun des polynômes P(x) suivants, réaliser le travail suivant :

1. Développer P(x).
2. Factoriser P(x).
3. Résoudre P(x) = 0.
4. Donner le tableau de signes de P(x).
5. Vérifier les résultats obtenus à l’aide de la calculatrice (courbes).

1. .

2.Sous forme factorisée :

$4x=0\,ou\,-6x+9=0$

$x=0\,ou\,x=\frac{-9}{-6}=\frac{3}{2}$

Exercice 17 :

Quel est le nombre de solutions dans $\mathbb{R}$ de l’équation suivante :

Justifier votre réponse .

C’est une équation produit, il y a 50×2=100 facteurs.

Conclusion : cette équation a 100 solutions distinctes.

Exercice 18 :

Résoudre les équations suivantes sur $\mathbb{R}$ :

1. .

$x=\frac{-14}{-7}=2$

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

$x+3=0\,ou\,3x+15=0$

$x=-3\,ou\,x=\frac{-15}{3}=-5$

Conclusion : ${\color{DarkRed} S= \{ -5;-3 \}$

le carré d’un nombre est nul si et seulement le nombre est nul.

2x+1=0

$x=-\frac{1}{2}$

$S= \{ -\frac{1}{2 \}$

Exercice 19 :

1) P1 et P2 sont les périmètres des rectangles R1 et R2, exprimés en cm.

a) Exprimer P1 et P2 en fonction de x.

b) Pour quelle valeur de x les périmètres P1 et P2 sont-ils égaux ?

$\Leftrightarrow 2(x+3)=2(8-x)$

$\Leftrightarrow 2x+6=16-2x$

$\Leftrightarrow 4x=16-6$

$\Leftrightarrow x=\frac{10}{4}=2,5\,cm.$

2) S1 et S2 sont les aires des rectangles R1 et R2 exprimées en cm².

a) Exprimer S1 et S2 en fonction de x.

b) Pour quelles valeurs de x a-t-on : S2 < S1 ?

$\Leftrightarrow 2(6-x)<3x$

$\Leftrightarrow 12-2x<3x$

$\Leftrightarrow 12<5x$

$\Leftrightarrow x>\frac{12}{5}$

$\Leftrightarrow x>2,4\,cm.$

Exercice 20 :

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1. et sont solutions de l’équation .

x^2-9=0

Conclusion : c’est VRAI .

2. L’équation x^2=3x équivaut à l’équation x=3 .

Conclusion : c’est FAUX

3. Pour tout x>0 , $x+\frac{1}{x} \leq\, 2$ .

C’est faux, prenez x = 2

$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}=2,5>2$

Exercice 21 :

Résoudre les équations suivantes :

$a.\,\, 4x^2-3x=0\\x(4x-3)=0\\x=0\,ou\,x=\frac{3}{4}\\b.\,\,2x^2-x+1=x+1\\2x^2-2x=0\\2x(x-1)=0\\x=0\,ou\,x=1\\$

Exercice 22:

Résoudre l’inéquation suivante :

$\frac{(3x-2)(-4-5x)}{3x+1}\leq\, 0$

sur $\mathbb{R}- \{ -\frac{1}{3} \}$ , le numérateur s’annule pour les valeur x = 2/3 et x = -4/5

Dressons un tableau de variations

x -infini -4/5 -1/3 2/3 +infini

3x-2 – 0 +

-4-5x + 0 – – –

3x+1 – 0 + + +

D’après la règle des signes nous pouvons conclure que [-4/5;-1/3[U[2/3,+infini[ est notre ensemble solution de l’inéquation.

Exercice 23 :

Résoudre l’inéquation $\frac{1}{2x-1}<2$ .

$\frac{1}{2x-1}-2<0$

$\frac{1}{2x-1}-\frac{4x-2}{2x-1}<0$

$\frac{-4x-1}{2x-1}<0$

Conclusion : $S=]-\infty;-\frac{1}{4}[\cup ]\frac{1}{2};+\infty[$

Exercice 24 :
1. Trouver deux entiers consécutifs dont le produit augmenté de 7 est égal au carré de l’entier suivant.

Notons : le premier entier.

3x-3=0

x=1

Conclusion : les deux entiers recherchés sont 1 et 2.

2. Trouver les nombres dont le carré est égal au triple.

Soit x ce nombre

x^2=3x

C’est une équation produit, on applique la propriété :

$x=0\,ou\,x=3$

3. Trouver les nombres dont le triple du carré est égal au double du nombre.

Soit x ce nombre.

3x^2=2x

C’est une équation produit, on applique la propriété :

$x=0\,ou\,3x-2=0$

$x=0\,ou\,x=\frac{2}{3}$
Exercice 25 :

1. Factoriser le polynôme .

2. Résoudre l’équation .

en utilisant le 1.

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins est nul.

$x-2=0\,ou\,2x-3=0$

$x=2\,ou\,x=\frac{3}{2}$

Conclusion : ${\color{DarkRed} S= \{ \frac{3}{2};2 \}}$

Exercice 26 :

Soit le polynôme .

1. Montrer que .

$P(x)=9x^2-30x+25-(x^2+6x+9)\\=9x^2-30x+25-x^2-6x-9\\=8x^2-36x+16$

Conclusion : ${\color{DarkRed} P(x)=4(x-4)(2x-1)}$

2. Donner le tableau de signes de P(x) .

P est négatif sur $[\frac{1}{2};4]$ .

3. Résoudre l’inéquation $P(x)\leq\, 0$ .

${\color{DarkRed} S=[\frac{1}{2};4]}$

Exercice 27 :

Résoudre les équations suivantes :

1. .

Le carré d’un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul.

5x+7=0

$x=-\frac{7}{5}$

2. .

C’est une équation produit, on applique la propriété :

$2x-3=0\,ou\,10-2x=0$

$x=\frac{3}{2}\,ou\,x=\frac{10}{2}=5$

Exercice 28 :

1. Représenter dans un même repère orthonormal :

– la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par .

– la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par g(x)=4x .

2. Utiliser ces représentations graphiques pour résoudre graphiquement :

a. l’équation x^2=4x .

$S= \{ 0;4 \}$

b. l’inéquation $x^2 \leq\, 4x$ .

S=[0;4]

3. Retrouver les résultats précédents par le calcul.

x^2=4x

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

$x=0\,ou\,x-4=0$

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=4}$

Exercice 30 :

En utilisant le tableau de signe, résoudre :

$5x-3=0\,;\,4-x=0$

$x=\frac{3}{5}\,;\,x=4$

Conclusion : ${\color{DarkRed}S= ]\frac{3}{5};4[}$ .

Exercice 32 :

Un rectangle est appelé rectangle d’or lorsque :

$\frac{Longueur}{largeur}=\frac{demi-perimetre}{longueur}$ .

On considère un rectangle d’or de côtés 1 et x, avec x> 1 . 1. Montrer que x vérifie l’équation : .

La largeur mesure 1

La longueur mesure x .

Le demi-périmètre vaut x+ 1

Puisque ce rectangle est un rectangle d’or , nous avons :

$\frac{x}{1}=\frac{x+1}{x}$

$x^2=1\times (x+1)$

x^2=x+1

${\color{DarkRed} x^2-x-1=0}$

2. Dresser le tableau de valeur, puis la courbe représentative de cette fonction.

3. Résoudre graphiquement l’équation de la question 1 (au dixième près ) .

Nous trouvons $x\simeq 1,6$ et $x\simeq - 0,6$ .

4.Vérifier que le réel $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est solution de cette équation et en déduire les dimensions du rectangle d’or.

$x^2-x-1=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-1$

$x^2-x-1=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1$

$x^2-x-1=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1$

$x^2-x-1=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}+\frac{-2-2\sqrt{5}}{4}-\frac{4}{4}$

$x^2-x-1=\frac{1+2\sqrt{5}+5-2-2\sqrt{5}-4}{4}$

$x^2-x-1=\frac{1+5-2-4}{4}$

$x^2-x-1=\frac{0}{4}$

Conclusion :

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est bien solution de cette équation et ce rectangle d’or a pour largeur 1 et pour longueur $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Remarque : Le nombre $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est appelé nombre d’or.

Exercice 33 :

-2x+1=0

$x=\frac{-1}{-2}$

${\color{DarkRed} x=\frac{1}{2}}$

Conclusion : A est positive sur $]-\infty ;\frac{1}{2}]$ .

Exercice 34 :

f est la fonction définie sur R par f(x)=(3x+2)(4-x). C est la courbe représentative de f dans un repère. a)Calculer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.

f(x)=0

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins est nul .

$3x+2=0\,ou\,4-x=0$

$x=-\frac{2}{3}\,ou\,x=4$

b)Représenter graphiquement la fonction f à l’écran d’une calculatrice.

Conjecturer le signe de f(x) selon les valeurs de x.

f est positive sur $[-\frac{2}{3};4]$ et négative sur le reste .

Exercice 35 :

Soit .

1) Développer et réduire A .

${\color{DarkRed} A=11x^2+18x-8}$

2) Calculer A pour x=-1 puis pour $x=\frac{1}{3}$ .

$A=11\times (-1)^2+18\times (-1)-8$

${\color{DarkRed} A=-15}$

3) Factoriser A.

${\color{DarkRed} A=(-x-2)(-11x+4)}$

4) Résoudre l’équation A=0.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul .

$-x-2=0\,ou\,-11x+4=0$

$x=-2\,ou\,x=\frac{4}{11}$

Exercice 36 :

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=9cm et AC=12cm. Où placer le point M sur l’hypoténuse du triangle de façon que la somme des distances de M aux deux autres côtés du triangle soit égale à 10cm?

Nous avons x+y=10

Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

$BC=\sqrt{225}$

$BC=15\,cm$

BE=8-x

Appliquons le théorème de Thalès dans BEM et BAC .

$\frac{8-x}{8}=\frac{y}{12}$

$\frac{8-x}{8}=\frac{10-x}{12}$

-4x=-16

$x=\frac{-16}{-4}$

${\color{DarkRed} x=4}$

Appliquons le théorème de Thalès dans CDM et CAB .

$\frac{CM}{CB}=\frac{DM}{AB}$

$\frac{CM}{15}=\frac{4}{8}$

$CM=\frac{4\times 15}{8}$

$CM=\frac{60}{8}$

${\color{DarkRed} CM=7,5\,cm}$

Conclusion : L e point M doit être situé au milieu du segment [BC] .

Exercice 37 :

Résoudre les équations :

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul .

1. 7x ² – 5x = 0

$x=0\,ou\,x=\frac{5}{7}$

2. $\frac{1}{3}$ x ² = 5x

$\frac{1}{3}x^2-5x=0$

$x(\frac{1}{3}x-5)=0$

$x=0\,ou\,x=15$

3. (-3x+1)(x-4) = 2x(x-4)

$x=4\,ou\,x=\frac{1}{5}$

4. (2x+3)(x+5) = 15

$x=0\,ou\,x=-\frac{13}{2}$

5. (-3x+2)(x+1) = 2

$x=0\,ou\,x=-\frac{1}{3}$

Exercice 38 :

Résoudre l’équation suivante : $x\neq2\,et\,x\neq-1$

$\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+4}{(x+1)(x-2)}$

$\frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\frac{1\times (x+2)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x+4}{(x+1)(x-2)}$

$\frac{3x+3-x-2}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+4}{(x+1)(x-2)}$

${\color{DarkRed} x=3}$

Exercice 39 :

Résoudre les équations suivantes :

1. 7x² – 5x = 0

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=\frac{5}{7}}$

2. $\frac{1}{3}x^2=5x$

$x^2=3\times 5x$

x^2=15x

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=15}$

3. (-3x+1)(x-4) = 2x(x-4)

${\color{DarkRed} x=4\,ou\,x=\frac{1}{5}}$

4. (2x+3)(x+5) = 15

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=-\frac{13}{2}}$

5. (-3x+2)(x+1) = 2

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=-\frac{1}{3}}$

Exercice 40 :

Résoudre les équations après avoir effectué une factorisation :
1. x² – 3x = 0

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=3}$

2. -2x² + 8x = 0

${\color{DarkRed} x=0\,;\,x=4}$

3. 3x² = 18x

${\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=6}$

4. (2x-1)(x+1) – (2x-1)(3x-5) = 0.

$x=\frac{1}{2}\,ou\,x=1$ .

Exercice 41 :

Résoudre l’inéquation suivante :

$\frac{1}{x+1}< x+1$

$\frac{1}{x+1}-(x+1)<0$

$\frac{1-(x+1)^2}{x+1}<0$

$\frac{(1-x-1)(1+x+1)}{x+1}<0$

$\frac{-x(x+2)}{x+1}<0$

Faites un tableau de signes et montrer que :

${\color{DarkRed} S=]-2;-1[\cup [0;+\infty[}$

Exercice 42 :

1. En utilisant le même dénominateur pour additionner les fractions, on obtient :

$\frac{6(x+1)\,+\,4(3x-1)}{12}\,=\,\frac{5x-2}{12}$

En simplifiant, on trouve : $18x\,+\,2\,=\,5x\,-\,2$

En isolant x, on obtient : $x\,=\,-\frac{2}{13}$

En développant, on obtient l’équation : $2x^2\,-\,x\,-\,2x\,+\,1\,+\,2x^2\,-\,x\,-\,2\,=\,0$

En simplifiant, on trouve : $4x^2\,-\,2x\,-\,2\,=\,0$

On divise par 2 pour simplifier l’équation : $2x^2\,-\,x\,-\,1\,=\,0$

On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :

$x\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{1\,+\,8}}{4}\,x\,=\,\frac{1\,\pm\,3}{4}$

On trouve deux solutions : $x\,=\,1$ et $x\,=\,-\frac{1}{2}$

3. En multipliant les deux membres de l’équation par (x – 2), on obtient : $2x\,+\,1\,=\,\frac{2(x\,-\,2)}{3}$ .

On développe et on simplifie pour obtenir : $6x\,+\,3\,=\,2x\,-\,4$ .

En isolant x, on obtient : $x\,=\,-\frac{7}{2}$

4. On peut multiplier les deux membres de l’équation par $(x\,-\,5)(x\,+\,1)$ pour simplifier :

$x^2\,-\,1\,=\,\frac{(x\,-\,1)(x\,-\,5)(x\,+\,1)}{x\,+\,5}$ .

On peut maintenant multiplier les deux membres de l’équation par x + 5 pour se débarrasser des dénominateurs :

$(x^2\,-\,1)(x\,+\,5)\,=\,(x\,-\,1)(x\,-\,5)(x\,+\,1)$ .

En développant les deux membres, on obtient une équation polynomiale qu’on peut simplifier en regroupant les termes : $6x^2\,-\,6x\,-\,6\,=\,0$ .

On peut diviser par 6 pour simplifier : $x^2\,-\,x\,-\,1\,=\,0$ .

On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :

$x\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{1\,+\,4}}{2}$ ou x = -1

$x\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{5}}{2}$ ou x = -1.

On trouve trois solutions : $x\,=\,\frac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}$ , $x\,=\,\frac{1\,-\,\sqrt{5}}{2}$ et x = -1

Exercice 43 :

1. a) En développant A(x), on obtient : $A(x)\,=\,3(x^2\,-\,x\,-\,12)\,+\,2(3x^2\,-\,13x\,+\,12)$ .

En simplifiant, on trouve : $A(x)\,=\,11x^2\,-\,35x\,-\,12$ .

Pour factoriser, on cherche deux nombres qui multipliés donnent -132 et qui additionnés donnent -35. On trouve que ces nombres sont -44 et +9.

On peut donc factoriser A(x) en : $A(x)\,=\,(11x\,+\,9)(x\,-\,4)$

b) En développant B(x), on obtient : $B(x)\,=\,4x^2\,-\,10x\,-\,4$ .

Pour factoriser, on peut commencer par diviser tous les termes par 2 pour simplifier :

$B(x)\,=\,2(x^2\,-\,5x\,-\,2)$ .

On cherche deux nombres qui multipliés donnent -2 et qui additionnés donnent -5.

On trouve que ces nombres sont -1 et +2.

On peut donc factoriser B(x) en : $B(x)\,=\,2(x\,-\,1)(x\,-\,2)$

2. a) Pour résoudre A(x) = -4, on peut d’abord factoriser A(x) : $A(x)\,=\,(11x\,+\,9)(x\,-\,4)$ .

On sait que le produit de deux nombres est égal à -4 si et seulement si l’un de ces nombres est positif et l’autre est négatif.

On peut donc résoudre l’équation en séparant les cas : $11x\,+\,9\,>\,0$ et x – 4 < 0, ou $11x\,+\,9\,<\,0$ et x – 4 > 0 On trouve les deux intervalles de solutions :

$x\,\in]-\infty;\,-\frac{9}{11}[;\,U\,]4;\,+\infty[$

b) Pour résoudre B(x) = 0, on peut utiliser la factorisation de B(x) : $2(x\,-\,1)(x\,-\,2)\,=\,0$ .

On utilise la propriété que le produit de deux facteurs est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul.

On obtient donc deux solutions : x = 1 ou x = 2.

c) Pour résoudre B(x) = A(x), on peut d’abord mettre les deux expressions au même dénominateur :

$2(x\,-\,1)(x\,-\,2)\,=\,(11x\,+\,9)(x\,-\,4)$ .

On développe et on simplifie pour obtenir une équation polynomiale de degré 2 :

$11x^2\,-\,5x\,-\,15\,=\,0$ .

On peut diviser par 11 pour simplifier :

$x^2\,-\,\frac{5}{11}x\,-\,\frac{15}{11}\,=\,0$ .

On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :

$x\,=\,\frac{5\,\pm\,\sqrt{25\,+\,4\,\times \,15}}{22}$ .

On trouve deux solutions :

$x\,=\,\frac{5\,+\,\sqrt{85}}{22}$ et $x\,=\,\frac{5\,-\,\sqrt{85}}{22}$ .

EXERCICE 44 :

1) Pour résoudre cette équation, on développe le produit des quatre expressions entre parenthèses :

Ce produit est nul si et seulement si l’une des expressions entre parenthèses est nulle. Donc, on résout les équations :

– 2x – 2 = 0 ⇔ x = -1
– 3x – 3 = 0 ⇔ x = 1
– 0.04x – 0.4 = 0 ⇔ x = 10

Les solutions de l’équation () sont donc et .

2) On cherche à déterminer les solutions de l’équation :

$\frac{2x + 3}{5x - 1} = 2$

On commence par multiplier chaque membre de l’équation par pour éliminer le dénominateur :

On développe et on réduit :

$x = \frac{7}{18}$

La solution de l’équation (E2) est donc $x = \frac{7}{18}$ .

3) On cherche à résoudre l’équation :

On regroupe les termes en x et on réduit :

$x = \frac{2,8}{5,6}$

x = 0,5

La solution de l’équation (E3) est donc .

4) On cherche à résoudre l’équation :

$\frac{3}{x} = \frac{x}{5}$

On multiplie chaque membre de l’équation par x pour éliminer le dénominateur :

$3 = \frac{x^2}{5}$

On multiplie chaque membre de l’équation par 5 :

On obtient une équation du second degré qu’on résout :

$x = \pm\sqrt{15}$

Les solutions de l’équation (E4) sont donc $x = -\sqrt{15}$ et $x = \sqrt{15}$ .

5) On cherche à résoudre l’équation :

$(x - 2)^2 = \frac{1}{16}(5 - 2x)^2$

On développe les deux membres de l’équation et on réduit :

On obtient une équation du second degré qu’on résout :

Les solutions de l’équation (E5) sont donc x = 1 et x = 8.

6) On cherche à résoudre l’équation :

$\frac{x-4}{x-2} = \frac{x+2}{x}$

On élimine les dénominateurs en multipliant chaque membre de l’équation par x(x – 2) :

On développe et on réduit :

On réduit encore :

On factorise par x :

On résout l’équation du second degré :

Les solutions de l’équation (E6) sont donc x = 1, x = 8 et x = 0.

7) On développe les deux membres de l’équation :

On réduit et on obtient une équation du second degré :

On divise les deux membres de l’équation par 3 pour simplifier :

On résout cette équation du second degré en utilisant la formule générale :

$x_1 = -1, x_2 = \frac{1}{2}$

Les solutions de l’équation (E7) sont donc x = -1 et x = 1/2.

8) On cherche à résoudre l’équation :

$\frac{x^2}{1 - 2x} = -1$

Comme le membre de gauche est négatif, il n’existe pas de solution réelle à cette équation.

9) On développe et on réduit les deux membres de l’équation :

On réduit et on obtient une équation du second degré :

On résout cette équation du second degré en utilisant la formule générale :

Les solutions de l’équation () sont donc x = -2 et x = 6.

10) On multiplie chaque membre de l’équation par 2x – 3 pour éliminer le dénominateur :

On développe et on réduit :

On résout cette équation du second degré en utilisant la formule générale :

La solution de l’équation $(E_{10})$ est donc x = 2.

EXERCICE 45 :

a) En développant et simplifiant, on obtient :

$\frac{x}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2x}{6} + \frac{5}{6}$
$-\frac{x}{2} - \frac{2x}{6} = \frac{5}{6} + \frac{3}{2}$

$-\frac{5x}{6} = \frac{17}{6}$

$x = -\frac{17}{5}$

Donc l’équation admet une solution unique $x = -\frac{17}{5}$ .

b) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

$x^2 + 2x - 3 = 0\\\\ (x-1)^2 - 1 - 3 = 0\\\\ (x-1)^2 = 4\\\\ x-1 = \pm2$

Donc l’équation admet deux solutions et .

c) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

Donc l’équation admet deux solutions $x_1 = \frac{4}{3}$ et $x_2 = -\frac{1}{3}$ .

d) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

Donc l’équation admet deux solutions $x_1 = -\frac{1}{2}$ et .

e) En développant et simplifiant l’équation, on obtient :

Donc l’équation admet une solution unique $x = \frac{9}{4}$ .

EXERCICE 46 :

a) $x^2-12 = (x+ \sqrt{12})(x-\sqrt{ 12}) = (x+2 \sqrt{3})(x-2 \sqrt{3})$

EXERCICE 47 :

a) En suivant la courbe, on peut estimer que la solution de l’équation f(x)=2 est environ x=4.

b) On peut voir que la courbe coupe l’axe des x à deux endroits, environ aux points x=1 et x=6. Donc les solutions de l’équation f(x)=0 sont x = 1 et x = 6.

c) La courbe ne coupe pas l’axe des y à la valeur . Il n’y a donc pas de solution à cette équation.

d) On peut estimer que la solution de l’équation est environ .

EXERCICE 48 :

a) Le dénominateur ne peut pas être nul, donc 10-x≠0, c’est-à-dire x≠10. Par conséquent, l’ensemble de définition est : ℝ\{10} (l’ensemble des réels excepté 10).

b) L’expression sous la racine doit être positive ou nulle, donc x≥0. L’ensemble de définition est donc : [0,+∞[ (l’intervalle semi-ouvert à droite de 0, incluant 0).

c) Il n’y a pas de restriction sur x. L’ensemble de définition est donc : ℝ (l’ensemble des réels).

d) Le dénominateur ne peut pas être nul, donc x≠0. Par conséquent, l’ensemble de définition est : ℝ\{0} (l’ensemble des réels excepté 0).

EXERCICE 49 :

1. La courbe associée à la fonction inverse f est la courbe en bleu, et la courbe associée à la fonction affine g est la droite en rouge.

2. Pour résoudre graphiquement l’équation $\frac{1}{x}= 2x +1$ , il faut trouver l’intersection entre la courbe de f et la droite de g.

Visuellement, on voit qu’il y a une intersection entre ces deux courbes approximativement au point de coordonnées .

On peut alors confirmer cette solution en vérifiant que $\frac{1}{-0.6}= 2(-0.6) +1$ , ce qui est bien vérifié.

3.
a) On développe l’expression :

b) On peut retrouver algébriquement le résultat obtenu à la question 2 en résolvant l’équation $\frac{1}{x}= 2x +1$ :

$\frac{1}{x}= 2x +1 \Leftrightarrow 1= 2x^2 +x$
$\Leftrightarrow 2x^2 +x - 1 = 0$

On retrouve bien l’expression précédemment obtenue en développant cette équation. Les solutions de cette équation sont :

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{4} = -1$

Ces solutions sont également visibles graphiquement en regardant l’intersection entre la courbe f et l’axe horizontal (correspondant à y=0).

EXERCICE 50 :

On développe chaque membre de l’équation :

On peut résoudre cette équation pour trouver :

$x_1 = -\frac{7}{2}$

$x_2 = \frac{1}{2}$

Donc l’équivalence est fausse, car l’équation obtenue n’implique pas que .

Pour que l’équation de droite devienne équivalente à l’équation de gauche, on peut ajouter simplement l’équation $x+5 \neq -1$ , qui correspond à la restriction d’ensemble de définition de la fraction $\frac{3x - 2}{x + 1}$ . L’énoncé modifié serait donc :

$(x+5)(x+1) = (3x-2)(x+1) \Leftrightarrow (x+5 \neq -1) \land (x+5=3x-2)$

On développe chaque membre de l’équation :

$(x+3)(x^2+1) = (x^2+1)(4x-1)$

$x^3 + 3x^2 + x + 3 = 4x^3 – x^2 + 4x – 1$

$3x^3 – 4x^2 + x + 4 = 0$

On peut résoudre cette équation pour trouver :

$x \approx -1.0087$

$x \approx -0.2971 + 0.4259i$

$x \approx -0.2971 – 0.4259i$

Donc l’équivalence est fausse, car l’équation obtenue n’implique pas que $x+3=4x-1$.

Il n’y a pas de modification à apporter à l’équation de droite pour obtenir une équivalence avec l’équation de gauche, car l’équation de gauche ne peut pas être simplifiée de façon similaire à l’équation de droite.

On développe chaque membre de l’équation :

$(2x-3)^2 = (3x-1)^2$

$4x^2 – 12x + 9 = 9x^2 – 6x + 1$

On peut résoudre cette équation pour trouver :

$x_1 = \frac{3}{5}$

$x_2 = -\frac{8}{5}$

Donc l’équivalence est fausse, car l’équation obtenue n’implique pas que .

Pour que l’équation de droite devienne équivalente à l’équation de gauche, on peut ajouter simplement l’équation $2x-3\geq\, 0$, qui correspond à la restriction d’ensemble de définition de la racine carrée $(2x-3)^2$. L’énoncé modifié serait donc :

$(2x-3)^2 = (3x-1)^2 \Leftrightarrow (2x-3 \geq\, 0) \land (2x-3 = 3x-1)$

EXERCICE 51 :

a) L’équation $(x+4)(x-7)=0$ est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$x+4 = 0$ ce qui donne $x=-4$

$x-7 = 0$ ce qui donne $x=7$

Les solutions de l’équation initiale sont donc $x=-4$ et $x=7$.

b) L’équation est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$2x+3 = 0$ ce qui donne $x=-\frac{3}{2}$

$4x-5 = 0$ ce qui donne $x=\frac{5}{4}$

Les solutions de l’équation initiale sont donc $x=-\frac{3}{2}$ et $x=\frac{5}{4}$ .

c) L’équation $-x(5-4x)=0$ est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$x = 0$

ce qui donne $x=\frac{5}{4}$

La solution de l’équation initiale est donc ou $x=\frac{5}{4}$ .

d) L’équation est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$-15x+3 = 0$ ce qui donne $x=\frac{1}{5}$

$3x+9 = 0$ ce qui donne $x=-3$

Les solutions de l’équation initiale sont donc $x=\frac{1}{5}$ et $x=-3$.

e) L’équation $(2x-4)^2=0$ est vérifiée si et seulement si le carré du facteur est nul, c’est-à-dire si le facteur est zéro. Donc on doit résoudre l’équation :

$2x-4 = 0$ ce qui donne $x=2$

La solution de l’équation initiale est donc $x=2$.

f) L’équation est vérifiée si et seulement si l’un des facteurs est nul. Donc on doit résoudre les deux équations :

$3x = 0$ ce qui donne

$x-5 = 0$ ce qui donne $x=5$

Les solutions de l’équation initiale sont donc $x=0$ et $x=5$.

EXERCICE 52 :

a) On factorise : 5x(x-6/5)=0.

Donc soit x=0 soit x=6/5.

b) On factorise par (x+4) :

Donc , soit .

Donc soit x=-4 soit x=4/3.

c) On développe les produits et on simplifie : .

Cette équation n’a pas de solutions réelles car son discriminant $\Delta=(-35)^2-4(3)(35)=-455$ est négatif.

d) On factorise : . Donc soit x=-1.

EXERCICE 53 :

a) On a si et seulement si x=±9.

b) L’équation n’a pas de solutions réelles car son discriminant Δ=4(7) est positif.

c) L’équation a pour solutions x=±√15.

d) On divise les deux membres de l’équation 3x^2=48 par 3 pour obtenir x^2=16, qui a pour solutions x=±4.

e) On soustrait 20 des deux côtés de l’équation pour obtenir 2x^2=-20, puis on divise les deux côtés par 2 pour obtenir x^2=-10. Cette équation n’a pas de solutions réelles car son discriminant Δ=4(10) est positif.

f) On ajoute 2 des deux côtés de l’équation 4x^2-2=1 pour obtenir 4x^2=3, puis on divise les deux côtés par 4 pour obtenir x^2=3/4. Cette équation a pour solutions x=±√3/2.

EXERCICE 54 :

a) On reconnaît l’identité remarquable , donc l’équation est équivalente à (x+3)^2=0, qui a pour solution x=-3.

b) On utilise la formule de la racine carrée : $x=\frac{1}{72}(12\pm\sqrt{12})$ . Cependant, comme le discriminant de l’équation est positif, on ne peut pas simplifier davantage en nombre rationnel.

c) On factorise l’équation pour obtenir x(x-8)=0, donc les solutions sont x=0 et x=8.

d) On divise les deux côtés de l’équation 5(2x+1)^2=20 par 5 pour obtenir (2x+1)^2=4, donc les solutions sont x=-3/2 et x=1/2.

e) On développe les carrés pour obtenir , ce qui équivaut à 9x^2-102x+20=0. On utilise la formule de la racine carrée pour trouver les solutions : $x=\frac{51\pm\sqrt{1981}}{9}$ .

f) On ajoute 100 des deux côtés de l’équation (x-2)^2-100=0 pour obtenir (x-2)^2=100, puis on utilise la formule de la racine carrée pour obtenir x=2±10. Les solutions sont donc x=-8 et x=12.

EXERCICE 55 :

a) On élève les deux côtés de l’équation à la puissance 2 pour obtenir x=144.

b) L’équation $\sqrt{x}=-2$ n’a pas de solutions réelles car le carré d’un nombre réel est toujours positif.

c) On élève les deux côtés de l’équation à la puissance 2 pour obtenir .

d) On divise les deux côtés de l’équation $3\sqrt{x}=21$ par 3 pour obtenir $\sqrt{x}=7$ , puis on élève les deux côtés à la puissance 2 pour obtenir x=49.

EXERCICE 56 :

a) On résout l’équation en soustrayant x et en ajoutant 1 des deux côtés pour obtenir x=7.

b) On résout l’équation en divisant les deux côtés par 9 et en soustrayant 6 pour obtenir $x=-\frac{5}{3}$ .

c) On résout l’équation en développant le produit et en isolant les termes en x d’un côté de l’équation pour obtenir , donc $x=\frac{12}{5}$ .

d) On multiplie les deux côtés de l’équation $\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{2}$ par (x-1) pour obtenir x+1=\frac{x-1}{2}, ce qui équivaut à 3x=3, donc x=1. Cependant, il faut vérifier que x=1 n’est pas une solution exclue de l’équation initiale. En effet, on peut remplacer x par 1 dans \frac{x+1}{x-1} et on trouve \frac{2}{0}, qui n’est pas défini. Donc, l’équation n’a pas de solution.

EXERCICE 57 :

1. Pour estimer le nombre de bactéries au bout d’un jour, il suffit de remplacer t par 1 dans la fonction N(t) :
$N(1) = (0,5 \times 1 + 1)^2 = 2,25$ milliers de bactéries.
Donc on estime qu’il y a environ 2 250 bactéries au bout d’un jour.

2. Pour trouver le temps auquel le nombre de bactéries atteint 16 000, on doit résoudre l’équation N(t) = 16 :
(0,5t + 1)² = 16
0,5t + 1 = √16
0,5t + 1 = 4 ou 0,5t + 1 = -4 (mais cette dernière solution est impossible)
0,5t = 3
t = 6
Donc le nombre de bactéries atteint 16 000 au bout de 6 jours.

EXERCICE 58 :

1. La boîte en question a une surface extérieure constituée de 5 faces : la base carrée, deux faces carrées latérales et deux faces rectangulaires représentant le couvercle et sa base.

La surface de la base carrée est x², la surface des deux faces carrées latérales est $2x \times 2$ , et la surface des deux faces rectangulaires est $2x \times 2$ .

Donc la surface extérieure totale est :

Mais la hauteur de la boîte est égale à 2, donc les dimensions des deux faces rectangulaires sont (x+4) et 2, et non pas 2x et 2. Donc la formule correcte est :
$S(x) = x^2 + 4x + 2(x+4) \times 2$

Donc la surface extérieure de la boîte est donnée en fonction de x par la formule .

2. Pour trouver quelle(s) valeur(s) de x donnent une surface extérieure de 72, il suffit de résoudre l’équation :
x² + 12x + 16 = 72
x² + 12x – 56 = 0
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique, mais elle admet des solutions entières :
x = 4 ou x = -14
Comme x représente une longueur positive, la seule solution acceptable est x = 4. Donc la boîte en question a une base carrée de côté 4 pour avoir une surface extérieure de 72.

EXERCICE 59 :

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux. Les coefficients directeurs des droites passant par deux points et sont donnés par la formule :
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Donc pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles, il faut que :

où sont les coefficients directeurs des droites (AB), (AC), (CD) et (BC), respectivement.

On peut appliquer cette formule pour trouver la condition à vérifier en fonction de x pour que les droites (AB) et (CD) soient parallèles.

Mais sans plus d’informations sur les points A, B, C et D, on ne peut pas répondre à cette question de manière précise.

EXERCICE 60 :

1) Pour x = 0, on a y = 1 et donc :
$A = 3(0^2+1^2) - 4(0+1) + 6 \times 0\times 1 = -1$
Pour x = -2, on a y = 3 et donc :
$A = 3((-2)^2+3^2) - 4((-2)+3) + 6 \times (-2) \times 3 = -37$

2) On développe :

Donc

Mais on sait que , donc

Si x+y = 1, alors et donc . On a également x+y = 1, donc xy ≤ 1/4 par inégalité arithmético-géométrique. Donc 10xy ≤ 5 et donc 3 – 10xy ≥ -2. Donc si x+y = 1, on a -2 ≤ A ≤ 3.

Mais on sait également que A = (3 – 10xy)(1-x-y), donc si x+y = 1, alors 3 – 10xy = 1-x-y et donc A = -1. Ainsi, si x+y = 1, alors A est toujours égal à -1.

EXERCICE 61 :

1)
On peut simplifier cette inégalité en isolant x :

Et en multipliant par -1, on obtient :

Donc la solution de cette inégalité est x ∈ ]2; +∞[.

2) $\frac{1+4x}{1-4x}=\frac{1-4x}{1+4x}$
On peut commencer par mettre un membre au même dénominateur que l’autre :

En simplifiant, on trouve :

Donc la seule solution de cette équation est .

3) $x^2 + x + \frac{1}{4}< (2x + 1)^2$
On peut développer le second membre de l’inégalité :

Donc l’inégalité devient :
$x^2 + x + \frac{1}{4}< 4x^2 + 4x + 1$
En soustrayant $x^2 + x + \frac{1}{4}$ des deux côtés, on trouve :
$3x^2 + \frac{3}{4} > 0$
Ce qui est vrai pour tout x.

Donc la solution de cette inégalité est x ∈ R.

EXERCICE 62 :

1) On peut développer la formule $(x - \frac{1}{2})^2$ pour trouver :
$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

Donc $x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ pour tout x.

2) a) On peut déduire de l’équation .

Donc .

Cette fonction quadratique atteint son maximum en x = 1/2, où la valeur est 1/4. Donc on a toujours xy < 1/4.

b) On peut exprimer y en fonction de x :.

Donc pour tout x, on a :

On veut montrer que cette quantité est supérieure à 1/2. En soustrayant 1/2 des deux côtés, on obtient :
$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} > 0$
Soit $f(x) = 2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$ .

Cette fonction est une fonction quadratique qui atteint son minimum en x = 1/2, où la valeur est 1/2. Donc pour tout x, on a $f(x) > \frac{1}{2}$ et donc $x^2 + y^2 > \frac{1}{2}$ .

EXERCICE 63 :

a) Le premier terme est toujours positif ou nul. Le deuxième terme est toujours positif. Donc l’expression est toujours positive ou nulle.

b) Le symbole moins devant la racine indique que l’expression est négative ou nulle (mais elle est nulle seulement si x = 0).

c) Le premier terme est toujours positif ou nul. Le deuxième terme est toujours positif (car c’est un carré) et vaut zéro seulement si x = 1. Donc l’expression est toujours positive ou nulle, et elle est égale à 4 en x = 1.

d) Le premier terme est toujours négatif ou nul. Le deuxième terme est toujours négatif ou nul. Donc l’expression est toujours négative, sauf si elle est nulle, c’est-à-dire si x = 0.

e) Le signe moins devant les parenthèses indique qu’on doit d’abord élever au carré puis changer le signe du résultat. Ainsi, l’expression est toujours négative ou nulle.

f) Le premier terme est toujours positif. Le deuxième terme est toujours positif ou nul (car c’est un carré de nombre réel). Donc l’expression est toujours positive ou nulle.

g) La première expression sous la racine est toujours positive ou nulle. Donc la racine carrée est réelle ou nulle. Puis on ajoute 3, qui est toujours positif. Donc l’expression est toujours positive ou nulle.

EXERCICE 64 :

| x | –2 | 5 | x < –2 | –2 < x < 5 | x > 5 |
|——-|——–|——–|————-|————-|———–|
| A(x) | 0 | 0 | <0 | >0 | >0 |

| x | $-\infty$ | –3 | 4 |+ $\infty$ |

|——-|————-|————-|————–|———–|
| A(x) | $\le0$ | $\le0$ | $\le0$ | $\ge0$ |

| x | $-\infty$ | –1 | 3 | + $\infty$ |
|——-|——————|—————–|—————|————|
| A(x) | $\ge0$ | n.d. | $\ge0$ | <0 |

EXERCICE 65 :

| x | $-\infty$ | 1 | + $\infty$ |
|———|—————|———|—————–|
| 5x – 1 | – | >0 | + |
| 1 – x | – | <0 | + |
| produit | + | <0 | – |

| x | $-\infty$ | $-\frac{4}{3}$ | $- \frac{3}{2}$ | + $\infty$ |
|———-|——————-|———————–|————————|————|
| 3x + 4 | – | >0 | >0 | + |
| 2x + 3 | – | <0 | >0 | + |
| produit | + | <0 | <0 | + |

| x | $-\infty$ | 0 | 2 | $+\infty$ |
|———-|———–|——-|———-|————-|
| 3x | – | – | + | + |
| x – 2 | – | – | + | + |
| produit | – | – | + | + |

| x | $-\infty$ | -5 | 1 | 7 | $+\infty$ |
|———-|——————-|————————-|———-|—————-|————–|
| 2x + 1 | – | – | + | + | + |
| –5 – x | – | – | – | + | + |
| x – 7 | – | – | – | – | – |
| produit | + | + | – | – | + |

| x | $-\infty$ | -2 | 4 | $+\infty$ |
|———|———–|———|———-|————-|
| 4 – x | + | + | 0 | – |
| 2 + x | – | 0 | + | + |
| quotient | – | – | 0 | + |

| x | $-\infty$ | 0 | 1 | $+\infty$ |
|———-|———-|———|———–|————–|
| x | – | – | + | + |
| x – 1 | – | – | + | + |
| produit | + | 0 | – | – |

Remarque : l’expression est indéfinie en x = 0 et en x = 1.

EXERCICE 66 :

On peut développer le carré au numérateur :

On remarque que les deux termes ont un facteur commun de (2x – 1), on peut donc les factoriser :

On simplifie :

Le produit de deux facteurs est positif si et seulement si les deux facteurs sont de même signe, ou si l’un des deux est nul.

– Le premier facteur est négatif pour $x < \frac{1}{2}$ et positif pour $x > \frac{1}{2}$ .
– Le deuxième facteur est négatif pour et positif pour .

On peut donc dresser le tableau de signe :

x < 1/2 1/2 < x < 3 x > 3
——– ———— —–
(2x – 1) + +
(3 – x) – +

Le produit est positif pour $x < \frac{1}{2}$ et pour , et négatif pour $\frac{1}{2} < x < 3$ .

On peut factoriser :

Le produit de deux facteurs est positif si et seulement si les deux facteurs sont de même signe, ou si l’un des deux est nul.

– Le premier facteur (-x – 1) est négatif pour x > -1 et positif pour x < -1.
– Le deuxième facteur (3x + 1) est négatif pour x < -1/3 et positif pour x > -1/3.

On peut donc dresser le tableau de signe :

x < -1 -1 < x < -1/3 x > -1/3
——- ————– ———-
(-x – 1) + –
(3x + 1) – +

Le produit est positif pour x < -1/3 et pour x > -1, et négatif pour -1 < x < -1/3.

c) $\frac{x}{x+4}-2$

On met au même dénominateur :
$\frac{x}{x+4} - 2 = \frac{x}{x+4} - \frac{2(x+4)}{x+4} = \frac{-8}{x+4}$

Le dénominateur est toujours positif (car il représente une somme), le signe de l’expression dépend donc seulement du signe du numérateur :

– Le numérateur (-8) est négatif pour tout x.

On peut donc dresser le tableau de signe :

x < -4 x > -4
——— ——–
(-8) –

L’expression est négative pour tout x.

EXERCICE 67 :

1/ Déterminer une expression f(x) dont le tableau de signes est :

x	– $\infty$		–2		3		+ $\infty$
signe de f(x)		+	0	–	0	+

2/ Déterminer une expression g(x) dont le tableau de signes est :

– $\infty$

+ $\infty$

signe de g(x)

–

║

–

EXERCICE 68 :

a) B(4,5) est négatif.

On ne peut pas répondre à cette question car le tableau de signe ne précise pas le signe de B(x) pour x dans l’intervalle (3, +\infty).

b) B(1) = 0

D’après le tableau de signe, on sait que B(1) < 0 pour x < 1 et B(1) > 0 pour x > 1. On ne peut donc pas conclure que B(1) = 0.

c) –2 et 3 sont les solutions de l’équation B(x) = 0.

D’après le tableau de signe, on a B(-2) = B(3) = 0. Donc oui, –2 et 3 sont bien les solutions de l’équation B(x) = 0.

d) B(0) > 0

D’après le tableau de signe, on a B(0) > 0. Donc l’affirmation est vraie.

e) Si x < 0 alors B(x) < 0.

D’après le tableau de signe, on a B(x) < 0 pour x < –2. Donc l’affirmation est vraie.

f) L’ensemble des solutions de B(x) ≤ 0 est $]- \infty; -2] \cup[3 ; +\infty[$

D’après le tableau de signe, on a B(x) ≤ 0 pour $x \in ]-\infty; -2] \cup [3; +\infty[$ . Donc l’affirmation est vraie.

g) Les nombres tels que B(x) > 0 sont les nombres vérifiant –2 ≤ x ≤ 3.

D’après le tableau de signe, on a B(x) > 0 pour $x \in ]-2; 3[$ .

Donc l’affirmation est fausse. Les nombres tels que B(x) > 0 sont les nombres strictement compris entre –2 et 3.

EXERCICE 69 :

a) (2x – 5)(–x – 3) ≥ 0

On commence par trouver les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
2x – 5 = 0 ⇔ x = 5/2
–x – 3 = 0 ⇔ x = –3
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = 5/2 et x = –3.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :

$\begin{array}{c|ccc|c} 2x-5 -x-3 (2x-5)(-x-3) \\ \hline x<-3 - - + + \\ -3<x<5/2 - + - + \\ x>5/2 + + + + \end{array}$

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–3;5/2]∪[5/2;+∞[.

b) (x – 4)(2x + 3) + (x – 4)(x – 7) ≤ 0

On factorise (x – 4) :
$(x - 4)(2x + 3 + x - 7) \leq\, 0$
(x – 4)(3x – 4) ≤ 0

On trouve les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
x – 4 = 0 ⇔ x = 4
3x – 4 = 0 ⇔ x = 4/3
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = 4 et x = 4/3.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
$\begin{array}{c|ccc|c} x-4 3x-4 (x-4)(3x-4) \\ \hline x<4/3 - - + + \\ 4/3<x<4 - + - + \\ x>4 + + + + \end{array}$

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;4/3]∪[4/3;4].

c) (2x – 5)(–x – 3) ≤ –15

On peut simplifier l’inéquation en utilisant la propriété distributive :
$-2x^3 -9x^2 + 6x +20 \leq\, 0$

On peut essayer de factoriser comme suit :
$-2x^3 - 9x^2 + 6x +20 \leq\, 0$
–(2x³ + 3x² – 2x – 20) ≤ 0
–(2x + 5)(x² – 2x – 4) ≤ 0
–(2x + 5)(x – (1 + √5))(x – (1 – √5)) ≤ 0

On trouve les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
2x + 5 = 0 ⇔ x = –5/2
x – (1 + √5) = 0 ⇔ x = 1 + √5
x – (1 – √5) = 0 ⇔ x = 1 – √5
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = –5/2, x = 1 – √5 et x = 1 + √5.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
$\begin{array}{c|ccccc|c} -\infty -5/2 1-\sqrt5 1+\sqrt5 +\infty -(2x+5)(x-(1+\sqrt5))(x-(1-\sqrt5)) \\ \hline 2x+5 - 0 - - + \\ x-(1+\sqrt5) - - 0 - + \\ x-(1-\sqrt5) - - - 0 + \\ x-(1+\sqrt5) - - 0 + + \\ x>x+\sqrt5 + + + + + \\ x< -5/2 - - - - - + \end{array}$

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;–5/2]∪[1 – √5;1 + √5].

d) (x + 1)² > (2x – 3)²

On développe chaque carré :

On résout l’inéquation du second degré :
$\Delta = (-14)^2 -4\times 3\times (-8) = 220 > 0$ , donc il y a deux racines réelles distinctes :
x₁ = (14 – √220)/(2×3) ≈ –0,81
x₂ = (14 + √220)/(2×3) ≈ 2,81

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
$\begin{array}{c|ccc|c} 3x^2 -14x -8 3x^2-14x-8 \\ \hline x<x_1 - - - + \\ x_1<x<x_2 - - + - \\ x>x_2 + - + + \end{array}$

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;x₁[∪]x₂;+∞[.

e) $\frac{3x-1}{2-x} \leq\, 0$

On cherche les valeurs de x pour lesquelles le numérateur et le dénominateur s’annulent :
3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3
2 – x = 0 ⇔ x = 2
Donc les valeurs interdites sont x = 1/3 et x = 2.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
$\begin{array}{c|ccc|c} 3x-1 2-x \frac{3x-1}{2-x} \\ \hline x<1/3 - + - + \\ 1/3<x<2 + + - - \\ x>2 + - + - \end{array}$

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;1/3[∪]2;+∞[.

f) $\frac{4x-7}{3x+2}< 4$

On multiplie des deux côtés par (3x + 2) :

$x > -\frac{15}{8}$

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
$\begin{array}{c|ccc|c} 4x-7 3x+2 \frac{4x-7}{3x+2} \\ \hline x<-15/8 - - + + \\ x>-15/8 + + + + \end{array}$

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;–15/8[∪]–15/8;+∞[.

On factorise par :

On trouve les valeurs de x pour lesquelles chaque facteur est nul :
x – 1 = 0 ⇔ x = 1
3x – 5 = 0 ⇔ x = 5/3
Donc les valeurs sur lesquelles le produit est nul sont x = 1 (double racine) et x = 5/3.

On peut ensuite dresser le tableau de signes :
$\begin{array}{c|ccccccc|c} -\infty 1 -\infty 5/3 1 +\infty -(x-1)(3x-5)(x-1)^2 \\ \hline x-1 - 0 - 0 0 + \\ 3x-5 - - - 0 + + \\ x-1 - - - - - - \\ -(x-1)(3x-5)(x-1)^2 - 0 + 0 - + \end{array}$

Ainsi, l’inéquation est vérifiée pour x ∈ ]–∞;1[∪]5/3;+∞[.

EXERCICE 70 :

1/ a) Les courbes représentant f(x) = x² et g(x) = 4x – 3 sont :

[Graphique de f(x) = x² et g(x) = 4x – 3]

b) Pour tout x, on a f(x) ≥ g(x) si et seulement si x² ≥ 4x – 3, soit x² – 4x + 3 ≥ 0.

On peut factoriser :

Ainsi, l’ensemble des solutions est x ∈ ]–∞;1]∪[3;+∞[.

2/ a) On développe :
(x – 1)(x – 3) = x² – 4x + 3

b) On résout l’inéquation f(x) ≥ g(x), soit x² – 4x + 3 ≥ 4x – 3, soit $x^2 - 8x + 6 \geq\, 0$ .

On peut chercher les valeurs pour lesquelles le discriminant de cette inéquation est nul, c’est-à-dire :
$\Delta = (-8)^2 - 4\times 1\times 6 = 40$
$x_1 = \frac{8 - \sqrt{40}}{2} = 4 -\sqrt{10} \approx 0,7639$
$x_2 = \frac{8 + \sqrt{40}}{2} = 4 + \sqrt{10} \approx 7,2361$
.

Ainsi, l’ensemble des solutions est $x \in]-\infty;x_1] \cup [x_2;+\infty[$ .

EXERCICE 71 :

D’après la courbe, on peut estimer les solutions suivantes :

a) f(x)=2 : Il y a une solution à environ x = 3,5.

b) f(x) = 0 : Il y a deux solutions, une à environ x = 1 et une autre à environ x = 6.

c) f(x) =- 1 : Il n’y a pas de solution, car la courbe ne coupe pas l’axe des ordonnées à y = -1.

d) f(x) = 1 : Il y a deux solutions, une à environ x = 2 et une autre à environ x = 5,5.

EXERCICE 72 :

D’après la courbe, on peut estimer les solutions suivantes :

a) g(x) = 2 : Il y a deux solutions, une à environ x = -3 et une autre à environ x = 4.

b) g(x) = -3 : Il y a une solution à environ x = -4.

c) g(x) = 4 : Il y a deux solutions, une à environ x = -2,5 et une autre à environ x = 3.

d) g(x) = -1 : Il y a une solution à environ x = 0,5.

EXERCICE 73 :

a) En cherchant l’intersection de la courbe avec l’axe des y égal à 1, on estime que l’équation k(x) = 1 a une solution d’environ x = 0.

b) En cherchant l’intersection de la courbe avec l’axe des y égal à 0, on estime que l’équation k(x) = 0 a une solution d’environ x = -2 et x = 3.

c) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de l’axe des y égal à -1, on estime que l’inéquation k(x) > -1 est vérifiée pour tout x dans l’intervalle [-3 ; 4].

d) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est en dessous de l’axe des y égal à 0, on estime que l’inéquation k(x) < 0 est vérifiée pour x dans l’intervalle [-3 ; -1] et [0 ; 2].

e) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est à une distance supérieure ou égale à 2 de l’axe des y égal à -2, on estime que l’inéquation k(x) ≥ -2 est vérifiée pour x dans l’intervalle [-3 ; 4].

f) En cherchant les valeurs de x pour lesquelles la courbe est à une distance supérieure ou égale à 2 de l’axe des y égal à 2, on estime que l’inéquation k(x) ≥ 2 n’a pas de solution dans l’intervalle [-3 ; 4].

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