Corrigé des exercices de maths

Equations et inéquations : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.


Le corrigé des exercices de maths en 2de sur la résolution d’équations et d’inéquations. Savoir résoudre une équation et une équation graphiquement et par le calcul en seconde.

Exercice 1 :

On pose f(x)=-3x^2+18x-24.

1. Trouver une racine évidente de f, c’est à dire une valeur \alpha telle que f(\alpha )=0.

Une racine évidente est x=2 car f(2)=0.

2. En déduire une factorisation de f(x) .

f(x)=-3(x-2)(x-a)

or si nous regardons le terme constant, il vaut -3\times   (-2)\times   a=6a et qui est égal à -24

6a=-24

a=\frac{-24}{6}=-4

Conclusion : f(x)=-3(x-2)(x+4)

3. Résoudre l’inéquation f(x)\leq\, 0 .

cela revient à résoudre

(x-2)(x+4)\geq\, 0

Effectuez un tableau de signe,

Conclusion : {\color{DarkRed} S=]-\infty;-4]\cup [2;+\infty[}
Exercice 2 :
a.
4x+3<7x
4x+3-3<7x-3
4x<7x-3
4x-7x<7x-3-7x
-3x<-3
 \frac{-3x}{-3}>\frac{-3}{-3}
x>1
  \fbox{ S=]1\,;\,+\infty[ }

b. 4(x+3)>7x
4x+12>7x
4x>7x-12
4x-7x>-12
-3x>-12
 \frac{-3x}{-3}<\frac{-12}{-3}
x<4
  \fbox{S=]-\infty\,;\,4[ }

c.

 4x+3\ge 7x+8 \\ 4x-7x\ge 8-3 \\ -3x\ge 5 \\ \frac{-3x}{-3}\le \frac{5}{-3} \\ x \le -\frac{5}{3}
  \fbox{S=]-\infty\,;\,-\frac{5}{3}] }

d.

 4x+3\le 7(x+8) \\ 4x+3\le 7x+56 \\ -3x\le 53 \\ x\ge -\frac{53}{3}
  \fbox{S=[-\frac{53}{3};+\infty[ }

e.

4(x+3)>7(x+8)
4x+12>7x+56
-3x>44

 x< -\frac{44}{3}
  \fbox{S=]-\infty\,;\,-\frac{44}{3}[ }

f.

 -4x+3\ge 7x-8 \\ -11x\ge-11 \\ x\le 1
  \fbox{S=]-\infty\,;\,1] }

g.

 -4(x+3)\ge 7(x-8) \\ -4x-12\ge 7x-56 \\ -11x\ge -44 \\ x\le 4
  \fbox{S=]-\infty\,;\,4] }

h.

 -4(x-3)\le 7x+8 \\ -4x+12\le 7x+8 \\ -11x\le -4 \\ x\ge \frac{4}{11} .
  \fbox{S=[\frac{4}{11};+\infty[ }

i.

-4(-x+3)>7(x-8)
4x-12>7x-56
-3x>-44
 x< \frac{44}{3}
  \fbox{S=]-\infty\,;\,\frac{44}{3}[ }

j.

(2x-3)² < 4x²+2x-4
4x²-12x+9 < 4x²+2x-4
-14x < -13
 x> \frac{13}{14}
  \fbox{S=]\frac{13}{14};+\infty[ }

k.

 -(2x-3)^2\le -4x^2+2x-4 \\ -(4x^2-12x+9) \le -4x^2+2x-4 \\ -4x^2+12x-9 \le -4x^2+2x-4 \\ 10x \le 5 \\ x\le \frac{5}{10} \\ x\le 0,5
  \fbox{S=]-\infty\,;\,0,5] }

l.

 (-3x+2)(2-6x) \ge (2x-6)(1+9x) \\ -6x+18x^2+4-12x \ge 2x+18x^2-6-54x \\ -18x +4\ge -6-52x \\ 34x \ge -10\\ x \ge -\frac{10}{34}\\ x \ge -\frac{5}{17}
  \fbox{S=[-\frac{5}{17};+\infty[ }

Exercice 3 :

Résoudre l’équation suivante :

(2-x)(x+3)=x^2-4

(2-x)(x+3)=x^2-2^2

(2-x)(x+3)=(x-2)(x+2)

(2-x)(x+3)-(x-2)(x+2)=0

(2-x)(x+3)+(2-x)(x+2)=0

(2-x)[(x+3)+(x+2)]=0

(2-x)[2x+5]=0

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

2-x=0\,ou\,2x+5=0

x=2\,ou\,x=-\frac{5}{2}

Conclusion :  S= \{ - \frac{5}{2};2  \}.

Exercice 4 :


1. Résoudre dans l’intervalle [0;2\pi[ , l’équation cos\,x=-\frac{1}{2} .A l’aide du cercle trigonométrique(cercle unité), on a cos x = -1/2 si x = \frac{2\pi }{3} ou x =  \frac{4\pi }{3}2. Résoudre dans l’intervalle [4\pi;6\pi[, l’équation sin\,x=\frac{\sqrt{3}}{2} .On remarque que cela revient à étudier sur [0,2\pi[ et d’ajouter 4\pisin\,x=\frac{\sqrt{3}}{2} quand x =  \pi/3  + 4\pi = 13\pi/3 ou quand x = 2\pi/3 + 4\pi = 14\pi/3.Exercice 5 :Résoudre l’inéquation suivante :\frac{(3x+2)(4x-1)}{5-2x}\geq\, 0Pour résoudre il suffit de faire un tableau des signes et vérifier que les valeurs sont positives ou nulles3x+2 s’annule en -2/34x-1 s’annule en 1/4

5-2x s’annule pour x = 5/2 hors il est au dénominateur donc notre membre de gauche est défini sur \mathbb{R}- \{ \frac{5}{2}  \}

x                  -infini                    -2/3                  1/4               5/2            +infini

3x+2                                   –        0          +

4x-1                                          –                         0                 +

5-2x                                                  +                                      0            –

Ensuite nous pouvons conclure que l’ensemble solution est S = { ]-infini;-2/3]U[1/4;5/2[ }.

Exercice 6 :

Résoudre l’équation suivante :

x-\frac{x+4}{x+1}=0

x=\frac{x+4}{x+1}

\frac{x}{1}=\frac{x+4}{x+1}

On applique la règle du produit en croix :

x(x+1)=1(x+4)

x^2+x=x+4

x^2-4=0

(x-2)(x+2)=0

C’est une équation-produit :

x=2\,ou\,x=-2.

Exercice 7 :

Donner la forme factorisée de cette forme canonique :

A(x)=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{1}{2}

A(x)=-2[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}]

A(x)=-2[(x-\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{2})^2]

A(x)=-2[(x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2})(x-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})]

A(x)=-2[(x-\frac{4}{2})(x-\frac{2}{2})]

A(x)=-2(x-2)(x-1)

Exercice 8 :

Résoudre l’équation suivante :

4x^2+2(\sqrt{2}-1)x-\sqrt{2}=0

4(x^2+\frac{2(\sqrt{2}-1)x}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4})=0

x^2+\frac{2(\sqrt{2}-1)x}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{\sqrt{2}-1)}{4})^2-\frac{\sqrt{2}}{4}=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{2-2\sqrt{2}+1)}{16})-\frac{\sqrt{2}}{4}=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{3-2\sqrt{2})}{16})-\frac{\sqrt{2}}{4}=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{3-2\sqrt{2}+4\sqrt{2})}{16})=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\frac{3+2\sqrt{2})}{16})=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4})^2-(\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2})}{16}})^2=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}+\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2})}{16}})(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2})}{16}})=0

(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}+\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4})(x+\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4})=0

{\color{DarkRed} x=-\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4}\,ou\,x=-\frac{(\sqrt{2}-1)}{4}+\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2})}}{4}}

Exercice 9 :

1. Résoudre graphiquement l’équation   f(x)=g(x) .

Cela revient à trouver l’abscisse du point d’intersection de ces deux courbes donc  {\color{DarkRed} x=0\,et\,x=1} 2. Résoudre graphiquement l’inéquation  f(x)\geq\, g(x) .

Cela revient à trouver toutes les abscisses des points

de la courbe de la fonction f qui sont au-dessus

des points de la courbe de la fonction g .

{\color{DarkRed} S=[0;1]}

Exercice 10 :

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul .

1.   (x+4)² = (x+4) (3x+1)

(x+4)^2-(x+4)(3x+1)=0

(x+4)(x+4-(3x+1))=0

(x+4)(x+4-3x-1)=0

(x+4)(-2x+3)=0

{\color{DarkRed} x=-4\,ou\,x=\frac{3}{2}}

2.    (2x+1)² = (x+5)²

(2x+1)^2-(x+5)^2=0

(2x+1-x-5)(2x+1+x+5)=0

(x-4)(3x+6)=0

x=4\,ou\,x=-\frac{6}{3}

{\color{DarkRed} x=4\,ou\,x=-2}

3.     (x-2)²-2 = 2

(x-2)^2-4=0

(x-2)^2-2^2=0

(x-2-2)(x-2+2)=0

x(x-4)=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=4}

Exercice 11 :

Trouver la longueur x.

Dans les triangles AEF et ACB ,

 \{ F \in (AB)\\E\in (AC) \\(FE)//(BC). d’après la partie directe du théorème de Thalès :

\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}

\frac{x}{x+4}=\frac{1}{3}

3x=1\times   (x+4)

3x=x+4

3x-x=4

2x=4

x=\frac{4}{2}

{\color{DarkRed} x=2\,m}

Exercice 12 :

Résoudre l’inéquation suivante :

2x-5> \frac{4}{2x-5}

2x-5> 0\Leftrightarrow 2> \frac{5}{2}\Leftrightarrow x> 2,5

Premier cas :si x> 2,5  alors    2x-5> 0  .

et 2x-5> \frac{4}{2x-5}\Leftrightarrow (2x-5)^2> 4

\Leftrightarrow (2x-5)^2-2^2> 0

\Leftrightarrow (2x-5-2)(2x-5+2)> 0

\Leftrightarrow (2x-7)(2x-3)> 0

Second cas :si\,x< 2,5\,alors\,2x-5< 0

2x-5> \frac{4}{2x-5}\Leftrightarrow (2x-5)^2< 4

\Leftrightarrow (2x-7)(2x-3)< 0

Conclusion :  {\color{DarkRed} S=]1,5;2,5[\bigcup ]3,5;+\infty[}.

Exercice 13 :

Comparer les fonctions f et g définies par :

f(x)=(x-5)(2x+3)-(13x-90)

et

g(x)=(2x-5)^2-2(x-5)(x+5)

f(x)=2x^2+3x-10x-15-13x+90=2x^2-20x+75

et

g(x)=4x^2-20x+25-2(x^2-25)

g(x)=4x^2-20x+25-2x^2+50

g(x)=2x^2-20x+75

Conclusion : les fonctions f et g sont les mêmes.

Exercice 14 :

Soit le polynôme P(x)=(2x-9)^2-(4x-5)^2 .

1.  Développer P(x) .

P(x)=4x^2-36x+81-(16x^2-40x+25)

P(x)=4x^2-36x+81-16x^2+40x-25

P(x)=-12x^2+4x+56

2. Factoriser P(x) .

Il fallait reconnaître l’identité remarquable A^2-B^2=(A-B)(A+B)

P(x)=(2x-9+4x-5)(2x-9-4x+5)

P(x)=(6x-14)(-2x-4)

P(x)=-4(3x-7)(x+2)

Exercice 15 :

Résoudre les équations suivantes dans \mathbb{R} .

1.    36x^2+36x+9=0 .

9(4x^2+4x+1)=0

4x^2+4x+1=0

(2x+1)^2=0

2x+1=0

{\color{DarkRed} x=-\frac{1}{2}}

2.  (3x+4)^2=(2x+7)^2 .

(3x+4)^2-(2x+7)^2=0

On utilise l’identité remarquable (a+b)(a-b)=a²-b².

(3x+4-2x-7)(3x+4+2x+7)=0

(x-3)(5x+11)=0

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

x-3=0\,ou\,5x+11=0

x=3\,ou\,x=-\frac{11}{5}

Conclusion :  {\color{DarkRed} S= \{ -\frac{11}{5} ;3 \}}
Exercice 16 :
Pour chacun des polynômes P(x) suivants, réaliser le travail suivant :

1. Développer P(x).
2. Factoriser P(x).
3. Résoudre P(x) = 0.
4. Donner le tableau de signes de P(x).
5. Vérifier les résultats obtenus à l’aide de la calculatrice (courbes).

1.  P(x)=(x+3)^2-(5x-3)^2.

P(x)=x^2+6x+9-(25x^2-30x+9)=x^2+6x+9-25x^2+30x-9=-24x^2+36x

2.Sous forme factorisée :

P(x)=-24x^2+36x=4x(-6x+9)

3.
P(x)=4x(-6x+9)=0

4x=0\,ou\,-6x+9=0

x=0\,ou\,x=\frac{-9}{-6}=\frac{3}{2}
Exercice 17 :

Quel est le nombre de solutions dans \mathbb{R} de l’équation suivante :

(x^2-1^2)(x^2-2^2)(x^2-3^2)....(x^2-50^2)=0

Justifier votre réponse .

(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3).....(x-50)(x+50)=0

C’est une équation produit, il y a 50×2=100 facteurs.

Conclusion : cette équation a 100 solutions distinctes.

Exercice 18 :

Résoudre les équations suivantes sur \mathbb{R} :

1.     (2x+3)^2=(4x-1)(x+5) .

4x^2+12x+9=4x^2+20x-x-5

4x^2+12x+9-4x^2-20x+x+5=0

-7x+14=0

x=\frac{-14}{-7}=2

2.     4(x+3)^2=x^2-9

4(x+3)^2=(x-3)(x+3)

4(x+3)^2-(x-3)(x+3)=0

(x+3)[4(x+3)-(x-3)]=0

(x+3)[4x+12-x+3]=0

(x+3)(3x+15)=0

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

x+3=0\,ou\,3x+15=0

x=-3\,ou\,x=\frac{-15}{3}=-5

Conclusion :  {\color{DarkRed} S= \{ -5;-3  \}

3.   4x^2+4x+1=0

(2x+1)^2=0  le carré d’un nombre est nul si et seulement le nombre est nul.

2x+1=0

x=-\frac{1}{2}

S= \{ -\frac{1}{2  \}

Exercice 19 :

1) P1 et P2 sont les périmètres des rectangles R1 et R2, exprimés en cm.
a) Exprimer  P1 et P2 en fonction de x.
P_1=2(x+3)
P_2=2(2+6-x)=2(8-x)
b) Pour quelle valeur de x les périmètres P1 et P2 sont-ils égaux ?
P_1=P_2
\Leftrightarrow 2(x+3)=2(8-x)
\Leftrightarrow 2x+6=16-2x
\Leftrightarrow 4x=16-6
\Leftrightarrow x=\frac{10}{4}=2,5\,cm.
2) S1 et S2 sont les aires des rectangles R1 et R2 exprimées en cm².
a) Exprimer S1 et S2 en fonction de x.
S_1=3x.
S_2=2(6-x)
b) Pour quelles valeurs de x a-t-on : S2 < S1 ?
S_2<S_1
\Leftrightarrow 2(6-x)<3x
\Leftrightarrow 12-2x<3x
\Leftrightarrow 12<5x
\Leftrightarrow x>\frac{12}{5}
\Leftrightarrow x>2,4\,cm.

Rectangle et inéquation

Exercice 20 :

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

1.      3 et  -3  sont solutions de l’équation x^2+2x-5=2(x+2).

x^2+2x-5-2x-4=0

x^2-9=0

(x-3)(x+3)=0

Conclusion : c’est VRAI .

2.     L’équation x^2=3x équivaut à l’équation x=3 .

x^2-3x=0

x(x-3)=0

Conclusion : c’est FAUX

3. Pour tout x>0x+\frac{1}{x} \leq\, 2 .

C’est faux, prenez x = 2

x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}=2,5>2

Exercice 21 :

Résoudre les équations suivantes :

a.\,\, 4x^2-3x=0\\x(4x-3)=0\\x=0\,ou\,x=\frac{3}{4}\\b.\,\,2x^2-x+1=x+1\\2x^2-2x=0\\2x(x-1)=0\\x=0\,ou\,x=1\\

Exercice 22:

Résoudre l’inéquation suivante :

\frac{(3x-2)(-4-5x)}{3x+1}\leq\, 0

sur \mathbb{R}- \{ -\frac{1}{3}  \}, le numérateur s’annule pour les valeur x = 2/3 et x = -4/5

Dressons un tableau de variations

x           -infini      -4/5      -1/3               2/3             +infini

3x-2                     –                                 0               +

-4-5x             +       0      –            –                          –

3x+1                      –            0           +  +           +

D’après la règle des signes nous pouvons conclure que [-4/5;-1/3[U[2/3,+infini[ est notre ensemble solution de l’inéquation.

Exercice 23 :

Résoudre l’inéquation \frac{1}{2x-1}<2 .

\frac{1}{2x-1}-2<0

\frac{1}{2x-1}-\frac{4x-2}{2x-1}<0

\frac{-4x-1}{2x-1}<0

Conclusion :  S=]-\infty;-\frac{1}{4}[\cup ]\frac{1}{2};+\infty[

Exercice 24 :
1.  Trouver deux entiers consécutifs dont le produit augmenté de 7 est égal au carré de l’entier suivant.

Notons x : le premier entier.

x(x+1)+7=(x+2)^2

x^2+x+7=x^2+4x+4

4x+4-x-7=0

3x-3=0

x=1

Conclusion : les deux entiers recherchés sont 1 et 2.

2.  Trouver les nombres dont le carré est égal au triple.

Soit x ce nombre

x^2=3x

x^2-3x=0

x(x-3)=0

C’est une équation produit, on applique la propriété :

x=0\,ou\,x=3

3.  Trouver les nombres dont le triple du carré est égal au double du nombre.

Soit x ce nombre.

3x^2=2x

3x^2-2x=0

x(3x-2)=0

C’est une équation produit, on applique la propriété :

x=0\,ou\,3x-2=0

x=0\,ou\,x=\frac{2}{3}
Exercice 25 :

1. Factoriser le polynôme Q(x)=x^2-4x+4 .

Q(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2

2. Résoudre l’équation x^2-4x+4=(1-x)(x-2) .

en utilisant le 1.

(x-2)^2=(1-x)(x-2)

(x-2)^2-(1-x)(x-2)=0

(x-2)[(x-2)-(1-x)]=0

(x-2)(x-2-1+x)=0

(x-2)(2x-3)=0

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins est nul.

x-2=0\,ou\,2x-3=0

x=2\,ou\,x=\frac{3}{2}

Conclusion : {\color{DarkRed} S= \{ \frac{3}{2};2  \}}

Exercice 26 :

Soit le polynôme P(x)=(3x-5)^2-(x+3)^2 .

1. Montrer que P(x)=4(x-4)(2x-1) .

P(x)=9x^2-30x+25-(x^2+6x+9)\\=9x^2-30x+25-x^2-6x-9\\=8x^2-36x+16

et

4(x-4)(2x-1)=4(2x^2-x-8x+4)=8x^2-36x+16

Conclusion : {\color{DarkRed} P(x)=4(x-4)(2x-1)}

2. Donner le tableau de signes de P(x) .

P est négatif sur [\frac{1}{2};4] .

3. Résoudre l’inéquation P(x)\leq\, 0 .

{\color{DarkRed} S=[\frac{1}{2};4]}

Exercice  27 :

Résoudre les équations suivantes :

1.   25x^2-70x+49=0 .

(5x+7)^2=0

Le carré d’un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul.

5x+7=0

x=-\frac{7}{5}

2.  14x-21=(2x-3)^2 .

7(2x-3)-(2x-3)^2=0

(2x-3)[7-(2x-3)]=0

(2x-3)[7-2x+3]=0

(2x-3)(10-2x)=0

C’est une équation produit, on applique la propriété :

2x-3=0\,ou\,10-2x=0

x=\frac{3}{2}\,ou\,x=\frac{10}{2}=5

Exercice 28 :

1. Représenter dans un même repère orthonormal :

– la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2 .

– la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=4x .

2. Utiliser ces représentations graphiques pour résoudre graphiquement :

a. l’équation x^2=4x .

S= \{ 0;4  \}

b. l’inéquation x^2 \leq\, 4x .

S=[0;4]

3. Retrouver les résultats précédents par le calcul.

x^2=4x

x^2-4x=0

x(x-4)=0

C’est une équation produit.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.

x=0\,ou\,x-4=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=4}

Exercice 30 :

En utilisant le tableau de signe, résoudre :

(5x-3)(4-x)> 0

5x-3=0\,;\,4-x=0

x=\frac{3}{5}\,;\,x=4

Conclusion  :  {\color{DarkRed}S= ]\frac{3}{5};4[}

Exercice 32 :

Un rectangle est appelé rectangle d’or lorsque :

\frac{Longueur}{largeur}=\frac{demi-perimetre}{longueur}   .

On considère un rectangle d’or de côtés 1 et x, avec   x> 1 . 1. Montrer que x vérifie l’équation :  x^2-x-1=0 .

La largeur mesure 1

La longueur mesure x .

Le demi-périmètre vaut  x+ 1

Puisque ce rectangle est un rectangle d’or , nous avons :

\frac{x}{1}=\frac{x+1}{x}

x^2=1\times   (x+1)

x^2=x+1

{\color{DarkRed} x^2-x-1=0}

2.  Dresser le tableau de valeur, puis la courbe représentative de cette fonction.

3. Résoudre graphiquement l’équation de la question 1 (au dixième près ) .

Nous trouvons x\simeq 1,6  et  x\simeq - 0,6 .

4.Vérifier que le réel   \frac{1+\sqrt{5}}{2}  est solution de cette équation et en déduire les dimensions du rectangle d’or.

x^2-x-1=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1+\sqrt{5}}{2})-1

x^2-x-1=\frac{(1+\sqrt{5})^2}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1

x^2-x-1=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1

x^2-x-1=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{4}+\frac{-2-2\sqrt{5}}{4}-\frac{4}{4}

x^2-x-1=\frac{1+2\sqrt{5}+5-2-2\sqrt{5}-4}{4}

x^2-x-1=\frac{1+5-2-4}{4}

x^2-x-1=\frac{0}{4}

x^2-x-1=0

Conclusion :

\frac{1+\sqrt{5}}{2} est bien solution de cette équation  et ce rectangle d’or a pour largeur 1 et pour longueur \frac{1+\sqrt{5}}{2} .

Remarque :    Le nombre  \frac{1+\sqrt{5}}{2}    est appelé nombre d’or.

Exercice 33 :

-2x+1=0

x=\frac{-1}{-2}

{\color{DarkRed} x=\frac{1}{2}}

Conclusion : A est positive sur ]-\infty ;\frac{1}{2}] .

Exercice 34 :

f est la fonction définie sur R par f(x)=(3x+2)(4-x). C est la courbe représentative de f dans un repère. a)Calculer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.

f(x)=0

(3x+2)(4-x)=0

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins  est nul .

3x+2=0\,ou\,4-x=0

x=-\frac{2}{3}\,ou\,x=4

b)Représenter graphiquement la fonction f à l’écran d’une calculatrice.

Conjecturer le signe de f(x) selon les valeurs de x.

f est positive sur [-\frac{2}{3};4] et négative sur le reste .

Exercice 35 :

Soit    A=(1-6x)^2-(5x-3)^2  .

1) Développer et réduire A .

A=1-12x+36x^2-(25x^2-30x+9)

A=1-12x+36x^2-25x^2+30x-9

{\color{DarkRed} A=11x^2+18x-8}

2) Calculer A pour  x=-1  puis pour  x=\frac{1}{3}  .

A=11\times   (-1)^2+18\times   (-1)-8

A=11-18-8

{\color{DarkRed} A=-15}

3) Factoriser A.

A=(1-6x+5x-3)(1-6x-5x+3)

{\color{DarkRed} A=(-x-2)(-11x+4)}

4) Résoudre l’équation A=0.

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul .

-x-2=0\,ou\,-11x+4=0

x=-2\,ou\,x=\frac{4}{11}

Exercice 36 :

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=9cm et AC=12cm. Où placer le point M sur l’hypoténuse du triangle de façon que la somme des distances de M aux deux autres côtés du triangle soit égale à 10cm?

Nous avons x+y=10

Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

BC^2=AB^2+AC^2

BC^2=9^2+12^2

BC^2=81+144

BC^2=225

BC=\sqrt{225}

BC=15\,cm

BE=8-x

Appliquons le théorème de Thalès dans BEM et BAC .

\frac{8-x}{8}=\frac{y}{12}

\frac{8-x}{8}=\frac{10-x}{12}

12(8-x)=8(10-x)

96-12x=80-8x

-12x+8x=80-96

-4x=-16

x=\frac{-16}{-4}

{\color{DarkRed} x=4}

Appliquons le théorème de Thalès dans CDM et CAB .

\frac{CM}{CB}=\frac{DM}{AB}

\frac{CM}{15}=\frac{4}{8}

CM=\frac{4\times   15}{8}

CM=\frac{60}{8}

{\color{DarkRed} CM=7,5\,cm}

Conclusion :    L e point M doit être situé au milieu du segment [BC] .

Exercice 37 :

Résoudre les équations :

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement  si l’un des facteurs, au moins, est nul .

1. 7x 2  – 5x = 0

x(7x-5)=0

x=0\,ou\,x=\frac{5}{7}

2.  \frac{1}{3} x 2  = 5x

\frac{1}{3}x^2-5x=0

x(\frac{1}{3}x-5)=0

x=0\,ou\,x=15

3. (-3x+1)(x-4) = 2x(x-4)

(-3x+1)(x-4)-2x(x-4)=0

(x-4)(-3x+1-2x)=0

(x-4)(-5x+1)=0

x=4\,ou\,x=\frac{1}{5}

4. (2x+3)(x+5) = 15

(2x+3)(x+5)-15=0

2x^2+10x+3x+15-15=0

2x^2+13x=0

x(2x+13)=0

x=0\,ou\,x=-\frac{13}{2}

5. (-3x+2)(x+1) = 2

(-3x+2)(x+1)-2=0

-3x^2-3x+2x+2-2=0

-3x^2-x=0

-x(3x+1)=0

x=0\,ou\,x=-\frac{1}{3}

Exercice 38 :

Résoudre l’équation suivante :  x\neq2\,et\,x\neq-1

\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+4}{(x+1)(x-2)}

\frac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\frac{1\times   (x+2)}{(x+1)(x+2)}=\frac{x+4}{(x+1)(x-2)}

\frac{3x+3-x-2}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+4}{(x+1)(x-2)}

3x+3-x-2=x+4

2x+1=x+4

2x-x=4-1

{\color{DarkRed} x=3}

Exercice 39 :

Résoudre les équations suivantes :

1.   7x2 – 5x = 0

x(7x-5)=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=\frac{5}{7}}

2.  \frac{1}{3}x^2=5x

x^2=3\times   5x

x^2=15x

x^2-15x=0

x(x-15)=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=15}

3.    (-3x+1)(x-4) = 2x(x-4)

(x-4)(-3x+1-2x)=0

(x-4)(-5x+1)=0

{\color{DarkRed} x=4\,ou\,x=\frac{1}{5}}

4.   (2x+3)(x+5) = 15

2x^2+10x+3x+15=15

2x^2+13x=0

x(2x+13)=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=-\frac{13}{2}}

5.     (-3x+2)(x+1) = 2

-3x^2-3x+2x+2=2

-3x^2-x=0

x(-3x-1)=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=-\frac{1}{3}}

Exercice 40 :

Résoudre les équations après avoir effectué une factorisation :
1.    x2 – 3x = 0

x(x-3)=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=3}

2.    -2x2 + 8x = 0

2x(-x+4)=0

{\color{DarkRed} x=0\,;\,x=4}

3.   3x2 = 18x

3x^2-18x=0

3x(x-6)=0

{\color{DarkRed} x=0\,ou\,x=6}

4.    (2x-1)(x+1) – (2x-1)(3x-5) = 0.

(2x-1)(x+1+3x-5)=0

(2x-1)(4x-4)=0

x=\frac{1}{2}\,ou\,x=1

Exercice 41 :

Résoudre l’inéquation suivante :

\frac{1}{x+1}< x+1

\frac{1}{x+1}-(x+1)<0

\frac{1-(x+1)^2}{x+1}<0

\frac{(1-x-1)(1+x+1)}{x+1}<0

\frac{-x(x+2)}{x+1}<0

Faites un tableau de signes et montrer que :

{\color{DarkRed} S=]-2;-1[\cup [0;+\infty[}

Exercice 42  :

1. En utilisant le même dénominateur pour additionner les fractions, on obtient :

\frac{6(x+1)\,+\,4(3x-1)}{12}\,=\,\frac{5x-2}{12}

En simplifiant, on trouve : 18x\,+\,2\,=\,5x\,-\,2

En isolant x, on obtient : x\,=\,-\frac{2}{13}

2.

En développant, on obtient l’équation :2x^2\,-\,x\,-\,2x\,+\,1\,+\,2x^2\,-\,x\,-\,2\,=\,0

En simplifiant, on trouve : 4x^2\,-\,2x\,-\,2\,=\,0

On divise par 2 pour simplifier l’équation : 2x^2\,-\,x\,-\,1\,=\,0

On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :

x\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{1\,+\,8}}{4}\,x\,=\,\frac{1\,\pm\,3}{4}

On trouve deux solutions : x\,=\,1 et x\,=\,-\frac{1}{2}

3. En multipliant les deux membres de l’équation par (x – 2), on obtient : 2x\,+\,1\,=\,\frac{2(x\,-\,2)}{3}.

On développe et on simplifie pour obtenir :6x\,+\,3\,=\,2x\,-\,4.

En isolant x, on obtient : x\,=\,-\frac{7}{2}

4. On peut multiplier les deux membres de l’équation par (x\,-\,5)(x\,+\,1) pour simplifier :

x^2\,-\,1\,=\,\frac{(x\,-\,1)(x\,-\,5)(x\,+\,1)}{x\,+\,5}.

On peut maintenant multiplier les deux membres de l’équation par x + 5 pour se débarrasser des dénominateurs :

(x^2\,-\,1)(x\,+\,5)\,=\,(x\,-\,1)(x\,-\,5)(x\,+\,1) .

En développant les deux membres, on obtient une équation polynomiale qu’on peut simplifier en regroupant les termes : 6x^2\,-\,6x\,-\,6\,=\,0.

On peut diviser par 6 pour simplifier : x^2\,-\,x\,-\,1\,=\,0.

On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :

x\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{1\,+\,4}}{2} ou x = -1

x\,=\,\frac{1\,\pm\,\sqrt{5}}{2} ou x = -1.

On trouve trois solutions : x\,=\,\frac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}, x\,=\,\frac{1\,-\,\sqrt{5}}{2} et x = -1

Exercice 43 :

1. a) En développant A(x), on obtient : A(x)\,=\,3(x^2\,-\,x\,-\,12)\,+\,2(3x^2\,-\,13x\,+\,12).

En simplifiant, on trouve : A(x)\,=\,11x^2\,-\,35x\,-\,12.

Pour factoriser, on cherche deux nombres qui multipliés donnent -132 et qui additionnés donnent -35. On trouve que ces nombres sont -44 et +9.

On peut donc factoriser A(x) en : A(x)\,=\,(11x\,+\,9)(x\,-\,4)

b) En développant B(x), on obtient : B(x)\,=\,4x^2\,-\,10x\,-\,4 .

Pour factoriser, on peut commencer par diviser tous les termes par 2 pour simplifier :

B(x)\,=\,2(x^2\,-\,5x\,-\,2) .

On cherche deux nombres qui multipliés donnent -2 et qui additionnés donnent -5.

On trouve que ces nombres sont -1 et +2.

On peut donc factoriser B(x) en : B(x)\,=\,2(x\,-\,1)(x\,-\,2)

2. a) Pour résoudre A(x) = -4, on peut d’abord factoriser A(x) : A(x)\,=\,(11x\,+\,9)(x\,-\,4).

On sait que le produit de deux nombres est égal à -4 si et seulement si l’un de ces nombres est positif et l’autre est négatif.

On peut donc résoudre l’équation en séparant les cas : 11x\,+\,9\,>\,0 et x – 4 < 0, ou 11x\,+\,9\,<\,0et x – 4 > 0 On trouve les deux intervalles de solutions :

x\,\in]-\infty;\,-\frac{9}{11}[;\,U\,]4;\,+\infty[

b) Pour résoudre B(x) = 0, on peut utiliser la factorisation de B(x) :2(x\,-\,1)(x\,-\,2)\,=\,0.

On utilise la propriété que le produit de deux facteurs est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul.

On obtient donc deux solutions : x = 1 ou x = 2.

c) Pour résoudre B(x) = A(x), on peut d’abord mettre les deux expressions au même dénominateur :

2(x\,-\,1)(x\,-\,2)\,=\,(11x\,+\,9)(x\,-\,4).

On développe et on simplifie pour obtenir une équation polynomiale de degré 2 :

11x^2\,-\,5x\,-\,15\,=\,0.

On peut diviser par 11 pour simplifier :

x^2\,-\,\frac{5}{11}x\,-\,\frac{15}{11}\,=\,0.

On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :

x\,=\,\frac{5\,\pm\,\sqrt{25\,+\,4\,\times  \,15}}{22}.

On trouve deux solutions :

x\,=\,\frac{5\,+\,\sqrt{85}}{22} et x\,=\,\frac{5\,-\,\sqrt{85}}{22}.

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