Equations et inéquations : corrigé des exercices de maths en 2de à télécharger en PDF

Exercice 1 (inéquations 2de corrigées)

1. On calcule \(f(2)=-3\times 4+18\times 2-24=-12+36-24=0\).

\(\alpha=2\) est une racine évidente de \(f\).

2. Puisque \(f(2)=0\), on peut écrire \(f(x)=-3(x-2)(x-a)\). En développant, le terme constant vaut \(-3\times (-2)\times (-a)=-6a\) ; il doit être égal à \(-24\), donc \(a=4\).

Vérification : \(-3(x-2)(x-4)=-3(x^2-6x+8)=-3x^2+18x-24\).

Conclusion : \(f(x)=-3(x-2)(x-4)\).

3. On dresse le tableau de signes de \(f(x)\) :

\(x\)	\(-\infty\)		\(2\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(-3\)		–		–		–
\(x-2\)		–	0	+		+
\(x-4\)		–		–	0	+
\(f(x)\)		–	0	+	0	–

Conclusion : \(S=]-\infty\,;\,2]\cup[4\,;\,+\infty[\).

Exercice 2 :

Rappel : quand on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité. Sur la droite graduée, le crochet est tourné vers la solution quand la borne est comprise, vers l’extérieur sinon.

a. \(4x+3 \lt 7x \Leftrightarrow 4x-7x \lt -3 \Leftrightarrow -3x \lt -3 \Leftrightarrow x \gt 1\) (division par \(-3\)).

\(S=]1\,;\,+\infty[\) : on hachure la partie située à droite de 1, crochet ouvert en 1.

b. \(4(x+3) \gt 7x \Leftrightarrow 4x+12 \gt 7x \Leftrightarrow -3x \gt -12 \Leftrightarrow x \lt 4\).

\(S=]-\infty\,;\,4[\) : partie à gauche de 4, borne exclue.

c. \(4x+3 \geq\, 7x+8 \Leftrightarrow -3x \geq\, 5 \Leftrightarrow x \leq\, -\dfrac{5}{3}\).

\(S=]-\infty\,;\,-\dfrac{5}{3}]\) : partie à gauche de \(-\dfrac{5}{3}\), borne comprise.

d. \(4x+3 \leq\, 7(x+8) \Leftrightarrow 4x+3 \leq\, 7x+56 \Leftrightarrow -3x \leq\, 53 \Leftrightarrow x \geq\, -\dfrac{53}{3}\).

\(S=[-\dfrac{53}{3}\,;\,+\infty[\)

e. \(4(x+3) \gt 7(x+8) \Leftrightarrow 4x+12 \gt 7x+56 \Leftrightarrow -3x \gt 44 \Leftrightarrow x \lt -\dfrac{44}{3}\).

\(S=]-\infty\,;\,-\dfrac{44}{3}[\)

f. \(-4x+3 \geq\, 7x-8 \Leftrightarrow -11x \geq\, -11 \Leftrightarrow x \leq\, 1\).

\(S=]-\infty\,;\,1]\)

g. \(-4(x+3) \geq\, 7(x-8) \Leftrightarrow -4x-12 \geq\, 7x-56 \Leftrightarrow -11x \geq\, -44 \Leftrightarrow x \leq\, 4\).

\(S=]-\infty\,;\,4]\)

h. \(-4(x-3) \leq\, 7x+8 \Leftrightarrow -4x+12 \leq\, 7x+8 \Leftrightarrow -11x \leq\, -4 \Leftrightarrow x \geq\, \dfrac{4}{11}\).

\(S=[\dfrac{4}{11}\,;\,+\infty[\)

i. \(-4(-x+3) \gt 7(x-8) \Leftrightarrow 4x-12 \gt 7x-56 \Leftrightarrow -3x \gt -44 \Leftrightarrow x \lt \dfrac{44}{3}\).

\(S=]-\infty\,;\,\dfrac{44}{3}[\)

j. \((2x-3)^2 \lt 4x^2+2x-4 \Leftrightarrow 4x^2-12x+9 \lt 4x^2+2x-4 \Leftrightarrow -14x \lt -13 \Leftrightarrow x \gt \dfrac{13}{14}\).

\(S=]\dfrac{13}{14}\,;\,+\infty[\)

k. \(-(2x-3)^2 \leq\, -4x^2+2x-4 \Leftrightarrow -4x^2+12x-9 \leq\, -4x^2+2x-4 \Leftrightarrow 10x \leq\, 5 \Leftrightarrow x \leq\, 0{,}5\).

\(S=]-\infty\,;\,0{,}5]\)

l. \((-3x+2)(2-6x)=18x^2-18x+4\) et \((2x-6)(1+9x)=18x^2-52x-6\).

\((-3x+2)(2-6x) \geq\, (2x-6)(1+9x) \Leftrightarrow -18x+4 \geq\, -52x-6 \Leftrightarrow 34x \geq\, -10 \Leftrightarrow x \geq\, -\dfrac{5}{17}\).

\(S=[-\dfrac{5}{17}\,;\,+\infty[\)

Exercice 3 (inéquations 2de corrigées)

On reconnaît \(x^2-4=(x-2)(x+2)=-(2-x)(x+2)\).

\((2-x)(x+3)=x^2-4 \Leftrightarrow (2-x)(x+3)+(2-x)(x+2)=0 \Leftrightarrow (2-x)(2x+5)=0\).

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul :

\(2-x=0\) ou \(2x+5=0\), soit \(x=2\) ou \(x=-\dfrac{5}{2}\).

Conclusion : \(S=\{-\dfrac{5}{2}\,;\,2\}\).

Exercice 4 :

1. Sur le cercle trigonométrique, les points d’abscisse \(-\dfrac{1}{2}\) correspondent aux angles \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\dfrac{4\pi}{3}\).

Dans \([0\,;\,2\pi[\), \(\cos x=-\dfrac{1}{2}\) pour \(x=\dfrac{2\pi}{3}\) ou \(x=\dfrac{4\pi}{3}\).

2. Dans \([0\,;\,2\pi[\), \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=\dfrac{2\pi}{3}\). L’intervalle \([4\pi\,;\,6\pi[\) correspond à deux tours de plus : on ajoute \(4\pi\).

\(\dfrac{\pi}{3}+4\pi=\dfrac{13\pi}{3}\) et \(\dfrac{2\pi}{3}+4\pi=\dfrac{14\pi}{3}\).

Dans \([4\pi\,;\,6\pi[\), \(\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) pour \(x=\dfrac{13\pi}{3}\) ou \(x=\dfrac{14\pi}{3}\).

Exercice 5 (inéquations 2de corrigées)

Le dénominateur s’annule pour \(x=\dfrac{5}{2}\) : c’est la valeur interdite. Le numérateur s’annule pour \(x=-\dfrac{2}{3}\) et \(x=\dfrac{1}{4}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{2}{3}\)		\(\dfrac{1}{4}\)		\(\dfrac{5}{2}\)		\(+\infty\)
\(3x+2\)		–	0	+		+		+
\(4x-1\)		–		–	0	+		+
\(5-2x\)		+		+		+	0	–
quotient		+	0	–	0	+	||	–

Conclusion : \(S=]-\infty\,;\,-\dfrac{2}{3}]\cup[\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{5}{2}[\).

Exercice 6 :

Valeur interdite : \(x=-1\). Pour \(x\neq -1\) :

\(x-\dfrac{x+4}{x+1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{x(x+1)-(x+4)}{x+1}=0 \Leftrightarrow x^2+x-x-4=0 \Leftrightarrow x^2-4=0 \Leftrightarrow (x-2)(x+2)=0\).

Donc \(x=2\) ou \(x=-2\) ; aucune de ces valeurs n’est interdite.

Conclusion : \(S=\{-2\,;\,2\}\).

Exercice 7 (inéquations 2de corrigées)

\(A(x)=-2[(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{1}{4}]=-2[(x-\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{1}{2})^2]\)

\(A(x)=-2(x-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2})\)

\(A(x)=-2(x-2)(x-1)\)

Vérification : \(-2(x-2)(x-1)=-2x^2+6x-4\) et \(-2(x^2-3x+\dfrac{9}{4})+\dfrac{1}{2}=-2x^2+6x-4\).

Exercice 8 :

On divise par 4 : \(x^2+\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}x-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=0\), puis on fait apparaître le début d’un carré :

\((x+\dfrac{\sqrt{2}-1}{4})^2-\dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{16}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}=0\)

Or \(\dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{16}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}=\dfrac{3-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{16}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{16}=\dfrac{(1+\sqrt{2})^2}{16}\).

L’équation devient \((x+\dfrac{\sqrt{2}-1}{4})^2-(\dfrac{1+\sqrt{2}}{4})^2=0\), soit \((x+\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}-\dfrac{1+\sqrt{2}}{4})(x+\dfrac{\sqrt{2}-1}{4}+\dfrac{1+\sqrt{2}}{4})=0\).

Donc \((x-\dfrac{1}{2})(x+\dfrac{\sqrt{2}}{2})=0\).

Conclusion : \(S=\{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\}\).

Vérification pour \(x=\dfrac{1}{2}\) : \(4\times \dfrac{1}{4}+(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}=1-1=0\).

Exercice 9 (inéquations 2de corrigées)

1. Les solutions de \(f(x)=g(x)\) sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes. Les courbes se coupent aux points \((0\,;\,3)\) et \((1\,;\,4)\).

\(S=\{0\,;\,1\}\)

2. On cherche les abscisses des points de la courbe de \(f\) situés au-dessus de la droite de \(g\) (ou sur elle) : c’est le cas entre les deux points d’intersection.

\(S=[0\,;\,1]\)

Exercice 10 :

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.

1. \((x+4)^2=(x+4)(3x+1) \Leftrightarrow (x+4)[(x+4)-(3x+1)]=0 \Leftrightarrow (x+4)(-2x+3)=0\).

\(S=\{-4\,;\,\dfrac{3}{2}\}\)

2. \((2x+1)^2=(x+5)^2 \Leftrightarrow (2x+1-x-5)(2x+1+x+5)=0 \Leftrightarrow (x-4)(3x+6)=0\).

\(S=\{-2\,;\,4\}\)

3. \((x-2)^2-2=2 \Leftrightarrow (x-2)^2-2^2=0 \Leftrightarrow (x-2-2)(x-2+2)=0 \Leftrightarrow x(x-4)=0\).

\(S=\{0\,;\,4\}\)

Exercice 11 (inéquations 2de corrigées)

Dans les triangles AEF et ACB : F appartient à (AB), E appartient à (AC) et les droites (EF) et (CB) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à (AC)). D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EF}{CB}\), soit \(\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{1}{3}\).

\(3x=x+4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x=2\).

Conclusion : x = 2 m.

Exercice 12 :

Valeur interdite : \(x=\dfrac{5}{2}\). On passe tout dans le premier membre :

\(2x-5-\dfrac{4}{2x-5} \gt 0 \Leftrightarrow \dfrac{(2x-5)^2-4}{2x-5} \gt 0 \Leftrightarrow \dfrac{(2x-5-2)(2x-5+2)}{2x-5} \gt 0 \Leftrightarrow \dfrac{(2x-7)(2x-3)}{2x-5} \gt 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{3}{2}\)		\(\dfrac{5}{2}\)		\(\dfrac{7}{2}\)		\(+\infty\)
\(2x-3\)		–	0	+		+		+
\(2x-7\)		–		–		–	0	+
\(2x-5\)		–		–	0	+		+
quotient		–	0	+	||	–	0	+

Conclusion : \(S=]1{,}5\,;\,2{,}5[\cup]3{,}5\,;\,+\infty[\).

Exercice 13 (inéquations 2de corrigées)

\(f(x)=2x^2+3x-10x-15-13x+90=2x^2-20x+75\)

\(g(x)=4x^2-20x+25-2(x^2-25)=4x^2-20x+25-2x^2+50=2x^2-20x+75\)

Conclusion : pour tout réel \(x\), \(f(x)=g(x)\) : les fonctions \(f\) et \(g\) sont égales.

Exercice 14 :

1. \(P(x)=4x^2-36x+81-(16x^2-40x+25)=4x^2-36x+81-16x^2+40x-25\)

\(P(x)=-12x^2+4x+56\)

2. On reconnaît \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\) :

\(P(x)=(2x-9-4x+5)(2x-9+4x-5)=(-2x-4)(6x-14)\)

\(P(x)=-4(x+2)(3x-7)\)

3. \(x+2=0\) pour \(x=-2\) et \(3x-7=0\) pour \(x=\dfrac{7}{3}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(\dfrac{7}{3}\)		\(+\infty\)
\(-4\)		–		–		–
\(x+2\)		–	0	+		+
\(3x-7\)		–		–	0	+
\(P(x)\)		–	0	+	0	–

4. D’après le tableau :

\(P(x)\geq\, 0 \Leftrightarrow x\in[-2\,;\,\dfrac{7}{3}]\).

Exercice 15 (inéquations 2de corrigées)

1. \(36x^2+36x+9=9(4x^2+4x+1)=9(2x+1)^2\). Un carré est nul si et seulement si le nombre est nul : \(2x+1=0\).

\(S=\{-\dfrac{1}{2}\}\)

2. \((3x+4)^2-(2x+7)^2=0 \Leftrightarrow (3x+4-2x-7)(3x+4+2x+7)=0 \Leftrightarrow (x-3)(5x+11)=0\).

\(S=\{-\dfrac{11}{5}\,;\,3\}\)

Exercice 16 :

Premier polynôme : \(P(x)=(x+3)^2-(5x-3)^2\).

1. \(P(x)=x^2+6x+9-(25x^2-30x+9)=-24x^2+36x\).

2. \(P(x)=12x(3-2x)\) (on peut aussi utiliser \(A^2-B^2\) : \((x+3-5x+3)(x+3+5x-3)=(6-4x)\times 6x\)).

3. \(P(x)=0 \Leftrightarrow 12x=0\) ou \(3-2x=0\) : \(S=\{0\,;\,\dfrac{3}{2}\}\).

4. Tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(\dfrac{3}{2}\)		\(+\infty\)
\(12x\)		–	0	+		+
\(3-2x\)		+		+	0	–
\(P(x)\)		–	0	+	0	–

Second polynôme : \(P(x)=(4x-3)^2-36\).

1. \(P(x)=16x^2-24x+9-36=16x^2-24x-27\).

2. \(P(x)=(4x-3)^2-6^2=(4x-3-6)(4x-3+6)=(4x-9)(4x+3)\).

3. \(P(x)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{9}{4}\) ou \(x=-\dfrac{3}{4}\) : \(S=\{-\dfrac{3}{4}\,;\,\dfrac{9}{4}\}\).

4. Tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{3}{4}\)		\(\dfrac{9}{4}\)		\(+\infty\)
\(4x+3\)		–	0	+		+
\(4x-9\)		–		–	0	+
\(P(x)\)		+	0	–	0	+

5. À la calculatrice, la première parabole est tournée vers le bas et coupe l’axe des abscisses en 0 et 1,5 ; la seconde est tournée vers le haut et le coupe en −0,75 et 2,25. Les parties au-dessus de l’axe correspondent aux signes + des tableaux.

Exercice 17 (inéquations 2de corrigées)

Chaque facteur est une différence de deux carrés : \(x^2-k^2=(x-k)(x+k)\). L’équation s’écrit :

\((x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\ldots(x-50)(x+50)=0\)

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : les solutions sont les nombres −50, −49, …, −1 et 1, 2, …, 50, tous différents.

Conclusion : l’équation a 100 solutions distinctes dans ℝ.

Exercice 18 :

1. \(4x^2+12x+9=4x^2+20x-x-5 \Leftrightarrow 12x+9=19x-5 \Leftrightarrow -7x=-14 \Leftrightarrow x=2\).

\(S=\{2\}\)

2. \(4(x+3)^2=(x-3)(x+3) \Leftrightarrow (x+3)[4(x+3)-(x-3)]=0 \Leftrightarrow (x+3)(3x+15)=0\).

Donc \(x=-3\) ou \(x=-5\) : \(S=\{-5\,;\,-3\}\).

3. \(4x^2+4x+1=(2x+1)^2=0 \Leftrightarrow 2x+1=0\).

\(S=\{-\dfrac{1}{2}\}\)

Exercice 19 (inéquations 2de corrigées)

1) a) R1 = AMGD a pour côtés x et 3 ; R2 = FECG a pour côtés GC = 6 − x et CE = 2.

\(P_1=2(x+3)=2x+6\) et \(P_2=2(6-x+2)=16-2x\).

b) \(P_1=P_2 \Leftrightarrow 2x+6=16-2x \Leftrightarrow 4x=10 \Leftrightarrow x=2{,}5\).

Les périmètres sont égaux pour x = 2,5 cm.

2) a) \(S_1=3x\) et \(S_2=2(6-x)=12-2x\).

b) \(S_2 \lt S_1 \Leftrightarrow 12-2x \lt 3x \Leftrightarrow 12 \lt 5x \Leftrightarrow x \gt 2{,}4\).

Comme \(0 \lt x \lt 6\) : \(S_2 \lt S_1\) pour \(x\in]2{,}4\,;\,6[\).

Exercice 20 :

1. \(x^2+2x-5=2(x+2) \Leftrightarrow x^2+2x-5-2x-4=0 \Leftrightarrow x^2-9=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0\).

VRAI : 3 et −3 sont les deux solutions.

2. \(x^2=3x \Leftrightarrow x(x-3)=0 \Leftrightarrow x=0\) ou \(x=3\).

FAUX : 0 est solution de la première équation mais pas de la seconde.

3. Pour \(x=2\) : \(x+\dfrac{1}{x}=2+\dfrac{1}{2}=2{,}5 \gt 2\).

FAUX (un contre-exemple suffit). En fait, pour tout \(x \gt 0\), \(x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{(x-1)^2}{x}\geq\, 0\), donc \(x+\dfrac{1}{x}\geq\, 2\).

Exercice 21 (inéquations 2de corrigées)

a. \(4x^2-3x=0 \Leftrightarrow x(4x-3)=0\) : \(S=\{0\,;\,\dfrac{3}{4}\}\).

b. \(2x^2-x+1=x+1 \Leftrightarrow 2x^2-2x=0 \Leftrightarrow 2x(x-1)=0\) : \(S=\{0\,;\,1\}\).

c. \((5x-1)(x+2)-(x+2)(1-x)=0 \Leftrightarrow (x+2)(5x-1-1+x)=0 \Leftrightarrow (x+2)(6x-2)=0\) : \(S=\{-2\,;\,\dfrac{1}{3}\}\).

d. \((2x+1)(2-x)-(2x+1)^2=0 \Leftrightarrow (2x+1)(2-x-2x-1)=0 \Leftrightarrow (2x+1)(1-3x)=0\) : \(S=\{-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{3}\}\).

Exercice 22 :

Valeur interdite : \(x=-\dfrac{1}{3}\). Le numérateur s’annule pour \(x=\dfrac{2}{3}\) et \(x=-\dfrac{4}{5}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{4}{5}\)		\(-\dfrac{1}{3}\)		\(\dfrac{2}{3}\)		\(+\infty\)
\(3x-2\)		–		–		–	0	+
\(-4-5x\)		+	0	–		–		–
\(3x+1\)		–		–	0	+		+
quotient		+	0	–	||	+	0	–

Conclusion : \(S=[-\dfrac{4}{5}\,;\,-\dfrac{1}{3}[\cup[\dfrac{2}{3}\,;\,+\infty[\).

Exercice 23 (inéquations 2de corrigées)

Valeur interdite : \(x=\dfrac{1}{2}\).

\(\dfrac{1}{2x-1} \lt 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{2(2x-1)}{2x-1} \lt 0 \Leftrightarrow \dfrac{1-4x+2}{2x-1} \lt 0 \Leftrightarrow \dfrac{3-4x}{2x-1} \lt 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{2}\)		\(\dfrac{3}{4}\)		\(+\infty\)
\(3-4x\)		+		+	0	–
\(2x-1\)		–	0	+		+
quotient		–	||	+	0	–

Conclusion : \(S=]-\infty\,;\,\dfrac{1}{2}[\cup]\dfrac{3}{4}\,;\,+\infty[\).

Contrôle : pour \(x=0\), \(\dfrac{1}{-1}=-1 \lt 2\) ; pour \(x=0{,}6\), \(\dfrac{1}{0{,}2}=5\), qui n’est pas inférieur à 2.

Exercice 24 :

1. Notons \(x\) le premier entier ; les suivants sont \(x+1\) et \(x+2\).

\(x(x+1)+7=(x+2)^2 \Leftrightarrow x^2+x+7=x^2+4x+4 \Leftrightarrow 3=3x \Leftrightarrow x=1\).

Les deux entiers sont 1 et 2 (vérification : 1 × 2 + 7 = 9 = 3²).

2. \(x^2=3x \Leftrightarrow x(x-3)=0\) : les nombres 0 et 3.

3. \(3x^2=2x \Leftrightarrow x(3x-2)=0\) : les nombres 0 et \(\dfrac{2}{3}\).

Exercice 25 (inéquations 2de corrigées)

1. On reconnaît \(a^2-2ab+b^2\) : \(Q(x)=(x-2)^2\).

2. \((x-2)^2=(1-x)(x-2) \Leftrightarrow (x-2)[(x-2)-(1-x)]=0 \Leftrightarrow (x-2)(2x-3)=0\).

\(S=\{\dfrac{3}{2}\,;\,2\}\)

Exercice 26 :

1. \(P(x)=9x^2-30x+25-(x^2+6x+9)=8x^2-36x+16\).

Et \(4(x-4)(2x-1)=4(2x^2-9x+4)=8x^2-36x+16\).

Donc \(P(x)=4(x-4)(2x-1)\).

2. Tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{2}\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(2x-1\)		–	0	+		+
\(x-4\)		–		–	0	+
\(P(x)\)		+	0	–	0	+

3. \(P(x)\leq\, 0 \Leftrightarrow x\in[\dfrac{1}{2}\,;\,4]\).

Exercice 27 (inéquations 2de corrigées)

1. \(25x^2-70x+49=(5x)^2-2\times 5x\times 7+7^2=(5x-7)^2\).

\((5x-7)^2=0 \Leftrightarrow 5x-7=0\) : \(S=\{\dfrac{7}{5}\}\).

2. \(14x-21=7(2x-3)\), donc \(7(2x-3)-(2x-3)^2=0 \Leftrightarrow (2x-3)(7-2x+3)=0 \Leftrightarrow (2x-3)(10-2x)=0\).

\(S=\{\dfrac{3}{2}\,;\,5\}\)

Exercice 28 :

1. La courbe de f est une parabole de sommet l’origine, celle de g une droite passant par l’origine.

2. a. Les courbes se coupent aux points d’abscisses 0 et 4 : \(S=\{0\,;\,4\}\).

b. La parabole est sous la droite (ou la touche) entre ces deux points : \(S=[0\,;\,4]\).

3. \(x^2=4x \Leftrightarrow x(x-4)=0 \Leftrightarrow x=0\) ou \(x=4\).

\(x^2\leq\, 4x \Leftrightarrow x(x-4)\leq\, 0\) : le produit est négatif ou nul entre ses racines, donc \(S=[0\,;\,4]\), ce qui confirme la lecture graphique.

Exercice 29 (inéquations 2de corrigées)

1) La clôture forme trois côtés du rectangle (le quatrième est le mur de la maison) : deux côtés de longueur x et un troisième de longueur 100 − 2x.

Le troisième côté mesure \(100-2x\) mètres.

2) a) \(f(x)=x(100-2x)=100x-2x^2\).

b) \(f(x)=2x(50-x)\) s’annule en 0 et en 50.

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(50\)		\(+\infty\)
\(2x\)		–	0	+		+
\(50-x\)		+		+	0	–
\(f(x)\)		–	0	+	0	–

Donc \(f(x)\geq\, 0 \Leftrightarrow x\in[0\,;\,50]\). Une longueur et une aire étant positives, seules les valeurs de \(x\) comprises entre 0 et 50 nous intéressent.

3) a) \(1250-2(x-25)^2=1250-2(x^2-50x+625)=1250-2x^2+100x-1250=100x-2x^2=f(x)\).

b) Si \(0\leq\, a \lt b\leq\, 25\) : \(a-25 \lt b-25\leq\, 0\) ; la fonction carré est décroissante sur les négatifs, donc \((a-25)^2 \gt (b-25)^2\), puis \(-2(a-25)^2 \lt -2(b-25)^2\) et \(f(a) \lt f(b)\) : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,25]\).

Si \(25\leq\, a \lt b\leq\, 50\) : \(0\leq\, a-25 \lt b-25\), donc \((a-25)^2 \lt (b-25)^2\) et \(f(a) \gt f(b)\) : \(f\) est décroissante sur \([25\,;\,50]\).

\(x\)	0		25		50
\(f(x)\)	0	↗	1 250	↘	0

c) Le maximum de \(f\) est \(f(25)=1250\). Le côté parallèle à la maison mesure alors \(100-2\times 25=50\) m.

La zone doit mesurer 25 m sur 50 m (50 m le long de la maison) ; son aire est alors de 1 250 m².

4) a) Graphiquement, la droite d’équation \(y=450\) coupe la courbe de \(f\) aux points d’abscisses 5 et 45.

Par le calcul : \(f(x)=450 \Leftrightarrow 1250-2(x-25)^2=450 \Leftrightarrow (x-25)^2=400 \Leftrightarrow x-25=20\) ou \(x-25=-20\).

\(S=\{5\,;\,45\}\)

b) La zone a une aire de 450 m² dans deux cas : côtés perpendiculaires de 5 m (le troisième côté mesure alors 90 m) ou côtés perpendiculaires de 45 m (le troisième mesure 10 m).

Exercice 30 :

\(5x-3=0\) pour \(x=\dfrac{3}{5}\) et \(4-x=0\) pour \(x=4\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{3}{5}\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(5x-3\)		–	0	+		+
\(4-x\)		+		+	0	–
produit		–	0	+	0	–

Conclusion : \(S=]\dfrac{3}{5}\,;\,4[\).

Exercice 31 (inéquations 2de corrigées)

\(x^2\leq\, 2x+8 \Leftrightarrow x^2-2x-8\leq\, 0\).

On factorise à l’aide de la forme canonique : \(x^2-2x-8=(x-1)^2-1-8=(x-1)^2-3^2=(x-1-3)(x-1+3)=(x-4)(x+2)\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(x+2\)		–	0	+		+
\(x-4\)		–		–	0	+
produit		+	0	–	0	+

Conclusion : \(S=[-2\,;\,4]\).

Contrôle : pour \(x=0\), \(0\leq\, 8\) est vrai ; pour \(x=5\), \(25\leq\, 18\) est faux.

Exercice 32 :

1. La largeur vaut 1, la longueur \(x\) et le demi-périmètre \(x+1\). La définition du rectangle d’or donne :

\(\dfrac{x}{1}=\dfrac{x+1}{x} \Leftrightarrow x^2=x+1 \Leftrightarrow x^2-x-1=0\).

2. Tableau de valeurs de \(f(x)=x^2-x-1\) :

\(x\)	−2	−1	0	1	2	3
\(f(x)\)	5	1	−1	−1	1	5

3. La courbe coupe l’axe des abscisses en \(x\approx -0{,}6\) et \(x\approx 1{,}6\) (au dixième près).

4. Posons \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\). Alors \(\varphi^2=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\) et \(\varphi+1=\dfrac{1+\sqrt{5}+2}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\).

Donc \(\varphi^2=\varphi+1\), c’est-à-dire \(\varphi^2-\varphi-1=0\) : \(\varphi\) est solution, et \(\varphi \gt 1\).

Le rectangle d’or a pour largeur 1 et pour longueur \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618\).

Remarque : ce nombre est appelé nombre d’or.

Exercice 33 (inéquations 2de corrigées)

\(-2x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\) ; \(x^2+3\) est toujours strictement positif (un carré plus 3).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{2}\)		\(+\infty\)
\(-2x+1\)		+	0	–
\(x^2+3\)		+		+
\(A(x)\)		+	0	–

Conclusion : \(A(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;\,\dfrac{1}{2}[\), \(A(\dfrac{1}{2})=0\) et \(A(x) \lt 0\) sur \(]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty[\).

Exercice 34 :

a) \(f(x)=0 \Leftrightarrow (3x+2)(4-x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{3}\) ou \(x=4\).

La courbe C coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisses \(-\dfrac{2}{3}\) et 4.

b) Courbe obtenue à la calculatrice :

Conjecture : la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses entre \(-\dfrac{2}{3}\) et 4, en dessous ailleurs ; donc \(f(x) \gt 0\) sur \(]-\dfrac{2}{3}\,;\,4[\) et \(f(x) \lt 0\) sur \(]-\infty\,;\,-\dfrac{2}{3}[\cup]4\,;\,+\infty[\).

c) \(ax+b\) s’annule en \(x=-\dfrac{b}{a}\). Il est du signe de \(a\) à droite de \(-\dfrac{b}{a}\) et du signe contraire de \(a\) à gauche.

Le tableau de signes confirme la conjecture :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{2}{3}\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(3x+2\)		–	0	+		+
\(4-x\)		+		+	0	–
\(f(x)\)		–	0	+	0	–

Exercice 35 (inéquations 2de corrigées)

1) \(A=1-12x+36x^2-(25x^2-30x+9)=1-12x+36x^2-25x^2+30x-9\)

\(A=11x^2+18x-8\)

2) Pour \(x=-1\) : \(A=11-18-8=\) \(-15\).

Pour \(x=\dfrac{1}{3}\) : \(A=11\times \dfrac{1}{9}+18\times \dfrac{1}{3}-8=\dfrac{11}{9}+6-8=\dfrac{11}{9}-\dfrac{18}{9}=\) \(-\dfrac{7}{9}\).

3) \(A=(1-6x-5x+3)(1-6x+5x-3)=(4-11x)(-x-2)\), soit \(A=(11x-4)(x+2)\).

4) \(A=0 \Leftrightarrow 11x-4=0\) ou \(x+2=0\) : \(S=\{-2\,;\,\dfrac{4}{11}\}\).

Exercice 36 :

D’après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A : \(BC^2=9^2+12^2=81+144=225\), donc \(BC=15\) cm.

Soit M un point de [BC], D son projeté sur (AC) et E son projeté sur (AB). Notons \(BM=t\) (en cm), avec \(0\leq\, t\leq\, 15\).

Dans le triangle BAC, (ME) est parallèle à (AC) (toutes deux perpendiculaires à (AB)). D’après le théorème de Thalès : \(\dfrac{ME}{AC}=\dfrac{BM}{BC}\), donc \(ME=\dfrac{12t}{15}=\dfrac{4t}{5}\).

De même, (MD) est parallèle à (AB) : \(\dfrac{MD}{AB}=\dfrac{CM}{CB}\), donc \(MD=\dfrac{9(15-t)}{15}=\dfrac{3(15-t)}{5}\).

La somme des distances vaut 10 cm : \(\dfrac{4t}{5}+\dfrac{3(15-t)}{5}=10 \Leftrightarrow 4t+45-3t=50 \Leftrightarrow t=5\).

Alors \(ME=4\) cm et \(MD=6\) cm : on a bien \(4+6=10\).

Conclusion : il faut placer M sur [BC] à 5 cm de B (donc à 10 cm de C), c’est-à-dire au tiers de [BC] en partant de B.

Exercice 37 (inéquations 2de corrigées)

Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.

1. \(7x^2-5x=0 \Leftrightarrow x(7x-5)=0\) : \(S=\{0\,;\,\dfrac{5}{7}\}\).

2. \(\dfrac{1}{3}x^2=5x \Leftrightarrow x(\dfrac{1}{3}x-5)=0\) : \(S=\{0\,;\,15\}\).

3. \((-3x+1)(x-4)-2x(x-4)=0 \Leftrightarrow (x-4)(-5x+1)=0\) : \(S=\{\dfrac{1}{5}\,;\,4\}\).

4. \((2x+3)(x+5)=15 \Leftrightarrow 2x^2+13x+15=15 \Leftrightarrow x(2x+13)=0\) : \(S=\{-\dfrac{13}{2}\,;\,0\}\).

5. \((-3x+2)(x+1)=2 \Leftrightarrow -3x^2-x+2=2 \Leftrightarrow -x(3x+1)=0\) : \(S=\{-\dfrac{1}{3}\,;\,0\}\).

Exercice 38 :

Valeurs interdites : \(x=2\) et \(x=-1\). On réduit le premier membre au dénominateur commun \((x-2)(x+1)\) :

\(\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{3(x+1)-(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{2x+5}{(x-2)(x+1)}\).

L’équation équivaut donc, pour \(x\neq 2\) et \(x\neq -1\), à \(2x+5=x+4\), soit \(x=-1\).

Or \(-1\) est une valeur interdite.

Conclusion : l’équation n’a aucune solution, \(S=\varnothing\).

Exercice 39 (inéquations 2de corrigées)

Ce sont les mêmes équations qu’à l’exercice 37 :

1. \(x(7x-5)=0\) : \(S=\{0\,;\,\dfrac{5}{7}\}\).

2. \(x^2=15x \Leftrightarrow x(x-15)=0\) : \(S=\{0\,;\,15\}\).

3. \((x-4)(-5x+1)=0\) : \(S=\{\dfrac{1}{5}\,;\,4\}\).

4. \(2x^2+13x=0 \Leftrightarrow x(2x+13)=0\) : \(S=\{-\dfrac{13}{2}\,;\,0\}\).

5. \(-3x^2-x=0 \Leftrightarrow x(-3x-1)=0\) : \(S=\{-\dfrac{1}{3}\,;\,0\}\).

Exercice 40 :

1. \(x^2-3x=x(x-3)=0\) : \(S=\{0\,;\,3\}\).

2. \(-2x^2+8x=2x(-x+4)=0\) : \(S=\{0\,;\,4\}\).

3. \(3x^2-18x=3x(x-6)=0\) : \(S=\{0\,;\,6\}\).

4. \((2x-1)[(x+1)-(3x-5)]=0 \Leftrightarrow (2x-1)(-2x+6)=0\) : \(S=\{\dfrac{1}{2}\,;\,3\}\).

Exercice 41 (inéquations 2de corrigées)

Valeur interdite : \(x=-1\).

\(\dfrac{1}{x+1} \lt x+1 \Leftrightarrow \dfrac{1-(x+1)^2}{x+1} \lt 0 \Leftrightarrow \dfrac{(1-x-1)(1+x+1)}{x+1} \lt 0 \Leftrightarrow \dfrac{-x(x+2)}{x+1} \lt 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(-1\)		\(0\)		\(+\infty\)
\(-x\)		+		+		+	0	–
\(x+2\)		–	0	+		+		+
\(x+1\)		–		–	0	+		+
quotient		+	0	–	||	+	0	–

Conclusion : \(S=]-2\,;\,-1[\cup]0\,;\,+\infty[\) (0 est exclu car l’inégalité est stricte : pour \(x=0\), \(1 \lt 1\) est faux).

Exercice 42 :

1. On multiplie par 12 : \(6(x+1)+4(3x-1)=5x-2 \Leftrightarrow 18x+2=5x-2 \Leftrightarrow 13x=-4\).

\(S=\{-\dfrac{4}{13}\}\)

2. \((2x-1)^2+(x+2)(2x-1)=(2x-1)(2x-1+x+2)=(2x-1)(3x+1)=0\).

\(S=\{-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\}\)

3. Valeur interdite : 2. Par produit en croix : \(3(2x+1)=2(x-2) \Leftrightarrow 6x+3=2x-4 \Leftrightarrow 4x=-7\).

\(S=\{-\dfrac{7}{4}\}\)

4. Valeurs interdites : 5, \(-1\) et \(-5\). Pour ces \(x\) autorisés, \(\dfrac{x^2-1}{(x-5)(x+1)}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-5)(x+1)}=\dfrac{x-1}{x-5}\).

\(\dfrac{x-1}{x-5}=\dfrac{x-1}{x+5} \Leftrightarrow (x-1)(x+5)=(x-1)(x-5) \Leftrightarrow (x-1)(x+5-x+5)=0 \Leftrightarrow 10(x-1)=0\).

\(S=\{1\}\) (1 n’est pas une valeur interdite).

Exercice 43 (inéquations 2de corrigées)

1° a) Développement : \(A(x)=3(x^2-x-12)+2(3x^2-16x+16)=3x^2-3x-36+6x^2-32x+32\), soit \(A(x)=9x^2-35x-4\).

Factorisation par \((x-4)\) : \(A(x)=(x-4)[3(x+3)+2(3x-4)]\), soit \(A(x)=(x-4)(9x+1)\).

b) Développement : \(B(x)=4x^2-12x+9-(x^2+2x+1)\), soit \(B(x)=3x^2-14x+8\).

Factorisation : \(B(x)=(2x-3-x-1)(2x-3+x+1)\), soit \(B(x)=(x-4)(3x-2)\).

2° a) Avec la forme développée : \(A(x)=-4 \Leftrightarrow 9x^2-35x=0 \Leftrightarrow x(9x-35)=0\).

\(S=\{0\,;\,\dfrac{35}{9}\}\)

b) Avec la forme factorisée : \(B(x)=0 \Leftrightarrow (x-4)(3x-2)=0\).

\(S=\{\dfrac{2}{3}\,;\,4\}\)

c) Avec les formes factorisées : \(B(x)=A(x) \Leftrightarrow (x-4)(3x-2)-(x-4)(9x+1)=0 \Leftrightarrow (x-4)(-6x-3)=0\).

\(S=\{-\dfrac{1}{2}\,;\,4\}\)

Exercice 44 :

(E1) Chaque facteur s’annule pour la même valeur : \(0{,}1x-1=0 \Leftrightarrow x=10\), \(0{,}2x-2=0 \Leftrightarrow x=10\), \(0{,}3x-3=0 \Leftrightarrow x=10\), \(0{,}04x-0{,}4=0 \Leftrightarrow x=10\).

\(S_1=\{10\}\)

(E2) Valeur interdite : \(\dfrac{1}{5}\). \(2x+3=2(5x-1) \Leftrightarrow 2x+3=10x-2 \Leftrightarrow 8x=5\).

\(S_2=\{\dfrac{5}{8}\}\)

(E3) \(4x+1{,}6x=2+0{,}8 \Leftrightarrow 5{,}6x=2{,}8 \Leftrightarrow x=0{,}5\).

\(S_3=\{0{,}5\}\)

(E4) Valeur interdite : 0. Produit en croix : \(x^2=15\).

\(S_4=\{-\sqrt{15}\,;\,\sqrt{15}\}\)

(E5) \((x-2)^2=(\dfrac{5-2x}{4})^2 \Leftrightarrow x-2=\dfrac{5-2x}{4}\) ou \(x-2=-\dfrac{5-2x}{4}\).

Premier cas : \(4x-8=5-2x \Leftrightarrow x=\dfrac{13}{6}\). Second cas : \(4x-8=-5+2x \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\).

\(S_5=\{\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{13}{6}\}\)

(E6) Valeurs interdites : 0 et 2. Produit en croix : \(x(x-4)=(x+2)(x-2) \Leftrightarrow x^2-4x=x^2-4 \Leftrightarrow x=1\).

\(S_6=\{1\}\)

(E7) \(4x^2-9=(2x-3)(2x+3)=-(3-2x)(2x+3)\), donc \((3-2x)(x+1)+(3-2x)(2x+3)=0 \Leftrightarrow (3-2x)(3x+4)=0\).

\(S_7=\{-\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{3}{2}\}\)

(E8) Valeur interdite : \(\dfrac{1}{2}\). \(x^2=-(1-2x) \Leftrightarrow x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow (x-1)^2=0\).

\(S_8=\{1\}\)

(E9) \((x+2)^2=2(x-2)(x+2) \Leftrightarrow (x+2)[(x+2)-2(x-2)]=0 \Leftrightarrow (x+2)(6-x)=0\).

\(S_9=\{-2\,;\,6\}\)

(E10) Valeur interdite : \(\dfrac{3}{2}\). \(2(x^2+x+1)=2x-3 \Leftrightarrow 2x^2+5=0\), impossible car \(2x^2+5\geq\, 5\).

\(S_{10}=\varnothing\)

Exercice 45 (inéquations 2de corrigées)

a) On multiplie par 12 : \(3(1-x)-6(3x-2)=2(2x+5) \Leftrightarrow 3-3x-18x+12=4x+10 \Leftrightarrow -25x=-5\).

\(S=\{\dfrac{1}{5}\}\)

b) \(x^2+4x+4=4(x^2-2x+1) \Leftrightarrow x^2+4x+4-4x^2+8x-4=0 \Leftrightarrow -3x^2+12x=0 \Leftrightarrow 3x(-x+4)=0\).

\(S=\{0\,;\,4\}\)

c) Valeur interdite : \(\dfrac{1}{3}\). \(3x-1-\dfrac{4}{3x-1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{(3x-1)^2-4}{3x-1}=0 \Leftrightarrow \dfrac{(3x-3)(3x+1)}{3x-1}=0\).

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul (et son dénominateur non nul) : \(x=1\) ou \(x=-\dfrac{1}{3}\).

\(S=\{-\dfrac{1}{3}\,;\,1\}\)

Exercice 46 :

a) \(x^2-12=x^2-(2\sqrt{3})^2=\) \((x-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})\)

b) \(9y^2+12y+4=(3y)^2+2\times 3y\times 2+2^2=\) \((3y+2)^2\)

c) \(x^2-26x+169=x^2-2\times 13x+13^2=\) \((x-13)^2\)

d) \(144x^2+144x+36=36(4x^2+4x+1)=\) \(36(2x+1)^2\)

e) \((3x+1)^2-(2x)^2=(3x+1-2x)(3x+1+2x)=\) \((x+1)(5x+1)\)

f) \(9t^2-24t+16=(3t)^2-2\times 3t\times 4+4^2=\) \((3t-4)^2\)

g) \(121x^2-22x+1=(11x)^2-2\times 11x\times 1+1^2=\) \((11x-1)^2\)

h) \((x+1)^2-3^2=(x+1-3)(x+1+3)=\) \((x-2)(x+4)\)

Exercice 47 (inéquations 2de corrigées)

On lit les abscisses des points de la courbe ayant l’ordonnée demandée (en traçant la droite horizontale correspondante).

a) f(x) = 2 pour x = 0, x ≈ 3 et x ≈ 4.

b) f(x) = 0 pour x = 1, x = 2, x = 5 et x = 6 (la courbe touche ou traverse l’axe des abscisses en ces points).

c) La courbe ne descend jamais jusqu’à l’ordonnée −1 (son minimum est proche de −0,2) : l’équation f(x) = −1 n’a pas de solution.

d) f(x) = 1 pour x ≈ 0,5, x ≈ 2,5, x ≈ 4,4 et x = 7.

Exercice 48 :

a) Le dénominateur ne doit pas s’annuler : \(10-x\neq 0\), donc \(x\neq 10\). \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{10\}=]-\infty\,;\,10[\cup]10\,;\,+\infty[\).

b) La racine carrée n’est définie que pour un nombre positif ou nul : \(D_g=[0\,;\,+\infty[\).

c) Le dénominateur 2 n’est jamais nul : \(D_h=\mathbb{R}\).

d) Il faut \(x\neq 0\) : \(D_i=\mathbb{R}\setminus\{0\}=]-\infty\,;\,0[\cup]0\,;\,+\infty[\).

Exercice 49 (inéquations 2de corrigées)

1. La droite (en violet) représente la fonction affine g ; la courbe en deux morceaux (en rouge), l’hyperbole, représente la fonction inverse f.

2. Les deux courbes se coupent aux points de coordonnées (−1 ; −1) et (0,5 ; 2).

Graphiquement, \(S=\{-1\,;\,\dfrac{1}{2}\}\).

3. a) \((2x-1)(x+1)=2x^2+2x-x-1=2x^2+x-1\).

b) Pour \(x\neq 0\) : \(\dfrac{1}{x}=2x+1 \Leftrightarrow 1=2x^2+x \Leftrightarrow 2x^2+x-1=0 \Leftrightarrow (2x-1)(x+1)=0\).

\(S=\{-1\,;\,\dfrac{1}{2}\}\), ce qui confirme la lecture graphique.

Exercice 50 :

1) \((x+5)(x+1)=(3x-2)(x+1) \Leftrightarrow (x+1)(x+5-3x+2)=0 \Leftrightarrow x=-1\) ou \(x=\dfrac{7}{2}\).

L’équation de droite n’a que \(\dfrac{7}{2}\) pour solution : l’équivalence est fausse (on a « simplifié » par \(x+1\), qui peut être nul). Équivalence correcte : \((x+5)(x+1)=(3x-2)(x+1) \Leftrightarrow x+5=3x-2\) ou \(x+1=0\).

2) Pour tout réel \(x\), \(x^2+1\geq\, 1\), donc \(x^2+1\neq 0\) : on peut diviser les deux membres par \(x^2+1\).

L’équivalence est vraie (solution unique \(x=\dfrac{4}{3}\)).

3) \((2x-3)^2=(3x-1)^2 \Leftrightarrow (2x-3-3x+1)(2x-3+3x-1)=0 \Leftrightarrow (-x-2)(5x-4)=0\), d’où \(x=-2\) ou \(x=\dfrac{4}{5}\).

L’équivalence est fausse : deux nombres qui ont le même carré sont égaux ou opposés. Équivalence correcte : \((2x-3)^2=(3x-1)^2 \Leftrightarrow 2x-3=3x-1\) ou \(2x-3=-(3x-1)\).

Exercice 51 (inéquations 2de corrigées)

Dans chaque cas, on applique la règle du produit nul.

a) \(x+4=0\) ou \(x-7=0\) : \(S=\{-4\,;\,7\}\).

b) \(2x+3=0\) ou \(4x-5=0\) : \(S=\{-\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{5}{4}\}\).

c) \(-x=0\) ou \(5-4x=0\) : \(S=\{0\,;\,\dfrac{5}{4}\}\).

d) \(-15x+3=0\) ou \(3x+9=0\) : \(S=\{-3\,;\,\dfrac{1}{5}\}\).

e) Un carré est nul si et seulement si le nombre est nul : \(2x-4=0\), \(S=\{2\}\).

f) \(3x=0\) ou \(x-5=0\) : \(S=\{0\,;\,5\}\).

Exercice 52 :

a) \(5x^2-6x=x(5x-6)=0\) : \(S=\{0\,;\,\dfrac{6}{5}\}\).

b) \((x+4)[(2x+1)+(3-5x)]=0 \Leftrightarrow (x+4)(4-3x)=0\) : \(S=\{-4\,;\,\dfrac{4}{3}\}\).

c) \((x-7)[(3x-5)-(9x-4)]=0 \Leftrightarrow (x-7)(-6x-1)=0\) : \(S=\{-\dfrac{1}{6}\,;\,7\}\).

d) \(4x^2+8x+4=4(x^2+2x+1)=4(x+1)^2=0\) : \(S=\{-1\}\).

Exercice 53 :

Rappel : si \(a \gt 0\), \(x^2=a \Leftrightarrow x=\sqrt{a}\) ou \(x=-\sqrt{a}\) ; si \(a \lt 0\), l’équation \(x^2=a\) n’a pas de solution car un carré est toujours positif.

a) \(S=\{-9\,;\,9\}\)

b) \(-7 \lt 0\) : \(S=\varnothing\)

c) \(S=\{-\sqrt{15}\,;\,\sqrt{15}\}\)

d) \(x^2=16\) : \(S=\{-4\,;\,4\}\)

e) \(x^2=-10\) : \(S=\varnothing\)

f) \(4x^2=3 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{3}{4}\) : \(S=\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\}\)

Exercice 54 :

a) \(x^2+6x+9=(x+3)^2=0\) : \(S=\{-3\}\).

b) \(36x^2-12x+22=21 \Leftrightarrow 36x^2-12x+1=0 \Leftrightarrow (6x-1)^2=0\) : \(S=\{\dfrac{1}{6}\}\).

c) \(4x^2-8x=4x(x-2)=0\) : \(S=\{0\,;\,2\}\).

d) \((2x+1)^2=4 \Leftrightarrow 2x+1=2\) ou \(2x+1=-2\) : \(S=\{-\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\}\).

e) \((3x+4)^2-(5x-6)^2=0 \Leftrightarrow (3x+4-5x+6)(3x+4+5x-6)=0 \Leftrightarrow (-2x+10)(8x-2)=0\) : \(S=\{\dfrac{1}{4}\,;\,5\}\).

f) \((x-2)^2-10^2=(x-12)(x+8)=0\) : \(S=\{-8\,;\,12\}\).

Exercice 55 :

Rappel : \(\sqrt{x}\) n’existe que pour \(x\geq\, 0\) et c’est toujours un nombre positif ou nul ; si \(a\geq\, 0\), \(\sqrt{x}=a \Leftrightarrow x=a^2\).

a) \(x=12^2\) : \(S=\{144\}\).

b) Une racine carrée ne peut pas être négative : \(S=\varnothing\).

c) \(x=11{,}5^2\) : \(S=\{132{,}25\}\).

d) \(\sqrt{x}=7\), donc \(x=49\) : \(S=\{49\}\).

Exercice 56 :

a) Valeur interdite : \(-6\). \(2x-1=x+6 \Leftrightarrow x=7\) : \(S=\{7\}\).

b) Valeur interdite : \(-3\). \(4=9(2x+6) \Leftrightarrow 18x=4-54=-50 \Leftrightarrow x=-\dfrac{25}{9}\) : \(S=\{-\dfrac{25}{9}\}\).

c) Valeur interdite : 4. \(2x=-3(x-4) \Leftrightarrow 5x=12\) : \(S=\{\dfrac{12}{5}\}\).

d) Valeur interdite : 1. Produit en croix : \(2(x+1)=x-1 \Leftrightarrow x=-3\) : \(S=\{-3\}\).

Exercice 57 :

1. \(N(1)=(0{,}5\times 1+1)^2=1{,}5^2=2{,}25\) milliers.

Au bout d’un jour, il y a environ 2 250 bactéries.

2. 16 000 bactéries correspondent à \(N(t)=16\) : \((0{,}5t+1)^2=16 \Leftrightarrow 0{,}5t+1=4\) ou \(0{,}5t+1=-4\).

La seconde égalité donnerait \(t=-10\), impossible car \(t\in[0\,;\,10]\). La première donne \(0{,}5t=3\), soit \(t=6\).

Le nombre de bactéries atteint 16 000 au bout de 6 jours.

Exercice 58 :

1. La boîte fermée a 6 faces : le fond et le couvercle, carrés de côté x, et 4 faces latérales rectangulaires de dimensions x et 2.

\(S(x)=2x^2+4\times 2x=2x^2+8x\).

Et \(2(x+2)^2-8=2(x^2+4x+4)-8=2x^2+8x\). Donc \(S(x)=2(x+2)^2-8\).

2. \(S(x)=72 \Leftrightarrow 2(x+2)^2=80 \Leftrightarrow (x+2)^2=40 \Leftrightarrow x+2=\sqrt{40}\) ou \(x+2=-\sqrt{40}\).

Comme \(x \gt 0\), seule la première convient : \(x=\sqrt{40}-2=2\sqrt{10}-2\).

La surface extérieure vaut 72 pour \(x=2\sqrt{10}-2\approx 4{,}32\).

Exercice 59 :

Les points A, E, C sont alignés, ainsi que D, E, B, dans le même ordre : c’est une configuration « papillon » de Thalès. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AD) et (BC) sont parallèles si et seulement si :

\(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{ED}{EB}\), soit \(\dfrac{7}{5}=\dfrac{x+3}{x}\).

\(7x=5(x+3) \Leftrightarrow 2x=15 \Leftrightarrow x=7{,}5\).

Les droites (AD) et (BC) sont parallèles pour x = 7,5.

Remarque : pour les droites (AB) et (CD), il faudrait \(\dfrac{EA}{EC}=\dfrac{EB}{ED}\), soit \(7(x+3)=5x\), qui donne \(x=-10{,}5\) : impossible pour une longueur.

Exercice 60 :

1) Pour \(x=0\), \(y=1\) : \(A=3(0+1)-4\times 1+6\times 0=3-4=\) \(-1\).

Pour \(x=-2\), \(y=3\) : \(A=3(4+9)-4\times 1+6\times (-6)=39-4-36=\) \(-1\).

2) \((x+y)^2-2xy=x^2+2xy+y^2-2xy=x^2+y^2\).

Donc \(A=3[(x+y)^2-2xy]-4(x+y)+6xy=3(x+y)^2-6xy-4(x+y)+6xy\), soit \(A=3(x+y)^2-4(x+y)\).

Si \(x+y=1\) : \(A=3\times 1^2-4\times 1=\) \(-1\), quelles que soient les valeurs de \(x\) et \(y\).

Exercice 61 :

1) \(2x-5 \lt 3x-7 \Leftrightarrow -x \lt -2 \Leftrightarrow x \gt 2\) : \(S=]2\,;\,+\infty[\).

2) Valeurs interdites : \(\dfrac{1}{4}\) et \(-\dfrac{1}{4}\). Produit en croix : \((1+4x)^2=(1-4x)^2 \Leftrightarrow 1+8x+16x^2=1-8x+16x^2 \Leftrightarrow 16x=0\).

\(S=\{0\}\)

3) \(x^2+x+\dfrac{1}{4}=(x+\dfrac{1}{2})^2\) et \((2x+1)^2=4(x+\dfrac{1}{2})^2\).

L’inéquation s’écrit \((x+\dfrac{1}{2})^2 \lt 4(x+\dfrac{1}{2})^2 \Leftrightarrow 3(x+\dfrac{1}{2})^2 \gt 0\), vrai pour tout \(x\) sauf \(x=-\dfrac{1}{2}\).

\(S=]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}[\cup]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty[\)

Exercice 62 :

1) \((x-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}=x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=x^2-x\). L’égalité est vraie pour tout réel \(x\).

2) a) Comme \(y=1-x\) : \(xy=x-x^2=-(x^2-x)=\dfrac{1}{4}-(x-\dfrac{1}{2})^2\).

Un carré est positif ou nul, donc \(xy\leq\,\dfrac{1}{4}\), avec égalité seulement pour \(x=y=\dfrac{1}{2}\).

b) \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1-2xy\). Or \(xy\leq\,\dfrac{1}{4}\), donc \(-2xy\geq\, -\dfrac{1}{2}\) et \(x^2+y^2\geq\,\dfrac{1}{2}\).

Remarque : pour \(x=y=\dfrac{1}{2}\), on a exactement \(xy=\dfrac{1}{4}\) et \(x^2+y^2=\dfrac{1}{2}\) ; les inégalités sont strictes dans tous les autres cas.

Exercice 63 :

a) \(x^2\geq\, 0\), donc \(x^2+1\geq\, 1\) : strictement positif pour tout réel \(x\).

b) Pour \(x\geq\, 0\), \(\sqrt{x}\geq\, 0\), donc \(-\sqrt{x}\) est négatif ou nul (nul seulement pour \(x=0\)).

c) \((x-1)^2\geq\, 0\), donc \((x-1)^2+4\geq\, 4\) : strictement positif.

d) \(-x^2\leq\, 0\), donc \(-x^2-7\leq\, -7\) : strictement négatif.

e) \(-(-x-2)^2=-(x+2)^2\leq\, 0\) : négatif ou nul, nul seulement pour \(x=-2\).

f) Pour \(x\neq 0\), \(\dfrac{4}{x^2} \gt 0\), donc \(1+\dfrac{4}{x^2} \gt 1\) : strictement positif (non défini en 0).

g) \(x^2+1 \gt 0\), donc \(\sqrt{x^2+1}\geq\, 1\) et \(\sqrt{x^2+1}+3\geq\, 4\) : strictement positif.

Exercice 64 :

a)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(5\)		\(+\infty\)
\(A(x)\)		+	0	–	0	+

b)

\(x\)	\(-\infty\)		\(-3\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(A(x)\)		+	0	–	0	+

c) La double barre indique que A(x) n’existe pas en −1.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(A(x)\)		+	||	+	0	–

Exercice 65 :

a) Racines : \(\dfrac{1}{5}\) et 1.

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{5}\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(5x-1\)		–	0	+		+
\(1-x\)		+		+	0	–
produit		–	0	+	0	–

b) Racines : \(-\dfrac{3}{2}\) et \(-\dfrac{4}{3}\) (attention : \(-\dfrac{3}{2} \lt -\dfrac{4}{3}\)).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{3}{2}\)		\(-\dfrac{4}{3}\)		\(+\infty\)
\(2x+3\)		–	0	+		+
\(3x+4\)		–		–	0	+
produit		+	0	–	0	+

c) Racines : 0 et 2.

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(3x\)		–	0	+		+
\(x-2\)		–		–	0	+
produit		+	0	–	0	+

d) Racines : \(-5\), \(-\dfrac{1}{2}\) et 7.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-5\)		\(-\dfrac{1}{2}\)		\(7\)		\(+\infty\)
\(2x+1\)		–		–	0	+		+
\(-5-x\)		+	0	–		–		–
\(x-7\)		–		–		–	0	+
produit		+	0	–	0	+	0	–

e) Le numérateur s’annule en 4, le dénominateur en \(-2\) (valeur interdite).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(4-x\)		+		+	0	–
\(2+x\)		–	0	+		+
quotient		–	||	+	0	–

f) Valeurs interdites : 0 et 1 ; le numérateur −5 est toujours négatif.

\(x\)	\(-\infty\)		\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(-5\)		–		–		–
\(x\)		–	0	+		+
\(x-1\)		–		–	0	+
quotient		–	||	+	||	–

Exercice 66 :

a) \((2x-1)(2+x)-(2x-1)^2=(2x-1)[(2+x)-(2x-1)]=(2x-1)(3-x)\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{2}\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(2x-1\)		–	0	+		+
\(3-x\)		+		+	0	–
expression		–	0	+	0	–

b) \(x^2-(2x+1)^2=(x-2x-1)(x+2x+1)=(-x-1)(3x+1)\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(-\dfrac{1}{3}\)		\(+\infty\)
\(-x-1\)		+	0	–		–
\(3x+1\)		–		–	0	+
expression		–	0	+	0	–

c) Valeur interdite : \(-4\). \(\dfrac{x}{x+4}-2=\dfrac{x-2(x+4)}{x+4}=\dfrac{-x-8}{x+4}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-8\)		\(-4\)		\(+\infty\)
\(-x-8\)		+	0	–		–
\(x+4\)		–		–	0	+
expression		–	0	+	||	–

Exercice 67 :

1/ Déterminer une expression f(x) dont le tableau de signes est :

x	– \(\infty\)		–2		3		+ \(\infty\)
signe de f(x)		+	0	–	0	+

f(x) s’annule en \(-2\) et en 3, est positive à l’extérieur des racines et négative entre elles : c’est le signe d’un produit \((x+2)(x-3)\).

Par exemple \(f(x)=(x+2)(x-3)\).

2/ Déterminer une expression g(x) dont le tableau de signes est :

x	–\(\infty\)		1		4		+\(\infty\)
signe de g(x)		–	║	+	0	–

La double barre en 1 indique une valeur interdite (un dénominateur \(x-1\)) et g(x) s’annule en 4 (un numérateur \(4-x\)). Vérifions le signe de \(\dfrac{4-x}{x-1}\) : pour \(x \lt 1\), \(\dfrac{+}{-}\) donne \(-\) ; entre 1 et 4, \(\dfrac{+}{+}\) donne \(+\) ; pour \(x \gt 4\), \(\dfrac{-}{+}\) donne \(-\).

Par exemple \(g(x)=\dfrac{4-x}{x-1}\).

Exercice 68 :

a) 4,5 est supérieur à 3 : dans cette zone, B(x) est négatif. VRAI.

b) La double barre en 1 signifie que B(1) n’existe pas. FAUX.

c) B(x) s’annule seulement en −2 et en 3. VRAI.

d) 0 appartient à ]−2 ; 1[, où B(x) est positif. VRAI.

e) Pour x = −1 (négatif), B(−1) > 0. FAUX : B(x) < 0 seulement pour x < −2.

f) B(x) est négatif ou nul pour \(x\leq\, -2\) et pour \(x\geq\, 3\). VRAI.

g) B(x) > 0 pour \(x\in]-2\,;\,1[\cup]1\,;\,3[\) : les bornes −2 et 3 (où B s’annule) et la valeur interdite 1 sont exclues. FAUX.

Exercice 69 :

a) Racines : \(\dfrac{5}{2}\) et \(-3\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-3\)		\(\dfrac{5}{2}\)		\(+\infty\)
\(2x-5\)		–		–	0	+
\(-x-3\)		+	0	–		–
produit		–	0	+	0	–

\(S=[-3\,;\,\dfrac{5}{2}]\)

b) \((x-4)[(2x+3)+(x-7)]=(x-4)(3x-4)\leq\, 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{4}{3}\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(3x-4\)		–	0	+		+
\(x-4\)		–		–	0	+
produit		+	0	–	0	+

\(S=[\dfrac{4}{3}\,;\,4]\)

c) \((2x-5)(-x-3)=-2x^2-6x+5x+15=-2x^2-x+15\). L’inéquation devient \(-2x^2-x+30\leq\, 0\), soit \(2x^2+x-30\geq\, 0\).

Forme canonique : \(2x^2+x-30=2[(x+\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{1}{16}-15]=2[(x+\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{241}{16}]=2(x-x_1)(x-x_2)\)

avec \(x_1=\dfrac{-1-\sqrt{241}}{4}\approx -4{,}13\) et \(x_2=\dfrac{-1+\sqrt{241}}{4}\approx 3{,}63\).

Le produit \((x-x_1)(x-x_2)\) est positif à l’extérieur des racines : \(S=]-\infty\,;\,\dfrac{-1-\sqrt{241}}{4}]\cup[\dfrac{-1+\sqrt{241}}{4}\,;\,+\infty[\).

d) \((x+1)^2-(2x-3)^2 \gt 0 \Leftrightarrow (x+1-2x+3)(x+1+2x-3) \gt 0 \Leftrightarrow (4-x)(3x-2) \gt 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{2}{3}\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(3x-2\)		–	0	+		+
\(4-x\)		+		+	0	–
produit		–	0	+	0	–

\(S=]\dfrac{2}{3}\,;\,4[\)

e) Valeur interdite : 2 ; le numérateur s’annule en \(\dfrac{1}{3}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(\dfrac{1}{3}\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(3x-1\)		–	0	+		+
\(2-x\)		+		+	0	–
quotient		–	0	+	||	–

\(S=]-\infty\,;\,\dfrac{1}{3}]\cup]2\,;\,+\infty[\)

f) Valeur interdite : \(-\dfrac{2}{3}\). On ne multiplie pas par \(3x+2\), dont le signe est inconnu : \(\dfrac{4x-7}{3x+2}-4 \lt 0 \Leftrightarrow \dfrac{4x-7-12x-8}{3x+2} \lt 0 \Leftrightarrow \dfrac{-8x-15}{3x+2} \lt 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{15}{8}\)		\(-\dfrac{2}{3}\)		\(+\infty\)
\(-8x-15\)		+	0	–		–
\(3x+2\)		–		–	0	+
quotient		–	0	+	||	–

\(S=]-\infty\,;\,-\dfrac{15}{8}[\cup]-\dfrac{2}{3}\,;\,+\infty[\)

g) On factorise par \((-x+1)(6x-5)\) : \((-x+1)(6x-5)(2x-2)=-2(x-1)^2(6x-5)\).

L’inéquation devient \(-2(x-1)^2(6x-5) \gt 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(6x-5) \lt 0\). Le carré est positif, nul en 1 : il faut \(6x-5 \lt 0\) et \(x\neq 1\), donc \(x \lt \dfrac{5}{6}\).

\(S=]-\infty\,;\,\dfrac{5}{6}[\)

Exercice 70 :

1/ a) La courbe de f est une parabole, celle de g une droite :

b) La parabole est au-dessus de la droite (ou la touche) à gauche de 1 et à droite de 3 : \(S=]-\infty\,;\,1]\cup[3\,;\,+\infty[\).

2/ a) \((x-1)(x-3)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3\).

b) \(f(x)\geq\, g(x) \Leftrightarrow x^2-4x+3\geq\, 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)\geq\, 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(3\)		\(+\infty\)
\(x-1\)		–	0	+		+
\(x-3\)		–		–	0	+
produit		+	0	–	0	+

\(S=]-\infty\,;\,1]\cup[3\,;\,+\infty[\), ce qui confirme la lecture graphique.

Exercice 71 :

C’est la même courbe qu’à l’exercice 47.

a) f(x) = 2 pour x = 0, x ≈ 3 et x ≈ 4.

b) f(x) = 0 pour x = 1, x = 2, x = 5 et x = 6.

c) La courbe ne descend pas jusqu’à −1 : pas de solution.

d) f(x) = 1 pour x ≈ 0,5, x ≈ 2,5, x ≈ 4,4 et x = 7.

Exercice 72 :

On trace la droite horizontale d’ordonnée demandée et on lit les abscisses des points d’intersection (valeurs approchées).

a) g(x) = 2 pour x ≈ −2,4 ; x ≈ 1,2 et x ≈ 3,6.

b) Le minimum de g sur [−5 ; 5] vaut −2 : l’équation g(x) = −3 n’a pas de solution.

c) g(x) = 4 pour x ≈ −4,4 ; x ≈ 1,7 et x ≈ 2,5.

d) g(x) = −1 pour x ≈ −0,7 ; x ≈ 0,5 et x ≈ 4,7.

Exercice 73 :

a) k(x) = 1 pour x = −2 et x = 0.

b) k(x) = 0 pour x = −1 et x = 1.

c) La courbe est strictement au-dessus de la droite y = −1 de x = −3 jusqu’à x = 2 (où k(2) = −1) ; ensuite elle est en dessous, et k(4) = −1. S = [−3 ; 2[.

d) La courbe est strictement sous l’axe des abscisses après x = 1 : S = ]1 ; 4]. (En x = −1, la courbe touche l’axe sans passer dessous.)

e) Le minimum de k vaut −2 : S = [−3 ; 4], tout l’intervalle de définition.

f) Seul le point de départ a une ordonnée égale à 2 : S = {−3}.

Exercice 74 :

On compare la courbe de h à une droite horizontale (valeurs lues sur le graphique, donc approchées).

a) h(x) ≥ 0 : la courbe est sur ou au-dessus de l’axe des abscisses entre ses deux points d’intersection avec cet axe. S ≈ [−1,5 ; 4,7].

b) Le minimum de h vaut −3 (en x = −5) : h(x) < −4 n’a pas de solution, S = ∅.

c) h(x) < −2 : la courbe est sous la droite y = −2 du début jusqu’au point d’abscisse −3, où h(−3) = −2. S = [−5 ; −3[.

d) h(x) > 2 : la courbe passe au-dessus de la droite y = 2 juste après x = 0 (h(0) = 2), redescend sous cette droite vers x ≈ 2,6 (creux en (3 ; 1)), la dépasse de nouveau vers x ≈ 3,5 et repasse dessous vers x ≈ 4,4. S ≈ ]0 ; 2,6[ ∪ ]3,5 ; 4,4[.

Exercice 75 :

La droite représente g : elle passe par (0 ; −2) et (2 ; 0), donc g(x) = x − 2.

a) Les deux courbes se coupent aux points (−1 ; −3) et (2 ; 0). S = {−1 ; 2}.

b) La courbe de g est sous celle de f (ou la coupe) au début de l’intervalle et à la fin : S = [−2 ; −1] ∪ [2 ; 3].

c) La courbe de f est strictement sous la droite y = −3 entre les points (−1 ; −3) et (1 ; −3) : S = ]−1 ; 1[.

d) g est croissante et g(3) = 1, donc g(x) ≤ 1 < 2 pour tout x : S = [−2 ; 3].

e) f(−2) = −2, puis la courbe passe sous −2 et ne remonte au niveau −2 que vers x ≈ 1,4. S ≈ {−2} ∪ [1,4 ; 3].

Exercice 76 :

Lectures graphiques (valeurs approchées au dixième environ) :

a) La droite y = 8 coupe la parabole en deux points : f(x) = 8 pour x ≈ −1,5 et x ≈ 0,5.

b) La parabole est sous l’axe des abscisses aux deux extrémités : S ≈ [−4 ; −3,5[ ∪ ]2,5 ; 3]. (La parabole est symétrique par rapport à la droite x = −0,5 : ses deux points d’intersection avec l’axe des abscisses sont à égale distance de −0,5.)

c) La parabole et la droite se coupent en deux points : f(x) = g(x) pour x ≈ −3,1 et x ≈ 1,6.

d) La parabole est sous la droite (ou la coupe) à l’extérieur de ces deux points : S ≈ [−4 ; −3,1] ∪ [1,6 ; 3].

Exercice 77 :

Rappel : la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; celle d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

a) La parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : fonction paire.

b) La courbe passe par l’origine et ses deux moitiés sont symétriques par rapport à O (creux en (−1,5 ; −1), bosse en (1,5 ; 1)) : fonction impaire.

c) La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : fonction paire.

d) Le maximum est atteint en x = 1 mais pas en x = −1, et la courbe ne passe pas par l’origine (elle coupe l’axe des ordonnées en 1) : ni paire ni impaire.

Exercice 78 :

1. Au point d’abscisse 2, la courbe a une ordonnée d’environ 0,9 mg/L. Réponse d).

2. « Au plus égale à 1 » signifie « inférieure ou égale à 1 ». Réponse d) : C(t) ≤ 1.

3. La droite y = 0,5 coupe la courbe vers t ≈ 0,67 h, c’est-à-dire 40 min, puis vers t ≈ 2,3 h, soit environ 2 h 20 min. Réponses a), b) et c) (a et c désignent la même durée : 0,667 h = 40 min).

4. La courbe est au-dessus de la droite y = 0,75 entre t ≈ 0,8 h et t ≈ 2,15 h. Réponse d) : entre 0,75 h et 2,2 h environ.

5. Le point le plus haut de la courbe a pour abscisse 1. Réponse a) : au bout d’environ 1 h.

6. Son ordonnée est environ 1,2. Réponse b) : environ 1,2 mg/L.

Exercice 79 :

On traduit chaque propriété sur le graphique :

– la courbe commence au point (0 ; 1) et s’arrête à l’abscisse 8 ;

– elle coupe la droite y = 3 exactement deux fois, aux points (1 ; 3) et (3 ; 3) : elle monte au-dessus de 3 entre 1 et 3, puis reste sous 3 ensuite ;

– f(x) ≤ 0 exactement sur [5 ; 7] : la courbe touche l’axe des abscisses en 5 et en 7, reste sous l’axe entre ces deux valeurs et strictement au-dessus partout ailleurs.

Voici une courbe possible (il en existe une infinité) :

Exercice 80 :

1. Un point d’intersection a une abscisse vérifiant \(2x^2+2x+6=2x^2-3x+7\), soit \(5x=1\) et \(x=\dfrac{1}{5}\).

Alors \(y=2\times \dfrac{1}{25}+\dfrac{2}{5}+6=\dfrac{2}{25}+\dfrac{10}{25}+\dfrac{150}{25}=\dfrac{162}{25}\).

Un seul point d’intersection : \((\dfrac{1}{5}\,;\,\dfrac{162}{25})\), soit \((0{,}2\,;\,6{,}48)\).

2. Pour \(x\neq 0\) : \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{2+3x}{x} \Leftrightarrow 1=2+3x \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}\), et \(y=\dfrac{1}{-\frac{1}{3}}=-3\).

Un seul point d’intersection : \((-\dfrac{1}{3}\,;\,-3)\).

Exercice 81 :

1. La parabole (en orange) représente la fonction carré f ; la droite (en vert), qui coupe l’axe des ordonnées en 6, représente g.

2. Les courbes se coupent aux points (−2 ; 4) et (3 ; 9). Graphiquement, S = {−2 ; 3}.

3. a) \((x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6\).

b) \(x^2=x+6 \Leftrightarrow x^2-x-6=0 \Leftrightarrow (x-3)(x+2)=0 \Leftrightarrow x=3\) ou \(x=-2\).

\(S=\{-2\,;\,3\}\) : on retrouve la lecture graphique.

Exercice 82 :

1. L’hyperbole en deux morceaux (en rouge) représente la fonction inverse f ; la droite (en violet), qui passe par (0 ; 1), représente g.

2. Les courbes se coupent aux points (−1 ; −1) et (0,5 ; 2). Graphiquement, S = {−1 ; 0,5}.

3. a) \((2x-1)(x+1)=2x^2+2x-x-1=2x^2+x-1\).

b) Pour \(x\neq 0\), on multiplie par \(x\) : \(\dfrac{1}{x}=2x+1 \Leftrightarrow 1=2x^2+x \Leftrightarrow 2x^2+x-1=0 \Leftrightarrow (2x-1)(x+1)=0\).

\(S=\{-1\,;\,\dfrac{1}{2}\}\), ce qui confirme la lecture graphique.

Exercice 83 :

1. La droite y = 1 coupe la courbe en deux points : f(x) = 1 pour x ≈ −0,8 et x ≈ 4,8.

2. a) D’après le tableau, \(f(4{,}8)=0{,}92 \lt 1\) et \(f(4{,}9)=1{,}205 \gt 1\) ; la fonction étant croissante sur cet intervalle, une solution \(\alpha\) vérifie \(4{,}8 \lt \alpha \lt 4{,}9\).

b) L’encadrement a une amplitude de 4,9 − 4,8 = 0,1 : la solution est connue à 0,1 près (au dixième).

3. À la calculatrice : \(f(-0{,}9)=1{,}205 \gt 1\) et \(f(-0{,}8)=0{,}92 \lt 1\), donc \(-0{,}9 \lt \beta \lt -0{,}8\) au dixième.

Puis \(f(-0{,}83)=1{,}00445 \gt 1\) et \(f(-0{,}82)=0{,}9762 \lt 1\), donc \(-0{,}83 \lt \beta \lt -0{,}82\) au centième.

Remarque : la résolution exacte donne \(0{,}5x^2-2x-2=0 \Leftrightarrow (x-2)^2=8\), d’où \(\beta=2-2\sqrt{2}\approx -0{,}828\) et \(\alpha=2+2\sqrt{2}\approx 4{,}828\).

Inéquations 2de corrigées : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. En outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Équation de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec valeur absolue et intervalle : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.