Exercice 1 :
On pose 
.
1. Trouver une racine évidente de , c’est à dire une valeur telle que .
Une racine évidente est x=2 car f(2)=0.
2. En déduire une factorisation de .
or si nous regardons le terme constant, il vaut et qui est égal à -24
Conclusion :
3. Résoudre l’inéquation .
cela revient à résoudre
Effectuez un tableau de signe,
Conclusion :
Exercice 2 :
a.
4x+3<7x
4x+3-3<7x-3
4x<7x-3
4x-7x<7x-3-7x
-3x<-3
x>1
b. 4(x+3)>7x
4x+12>7x
4x>7x-12
4x-7x>-12
-3x>-12
x<4
c.
d.
e.
4(x+3)>7(x+8)
4x+12>7x+56
-3x>44
f.
g.
h.
.
i.
-4(-x+3)>7(x-8)
4x-12>7x-56
-3x>-44
j.
(2x-3)² < 4x²+2x-4
4x²-12x+9 < 4x²+2x-4
-14x < -13
k.
l.
Exercice 3 :
Résoudre l’équation suivante :
C’est une équation produit.
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
Conclusion : .
Exercice 4 :
1. Résoudre dans l’intervalle
, l’équation .A l’aide du cercle trigonométrique(cercle unité), on a cos x = -1/2 si x = ou x = 2., l’équation .[ et d’ajouter 4 quand x = /3 + 4 = 13/3 ou quand x = 2/3 + 4 = 14/3..x4x-1 – 0 +
5-2x + 0 –
Ensuite nous pouvons conclure que l’ensemble solution est S = { ]-infini;-2/3]U[1/4;5/2[ }.
Exercice 6 :
Résoudre l’équation suivante :
On applique la règle du produit en croix :
C’est une équation-produit :
.
Exercice 7 :
Donner la forme factorisée de cette forme canonique :
Exercice 8 :
Résoudre l’équation suivante :
Exercice 9 :
1. Résoudre graphiquement l’équation .
Cela revient à trouver l’abscisse du point d’intersection de ces deux courbes donc 2. Résoudre graphiquement l’inéquation .
Cela revient à trouver toutes les abscisses des points
de la courbe de la fonction f qui sont au-dessus
des points de la courbe de la fonction g .
Exercice 10 :
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul .
1. (x+4)² = (x+4) (3x+1)
2. (2x+1)² = (x+5)²
3. (x-2)²-2 = 2
.
Exercice 11 :
Trouver la longueur x.
Dans les triangles AEF et ACB ,
d’après la partie directe du théorème de Thalès :
Exercice 12 :
Résoudre l’inéquation suivante :
Premier cas : alors .
et
Second cas :
Conclusion : .
Exercice 13 :
Comparer les fonctions et définies par :
et
et
Conclusion : les fonctions f et g sont les mêmes.
Exercice 14 :
Soit le polynôme .
1. Développer P(x) .
2. Factoriser P(x) .
Il fallait reconnaître l’identité remarquable
Exercice 15 :
Résoudre les équations suivantes dans .
1. .
2. .
On utilise l’identité remarquable (a+b)(a-b)=a²-b².
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
Conclusion : .
Exercice 16 :
Pour chacun des polynômes P(x) suivants, réaliser le travail suivant :
1. Développer P(x).
2. Factoriser P(x).
3. Résoudre P(x) = 0.
4. Donner le tableau de signes de P(x).
5. Vérifier les résultats obtenus à l’aide de la calculatrice (courbes).
1. .
2.Sous forme factorisée :
3.
Exercice 17 :
Quel est le nombre de solutions dans de l’équation suivante :
Justifier votre réponse .
C’est une équation produit, il y a 50×2=100 facteurs.
Conclusion : cette équation a 100 solutions distinctes.
Exercice 18 :
Résoudre les équations suivantes sur :
1. .
2.
C’est une équation produit.
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
Conclusion :
3.
le carré d’un nombre est nul si et seulement le nombre est nul.
Exercice 19 :
.
Exercice 20 :
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. et sont solutions de l’équation .
Conclusion : c’est VRAI .
2. L’équation équivaut à l’équation .
Conclusion : c’est FAUX
3. Pour tout , .
C’est faux, prenez x = 2
Exercice 21 :
Résoudre les équations suivantes :
Exercice 22:
Résoudre l’inéquation suivante :
sur , le numérateur s’annule pour les valeur x = 2/3 et x = -4/5
Dressons un tableau de variations
x -infini -4/5 -1/3 2/3 +infini
3x-2 – 0 +
-4-5x + 0 – – –
3x+1 – 0 + + +
D’après la règle des signes nous pouvons conclure que [-4/5;-1/3[U[2/3,+infini[ est notre ensemble solution de l’inéquation.
Exercice 23 :
Résoudre l’inéquation .
Conclusion :
Exercice 24 :
1. Trouver deux entiers consécutifs dont le produit augmenté de 7 est égal au carré de l’entier suivant.
Notons : le premier entier.
Conclusion : les deux entiers recherchés sont 1 et 2.
2. Trouver les nombres dont le carré est égal au triple.
Soit x ce nombre
C’est une équation produit, on applique la propriété :
3. Trouver les nombres dont le triple du carré est égal au double du nombre.
Soit x ce nombre.
C’est une équation produit, on applique la propriété :
Exercice 25 :
1. Factoriser le polynôme .
2. Résoudre l’équation .
en utilisant le 1.
C’est une équation produit.
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins est nul.
Conclusion :
Exercice 26 :
Soit le polynôme .
1. Montrer que .
et
Conclusion :
2. Donner le tableau de signes de .
P est négatif sur .
3. Résoudre l’inéquation .
Exercice 27 :
Résoudre les équations suivantes :
1. .
Le carré d’un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul.
2. .
C’est une équation produit, on applique la propriété :
Exercice 28 :
1. Représenter dans un même repère orthonormal :
– la fonction définie sur par .
– la fonction définie sur par .
2. Utiliser ces représentations graphiques pour résoudre graphiquement :
a. l’équation .
b. l’inéquation .
3. Retrouver les résultats précédents par le calcul.
C’est une équation produit.
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul.
Exercice 30 :
En utilisant le tableau de signe, résoudre :
Conclusion : .
Exercice 32 :
Un rectangle est appelé rectangle d’or lorsque :
.
On considère un rectangle d’or de côtés 1 et x, avec . 1. Montrer que x vérifie l’équation : .
La largeur mesure 1
La longueur mesure x .
Le demi-périmètre vaut x+ 1
Puisque ce rectangle est un rectangle d’or , nous avons :
2. Dresser le tableau de valeur, puis la courbe représentative de cette fonction.
3. Résoudre graphiquement l’équation de la question 1 (au dixième près ) .
Nous trouvons et .
4.Vérifier que le réel est solution de cette équation et en déduire les dimensions du rectangle d’or.
Conclusion :
est bien solution de cette équation et ce rectangle d’or a pour largeur 1 et pour longueur .
Remarque : Le nombre est appelé nombre d’or.
Exercice 33 :
Conclusion : A est positive sur .
Exercice 34 :
f est la fonction définie sur R par f(x)=(3x+2)(4-x). C est la courbe représentative de f dans un repère. a)Calculer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe des abscisses.
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins est nul .
b)Représenter graphiquement la fonction f à l’écran d’une calculatrice.
Conjecturer le signe de f(x) selon les valeurs de x.
f est positive sur et négative sur le reste .
Exercice 35 :
Soit .
1) Développer et réduire A .
2) Calculer A pour puis pour .
3) Factoriser A.
4) Résoudre l’équation A=0.
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul .
Exercice 36 :
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=9cm et AC=12cm. Où placer le point M sur l’hypoténuse du triangle de façon que la somme des distances de M aux deux autres côtés du triangle soit égale à 10cm?
Nous avons
Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :
Appliquons le théorème de Thalès dans BEM et BAC .
Appliquons le théorème de Thalès dans CDM et CAB .
Conclusion : L e point M doit être situé au milieu du segment [BC] .
Exercice 37 :
Résoudre les équations :
Propriété : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs, au moins, est nul .
1. 7x 2 – 5x = 0
2. x 2 = 5x
3. (-3x+1)(x-4) = 2x(x-4)
4. (2x+3)(x+5) = 15
5. (-3x+2)(x+1) = 2
Exercice 38 :
Résoudre l’équation suivante :
Exercice 39 :
Résoudre les équations suivantes :
1. 7x2 – 5x = 0
2.
3. (-3x+1)(x-4) = 2x(x-4)
4. (2x+3)(x+5) = 15
5. (-3x+2)(x+1) = 2
Exercice 40 :
Résoudre les équations après avoir effectué une factorisation :
1. x2 – 3x = 0
2. -2x2 + 8x = 0
3. 3x2 = 18x
4. (2x-1)(x+1) – (2x-1)(3x-5) = 0.
.
Exercice 41 :
Résoudre l’inéquation suivante :
Faites un tableau de signes et montrer que :
Exercice 42 :
1. En utilisant le même dénominateur pour additionner les fractions, on obtient :
En simplifiant, on trouve :
En isolant x, on obtient :
2.
En développant, on obtient l’équation :
En simplifiant, on trouve :
On divise par 2 pour simplifier l’équation :
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :
On trouve deux solutions : et
3. En multipliant les deux membres de l’équation par (x – 2), on obtient : .
On développe et on simplifie pour obtenir :.
En isolant x, on obtient :
4. On peut multiplier les deux membres de l’équation par pour simplifier :
.
On peut maintenant multiplier les deux membres de l’équation par x + 5 pour se débarrasser des dénominateurs :
.
En développant les deux membres, on obtient une équation polynomiale qu’on peut simplifier en regroupant les termes : .
On peut diviser par 6 pour simplifier : .
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :
ou x = -1
ou x = -1.
On trouve trois solutions : , et x = -1
Exercice 43 :
1. a) En développant A(x), on obtient : .
En simplifiant, on trouve : .
Pour factoriser, on cherche deux nombres qui multipliés donnent -132 et qui additionnés donnent -35. On trouve que ces nombres sont -44 et +9.
On peut donc factoriser A(x) en :
b) En développant B(x), on obtient : .
Pour factoriser, on peut commencer par diviser tous les termes par 2 pour simplifier :
.
On cherche deux nombres qui multipliés donnent -2 et qui additionnés donnent -5.
On trouve que ces nombres sont -1 et +2.
On peut donc factoriser B(x) en :
2. a) Pour résoudre A(x) = -4, on peut d’abord factoriser A(x) : .
On sait que le produit de deux nombres est égal à -4 si et seulement si l’un de ces nombres est positif et l’autre est négatif.
On peut donc résoudre l’équation en séparant les cas : et x – 4 < 0, ou et x – 4 > 0 On trouve les deux intervalles de solutions :
b) Pour résoudre B(x) = 0, on peut utiliser la factorisation de B(x) :.
On utilise la propriété que le produit de deux facteurs est nul si et seulement si au moins l’un des facteurs est nul.
On obtient donc deux solutions : x = 1 ou x = 2.
c) Pour résoudre B(x) = A(x), on peut d’abord mettre les deux expressions au même dénominateur :
.
On développe et on simplifie pour obtenir une équation polynomiale de degré 2 :
.
On peut diviser par 11 pour simplifier :
.
On peut résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :
.
On trouve deux solutions :
et .
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