Vecteurs et translation : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 1 (vecteurs en 2de)

Les points P, Q et R sont-ils alignés ?

Oui ils sont alignés, montrez que les vecteurs \(\vec{RP}\) et \(\vec{RQ}\) sont colinéaires.

Exercice 2 :

ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AB].

E est le point tel que \(\vec{DE}=\frac{2}{3}\vec{DI}\)

1. Effectuer la figure suivante.

2. Déterminer les coordonnées des points de la figure
dans le repère \((A;\vec{AB};\vec{AD})\) .

3. Les points A, E et C sont-ils alignés ?

Oui ils sont alignés, montrez que les vecteurs \(\vec{AE}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.

Exercice 3 (vecteurs en 2de)

A et B sont deux points distincts du plan .

On définit le point M par la relation vectorielle suivante :

\(3\vec{MA}+\vec{MB}=\vec{0}\) .

1. Exprimer \(\vec{AM}\) en fonction de \(\vec{AB}\) .

Utilisons la relation de Chasles :

\(3\vec{MA}+\vec{MA}+\vec{AB}=\vec{0}\)

\(4\vec{MA}+\vec{AB}=\vec{0}\)

\(4\vec{AM}=\vec{AB}\)

\({\color{DarkRed} \vec{AM}=\frac{1}{4}\vec{AB}}\)

2. Placer le point M .

Le coefficient \(\dfrac{1}{4}\) est positif et inférieur à 1 : M est le point du segment [AB] tel que \(AM=\dfrac{1}{4}AB\), c’est-à-dire au quart de [AB] en partant de A.

Exercice 4 :

ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels que :

\(\vec{AM}=\frac{3}{2}\vec{AB}\,;\,\vec{BN}=\frac{3}{2}\vec{BC}\,;\,\vec{CP}=\frac{3}{2}\vec{CD}\,;\,\vec{DQ}=\frac{3}{2}\vec{DA}\)

1.

a. Démontrer que \(\vec{MB}=\vec{DP}\) .

Nous avons :

\(\vec{AM}=\frac{3}{2}\vec{AB}\)

\(\vec{AB}+\vec{BM}=\frac{3}{2}\vec{AB}\)

\(\vec{BM}=\frac{3}{2}\vec{AB}-\vec{AB}\)

\(\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{AB}\)

de même :

\(\vec{CP}=\frac{3}{2}\vec{CD}\)

\(\vec{CD}+\vec{DP}=\frac{3}{2}\vec{CD}\)

\(\vec{DP}=\frac{3}{2}\vec{CD}-\vec{CD}\)

\(\vec{DP}=\frac{1}{2}\vec{CD}\)

Or ABCD est un parallélogramme donc \(\vec{AB}=\vec{DC}\)

donc \(\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{DC}\)

\(\vec{BM}=\frac{1}{2}\vec{DC}=\vec{PD}\)

ainsi :

\(\vec{MB}=\vec{DP}\)

On en déduit que le quadrilatère MBPD est un parallélogramme.

b. Déduisez-en que O est le milieu de [MP] .

Propriété : les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Les diagonales [MP] et [BD] du parallélogramme MBPD ont donc le même milieu ; or le milieu de [BD] est le centre O de ABCD.

Conclusion :

Le point O est le milieu de [MP].

Exercice 5 (vecteurs en 2de)

ABCD est un parallélogramme de centre O.
Donner l’ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

\(\vec{DC}=\vec{AB}\)

\(\vec{AD}=\vec{BC}\)

il y en a d’autres sur l’identité du parallélogramme
que vous aurez l’occasion de rencontrer dans d’autres exercices du site.

Exercice 6 :

(O,I,J) est un repère orthonormal avec OI=OJ=1 cm.
a. Placer les points.

b. Nous avons :
\(\vec{OA}=-4\vec{OI}+6\vec{OJ}=-2\vec{OC}+2\vec{OD}\)
car \(\vec{OC}=2\vec{OI}\,,\,\vec{OD}=3\vec{OJ}\)
Les coordonnées de A(-2;2) dans (O,C,D)
de même, montrer que les coordonnées sont B(-1;-1) dans (O,C,D).
Dans le repère (O,D,C), il suffit d’inverser abscisse et ordonnée.

c. \(\vec{EO}=-2\vec{OI}-3\vec{OJ}=-\vec{OC}-\vec{OD}\), donc le point O a pour coordonnées O(-1;-1) dans le repère (E,C,D).

Exercice 7 (vecteurs en 2de)

La figure ci-dessous représente des hexagones réguliers de centres a, b, c, d.

1. Déterminer les images de chacun des points C,E,A,M par la translation de vecteur :
a. Ensuite, la translation de vecteur \(\vec{AB}\) envoie C en L, E en D, A en B et M en N.
b. La translation de vecteur \(\vec{BC}\) envoie C en d, A en a et M en c (l’image de E n’est pas nommée sur la figure).
c. La translation de vecteur \(\vec{AC}\) envoie C en K, E en O, A en C et M en I.

2. Utiliser la translation de vecteur \(\vec{AC}\) : elle envoie C en K, donc \(\vec{CK}=\vec{AC}\), ce qui signifie que C est le milieu de [AK].

Exercice 8 :

Démontrer que pour tous points A, B, C, D.

\(\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{CD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{AC}+\vec{BD}\).
D’après la relation de Chasles.

Exercice 9 (vecteurs en 2de)

Dans un repère, on considère les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).

a. Placer les points A,B,C.
b. \(\vec{AB}(2-(-5);-1-3)=(7;-4)\), \(\vec{AC}(0-(-5);4-3)=(5;1)\), \(\vec{BC}(0-2;4-(-1))=(-2;5)\).

c. et d.

L’énoncé ne définit pas le vecteur \(\vec{u}\). La question d (B milieu de [AM]) impose \(\vec{AM}=2\vec{AB}\) : on prend donc \(\vec{u}=2\vec{AB}(14\,;-8)\). Alors \(x_M=-5+14=9\) et \(y_M=3-8=-5\), soit M(9 ; -5). Le milieu de [AM] a pour coordonnées \((\dfrac{-5+9}{2}\,;\dfrac{3+(-5)}{2})=(2\,;-1)\) : c’est bien B.

e.\(AB=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}\).

Exercice 10 :

On a \(\vec{CD}=-\vec{CB}\), donc \(\vec{DC}=\vec{CB}\) ; on a aussi \(\vec{AE}=\dfrac{3}{2}\vec{AC}\) et \(\vec{BF}=-2\vec{BA}=2\vec{AB}\).

Exprimons \(\vec{DE}\) et \(\vec{DF}\) à l’aide de la relation de Chasles, en fonction de \(\vec{CB}\) et \(\vec{AC}\) :

\(\vec{DE}=\vec{DC}+\vec{CA}+\vec{AE}=\vec{CB}-\vec{AC}+\dfrac{3}{2}\vec{AC}=\vec{CB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC}\)

\(\vec{DF}=\vec{DC}+\vec{CB}+\vec{BF}=\vec{CB}+\vec{CB}+2\vec{AB}\). Or \(\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{CB}\), donc \(\vec{DF}=2\vec{CB}+2\vec{AC}+2\vec{CB}=4\vec{CB}+2\vec{AC}\).

On remarque que \(\vec{DF}=4(\vec{CB}+\dfrac{1}{2}\vec{AC})=4\vec{DE}\).

Les vecteurs \(\vec{DE}\) et \(\vec{DF}\) sont colinéaires et ont le point D en commun : les points D, E et F sont alignés.

Exercice 11 (vecteurs en 2de)

1. a. Construction : on trace un triangle ABC scalène, les médiatrices de deux côtés, qui se coupent en O, puis les milieux A’, B’, C’. Avec GeoGebra, on construit P comme image de O par la translation de vecteur \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\).

b. D’après la relation de Chasles, \(\vec{AP}=\vec{AO}+\vec{OP}=\vec{AO}+\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{OC}\).

Comme A’ est le milieu de [BC], \(\vec{A^{\prime}B}+\vec{A^{\prime}C}=\vec{0}\), donc \(\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OA^{\prime}}+\vec{A^{\prime}B}+\vec{OA^{\prime}}+\vec{A^{\prime}C}=2\vec{OA^{\prime}}\).

Ainsi \(\vec{AP}=2\vec{OA^{\prime}}\).

c. O est le centre du cercle circonscrit, donc OB = OC : O appartient à la médiatrice de [BC], qui passe aussi par A’. Le triangle n’étant pas rectangle en A, O est distinct de A’ et la droite (OA’) est la médiatrice de [BC], perpendiculaire à (BC). Les vecteurs \(\vec{AP}\) et \(\vec{OA^{\prime}}\) sont colinéaires, donc (AP) est parallèle à (OA’) et (AP) est perpendiculaire à (BC).

d. De même, \(\vec{BP}=\vec{BO}+\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{OC}=2\vec{OB^{\prime}}\) où B’ est le milieu de [AC], et (OB’) est la médiatrice de [AC]. Donc (BP) est perpendiculaire à (AC).

e. P appartient à la hauteur issue de A et à la hauteur issue de B : P est l’orthocentre H du triangle ABC.

2. Avec la relation de Chasles : \(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}+\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=3\vec{OG}+\vec{0}\).

Comme \(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\), on obtient \(\vec{OH}=3\vec{OG}\).

Les vecteurs \(\vec{OH}\) et \(\vec{OG}\) sont colinéaires : les points O, H et G sont alignés, sur la droite d’Euler du triangle, et G est situé au tiers de [OH] en partant de O.

Exercice 12 :

Analyse de la figure et remarques préliminaires.

(ME) est la droite des milieux donc (ME) et (BC) sont parallèles et 2.ME = BC. On en déduit que ME = BF = FC

(AF) est l’ axe de symétrie du triangle isocèle BAC donc (AF) est perpendiculaire à [BC] et [ME]

Dans le triangle AMC, [ME] est une médiane. Le centre de gravité G du triangle AMC est sur [ME] et l’on a : MG = 2.GE.

Démonstration

Considérons le quadrilatère MECF. Les cotés opposés [ME] et [CF] sont parallèles et isométriques. MECF est donc un parallélogramme; les diagonales [MC] et [EF] ont même milieu I.

Dans le triangle MEF, [MI] est une médiane, une autre médiane est portée par la droite (AF), il s’ensuit que le point D , intersection de deux médianes est le centre de gravité du triangle MEF.

Ainsi l’on a : \(MD=2\times DI\).

Considérons alors le triangle MEI, d’une part les points M , G , E sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points M , D , I, et d’autre part on a les relations :

\(MD=\dfrac{2}{3}MI\) et \(MG=\dfrac{2}{3}ME\)

Il s’ensuit d’après la réciproque du théorème de Thalès que les droites (GD) et (IE) sont parallèles.

F étant le milieu de [BC] et E le milieu de [AC] alors [EF] est parallèle à [AB]. Ainsi la droite (MO) médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [GD].(car (MO) est perpendiculaire à [EF] donc à [EI] et par suite à [GD])

Considérons finalement le triangle MGD

(DO) est perpendiculaire à [ME] et (MO) est perpendiculaire à (GD), il s’ensuit que O apparaît comme l’orthocentre du triangle MGD. La troisième hauteur étant portée par la droite (OG).

Conclusion :

Les droites (OG) et (MC) sont perpendiculaires.

Exercice 13 (vecteurs en 2de)

Désignons par A’ le point diamétralement opposé au point A. Il s’ensuit alors que les deux angles \(\widehat{ABA^{\prime}}\) et \(\widehat{ACA^{\prime}}\) sont droits ( angles inscrits dans un demi-cercle )

Puisque les droites (BH) et (A’C) sont perpendiculaires à la droite (AC) alors elles sont parallèles. Il en est de même des droites (BA’) et (CH) qui sont perpendiculaires à la droite (AB).

Ainsi le quadrilatère BHCA’ est un parallélogramme puisque ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

On sait que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc [HA’] ∩ [BC] = {M}. Ainsi le milieu M de [BC] appartient aussi à la droite (A’H).

Conséquences:

Les droites (A’H) et (MH) sont confondues. Les points A’ , M , H , I sont donc alignés. Il en résulte que l’angle \(\widehat{A^{\prime}IA}\) est droit puisqu’il est inscrit dans un demi-cercle.

Les droites (MH) et (AI) sont donc perpendiculaires

Exercice 14 :

Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), on donne K ( – 3 ; 5) et L(4 ; 2).
Déterminer l’abscisse du point M d’ordonnée – 2 tel que K, L et M soient alignés.

Pour que les points soient alignés il faut que les vecteurs \(\vec{KL}\) et \(\vec{LM}\) soient colinéaires avec \(M(x;-2)\).

Calculons les coordonnées de ces deux vecteurs :

\(\vec{KL}(4+3;2-5)\)

\(\vec{KL}(7;-3)\)

et

\(\vec{LM}(x-4;-2-2)\)

\(\vec{LM}(x-4;-4)\)

Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si :

\(7\times (-4)-(-3)(x-4)=0\)

\(-28+3(x-4)=0\)

\(-28+3x-12=0\)

\(3x-40=0\)

\(x=\frac{40}{3}\)

Conclusion : \(M(\frac{40}{3};-2).\)

Exercice 15 (vecteurs en 2de)

Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), on donne A(2 ;- 3) B(0 ; – 3) C( – 3 ; 0).

1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que \(\vec{CE}=\frac{1}{2}\vec{AB}\).

Notons E(x ; y). On a \(\vec{CE}(x+3\,;\,y-0)\) et \(\vec{AB}(0-2\,;\,-3+3)\), soit \(\vec{AB}(-2\,;\,0)\) et \(\dfrac{1}{2}\vec{AB}(-1\,;\,0)\).

Nous obtenons les deux équations :

\(x+3=-1\,\text{ et }\,y-0=0\) donc

\(x=-4\,\text{ et }\,y=0\)

Conclusion : les coordonnées du point E sont E( – 4 ; 0 ) .

2. Que peut-on dire des droites (CE) et (AB) ? Justifier.

Les vecteurs \(\vec{CE}\) et \(\vec{AB}\) étant colinéaires, les droites (CE) et (AB) sont parallèles.

3. Donner les équations de (CE) et (AB).

A et B ont la même ordonnée -3 : (AB) a pour équation \(y=-3\). C et E ont la même ordonnée 0 : (CE) a pour équation \(y=0\) (c’est l’axe des abscisses). On retrouve deux droites parallèles.

Exercice 16 :

Dans un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\), on donne :

E(3 ; – 1) F(7 ; – 7) G(5 ; – 4).

Déterminer si les trois points E, F et G sont alignés.

Vérifions si les vecteurs \(\vec{EF}\) et \(\vec{EG}\) sont colinéaires alors les trois points seront alignés.

\(\vec{EF}(7-3;-7+1)\) donc \(\vec{EF}(4;-6)\)

\(\vec{EG}(5-3;-4+1)\) donc \(\vec{EG}(2;-3)\)

Nous remarquons que \(\vec{EF}=2\vec{EG}\) donc les vecteurs sont colinéaires

et les points E,F et G sont alignés.

Exercice 17 (vecteurs en 2de)

1. Les vecteurs \(\vec{u}(1+\sqrt{3};4)\) et \(\vec{v}(\frac{1}{2};\sqrt{3}-1)\) sont-ils colinéaires ?

Calculons le déterminant :

\((1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)-4\times \dfrac{1}{2}=(\sqrt{3}^2-1^2)-2=3-1-2=0\)

Conclusion : ces deux vecteurs sont colinéaires.

2. Déterminer \(m\) tel que les vecteurs \(\vec{u}(2;m)\) et \(\vec{v}(5;-1)\) soient colinéaires.

Le déterminant doit être nul :

\(2\times (-1)-5m=0\)

\(-2-5m=0\)

\({\color{DarkRed} m=-\frac{2}{5}}\)

Exercice 18 :

Soient A, B, C et D, quatre points quelconques du plan.

Montrer que :

\(3\vec{DA}-\vec{DB}-2\vec{DC}=3\vec{BA}-2\vec{BC}\)

Nous avons

\(3\vec{DA}-\vec{DB}-2\vec{DC}\)

\(=3\vec{DB}+3\vec{BA}-\vec{DB}-2\vec{DB}-2\vec{BC}\)

\(=3\vec{DB}-\vec{DB}-2\vec{DB}+3\vec{BA}-2\vec{BC}\)

\(=\vec{0}+3\vec{BA}-2\vec{BC}\)

\({\color{DarkRed} =3\vec{BA}-2\vec{BC}}\)

Exercice 19 (vecteurs en 2de)

\(\vec{BA}+\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{CA}+\vec{DB}-\vec{CD}\)

\(\vec{BA}+\vec{CB}+\vec{DC}+\vec{CD}=\vec{CA}+\vec{DB}\)

\(\vec{BA}+\vec{CB}+\vec{0}=\vec{CA}+\vec{DB}\)

\(\vec{CA}=\vec{CA}+\vec{DB}\)

\(\vec{CA}-\vec{CA}=\vec{DB}\)

\(\vec{0}=\vec{DB}\)

Conclusion : les points B et D sont confondus.

Exercice 20 :

A et B sont deux points distincts.

On cherche à construire le point M tel que :

\(3\vec{MA}+4\vec{MB}=\vec{0}\)

1. Les vecteurs \(\vec{MA}\) et \(\vec{MB}\) sont-ils colinéaires ?ont-ils le même sens?ont-ils la même norme?

\(\vec{MA}=-\frac{4}{3}\vec{MB}\)
\(MA=\frac{4}{3}MB\)

Conclusion : ces deux vecteurs sont colinéaires de sens opposés et n’ont pas la même norme.

2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que l’on a l’égalité :

\(7\vec{MA}+4\vec{AB}=\vec{0}\)

On sait que :

\(3\vec{MA}+4\vec{MB}=\vec{0}\)

\(3\vec{MA}+4\vec{MA}+4\vec{AB}=\vec{0}\)

\(7\vec{MA}+4\vec{AB}=\vec{0}\)

3. En déduire \(\vec{AM}\) en fonction de \(\vec{AB}\) .

\(7\vec{AM}=4\vec{AB}\)

\(\vec{AM}=\frac{4}{7}\vec{AB}\)

Construire le point M.

M est le point du segment [AB] tel que \(AM=\dfrac{4}{7}AB\) : on partage [AB] en sept parts égales (par exemple avec le théorème de Thalès) et on place M à la quatrième graduation en partant de A.

Exercice 21 (vecteurs en 2de)

Les vecteurs \(\vec{u}(\sqrt{2};1-\sqrt{3})\) et \(\vec{v}(1+\sqrt{3};-\sqrt{2})\) sont-ils colinéaires ?

Calculons le déterminant :

\(\sqrt{2}\times (-\sqrt{2})-(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})\)

\(=-2-(1^2-\sqrt{3}^2)\)

\(=-2-(1-3)\)

\(=-2-(-2)\)

\(=0\)

Conclusion : ces deux vecteurs sont bien colinéaires.

Exercice 22 :

On considère un triangle ABC et les points I et J tels que :

\(\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB}\)

\(\vec{AJ}=3\vec{AC}\)

1. Montrer à l’aide de la relation de Chasles que \(\vec{BJ}=3\vec{IC}\) .

\(\vec{BJ}=\vec{BA}+\vec{AJ}=-3\vec{AI}+3\vec{AC}=3\vec{IA}+3\vec{AC}=3\vec{IC}\)

2. Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC) ?

les vecteurs \(\vec{BJ}\) et \(\vec{IC}\) sont donc colinéaires et on en déduit que les droites (BJ) et (IC) sont parallèles.

Exercice 23 (vecteurs en 2de)

Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.

1. \(\vec{AC}+\vec{DC}=\vec{BD}\) .

Utilisons la relation de Chasles :

\(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{DC}=\vec{BC}+\vec{CD}\)

\(\vec{AB}+\vec{DC}=\vec{CD}\)

\(\vec{AB}=-\vec{DC}+\vec{CD}\)

\(\vec{AB}=2\vec{CD}\)

2. \(2\vec{CB}-9\vec{CA}-7\vec{AD}=\vec{0}\)

Utilisons la relation de Chasles

\(2\vec{CB}-2\vec{CA}-7\vec{CA}-7\vec{AD}=\vec{0}\)

\(2\vec{CB}+2\vec{AC}-7\vec{CD}=\vec{0}\)

\(2\vec{AB}-7\vec{CD}=\vec{0}\)

\(2\vec{AB}=7\vec{CD}\)

\(\vec{AB}=\frac{7}{2}\vec{CD}\)

Exercice 24 :

\(\vec{AC}+\vec{AD}-\vec{BC}=\vec{AB}\) .

Utilisons la relation de Chasles :

\(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AD}-\vec{BC}=\vec{AB}\)

\(\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AB}\)

\(\vec{AD}=\vec{AB}-\vec{AB}\)

\(\vec{AD}=\vec{0}\)

Conclusion : les points A et D sont confondus .

Exercice 25 (vecteurs en 2de)

1. Placer le point E tel que \(\vec{BE}=\vec{AC}\) .

E est l’image de B par la translation de vecteur \(\vec{AC}\) : à partir de B, on effectue le même déplacement sur le quadrillage que pour aller de A à C. ACEB est alors un parallélogramme.

2. Placer le point F tel que \(\vec{BF}=-\vec{AC}\) .

\(\vec{BF}=\vec{CA}\) : à partir de B, on effectue le déplacement inverse. B est le milieu de [EF].

3. Placer le point G tel que \(\vec{BG}=\vec{AC}+\vec{BA}\) .

D’après la relation de Chasles, \(\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}\), donc \(\vec{BG}=\vec{BC}\) : G est confondu avec C.

Exercice 26 :

Cet énoncé reprend celui de l’exercice 6.

a. On place les points en prenant 1 cm pour unité sur chaque axe.

b. On a \(\vec{OC}=2\vec{OI}\) et \(\vec{OD}=3\vec{OJ}\), donc \(\vec{OI}=\dfrac{1}{2}\vec{OC}\) et \(\vec{OJ}=\dfrac{1}{3}\vec{OD}\).

\(\vec{OA}=-4\vec{OI}+6\vec{OJ}=-2\vec{OC}+2\vec{OD}\) et \(\vec{OB}=-2\vec{OI}-3\vec{OJ}=-\vec{OC}-\vec{OD}\).

Dans le repère (O;C,D) : A(-2 ; 2) et B(-1 ; -1). Dans le repère (O;D,C), les rôles des deux vecteurs sont échangés : A(2 ; -2) et B(-1 ; -1).

c. \(\vec{EO}=-2\vec{OI}-3\vec{OJ}=-\vec{OC}-\vec{OD}\). Dans le repère (E;C,D), O a pour coordonnées (-1 ; -1).

Exercice 27 (vecteurs en 2de)

Cet énoncé reprend celui de l’exercice 8. Montrons que la différence des deux membres est nulle, en regroupant les vecteurs deux à deux avec la relation de Chasles :

\(\vec{AD}+\vec{BC}-\vec{AC}-\vec{BD}=(\vec{AD}+\vec{CA})+(\vec{BC}+\vec{DB})=(\vec{CA}+\vec{AD})+(\vec{DB}+\vec{BC})=\vec{CD}+\vec{DC}=\vec{CC}=\vec{0}\)

Donc, pour tous points A, B, C et D : \(\vec{AD}+\vec{BC}=\vec{AC}+\vec{BD}\).

Exercice 28 :

Cet énoncé reprend celui de l’exercice 9.

a. On place A(-5 ; 3), B(2 ; -1) et C(0 ; 4) dans le repère.

b. \(\vec{AB}(2-(-5)\,;\,-1-3)\), soit \(\vec{AB}(7\,;-4)\) ; \(\vec{AC}(0-(-5)\,;\,4-3)\), soit \(\vec{AC}(5\,;\,1)\) ; \(\vec{BC}(0-2\,;\,4-(-1))\), soit \(\vec{BC}(-2\,;\,5)\).

c. Le vecteur \(\vec{u}\) n’est pas défini dans l’énoncé. Pour que B soit le milieu de [AM] (question d), il faut \(\vec{AM}=2\vec{AB}\) : on prend donc \(\vec{u}=2\vec{AB}\), de coordonnées (14 ; -8). Si M(x ; y), alors \(x+5=14\) et \(y-3=-8\), d’où M(9 ; -5).

d. Le milieu de [AM] a pour coordonnées \((\dfrac{-5+9}{2}\,;\dfrac{3+(-5)}{2})=(2\,;-1)\) : ce sont les coordonnées de B, donc B est le milieu de [AM].

e. Dans un repère orthonormé, \(AB=\sqrt{7^2+(-4)^2}=\sqrt{49+16}\), donc \(AB=\sqrt{65}\approx 8{,}06\) unités (valeur arrondie au centième).

Exercice 29 (vecteurs en 2de)

Cet énoncé reprend celui de l’exercice 10 ; on le résout cette fois avec des coordonnées, dans le repère \((A;\vec{AB},\vec{AC})\), où A(0 ; 0), B(1 ; 0) et C(0 ; 1).

\(\vec{CD}=-\vec{CB}\) : D est le symétrique de B par rapport à C, donc \(x_D=2\times 0-1=-1\) et \(y_D=2\times 1-0=2\) : D(-1 ; 2).

\(\vec{AE}=\dfrac{3}{2}\vec{AC}\) donne E(0 ; 1,5).

\(\vec{BF}=-2\vec{BA}=2\vec{AB}\), donc \(\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BF}=3\vec{AB}\) : F(3 ; 0).

Alors \(\vec{DE}(0+1\,;\,1{,}5-2)\), soit \(\vec{DE}(1\,;-0{,}5)\), et \(\vec{DF}(3+1\,;\,0-2)\), soit \(\vec{DF}(4\,;-2)\).

Déterminant : \(1\times (-2)-(-0{,}5)\times 4=-2+2=0\). Les vecteurs sont colinéaires (\(\vec{DF}=4\vec{DE}\)) et ont le point D en commun : D, E et F sont alignés.

Exercice 30 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note E l’ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation :
\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) .

On considère également les points F(4;0) et F'(-4;0).

1. Calculer les coordonnées des points d’intersection de E avec les axes du repères.

Lorsque x=0 , y=3 et y= -3.

Lorsque y=0, x=5 et x= – 5 .

2. A l’aide du logiciel Geogebra, visualiser l’ensemble E et faire une conjecture sur la somme des distances MF + MF’ lorsque M est un point de E.

La distance MF+MF’ est constante.

3. Soit M(x;y) un point de E.
a) Exprimer \(y^2\) en fonction de \(x^2\) et en déduire que \(x^2\leq\,\,\, 25\) .

\(y^2=9(1-\frac{x^2}{25})\)

or \(y^2\geq\, 0\) ce qui est équivalent à dire que \(1-\frac{x^2}{25}\geq\,\,\, 0\) ce qui équivaut à \(x^2\leq\,\,\, 25\)

b) Montrer que \(MF^2=(\frac{4}{5}x-5)^2\) .

\(MF^2=(x-4)^2+y^2=x^2-8x+16+9-\dfrac{9x^2}{25}=\dfrac{16x^2}{25}-8x+25\).

Or \((\dfrac{4}{5}x-5)^2=\dfrac{16x^2}{25}-2\times \dfrac{4}{5}x\times 5+25=\dfrac{16x^2}{25}-8x+25\). Donc \(MF^2=(\dfrac{4}{5}x-5)^2\).

c) Sachant que \(x\leq\,\,\, 5\) , montrer que \(\frac{4}{5}x-5\leq\,\,\, 0\)

Comme \(x^2\leq\, 25\), on a \(x\leq\, 5\), donc \(\dfrac{4}{5}x\leq\, 4\) et \(\dfrac{4}{5}x-5\leq\, -1\), ce qui donne bien \(\dfrac{4}{5}x-5\leq\, 0\).

puis en déduire que \(MF=5-\frac{4}{5}x\) .

MF est une distance, donc positive : MF est la racine carrée de \((\dfrac{4}{5}x-5)^2\), c’est-à-dire l’opposé du nombre négatif \(\dfrac{4}{5}x-5\). Ainsi \(MF=5-\dfrac{4}{5}x\).

d) Valider la conjecture .

De la même façon, \(MF^{\prime 2}=(x+4)^2+y^2=\dfrac{16x^2}{25}+8x+25=(\dfrac{4}{5}x+5)^2\). Comme \(x\geq\, -5\), \(\dfrac{4}{5}x+5\geq\, 1\gt 0\), donc \(MF^{\prime}=5+\dfrac{4}{5}x\).

Finalement \(MF+MF^{\prime}=5-\dfrac{4}{5}x+5+\dfrac{4}{5}x=10\) : la somme MF + MF’ vaut 10 pour tout point M de E, ce qui confirme la conjecture.

Exercice 31 (vecteurs en 2de)

Soit ABCD est un parallélogramme .

1) Placer les points M et N définis par les égalités suivantes:

\(\vec{AM}=\vec{AD}+\frac{2}{5}\times \vec{DB}\)

\(\vec{CN}=-\vec{CB}-\frac{1}{3}\times \vec{BA}\)

\(\vec{AM}=\vec{AD}+\dfrac{2}{5}\vec{DB}\) s’écrit \(\vec{DM}=\dfrac{2}{5}\vec{DB}\) : M est sur la diagonale [DB], aux deux cinquièmes en partant de D.

\(\vec{CN}=\vec{BC}+\dfrac{1}{3}\vec{AB}\) : à partir de C, on reporte le vecteur \(\vec{BC}\) (égal à \(\vec{AD}\)) puis le tiers de \(\vec{AB}\).

2) Montrer en utilisant la relation de Chasles que \(\vec{DN}=-\vec{CB}-\frac{2}{3}\times \vec{BA}\) .

Comme ABCD est un parallélogramme, \(\vec{DC}=\vec{AB}=-\vec{BA}\). Donc \(\vec{DN}=\vec{DC}+\vec{CN}=-\vec{BA}-\vec{CB}-\dfrac{1}{3}\vec{BA}=-\vec{CB}-\dfrac{4}{3}\vec{BA}\).

Avec l’énoncé tel qu’il est écrit, on obtient donc \(-\dfrac{4}{3}\vec{BA}\) et non \(-\dfrac{2}{3}\vec{BA}\). Le résultat annoncé correspond à \(\vec{CN}=-\vec{CB}+\dfrac{1}{3}\vec{BA}\) : on a alors \(\vec{DN}=-\vec{BA}-\vec{CB}+\dfrac{1}{3}\vec{BA}=-\vec{CB}-\dfrac{2}{3}\vec{BA}\). Il y a vraisemblablement une erreur de signe dans l’énoncé.

3) Exprimer le vecteur \(\vec{DN}\) en fonction des vecteurs \(\vec{AD}\) et \(\vec{DB}\) .

On a \(-\vec{CB}=\vec{BC}=\vec{AD}\) et \(-\vec{BA}=\vec{AB}=\vec{AD}+\vec{DB}\).

Avec l’énoncé : \(\vec{DN}=\vec{AD}+\dfrac{4}{3}(\vec{AD}+\vec{DB})\), soit \(\vec{DN}=\dfrac{7}{3}\vec{AD}+\dfrac{4}{3}\vec{DB}\).

Avec le résultat annoncé à la question 2 : \(\vec{DN}=\vec{AD}+\dfrac{2}{3}(\vec{AD}+\vec{DB})\), soit \(\vec{DN}=\dfrac{5}{3}\vec{AD}+\dfrac{2}{3}\vec{DB}\).

Exercice 32 :

1° a) ABCD est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{AD}=\vec{BC}\). Or \(\vec{BC}(-3-(-1)\,;\,1-6)\), soit \(\vec{BC}(-2\,;-5)\). Si D(x ; y), alors \(x-5=-2\) et \(y-4=-5\), d’où D(3 ; -1).

b) I est le milieu de la diagonale [AC] : \(x_I=\dfrac{5+(-3)}{2}=1\) et \(y_I=\dfrac{4+1}{2}=2{,}5\). Donc I(1 ; 2,5). On vérifie que c’est aussi le milieu de [BD] : \((\dfrac{-1+3}{2}\,;\dfrac{6-1}{2})=(1\,;\,2{,}5)\).

c) E est le milieu de [CF], donc \(x_F=2x_E-x_C=-4+3=-1\) et \(y_F=2y_E-y_C=-2-1=-3\). Donc F(-1 ; -3).

d) \(\vec{EI}(1-(-2)\,;\,2{,}5-(-1))\), soit \(\vec{EI}(3\,;\,3{,}5)\) ; \(\vec{FA}(5-(-1)\,;\,4-(-3))\), soit \(\vec{FA}(6\,;\,7)\).

On remarque que \(\vec{FA}=2\vec{EI}\). On pouvait le prévoir : dans le triangle CFA, E est le milieu de [CF] et I le milieu de [CA] ; d’après le théorème des milieux, (EI) est parallèle à (FA) et \(EI=\dfrac{1}{2}FA\), c’est-à-dire \(\vec{EI}=\dfrac{1}{2}\vec{FA}\).

2° a) Notons M(x ; y). \(\vec{AM}+3\vec{DM}=\vec{0}\) donne \((x-5)+3(x-3)=0\) et \((y-4)+3(y+1)=0\), soit \(4x-14=0\) et \(4y-1=0\). Donc \(M(\dfrac{7}{2}\,;\dfrac{1}{4})\).

b) \(\vec{IM}(\dfrac{7}{2}-1\,;\dfrac{1}{4}-\dfrac{5}{2})\), soit \(\vec{IM}(\dfrac{5}{2}\,;-\dfrac{9}{4})\), et \(\vec{ID}(3-1\,;-1-2{,}5)\), soit \(\vec{ID}(2\,;-\dfrac{7}{2})\).

Déterminant : \(\dfrac{5}{2}\times (-\dfrac{7}{2})-(-\dfrac{9}{4})\times 2=-\dfrac{35}{4}+\dfrac{18}{4}=-\dfrac{17}{4}\). Il n’est pas nul : les points M, I et D ne sont pas alignés.

Exercice 33 (vecteurs en 2de)

1. On place M sur [AD] aux trois huitièmes en partant de A, N sur [BC] aux trois quarts en partant de B et P sur [CD] aux deux tiers en partant de C.

Méthode A

a) \(\vec{BM}=\vec{BA}+\vec{AM}=-\vec{AB}+\dfrac{3}{8}\vec{AD}\).

\(\vec{PN}=\vec{PC}+\vec{CB}+\vec{BN}=\dfrac{2}{3}\vec{DC}+\vec{CB}+\dfrac{3}{4}\vec{BC}\). Comme ABCD est un parallélogramme, \(\vec{DC}=\vec{AB}\) et \(\vec{BC}=\vec{AD}\), donc \(\vec{PN}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}-\vec{AD}+\dfrac{3}{4}\vec{AD}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{4}\vec{AD}\).

b) \(-\dfrac{2}{3}\vec{BM}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}-\dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{8}\vec{AD}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{4}\vec{AD}\), donc \(\vec{PN}=-\dfrac{2}{3}\vec{BM}\) : les vecteurs \(\vec{BM}\) et \(\vec{PN}\) sont colinéaires.

c) Les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites (BM) et (PN) sont parallèles.

Méthode B

a) Dans le repère \((A,\vec{AB},\vec{AD})\) : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1) et D(0 ; 1).

b) \(\vec{AM}=\dfrac{3}{8}\vec{AD}\) donne \(M(0\,;\dfrac{3}{8})\).

\(\vec{BN}=\dfrac{3}{4}\vec{BC}\) : \(x-1=\dfrac{3}{4}\times (1-1)=0\) et \(y-0=\dfrac{3}{4}\times (1-0)\), donc \(N(1\,;\dfrac{3}{4})\).

\(\vec{CP}=\dfrac{2}{3}\vec{CD}\) : \(x-1=\dfrac{2}{3}\times (0-1)\) et \(y-1=\dfrac{2}{3}\times (1-1)=0\), donc \(P(\dfrac{1}{3}\,;1)\).

c) \(\vec{BM}(-1\,;\dfrac{3}{8})\) et \(\vec{PN}(\dfrac{2}{3}\,;-\dfrac{1}{4})\). Déterminant : \((-1)\times (-\dfrac{1}{4})-\dfrac{3}{8}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0\).

Les vecteurs \(\vec{BM}\) et \(\vec{PN}\) sont colinéaires, donc les droites (BM) et (PN) sont parallèles.

EXERCICE 34 :

1) a) (AB) et (DC) sont parallèles, donc \(\vec{DC}\) et \(\vec{AB}\) sont colinéaires. Le trapèze étant convexe, ils sont de même sens, et \(\dfrac{DC}{AB}=\dfrac{7}{5}\). Donc \(\vec{DC}=\dfrac{7}{5}\vec{AB}\).

b) D’après la relation de Chasles, \(\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}=\dfrac{7}{5}\vec{AB}+\vec{AD}\).

2) a) \(5\vec{EC}=2\vec{DE}\) s’écrit \(5(\vec{ED}+\vec{DC})=2\vec{DE}\), soit \(-5\vec{DE}+5\vec{DC}=2\vec{DE}\), donc \(7\vec{DE}=5\vec{DC}\) et \(\vec{DE}=\dfrac{5}{7}\vec{DC}\). E est le point du segment [DC] tel que \(DE=\dfrac{5}{7}\times 7=5\).

b) \(\vec{DE}=\dfrac{5}{7}\times \dfrac{7}{5}\vec{AB}=\vec{AB}\). Le quadrilatère ABED est donc un parallélogramme (D n’est pas sur (AB)). Ses diagonales [AE] et [BD] se coupent en leur milieu : [AE] et [BD] ont le même milieu.

3) a) Le symétrique C’ de C par rapport à D vérifie \(\vec{DC^{\prime}}=-\vec{DC}=-\dfrac{7}{5}\vec{AB}\), donc \(\vec{AC^{\prime}}=\vec{AD}+\vec{DC^{\prime}}=-\dfrac{7}{5}\vec{AB}+\vec{AD}\). Par identification, \(x=-\dfrac{7}{5}\).

b) \(\vec{DM}=\vec{DA}+\vec{AM}=-\vec{AD}+x\vec{AB}+\vec{AD}\), donc \(\vec{DM}=x\vec{AB}\). Lorsque x décrit l’ensemble des réels, M décrit la droite passant par D et parallèle à (AB), c’est-à-dire la droite (DC).

EXERCICE 35 (vecteurs en 2de)

1) Pour \(x=-\dfrac{1}{2}\) : \(\vec{AE}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{2}\vec{AC}\) et \(\vec{AF}=-\dfrac{1}{2}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}\). Pour placer E, on part de A, on reporte le tiers de \(\vec{AB}\), puis la moitié de \(\vec{AC}\) dans le sens opposé ; on procède de même pour F.

2) Pour tout réel x : \(\vec{EF}=\vec{EA}+\vec{AF}=-\dfrac{1}{3}\vec{AB}-x\vec{AC}+x\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}=(x-\dfrac{1}{3})\vec{AB}-(x-\dfrac{1}{3})\vec{AC}\).

Donc \(\vec{EF}=(x-\dfrac{1}{3})(\vec{AB}-\vec{AC})=(x-\dfrac{1}{3})\vec{CB}\), soit \(\vec{EF}=(\dfrac{1}{3}-x)\vec{BC}\) : \(\vec{EF}\) est colinéaire à \(\vec{BC}\) pour tout réel x.

3) a) E = F si et seulement si \(\vec{EF}=\vec{0}\), c’est-à-dire \(\dfrac{1}{3}-x=0\) (car \(\vec{BC}\neq\vec{0}\)). Donc E = F pour \(x=\dfrac{1}{3}\).

b) BCFE est un parallélogramme si et seulement si \(\vec{BC}=\vec{EF}\), c’est-à-dire \(\dfrac{1}{3}-x=1\), soit \(x=-\dfrac{2}{3}\). Pour cette valeur, \(\vec{AE}=\dfrac{1}{3}\vec{AB}-\dfrac{2}{3}\vec{AC}\) : E n’est pas sur la droite (BC), donc le parallélogramme n’est pas aplati.

EXERCICE 36 :

1) D’après la relation de Chasles : \(\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AD}+\vec{DN}=-a\vec{AB}+\vec{AD}+a\vec{DC}=a(\vec{DC}-\vec{AB})+\vec{AD}\).

Or \(\vec{DC}=\vec{DA}+\vec{AB}+\vec{BC}\), donc \(\vec{DC}-\vec{AB}=\vec{BC}-\vec{AD}\).

Ainsi \(\vec{MN}=a\vec{BC}-a\vec{AD}+\vec{AD}\), soit \(\vec{MN}=a\vec{BC}+(1-a)\vec{AD}\) pour tout réel a.

2) Si ABCD est un parallélogramme, \(\vec{AD}=\vec{BC}\), donc \(\vec{MN}=a\vec{BC}+(1-a)\vec{BC}=\vec{BC}\).

L’égalité \(\vec{MN}=\vec{BC}\) équivaut à \(\vec{MB}=\vec{NC}\) : MBCN est un parallélogramme (aplati et réduit au segment [BC] lorsque a = 1, car alors M = B et N = C).

EXERCICE 37 (vecteurs en 2de)

1) Pour a = 0 : \(\vec{RM}=\dfrac{1}{4}\vec{RS}+\dfrac{5}{2}\vec{RT}\), \(\vec{RN}=2\vec{RS}+\dfrac{3}{4}\vec{RT}\) et \(\vec{RU}=\dfrac{3}{4}\vec{RS}-\dfrac{3}{2}\vec{RT}\). On place chaque point à partir de R en reportant successivement les deux vecteurs.

2) \(\vec{MN}=\vec{RN}-\vec{RM}=(a+2-\dfrac{1}{4})\vec{RS}+(\dfrac{3}{4}-a-\dfrac{5}{2})\vec{RT}=(a+\dfrac{7}{4})\vec{RS}-(a+\dfrac{7}{4})\vec{RT}\).

Donc \(\vec{MN}=(a+\dfrac{7}{4})(\vec{RS}-\vec{RT})=(a+\dfrac{7}{4})\vec{TS}\), soit \(\vec{MN}=-(a+\dfrac{7}{4})\vec{ST}\) : les vecteurs sont colinéaires pour tout réel a.

On en déduit que, pour \(a\neq -\dfrac{7}{4}\), les droites (MN) et (ST) sont parallèles ; pour \(a=-\dfrac{7}{4}\), les points M et N sont confondus.

3) \(\vec{SM}=\vec{SR}+\vec{RM}=-\vec{RS}+\dfrac{1}{4}\vec{RS}+(a+\dfrac{5}{2})\vec{RT}=-\dfrac{3}{4}\vec{RS}+(a+\dfrac{5}{2})\vec{RT}\).

\(\vec{UT}=\vec{UR}+\vec{RT}=-\dfrac{3}{4}\vec{RS}+(a+\dfrac{3}{2})\vec{RT}+\vec{RT}=-\dfrac{3}{4}\vec{RS}+(a+\dfrac{5}{2})\vec{RT}\).

Donc \(\vec{SM}=\vec{UT}\) pour tout réel a : SMTU est un parallélogramme (aplati seulement pour \(a=-\dfrac{7}{4}\), valeur pour laquelle M est sur la droite (ST)).

EXERCICE 38 :

1) On décompose chaque vecteur en passant par C : \(\vec{GA}=\vec{GC}+\vec{CA}\) et \(\vec{GB}=\vec{GC}+\vec{CB}\).

L’égalité devient \(\vec{GC}+\vec{CA}+2\vec{GC}+2\vec{CB}+3\vec{GC}=\vec{0}\), soit \(6\vec{GC}+\vec{CA}+2\vec{CB}=\vec{0}\), donc \(6\vec{CG}=\vec{CA}+2\vec{CB}\) et \(\vec{CG}=\dfrac{1}{6}\vec{CA}+\dfrac{1}{3}\vec{CB}\).

Pour construire G, on part de C, on reporte le sixième de \(\vec{CA}\) puis le tiers de \(\vec{CB}\).

2) \(\vec{CH}=\vec{CA}+\vec{AH}=\vec{CA}+\dfrac{2}{3}\vec{AB}=\vec{CA}+\dfrac{2}{3}(\vec{AC}+\vec{CB})=\dfrac{1}{3}\vec{CA}+\dfrac{2}{3}\vec{CB}\).

On constate que \(\vec{CG}=\dfrac{1}{2}\vec{CH}\) : G est le milieu de [HC].

3) Pour tout point M : \(\vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC}=(\vec{MG}+\vec{GA})+2(\vec{MG}+\vec{GB})+3(\vec{MG}+\vec{GC})=6\vec{MG}+(\vec{GA}+2\vec{GB}+3\vec{GC})\).

Comme \(\vec{GA}+2\vec{GB}+3\vec{GC}=\vec{0}\), on obtient \(\vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC}=6\vec{MG}\).

4) a) \(\|\vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC}\|=6AB\) équivaut à \(6MG=6AB\), soit \(MG=AB\). L’ensemble cherché est le cercle de centre G et de rayon AB.

b) \(6\vec{MG}\) est colinéaire à \(\vec{BC}\) si et seulement si M = G ou la droite (MG) est parallèle à (BC). L’ensemble cherché est la droite passant par G et parallèle à (BC).

Exercice 39 (vecteurs en 2de)

On lit les coordonnées de chaque vecteur sur le quadrillage (en carreaux, vers la droite puis vers le haut) : \(\vec{a}(2\,;1)\), \(\vec{b}(2\,;-2)\), \(\vec{c}(-6\,;-3)\), \(\vec{d}(0\,;-2)\), \(\vec{e}(-2\,;2)\), \(\vec{f}(4\,;2)\), \(\vec{g}(0\,;3)\), \(\vec{h}(-1\,;1)\) et \(\vec{i}(0\,;-5)\).

• \(\vec{c}=-3\,\vec{a}\) car \(-6=-3\times 2\) et \(-3=-3\times 1\) ;
• \(\vec{b}=-1\,\vec{e}\) (les vecteurs sont opposés) ;
• \(\vec{d}=-\dfrac{2}{3}\,\vec{g}\) car \(-2=-\dfrac{2}{3}\times 3\) ;
• \(\vec{d}=\dfrac{2}{5}\,\vec{i}\) car \(-2=\dfrac{2}{5}\times (-5)\) ;
• \(\vec{a}=-\dfrac{1}{3}\,\vec{c}\) ;
• \(\vec{b}=-2\,\vec{h}\) ;
• \(\vec{i}=-\dfrac{5}{3}\,\vec{g}\) ;
• \(\vec{f}=-\dfrac{2}{3}\,\vec{c}\) car \(4=-\dfrac{2}{3}\times (-6)\) et \(2=-\dfrac{2}{3}\times (-3)\).

Réponses : -3 ; -1 ; \(-\dfrac{2}{3}\) ; \(\dfrac{2}{5}\) ; \(-\dfrac{1}{3}\) ; -2 ; \(-\dfrac{5}{3}\) ; \(-\dfrac{2}{3}\).

Exercice 40 :

En comptant les carreaux (vers la droite puis vers le haut) : \(\vec{CD}(1\,;1)\), \(\vec{AC}(0\,;-3)\), \(\vec{BC}(2\,;0)\) et \(\vec{BA}(2\,;3)\).

a) \(\vec{p}(-1\,;-1)\) vérifie \(\vec{p}=-\vec{CD}\) : \(\vec{p}\) est opposé à \(\vec{CD}\).

b) \(\vec{m}(0\,;-1)\) vérifie \(\vec{AC}=3\vec{m}\) avec un coefficient positif : \(\vec{m}\) a la même direction et le même sens que \(\vec{AC}\).

c) \(\vec{t}(-1\,;0)\) vérifie \(\vec{t}=-\dfrac{1}{2}\vec{BC}\) : \(\vec{t}\) a la même direction que \(\vec{BC}\) mais le sens contraire.

d) \(\vec{v}(2\,;3)\) : \(\vec{v}=\vec{BA}\).

Exercice 41 :

Sur le quadrillage, le vecteur \(\vec{AB}\) correspond à un déplacement de 3 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut.

1. En appliquant ce déplacement : l’image de C est Y, l’image de D est Z et l’image de E est D.
2. On en déduit trois vecteurs égaux à \(\vec{AB}\) : \(\vec{CY}\), \(\vec{DZ}\) et \(\vec{ED}\).
3. \(\vec{AB}=\vec{CY}\) donne le parallélogramme ABYC ; \(\vec{AB}=\vec{DZ}\) donne ABZD ; \(\vec{AB}=\vec{ED}\) donne ABDE.

Exercice 42 :

1. En prenant pour origine commune le point de départ des trois vecteurs, on lit sur le quadrillage \(\vec{r}(1\,;2)\), \(\vec{w}(2\,;0)\) et \(\vec{v}(-2\,;-2)\).

2. Pour construire une somme, on place les vecteurs bout à bout (relation de Chasles) ; pour une différence, on ajoute l’opposé.

• a) \(-\vec{r}\) a la même direction et la même longueur que \(\vec{r}\), mais le sens contraire : \(-\vec{r}(-1\,;-2)\).
• b) On trace \(\vec{w}\) puis, à son extrémité, \(\vec{r}\) : \(\vec{w}+\vec{r}(3\,;2)\).
• c) On trace \(\vec{r}\) puis \(\vec{v}\) : \(\vec{r}+\vec{v}(-1\,;0)\).
• d) \(\vec{w}-\vec{r}=\vec{w}+(-\vec{r})\) : on trace \(\vec{w}\) puis \(-\vec{r}\), d’où \(\vec{w}-\vec{r}(1\,;-2)\).

Exercice 43 :

On repère les points sur le quadrillage : A(4 ; 5), B(5 ; 4), C(7 ; 4), D(5 ; 2), E(6 ; 0), F(5 ; 0), G(4 ; 1), H(3 ; 0), I(2 ; 0) et J(1 ; 2).

• a) \(\vec{DE}(1\,;-2)\) et \(\vec{HI}(-1\,;0)\), donc \(\vec{DE}+\vec{HI}\) a pour coordonnées (0 ; -2) : \(\vec{DE}+\vec{HI}=\vec{DF}\) (ou \(\vec{BD}\)).
• b) \(\vec{GF}(1\,;-1)\) et \(\vec{CB}(-2\,;0)\), somme (-1 ; -1) : \(\vec{GF}+\vec{CB}=\vec{DG}\) (ou \(\vec{GH}\)).
• c) \(\vec{AJ}-\vec{EI}=\vec{AJ}+\vec{IE}\) ; \(\vec{AJ}(-3\,;-3)\) et \(\vec{IE}(4\,;0)\), somme (1 ; -3) : \(\vec{AJ}-\vec{EI}=\vec{AD}\).
• d) Relation de Chasles : \(\vec{BG}+\vec{GH}=\vec{BH}\).
• e) \(\vec{BC}+\vec{CB}=\vec{BB}=\vec{0}\), donc \(\vec{BC}+\vec{CB}+\vec{BC}=\vec{BC}\).
• f) On réordonne : \(\vec{IJ}+\vec{JC}+\vec{CF}+\vec{FE}\), donc la somme est égale à \(\vec{IE}\).
• g) \(\vec{AB}-\vec{CB}=\vec{AB}+\vec{BC}\), donc \(\vec{AB}-\vec{CB}=\vec{AC}\).
• h) \(\vec{HF}(2\,;0)\) et \(\vec{BC}(2\,;0)\) sont égaux, donc \(\vec{HF}-\vec{BC}=\vec{0}\) et \(\vec{HF}-\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{CD}\).
• i) \(\vec{BD}+\vec{IH}-\vec{BH}-\vec{FD}=\vec{IH}+\vec{HB}+\vec{BD}+\vec{DF}\), donc la somme est égale à \(\vec{IF}\).

Exercice 44 :

Le déterminant de \(\vec{u}(x\,;y)\) et \(\vec{v}(x^{\prime}\,;y^{\prime})\) est \(\det(\vec{u},\vec{v})=xy^{\prime}-x^{\prime}y\) ; les vecteurs sont colinéaires si et seulement s’il est nul.

• a) \(\det(\vec{u},\vec{v})=(-2)\times (-4{,}5)-3\times 3=9-9=0\) : colinéaires, avec \(\vec{v}=-\dfrac{3}{2}\vec{u}\) (car \(-\dfrac{3}{2}\times (-2)=3\) et \(-\dfrac{3}{2}\times 3=-4{,}5\)).
• b) \(\det(\vec{s},\vec{t})=7\times 4-14\times (-2)=28+28=56\) : non colinéaires.
• c) \(\det(\vec{u},\vec{r})=(-2)\times 4{,}5-3\times 3=-9-9=-18\) : non colinéaires.
• d) \(\det(\vec{v},\vec{w})=3\times 12-(-8)\times (-4{,}5)=36-36=0\) : colinéaires, avec \(\vec{w}=-\dfrac{8}{3}\vec{v}\) (car \(-\dfrac{8}{3}\times 3=-8\) et \(-\dfrac{8}{3}\times (-4{,}5)=12\)).
• e) \(\det(\vec{s},\vec{m})=7\times (-\dfrac{3}{7})-1\times (-2)=-3+2=-1\) : non colinéaires.
• f) \(\det(\vec{m},\vec{t})=1\times 4-14\times (-\dfrac{3}{7})=4+6=10\) : non colinéaires.

Exercice 45 :

A, B et C n’étant pas alignés, les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ne sont pas colinéaires : une égalité \(\alpha\vec{AB}+\beta\vec{AC}=\alpha^{\prime}\vec{AB}+\beta^{\prime}\vec{AC}\) impose \(\alpha=\alpha^{\prime}\) et \(\beta=\beta^{\prime}\).

• a) \(\vec{v}=-6\vec{AB}=-3\times 2\vec{AB}\), donc \(\vec{v}=-3\vec{u}\) : colinéaires.
• b) \(-2\vec{u}=4\vec{AB}-6\vec{AC}\), donc \(\vec{v}=-2\vec{u}\) : colinéaires.
• c) Si l’on avait \(\vec{v}=k\vec{u}\), on aurait \(9=3k\) et \(-2=-k\), soit k = 3 et k = 2 : c’est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
• d) \(-3\vec{u}=-\dfrac{3}{2}\vec{AB}-9\vec{AC}\), donc \(\vec{v}=-3\vec{u}\) : colinéaires.

Exercice 46 :

On prend F comme origine et la distance AI comme unité : A(0 ; 2), I(1 ; 2), B(2 ; 2), J(3 ; 2), C(4 ; 2), O(0 ; 1), M(2 ; 1), K(4 ; 1), F(0 ; 0), N(1 ; 0), E(2 ; 0), L(3 ; 0) et D(4 ; 0).

• \(\vec{OM}(2\,;0)\) et \(\vec{JK}(1\,;-1)\) : la somme vaut (3 ; -1). Partant de O(0 ; 1), on arrive en (3 ; 0), donc \(\vec{OM}+\vec{JK}=\vec{OL}\).
• \(\vec{BO}(-2\,;-1)\) et \(\vec{MK}(2\,;0)\) : la somme vaut (0 ; -1). Partant de A(0 ; 2), on arrive en (0 ; 1), donc \(\vec{BO}+\vec{MK}=\vec{AO}\).
• \(\vec{LE}(-1\,;0)\) et \(\vec{BM}(0\,;-1)\) : la somme vaut (-1 ; -1). Le point de départ est (0+1 ; 1+1) = (1 ; 2), donc \(\vec{LE}+\vec{BM}=\vec{IO}\).
• \(\vec{NA}(-1\,;2)\) et \(\vec{IO}(-1\,;-1)\) : la somme vaut (-2 ; 1). Le point de départ est (0+2 ; 2-1) = (2 ; 1), donc \(\vec{NA}+\vec{IO}=\vec{MA}\).

Exercice 47 :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées : chaque égalité donne une équation en x (abscisses) et une équation en y (ordonnées).

a. Abscisses : \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}-(-2x-1)=x-1\), soit \(\dfrac{5}{2}x+\dfrac{2}{3}=x-1\), donc \(\dfrac{3}{2}x=-\dfrac{5}{3}\) et \(x=-\dfrac{10}{9}\).

Ordonnées : \(\dfrac{3}{2}y+1-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{1}{2}=y+2\), soit \(\dfrac{7}{6}y+\dfrac{3}{2}=y+2\), donc \(\dfrac{1}{6}y=\dfrac{1}{2}\) et \(y=3\).

\(x=-\dfrac{10}{9}\) et \(y=3\).

b. Abscisses : \(\dfrac{3}{2}x-1=2x+1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\), soit \(\dfrac{3}{2}x-1=\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}\), donc \(-x=\dfrac{3}{2}\) et \(x=-\dfrac{3}{2}\).

Ordonnées : \(\dfrac{9}{2}y+3=-\dfrac{1}{3}y+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}y+1\), soit \(\dfrac{9}{2}y+3=\dfrac{1}{6}y+\dfrac{3}{2}\), donc \(\dfrac{13}{3}y=-\dfrac{3}{2}\) et \(y=-\dfrac{9}{26}\).

\(x=-\dfrac{3}{2}\) et \(y=-\dfrac{9}{26}\).

c. Abscisses : \(-2x+\dfrac{4}{3}-6x-3-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}=0\), soit \(-\dfrac{26}{3}x-1=0\), donc \(x=-\dfrac{3}{26}\).

Ordonnées : \(-6y-4+y-\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}y-\dfrac{4}{3}=0\), soit \(-\dfrac{17}{3}y-\dfrac{41}{6}=0\), donc \(y=-\dfrac{41}{6}\times \dfrac{3}{17}=-\dfrac{41}{34}\).

\(x=-\dfrac{3}{26}\) et \(y=-\dfrac{41}{34}\).

Exercice 48 :

On applique la règle \(\begin{vmatrix}a b \cr c d\end{vmatrix}=ad-bc\).

• a. \(2\times 1-1\times 2=2-2\), le déterminant vaut 0.
• b. \(2\times (-1)-1\times 2=-2-2\), le déterminant vaut -4.
• c. \(0\times 1-5\times 4=0-20\), le déterminant vaut -20.
• d. \(4\times 0-0\times 5=0-0\), le déterminant vaut 0.

Les déterminants a et d étant nuls, les colonnes correspondantes sont les coordonnées de vecteurs colinéaires.

Exercice 49 :

Remarque : l’énoncé d’origine parlait d’un triangle « CFD » ; la figure montre le triangle équilatéral BCF, construit à l’extérieur du carré sur le côté [BC].

1. Dans le triangle équilatéral ABE, la hauteur issue de E est aussi la médiane : H est le milieu de [AB], donc \(AH=\dfrac{1}{2}\). Le triangle AHE est rectangle en H ; d’après le théorème de Pythagore, \(EH^2=AE^2-AH^2=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\). Donc \(EH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

2. a. ABCD est un carré : les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires et AB = AD = 1. Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) sont donc orthogonaux et de norme 1 : le repère est orthonormé.

b. A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1), D(0 ; 1) et H(0,5 ; 0). E est au-dessus de H, à la distance \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) : \(E(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2})\).

De même, dans le triangle équilatéral BCF, le pied de la hauteur issue de F est le milieu K(1 ; 0,5) de [BC], et \(KF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ; F est à droite de [BC] : \(F(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{1}{2})\).

c. \(\vec{DE}(\dfrac{1}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1)\) et \(\vec{DF}(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;-\dfrac{1}{2})\).

\(\det(\vec{DE},\vec{DF})=\dfrac{1}{2}\times (-\dfrac{1}{2})-(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1)(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2})\).

Or \((\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1)(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1)=\dfrac{3}{4}-1=-\dfrac{1}{4}\), donc \(\det(\vec{DE},\vec{DF})=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=0\).

Les vecteurs \(\vec{DE}\) et \(\vec{DF}\) sont colinéaires et ont le point D en commun : les points D, E et F sont alignés.

Vecteurs en 2de : méthode de travail

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, vecteurs en 2de en seconde demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Translation (géométrie) sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec valeur absolue et intervalle : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.