Corrigés des exercices de maths en 2de
Le corrigé des exercices de maths sur les vecteurs en 2de. Savoir utiliser la relation de Chasles et démontrer que des vecteurs sont colinéaires en seconde.

Exercice 1 :

Les points P, Q et R sont-ils alignés ?

Oui ils sont alignés, montrez que les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont colinéaires

. points-alignes-15-6 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 2 :
ABCD est un parallélogramme.
I est le milieu de [AB].

E est le point tel que  mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

1. Effectuer la figure suivante.

parallelogramme-15-67 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
2. Déterminer les coordonnées des points de la figure
dans le repère mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

3.  Les points A, E et C sont-ils alignés ?

Oui ils sont alignés, montrez que les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont colinéaires.

Exercice 3 :

A et B sont deux points distincts du plan .

On définit le point M par la relation vectorielle suivante :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

1. Exprimer mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. en fonction de mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Utilisons la relation de Chasles :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

2. Placer le point M .

Exercice 4 :

ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points M, N, P et Q sont tels que :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

1.

a. Démontrer que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Nous avons :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

de même :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Or ABCD est un parallélogramme donc mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

donc   mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

ainsi :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

On en déduit que le quadrilatère MBPD est un parallélogramme.

b. Déduisez-en que O est le milieu de [MP] .

Propriété : les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Conclusion :

Le point O est le milieu de [MP].

parallelogramme-15-66 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 5 :
ABCD est un parallélogramme de centre O.
Donner l’ensemble des relations vectorielles possibles sur cette figure.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

il y en a d’autres sur l’identité du parallélogramme
que vous aurez l’occasion de rencontrer dans d’autres exercices du site.

parallelogramme-15-6 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Exercice 6 :

(O,I,J) est un repère orthonormal avec OI=OJ=1 cm.
a. Placer les points.

b. Nous avons :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
car mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Les coordonnées de A(-2;2) dans (O,C,D)
de même, montrer que les coordonnées sont B(-1;-1) dans (O,C,D).
Dans le repère (O,D,C), il suffit d’inverser abscisse et ordonnée.

c. LE point O a pour coordonné O(1;1) dans le repère (E,C,D).

Exercice 7 :

La figure ci-dessous représente des hexagones réguliers de centres a, b, c, d.
g6 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
1. Déterminer les images de chacun des points C,E,A,M par la translation de vecteur :
a. La translation de vecteur mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. envoie C en L, E en D, A en B et M en N.
b. La translation de vecteur mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. envoie C en d, A en a et M en c.
c. LA translation de vecteur mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. envoie C en K, E en O,A en C et M en I.

2. Utiliser la translation de vecteur mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 8 :

Démontrer que pour tous points A, B, C, D.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..
D’après la relation de Chasles.

Exercice 9 :

Dans un repère, on considère les points A(-5;3), B(2;-1), C(0;4).

a. Placer les points A,B,C.
b.mimetex.cgi?\vec{AB}(2-(-5);-1-3)=(7;-4)\\\vec{AC}(0-(-5);4-3)=(5;1),\vec{BC}=(0-2;4-(-1))=(-2;5) Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

e.mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Exercice 11 :

1.
a. Avec GEOGEBRA, on peut construire le triangle ABC, ses milieux A’, B’ et C’, ainsi que son centre de gravité G et son centre de cercle circonscrit O.

On peut ensuite construire le point H en ajoutant les vecteurs OA, OB et OC.
b. On sait que le centre de gravité G est le point d’intersection des médianes,

donc on peut écrire :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
En multipliant cette équation par 2, on obtient :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Or, on a :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Et donc :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
En simplifiant, on trouve :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

c. On a :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

En remplaçant mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. par les expressions trouvées précédemment, on obtient :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
En simplifiant, on trouve :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
On sait quemimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. car les vecteurs représentant les côtés d’un triangle se fermant sur lui-même sont égaux à mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Donc :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Et donc :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Mais mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. est un vecteur perpendiculaire au plan du triangle, donc il est orthogonal à tous les vecteurs appartenant à ce plan.

En particulier, il est orthogonal au vecteur mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., donc (AP) est perpendiculaire à (BC).

d. On peut montrer de même que (BP) est perpendiculaire à (AC) en utilisant les mêmes calculs.

e. Le point H est le point de Steiner, c’est-à-dire le centre du cercle circonscrit au triangle formé par les pieds des hauteurs du triangle ABC.

2. On a montré que :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. est trois fois plus grand que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Cela signifie que le centre de gravité se trouve sur la droite d’Euler, car c’est le point qui divise la distance entre le centre du cercle circonscrit et le point de Steiner dans le rapport 2:1 (c’est-à-dire que OH est trois fois plus grand que OG).

Exercice 12 :

triso(2) Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Analyse de la figure et remarques préliminaires.

(ME) est la droite des milieux donc (ME) et (BC) sont parallèles et 2.ME = BC. On en déduit que ME = BF = FC

(AF) est l’ axe de symétrie du triangle isocèle BAC  donc (AF) est perpendiculaire à [BC] et [ME]

Dans le triangle AMC,  [ME] est une médiane. Le centre de gravité G du triangle AMC est sur [ME] et l’on a : MG = 2.GE.

Démonstration

Considérons le quadrilatère MECF. Les cotés opposés  [ME] et[CF] sont parallèles et isométriques. MECF est donc un parallélogramme; les diagonales [MC] et [EF] ont même milieu I.

Dans le triangle MEF, [MI] est une médiane, une autre médiane est portée par la droite (AF), il s’ensuit que le point D , intersection de deux médianes est le centre de gravité du triangle MEF.

Ainsi l’on a : mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Considérons alors le triangle MEI, d’une part  les points M , G , E  sont alignés dans cet ordre, ainsi que les points M , D , I,  et  d’autre part on a les relations :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex.cgi?MG\,=\,2 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Il s’ensuit d’après la réciproque du théorème de Thalès que les droites (GD) et (IE) sont parallèles.

F étant le milieu de [BC] et E le milieu de [AC] alors [EF] est parallèle à [AB]. Ainsi la droite (MO) médiatrice de [AB] est perpendiculaire à [GD].(car (MO) est perpendiculaire à [EF] donc à [EI] et  par suite à [GD])

Considérons finalement le triangle MGD

(DO) est perpendiculaire à [ME] et (MO) est perpendiculaire à (GD), il s’ensuit que O apparaît comme l’orthocentre du triangle MGD. La troisième hauteur étant portée par la droite (OG).

 Conclusion :

Les droites (OG) et (MC) sont perpendiculaires.

Exercice 13 :

Désignons par A’ le point diamétralement opposé au point A. Il s’ensuit alors que les deux angles  mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.sont droits ( angles inscrits dans un demi-cercle )

Puisque les droites (BH) et (A’C) sont perpendiculaires à la droite (AC) alors elles sont parallèles. Il en est de même des droites (BA’) et (CH) qui sont perpendiculaires à la droite (AB).

Ainsi le quadrilatère BHCA’ est un parallélogramme puisque ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

On sait que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu, donc [HA’] mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  [BC] = {M}. Ainsi le milieu M de [BC]  appartient aussi à la droite (A’H).

Conséquences:

Les droites (A’H) et (MH) sont confondues. Les points A’ , M , H , I sont donc alignés. Il en résulte que l’angle  mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  est droit puisqu’il est inscrit dans un demi-cercle.

Les droites (MH) et (AI) sont donc perpendiculaires 

Exercice 14 :

Dans un repère mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., on donne K ( – 3 ; 5) et L(4 ; 2).
Déterminer l’abscisse du point M d’ordonnée – 2 tel que K, L et M soient alignés.

Pour que les points soient alignés il faut que les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. soient colinéaires avec mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Calculons les coordonnées de ces deux vecteurs :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

et

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Conclusion :      mimetex.cgi?M(\frac{40}{3};-2) Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 15 :

Dans un repère mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., on donne A(2 ;- 3)  B(0 ; – 3)  C( – 3 ; 0).

1.  Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Résolvons un système :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Nous obtenons les deux équations :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.donc

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Conclusion : les coordonnées du point E sont E( – 4 ; 0 ) .

2. Que peut-on dire des droites (CE) et (AB) ? Justifier.

Les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. étant colinéaires, les droites (CE) et (AB) sont parallèles.

Exercice 16 :

Dans un repère mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., on donne :

E(3 ; – 1) F(7 ; – 7)   G(5 ; – 4).

Déterminer si les trois points E, F et G sont alignés.

Vérifions si les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont colinéaires alors les trois points seront alignés.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. donc mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. donc mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Nous remarquons que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. donc les vecteurs sont colinéaires

et les points E,F et G sont alignés.

Exercice 17 :

1. Les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont-ils colinéaires ?

Calculons le déterminant :

Conclusion : ces deux vecteurs sont colinéaires.

2. Déterminer mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. tel que les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. soient colinéaires.

Le déterminant doit être nul :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 18 :

Soient A, B, C et D, quatre points quelconques du plan.

Montrer que :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Nous avons

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 19 :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Conclusion : les points B et D sont confondus.

Exercice 20 :
A et B sont deux points distincts.

On cherche à construire le point M tel que :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

1. Les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont-ils colinéaires ?ont-ils le même sens?ont-ils la même norme?

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Conclusion : ces deux vecteurs sont colinéaires de sens opposés et n’ont pas la même norme.

2. En utilisant la relation de Chasles, montrer que l’on a l’égalité :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

On sait que :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

3. En déduire mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. en fonction de mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Construire le point M.

Exercice 21 :

Les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont-ils colinéaires ?

Calculons le déterminant :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Conclusion : ces deux vecteurs sont bien colinéaires.

Exercice 22 :

On considère un triangle ABC et les points I et J tels que :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

1. Montrer à l’aide de la relation de Chasles que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

2. Que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (IC) ?

les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont donc colinéaires et on en déduit que les droites (BJ) et (IC) sont parallèles.

vecteurs-16-5 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 23 :

Dans chacun des cas suivants, montrer que les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. sont colinéaires.

1.  mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Utilisons la relation de Chasles :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

2.  mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Utilisons la relation de Chasles

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 24 :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Utilisons la relation de Chasles :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Conclusion : les points A et D sont confondus .

Exercice 25 :

1. Placer le point E tel que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

2. Placer le point F tel que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

3. Placer le point G tel que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

quadrillages Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Exercice 30 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note E l’ensemble des points dont les coordonnées (x;y) vérifient la relation :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

On considère également les points F(4;0) et F'(-4;0).

1. Calculer les coordonnées des points d’intersection de E avec les axes du repères.

Lorsque x=0 , y=3 et y= -3.

Lorsque y=0, x=5 et x= – 5 .

2. A l’aide du logiciel Geogebra, visualiser l’ensemble E et faire une conjecture sur la somme des distances MF + MF’ lorsque M est un point de E.

La distance MF+MF’ est constante.

3. Soit M(x;y) un point de E.
a) Exprimer mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  en fonction demimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  et en déduire que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

or mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ce qui est équivalent à dire que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  ce qui équivaut à mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

b) Montrer que  mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.   .

ellipse Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

c) Sachant que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. , montrer que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

puis en déduire que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  .

d) Valider la conjecture .

Exercice 31 :

Soit ABCD est un parallélogramme .

1) Placer les points M et N définis par les égalités suivantes:

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

2) Montrer en utilisant la relation de Chasles que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  .

3) Exprimer le vecteur  mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  en fonction des vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.  et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. .

Indications :

Faire une figure et utiliser la relation de Chasles.

Exercice 32 :

1.a) Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu en un point I. Pour trouver les coordonnées de D, on peut utiliser le fait que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu.

On a :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
En utilisant les coordonnées de A, B et C, on trouve :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc les coordonnées de D sont (3, -1).

b) Le centre du parallélogramme est le milieu de ses diagonales, donc on peut calculer les coordonnées de I comme le milieu de AC et BD. On a :
mimetex.cgi?\vec{OI}\,=\,\frac{1}{2}(\vec{OA}\,+\,\vec{OC})\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,2 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc les coordonnées de I sont (1, 2.5).

c) Pour trouver les coordonnées de F, on peut utiliser la formule donnant le symétrique d’un point par rapport à un autre :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc les coordonnées de F sont (-5, 5).

d) Pour calculer les coordonnées de mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., on peut utiliser les coordonnées de E et de I :
mimetex.cgi?\vec{EI}\,=\,\vec{OI}\,-\,\vec{OE}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,2.5\,\end{pmatrix}\,-\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,-1\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,3 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Pour calculer les coordonnées de mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., on peut utiliser les coordonnées de F et de A :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
On remarque que les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. ont les mêmes coordonnées mais des signes opposés.

Cela n’est pas surprenant car dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, donc le vecteur qui relie un sommet à ce point de coupure a un opposé qui relie l’autre sommet à ce point de coupure. On peut donc prévoir cette propriété.

2.
a) On sait que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

En utilisant les coordonnées de A et D, on trouve :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

En développant et simplifiant, on trouve :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Donc les coordonnées de M sont mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. avec mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

b) Pour savoir si les points M, I et D sont alignés, on peut calculer le coefficient directeur de la droite (MD) et celui de la droite (ID) et vérifier s’ils sont égaux.

Le coefficient directeur d’une droite passant par deux points (x1, y1) et (x2, y2) est donné par :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Le vecteur mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. a pour coordonnées :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Le vecteur \vec{ID} a pour coordonnées :
mimetex.cgi?\vec{ID}\,=\,\begin{pmatrix}\,1\,\\\,2.5\,\end{pmatrix}\,-\,\begin{pmatrix}\,3\,\\\,-1\,\end{pmatrix}\,=\,\begin{pmatrix}\,-2\,\\\,3 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
Le coefficient directeur de la droite (MD) est donc :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

En substituant mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.par son expression en fonction de mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., on obtient :

mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Le coefficient directeur de la droite (ID) est :
mimetex.cgi?m_{ID}\,=\,\frac{3 Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
On remarque que les coefficients directeurs sont différents, donc les points M, I et D ne sont pas alignés.

Exercice 33 :

20111104calcul-repere Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

1.
a) Pour construire les points M, N et P, on peut tracer les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. à partir des points A, B et C, dans les directions données par les coefficients des vecteurs. Les points M, N et P sont alors les extrémités de ces vecteurs.

b) On peut exprimer les vecteurs mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. en fonction de mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. en utilisant les définitions de M et N :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
c) On remarque que mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. est une combinaison linéaire de mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF. et mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., c’est-à-dire qu’il est contenu dans le plan du parallélogramme, et de même pour mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF..

Si les deux vecteurs sont contenus dans le même plan et qu’ils ont des directions différentes, alors ils doivent être parallèles.

Donc (BM) et (PN) sont parallèles.

2.
a) Dans le repère mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF., les coordonnées des points A, B, C et D sont :
A(0, 0)
B(1, 0)
C(1, 1)
D(0, 1)

b) Pour calculer les coordonnées des points M, N et P, on peut utiliser les définitions données dans l’énoncé :
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.
mimetex Vecteurs et translation  : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

Donc les coordonnées de M, N et P sont :
M(0, 3/8)
N(1, 3/4)
P(1/3, 1)

c) Comme les points M et N sont situés sur la même droite verticale AB, et que le point P a une ordonnée plus grande que celle de N et une ordonnée plus petite que celle de M, alors les droites (BM) et (PN) doivent être parallèles.

Cela confirme le résultat obtenu avec la méthode A.


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