Systèmes équations : corrigé des exercices de maths en 2de à télécharger en PDF

Exercice 1 (systèmes d’équations corrigés)

Nous obtenons le système suivant :

Elle peut prendre les différentes possibilités suivantes :

– 3 lots de guppys et lot de néons  : 30 + 5×4=50 cm

– 2 lots de guppys et 3 lots de néons ; 20 + 3x5x4=80 cm

– 1 lot de guppy et 4 lots de néons ; 10+4x5x4= 90 cm

– o lot de guppy et 6 lots de néons ; 6x5x4=120 cm

Conclusion : elle pourra soit mettre 3 lots de guppys et un lot de néonsou

2 lots de guppys et 3 lots de néons.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 2 (systèmes d’équations corrigés)

Notons x le premier nombre et y le second nombre, nous obtenons le système suivant :

Également, \(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ x+2y=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ x+2y=9(\times 3)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ 3x+6y=27\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ (3x+y)-(3x+6y)=2-27\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ 3x+y-3x-6y=-25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ y-6y=-25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ -5y=-25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ y=\dfrac{-25}{-5}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=2 \\ y=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+5=2 \\ y=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x=-3 \\ y=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=\dfrac{-3}{3} \\ y=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=-1 \\ y=5\end{array}.\)

Conclusion : les deux nombres choisis sont – 1 et 5 .

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 3 (systèmes d’équations corrigés)

Soit f cette fonction affine,

nous avons f(3)=17 et f(7)=33.

\(a=\dfrac{f(7)-f(3)}{7-3}=\dfrac{33-17}{7-3}=\dfrac{16}{4}=4\)

\(b=f(3)-a\times 3=17-4\times 3=17-12=5\)

donc la fonction affine est

f(x)=4x+5

Résolvons les équations suivantes :

f(x)=37

4x+5=37

4x=37-5

4x=32

x=32:4

x=8

f(x)=9

4x+5=9

4x=9-5

4x=4

x=4:4

x=1

f(x)=17

4x+5=17

4x=17-5

4x=12

x=12:4

x=3

f(x)=29

4x+5=29

4x=29-5

4x=24

x=24:4

x=6

Conclusion : le code de la carte bancaire est 8136 .

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 4 :

Retrouvez le prix de chaque article.

Soit x le prix d’un crayon et y le prix d’une gomme.

Nous obtenons le système suivant :

Ensuite, \(\lbrace \begin{array}{l}5x+2y=10{,}9 \\ 8x+3y=17{,}2\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}5x+2y=10{,}9 (\times 3) \\ 8x+3y=17{,}2 (\times 2)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ 16x+6y=34{,}4\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ (15x+6y)-(16x+6y)=32{,}7-34{,}4\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ 15x+6y-16x-6y=-1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ 15x-16x=-1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ -x=-1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15\times 1{,}7+6y=32{,}7 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}25{,}5+6y=32{,}7 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6y=32{,}7-25{,}5 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6y=7{,}2 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=\dfrac{7{,}2}{6} \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=1{,}2 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

Conclusion :

le prix d’un crayon est de 1,70 euro et le prix d’une gomme est de 1,20 euro.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 5 (systèmes d’équations corrigés)

Notons x le prix d’un croissant et y le prix d’un pain au lait.

Nous obtenons le système d’équations suivant :

Également, \(\lbrace \begin{array}{l}3x+y=4{,}05 \\ 4x+3y=6{,}9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3x \\ 4x+3(4{,}05-3x)=6{,}9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3x \\ 4x+12{,}15-9x=6{,}9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3x \\ 12{,}15-5x=6{,}9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3x \\ -5x=6{,}9- 12{,}15\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3x \\ -5x=-5{,}25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3x \\ x=\dfrac{-5{,}25}{-5}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3x \\ x=1{,}05\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=4{,}05-3\times 1{,}05 \\ x=1{,}05\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=0{,}9 \\ x=1{,}05\end{array}.\)

Conclusion : le prix d’un croissant est de 1,05 euro et le prix d’un pain au lait est de 0,90 euro.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 6 :

Un camion transporte 20 caisses de masses différentes:

les unes pèsent 28 kg, les autres 16 kg.

Sachant que la masse totale de ces caisses est 416 kg .

Combien y a t-il de caisses de chaque catégorie ?

Notons x le nombre de caisses de 28 kg et y le nombre de caisses de 16 kg .

De même, \(\lbrace \begin{array}{l}x+y=20 \\ 28x+16y=416\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=20-x \\ 28x+16(20-x)=416\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=20-x \\ 28x+16\times 20-16x=416\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=20-x \\ 12x+320=416\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=20-x \\ 12x=416-320\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=20-x \\ 12x=96\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=20-x=20-8=12 \\ x=\dfrac{96}{12}=8\end{array}.\)

Conclusion :

Ce camion contient 8 caisses de 28 kg et 12 caisses de 16 kg .

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De plus, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice  7 (systèmes d’équations corrigés)

Combien de chaque espèce d’oiseau Betty a acheté ?
Il y a en fait que deux équations et trois inconnues.
Mais le fait que les inconnues soient entières te permet de résoudre le système quand même.

P osons x le nombre de canards, y le nombre de poulets et z le nombre de poussins.

Betty achète 100 oiseaux, donc : x+y+z=100
Pour 100€ , donc :  \(5x+y+\dfrac{z}{20}=100\)

De la première équation : \(x=100-y-z\) .

On  remplace dans la deuxième, pour obtenir la relation  :

\(5(100-y-z)+y+\dfrac{z}{20}=100\)

\(500-5y-5z+y+\dfrac{z}{20}=100\)

\(500-4y-\dfrac{100}{20}z+\dfrac{z}{20}=100\)

\(-4y-\dfrac{99}{20}z=100-500\)

\(-4y=-400+\dfrac{99}{20}z\)

\(y=\dfrac{-400}{-4}+\dfrac{99}{-4\times 20}z\)

\(y=100-\dfrac{99}{80}z\)

\(y=\dfrac{8000-99z}{80}\)

Et c’est maintenant qu’il faut utiliser les entiers !
D’après l’énoncé, Betty achète les poussins par groupe de 20.
Elle achète donc 20, 40, 60 ou 80 poussins (0 est impossible car elle achète au moins un poussin, et 100 aussi car sinon elle n’aurait acheté que des poussins, et donc pas « au moins un canard et un poulet »).

Et tu trouves :
– pour z=20, y=75.25 (impossible car pas entier)
– pour z=40, y=50.5 (impossible car pas entier)
– pour z=60, y=25.75 (impossible car pas entier)
– pour z=80, y=1

La seule solution entière avec au moins un poussin est donc y=1, z=80. Et x=100-y-z=19.

(Remarque : le cas z=0 donne y=100 et x=0, soit 100 poules et aucun autre oiseau ; on l’écarte puisque Betty achète des oiseaux des trois espèces.)

Betty a donc acheté 19 canards, 1 poulet, et 4 lots de 20 (soit 80) poussins.

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 8 :

Une mère a 24ans de plus que sa fille.

Dans 4 ans sont âge sera le triple de celui de sa fille.
Quelle est l’âge de la fille?

Quelle est l’âge de la Mère?

Soit x : l’âge de la fille et y l’âge de la mère .

Également, \(\lbrace \begin{array}{l}y=x+24 \\ y+4=3(x+4)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=x+24 \\ x+24+4=3x+12\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=x+24 \\ x+28-3x=12\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=x+24 \\ -2x=12-28\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=x+24 \\ -2x=-16\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=x+24 \\ x=\dfrac{-16}{-2}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=8+24 \\ x=8\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=32 \\ x=8\end{array}.\)

Conclusion : la mère a 32 ans et la fille a 8 ans .

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 9 (systèmes d’équations corrigés)

1. Écrire les équations qui traduisent le texte.

Notons x le prix d’un CD et y le prix d’une BD.

Ensuite, \(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=3{,}3 \\ 4x+y=4{,}1\end{array}.\)

2.Résoudre le système d’équations et donner le prix d’un CD et le prix d’une BD.

Ensuite, \(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=3{,}3 \\ y=4{,}1-4x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3(4{,}1-4x)=3{,}3 \\ y=4{,}1-4x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+12{,}3-12x=3{,}3 \\ y=4{,}1-4x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}-10x+12{,}3=3{,}3 \\ y=4{,}1-4x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}-10x=3{,}3-12{,}3 \\ y=4{,}1-4x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}-10x=-9 \\ y=4{,}1-4x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=\dfrac{9}{10}=0{,}9 \\ y=4{,}1-4x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=0{,}9 \\ y=4{,}1-4\times 0{,}9=4{,}1-3{,}6\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=0{,}9 \\ y=0{,}5\end{array}.\)

Le prix d’un CD est de 0,90 € et le prix d’une BD est de 0,50 €.

3.Un mois plus tard, le magasin propose une réduction de 10 % sur les CD et 15 % sur les BD.

Combien aurait alors payé Loïc ?

Pour une réduction de 10%, le coefficient est 0,9 et pour une réduction de 15%, le coefficient est de 0,85.

Le prix d’un Cd devient 0,9×0,9=0,81€

Le prix d’une BD serait 0,5×0,85=0,425 €

0,81×2+0,425×3=1,62+1,275=2,895 €

Loïc paiera donc 2,895 euros.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 10 :

Système n° 1 :

Également, \(\lbrace \begin{array}{l}3x+2y=8 \\ 2x+5y=31\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}3x+2y=8(\times 2) \\ 2x+5y=31 (\times 3)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=16 \\ 6x+15y=93\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=16 \\ (6x+4y)-(6x+15y)=16-93\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=16 \\ 6x+4y-6x-15y=-77\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=16 \\ -11y=-77\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=16 \\ y=\dfrac{-77}{-11}=7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4\times 7=16 \\ y=\dfrac{-77}{-11}=7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+28=16 \\ y=\dfrac{-77}{-11}=7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x=16-28 \\ y=\dfrac{-77}{-11}=7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x=-12 \\ y=\dfrac{-77}{-11}=7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=\dfrac{-12}{6}=-2 \\ y=\dfrac{-77}{-11}=7\end{array}.\)

Conclusion :    \({\color{DarkRed} S= \lbrace (-2;7) \rbrace }\)

Système n° 2 :

Également, \(\lbrace \begin{array}{l}2x+7y=-3 \\ -3x+2y=-8\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+7y=-3(\times 3) \\ -3x+2y=-8(\times 2)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+21y=-9 \\ -6x+4y=-16\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+21y=-9 \\ (6x+21y)+(-6x+4y)=-9+(-16)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+21y=-9 \\ 6x+21y-6x+4y=-9-16\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+21y=-9 \\ 21y+4y=-25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+21y=-9 \\ 25y=-25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+21y=-9 \\ y=\dfrac{-25}{25}=-1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+21\times (-1)=-9 \\ y=\dfrac{-25}{25}=-1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x-21=-9 \\ y=\dfrac{-25}{25}=-1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x=21-9 \\ y=\dfrac{-25}{25}=-1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x=12 \\ y=\dfrac{-25}{25}=-1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=\dfrac{12}{6}=2 \\ y=\dfrac{-25}{25}=-1\end{array}.\)

Conclusion :  \({\color{DarkRed} S= \lbrace (2;-1) \rbrace }\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 11 (systèmes d’équations corrigés)

Résoudre le système suivant :

De même, \(\lbrace \begin{array}{l}x+3y=10 \\ 3x-y=0\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=10-3y \\ 3(10-3y)-y=0\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=10-3y \\ 30-9y-y=0\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=10-3y \\ 30-10y=0\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=10-3y \\ -10y=-30\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=10-3y \\ y=3\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=10-3\times 3 \\ y=3\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=1 \\ y=3\end{array}.\)

Vérification : \(1+3\times 3=10\) et \(3\times 1-3=0\).

Conclusion : \(S=\lbrace (1\,;\,3)\rbrace \).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 12 :

Calculer la longueur L et la largeur l .

\(\lbrace \begin{array}{l}L\times l=588 \\ \dfrac{L}{l}=\dfrac{4}{3}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}L=\dfrac{588}{l}\,\,(l\neq 0) \\ l=\dfrac{3}{4}L\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}L=\dfrac{588}{\dfrac{3}{4}L}\,\,(l\neq 0) \\ l=\dfrac{3}{4}L\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}\dfrac{3}{4}L^2=588\,\,(l\neq 0) \\ l=\dfrac{3}{4}L\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}L^2=\dfrac{4\times 588}{3}\,\,(l\neq 0) \\ l=\dfrac{3}{4}L\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}L^2=784 \\ l=\dfrac{3}{4}L\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}L=\sqrt{784}\,ou\,L=-\sqrt{784} \\ l=\dfrac{3}{4}L\end{array}.\)

Or L est une longueur donc c’est un nombre positif .

\(\lbrace \begin{array}{l}L=\sqrt{784} \\ l=\dfrac{3}{4}L\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}L=28 \\ l=\dfrac{3}{4}\times 28\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}L=28 \\ l=21\end{array}.\)

Vérification : \(28\times 21=588\) et \(\dfrac{28}{21}=\dfrac{4}{3}\).

Conclusion : la longueur L vaut 28 et la largeur l vaut 21 (dans l’unité de l’énoncé).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 13 (systèmes d’équations corrigés)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=0{,}5 \\ 7x+5y=605\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=0{,}5\,\,\times 5 \\ 7x+5y=605\,\,\times 3\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}10x+15y=2{,}5 \\ 21x+15y=1815\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}10x+15y=2{,}5 \\ (10x+15y)-21x-15y=2{,}5-1815\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}10x+15y=2{,}5 \\ 10x+15y-21x-15y=-1812{,}5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}10x+15y=2{,}5 \\ -11x=-1812{,}5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}10x+15y=2{,}5 \\ x=\dfrac{-1812{,}5}{-11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}10x+15y=2{,}5 \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}10\times \dfrac{1812{,}5}{11}+15y=2{,}5 \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}\dfrac{18125}{11}+15y=2{,}5 \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15y=2{,}5-\dfrac{18125}{11} \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15y=\dfrac{2{,}5\times 11}{11}-\dfrac{18125}{11} \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15y=\dfrac{27{,}5}{11}-\dfrac{18125}{11} \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15y=-\dfrac{18097{,}5}{11} \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=-\dfrac{18097{,}5}{11\times 15} \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=-\dfrac{18097{,}5}{165} \\ x=\dfrac{1812{,}5}{11}\end{array}.\)

En multipliant numérateur et dénominateur par 2, puis en simplifiant : \(x=\dfrac{3625}{22}\) et \(y=-\dfrac{36195}{330}=-\dfrac{2413}{22}\).

Vérification : \(2\times \dfrac{3625}{22}+3\times (-\dfrac{2413}{22})=\dfrac{7250-7239}{22}=\dfrac{11}{22}=0{,}5\) et \(7\times \dfrac{3625}{22}+5\times (-\dfrac{2413}{22})=\dfrac{25375-12065}{22}=\dfrac{13310}{22}=605\).

Conclusion : \(S=\lbrace (\dfrac{3625}{22}\,;\,-\dfrac{2413}{22})\rbrace \).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 14 :

Quel est le prix du kilogramme de vernis et du litre de cire ?

Soit x : le prix d’un kilogramme de vernis en euro et y : le prix d’un litre de cire en euro.

Nous obtenons le système suivant :

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=95 \\ 3x+3y=55{,}5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=95 \\ 3x+3y=55{,}5 (\times 2)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=95 \\ 6x+6y=111\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=95 \\ (6x+4y)-(6x+6y)=95-111\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=95 \\ 6x+4y-6x-6y=-16\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=95 \\ -2y=-16\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4y=95 \\ y=\dfrac{-16}{-2}=8\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+4\times 8=95 \\ y=\dfrac{-16}{-2}=8\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x+32=95 \\ y=\dfrac{-16}{-2}=8\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x=95-32 \\ y=\dfrac{-16}{-2}=8\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x=63 \\ y=\dfrac{-16}{-2}=8\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=\dfrac{63}{6}=10{,}5 \\ y=\dfrac{-16}{-2}=8\end{array}.\)

Conclusion : un kilogramme de vernis coûte 10,50 euros et un litre de cire coûte 8 euros.

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 15 (systèmes d’équations corrigés)

Soit \(x\) la note du contrôle et \(y\)la note du devoir maison.

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+y=33 \\ x+2y=39\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=33-2x \\ x+2(33-2x)=39\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=33-2x \\ x+66-4x=39\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=33-2x \\ -3x=39-66\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=33-2x \\ -3x=-27\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=33-2x \\ x=\dfrac{-27}{-3}=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=33-2\times 9=33-18=15 \\ x=9\end{array}.\)

Conclusion : Ahmed a obtenu 9 au contrôle et 15 au devoir maison .

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 16 :

1) On désire calculer le débit, en litre par heures, de chacune des fontaines.

Pour cela, on admet que les renseignements précédents sont traduits par le système de deux équations à deux inconnues :

\(\lbrace \begin{array}{l}4x+3y=55 \\ 3x+4y=57\end{array}.\)

où x est le débit horaire de la première fontaine et y est le débit horaire de la seconde fontaine.

Résoudre le système et indiquer le débit horaire de chacune des

deux fontaines.

\(\lbrace \begin{array}{l}4x+3y=55(\times 3) \\ 3x+4y=57(\times 4)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+9y=165 \\ 12x+16y=228\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+9y=165 \\ 12x+9y-(12x+16y)=165-228\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+9y=165 \\ 12x+9y-12x-16y=-63\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+9y=165 \\ -7y=-63\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+9y=165 \\ y=\dfrac{-63}{-7}\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+9y=165 \\ y=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+9\times 9=165 \\ y=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x+81=165 \\ y=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x=165-81 \\ y=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}12x=84 \\ y=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=\dfrac{84}{12} \\ y=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=7 \\ y=9\end{array}.\)

Le débit horaire de la première fontaine est de 7 litres et celui de la seconde est de 9 litres.

2) Sachant que ce bassin peut contenir 320 litres, combien faudra-t-il de temps pour le remplir, si les deux fontaines coulent ensemble pendant le même temps ?

Chaque heure il y aura 16 litres d’écoulé.

320:16 = 20

Il faudra donc 20 heures pour que ce bassin soit rempli.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 17 (systèmes d’équations corrigés)

Soit \(x\) le nombre de dromadaires et \(y\) le nombre de chameaux .
Il y a 19 bonnets et un chameau a 2 bosses : \(x+2y=19\)
Il y a 24 paires de pantoufles, chaque camélidé a 4 pattes donc 2 paires de pantoufles : \(x+y=12\)
On est amené à résoudre le système suivant :
\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=12 \\ x+2y=19\end{array}.\)
\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=12 \\ (x+2y)-(x+y)=19-12\end{array}.\)
\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=12 \\ x+2y-x-y=7\end{array}.\)
\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=12 \\ y=7\end{array}.\)
\(\lbrace \begin{array}{l}x+7=12 \\ y=7\end{array}.\)
\(\lbrace \begin{array}{l}x=12-7 \\ y=7\end{array}.\)
\(\lbrace \begin{array}{l}x=5 \\ y=7\end{array}.\)
Conclusion : il y a 5 dromadaires et 7 chameaux.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 18 :

1)

\(\lbrace \begin{array}{l}5x+2y=10{,}9\quad(\times 3) \\ 8x+3y=17{,}2\quad(\times 2)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ 16x+6y=34{,}4\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ 15x+6y-(16x+6y)=32{,}7-34{,}4\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ 15x+6y-16x-6y=-1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ -x=-1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15x+6y=32{,}7 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}15\times 1{,}7+6y=32{,}7 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}25{,}5+6y=32{,}7 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6y=32{,}7-25{,}5 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6y=7{,}2 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=\dfrac{7{,}2}{6}=1{,}2 \\ x=1{,}7\end{array}.\)

La solution du système est le couple \((1{,}7\,;\,1{,}2)\).

2)Notons x le prix d’un crayon et y le prix d’une gomme, en euros.

Nous obtenons le système précédent après traduction de l’énoncé.

Conclusion : le prix d’un crayon est de 1,70 € et le prix d’une gomme est de 1,20 €.

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. De même, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 19 (systèmes d’équations corrigés)

Résolvons ce système par substitution : on exprime \(x\) en fonction de \(y\) dans la seconde équation.

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=1 \\ x-3y=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=5+3y \\ 2x+3y=1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=5+3y \\ 2(5+3y)+3y=1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=5+3y \\ 10+6y+3y=1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=5+3y \\ 10+9y=1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=5+3y \\ 9y=-9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=5+3\times (-1) \\ y=-1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=5-3 \\ y=-1\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=2 \\ y=-1\end{array}.\)

De même, Vérification : \(2\times 2+3\times (-1)=4-3=1\) et \(2-3\times (-1)=2+3=5\).

\(S=\lbrace (2\,;\,-1)\rbrace \)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 20 :

Résolvons ce système par combinaison linéaire : on multiplie la première équation par 2 pour éliminer \(z\).

\(\lbrace \begin{array}{l}2z+3t=7\quad(\times 2) \\ 4z+5t=9\quad(\times 1)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}4z+6t=14 \\ 4z+5t=9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}4z+6t=14 \\ (4z+6t)-(4z+5t)=14-9\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}4z+6t=14 \\ 4z+6t-4z-5t=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}4z+6t=14 \\ t=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}4z+6\times 5=14 \\ t=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}4z=14-30 \\ t=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}4z=-16 \\ t=5\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}z=-4 \\ t=5\end{array}.\)

Également, Vérification : \(2\times (-4)+3\times 5=-8+15=7\) et \(4\times (-4)+5\times 5=-16+25=9\).

\(S=\lbrace (-4\,;\,5)\rbrace \), c’est-à-dire \(z=-4\) et \(t=5\).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 21 (systèmes d’équations corrigés)

Notons x: le nombre d’autos
et y: le nombre de motos.

Traduction mathématiques :
Il y a en tout 65 véhicules donc x+y = 65
On dénombre 180 roues donc 4x+2y = 180
car une auto possède 4 roues et une moto en possède 2.
Le problème revient à résoudre le système suivant :

\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=65 \\ 4x+2y=180\end{array}.\)

Par ailleurs, on peut diviser chaque membre de la seconde équation par 2.

\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=65 \\ 2x+y=90\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=65 \\ 2x+y-(x+y)=90-65\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=65 \\ 2x+y-x-y=25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x+y=65 \\ x=25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}25+y=65 \\ x=25\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}y=40 \\ x=25\end{array}.\)

Conclusion : il y a 25 autos et 40 motos.

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 22 :

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=5{,}5 \\ 3x+y=4{,}05\end{array}.\) .

1. Le couple (x=2;y=0,5) est-il solution de ce système ?.

\(\lbrace \begin{array}{l}2\times 2+3\times 0{,}5=5{,}5 \\ 3\times 2+0{,}5=6{,}5\end{array}.\)

La première équation est vérifiée, mais pas la seconde car \(6{,}5\neq 4{,}05\) : donc ce couple n’est pas solution du système.

2. Résoudre ce système d’équations .

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=5{,}5 \\ 3x+y=4{,}05\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3y=5{,}5 \\ y=4{,}05-3x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+3(4{,}05-3x)=5{,}5 \\ y=4{,}05-3x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}2x+12{,}15-9x=5{,}5 \\ y=4{,}05-3x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}-7x=5{,}5-12{,}15 \\ y=4{,}05-3x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}-7x=-6{,}65 \\ y=4{,}05-3x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=\dfrac{-6{,}65}{-7}=0{,}95 \\ y=4{,}05-3x\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=0{,}95 \\ y=4{,}05-3\times 0{,}95=4{,}05-2{,}85=1{,}2\end{array}.\)

Vérification : \(2\times 0{,}95+3\times 1{,}2=1{,}9+3{,}6=5{,}5\) et \(3\times 0{,}95+1{,}2=2{,}85+1{,}2=4{,}05\).

\(S=\lbrace (0{,}95\,;\,1{,}2)\rbrace \)

3. A la boulangerie, Anatole achète 2 croissants et 3 pains au chocolat : il paie 5,50.

Béatrice achète 3 croissants et 1 pain au chocolat et paie 4,05 .

Quel est le prix d’un croissant? Quel est le prix d’un pain au chocolat ?

En notant x: le prix d’un croissant et y : le prix d’un pain au chocolat, on aboutit au système précédent.

Un croissant coûte 0,95 € et un pain au chocolat coûte 1,20 €.

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 23 (systèmes d’équations corrigés)

1. De plus, on remplace \(x\) par \(-5\) et \(y\) par \(2\) dans le membre de gauche :
   \(-\dfrac{3}{5}\times (-5)+2+1=3+2+1=6\).
   Comme \(6\neq 0\), le couple \((-5\,;\,2)\) ne vérifie pas l’équation.
2. Ainsi, on remplace \(x\) par \(\dfrac{5}{2}\) et \(y\) par \(\dfrac{1}{2}\) :
   \(-\dfrac{3}{5}\times \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}+1=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}+1=-1+1=0\).
   Les coordonnées vérifient l’équation, donc le point \((\dfrac{5}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\) appartient à la droite.

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 24 :

Pour lire le coefficient directeur d’une droite, on choisit deux points à coordonnées entières \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) de la droite et on calcule \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) : c’est le déplacement vertical lorsqu’on avance d’une unité vers la droite.

• \((d_1)\) passe par \((1\,;\,2)\) et \((5\,;\,0)\) : \(m_1=\dfrac{0-2}{5-1}=\dfrac{-2}{4}\), donc \(m_1=-\dfrac{1}{2}\).
• \((d_2)\) passe par \((0\,;\,4)\) et \((1\,;\,7)\) : \(m_2=\dfrac{7-4}{1-0}\), donc \(m_2=3\).
• \((d_3)\) passe par \((1\,;\,-5)\) et \((2\,;\,1)\) : \(m_3=\dfrac{1-(-5)}{2-1}\), donc \(m_3=6\).
• \((d_4)\) est parallèle à l’axe des abscisses (tous ses points ont pour ordonnée 2) : \(m_4=0\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Également, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 25 (systèmes d’équations corrigés)

• \((d_1)\) passe par \((0\,;\,1)\) et \((3\,;\,0)\) : \(m_1=\dfrac{0-1}{3-0}\), donc \(m_1=-\dfrac{1}{3}\).
• \((d_2)\) passe par \((0\,;\,-2)\) et \((2\,;\,1)\) : \(m_2=\dfrac{1-(-2)}{2-0}\), donc \(m_2=\dfrac{3}{2}\).
• \((d_3)\) passe par \((0\,;\,3)\) et \((1\,;\,1)\) : \(m_3=\dfrac{1-3}{1-0}\), donc \(m_3=-2\).

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 26 :

L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées s’écrit \(y=mx+p\) : \(p\) est l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées et \(m\) le coefficient directeur.

• \((d_1)\) coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;\,1)\), donc \(p=1\) ; elle passe aussi par \((3\,;\,0)\), donc \(m=\dfrac{0-1}{3-0}=-\dfrac{1}{3}\). \((d_1) : y=-\dfrac{1}{3}x+1\).
• \((d_2)\) coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;\,-2)\), donc \(p=-2\) ; elle passe aussi par \((2\,;\,1)\), donc \(m=\dfrac{1-(-2)}{2-0}=\dfrac{3}{2}\). \((d_2) : y=\dfrac{3}{2}x-2\).
• \((d_3)\) coupe l’axe des ordonnées en \((0\,;\,3)\), donc \(p=3\) ; elle passe aussi par \((1\,;\,1)\), donc \(m=\dfrac{1-3}{1-0}=-2\). \((d_3) : y=-2x+3\).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 27 (systèmes d’équations corrigés)

Les abscisses de A et B sont différentes, donc la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées et son coefficient directeur vaut :

\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-2-1}{4-(-2)}=\dfrac{-3}{6}\)

Le coefficient directeur de (AB) est \(m=-\dfrac{1}{2}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 28 :

Les abscisses de G et H sont différentes, donc (GH) a une équation réduite de la forme \(y=mx+p\).

Enfin, Coefficient directeur : \(m=\dfrac{y_H-y_G}{x_H-x_G}=\dfrac{-3-(-1)}{5-(-3)}=\dfrac{-2}{8}=-\dfrac{1}{4}\).

Ordonnée à l’origine : G appartient à la droite, donc \(y_G=m\times x_G+p\), soit \(-1=-\dfrac{1}{4}\times (-3)+p\), c’est-à-dire \(-1=\dfrac{3}{4}+p\), d’où \(p=-1-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{7}{4}\).

De plus, Vérification avec H : \(-\dfrac{1}{4}\times 5-\dfrac{7}{4}=-\dfrac{12}{4}=-3\).

\((GH) : y=-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{7}{4}\)

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 29 :

1. De même, une droite d’équation cartésienne \(ax+by+c=0\) admet pour vecteur directeur \(\vec{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\).
   • Pour \(-2y+3=0\) : \(a=0\), \(b=-2\), donc \(\vec{u}\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)) dirige la première droite. C’est la droite horizontale d’équation \(y=\dfrac{3}{2}\).
   • Pour \(3x+4=0\) : \(a=3\), \(b=0\), donc \(\vec{v}\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}\) (ou \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)) dirige la seconde droite. C’est la droite verticale d’équation \(x=-\dfrac{4}{3}\).
2. \(\det(\vec{u},\vec{v})=2\times 3-0\times 0=6\neq 0\) : les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, donc les deux droites sont sécantes. Plus précisément, l’une est horizontale et l’autre verticale : elles sont perpendiculaires et se coupent au point \((-\dfrac{4}{3}\,;\,\dfrac{3}{2})\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 30 :

On écrit d’abord chaque équation sous la forme \(ax+by=c\), puis on élimine \(x\).

\(\lbrace \begin{array}{l}2x-3y=-1\quad(\times 3) \\ -3x+4y=2\quad(\times 2)\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}6x-9y=-3 \\ -6x+8y=4\end{array}.\)

En additionnant membre à membre : \(-9y+8y=-3+4\), soit \(-y=1\), donc \(y=-1\).

On remplace dans la première équation : \(2x-3\times (-1)=-1\), soit \(2x+3=-1\), donc \(2x=-4\) et \(x=-2\).

Ainsi, Vérification : \(2\times (-2)-3\times (-1)+1=-4+3+1=0\) et \(-3\times (-2)+4\times (-1)-2=6-4-2=0\).

\(S=\lbrace (-2\,;\,-1)\rbrace \)

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Par ailleurs, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 31 :

La première équation donne \(x=3y-4\). Ensuite, on remplace \(x\) dans la seconde :

\(\lbrace \begin{array}{l}x=3y-4 \\ 2(3y-4)-5y+1=0\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=3y-4 \\ 6y-8-5y+1=0\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=3y-4 \\ y-7=0\end{array}.\)

\(\lbrace \begin{array}{l}x=3\times 7-4=17 \\ y=7\end{array}.\)

De même, Vérification : \(17-3\times 7+4=17-21+4=0\) et \(2\times 17-5\times 7+1=34-35+1=0\).

\(S=\lbrace (17\,;\,7)\rbrace \)

Ensuite, on retrouve exactement la même méthode pour cet exercice. Ainsi, chaque étape se calcule de la même façon que précédemment. Donc il suffit d’appliquer le cours avec soin.

Exercice 32 :

Pour chaque droite non verticale, on lit l’ordonnée à l’origine \(p\), puis on calcule le coefficient directeur \(m\) avec un second point du quadrillage.

• \((d_1)\) passe par \((0\,;\,2)\) et, aux imprécisions du tracé près, par \((-3\,;\,1)\) et \((3\,;\,3)\) : \(m=\dfrac{3-2}{3-0}=\dfrac{1}{3}\). \((d_1) : y=\dfrac{1}{3}x+2\).
• \((d_2)\) passe par \((0\,;\,-3)\) et \((-6\,;\,0)\) : \(m=\dfrac{0-(-3)}{-6-0}=-\dfrac{1}{2}\). \((d_2) : y=-\dfrac{1}{2}x-3\).
• \((d_3)\) est parallèle à l’axe des ordonnées : tous ses points ont pour abscisse \(-1\). \((d_3) : x=-1\).
• \((d_4)\) passe par \((0\,;\,3)\) et \((1\,;\,1)\) : \(m=\dfrac{1-3}{1-0}=-2\). \((d_4) : y=-2x+3\).
• \((d_5)\) est parallèle à l’axe des abscisses : tous ses points ont pour ordonnée 3. \((d_5) : y=3\).
• \((d_6)\) passe par l’origine \((0\,;\,0)\) et par \((2\,;\,3)\) : \(m=\dfrac{3}{2}\). \((d_6) : y=\dfrac{3}{2}x\).

De même, la démarche de cet exercice reste identique à celle des précédents. Par conséquent, on applique le même ordre de calcul. Enfin, on vérifie le résultat obtenu.

Exercice 33 :

Une droite d’équation réduite \(y=mx+p\) est dirigée par \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}\) ; une droite d’équation \(x=k\) est dirigée par \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Tout vecteur non nul colinéaire convient aussi.

• \((d_1) : x=4\) est verticale : \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\).
• \((d_2) : y=6{,}5\) est horizontale (\(m=0\)) : \(\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).
• \((d_3) : y=x+2\), \(m=1\) : \(\vec{u_3}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
• \((d_4) : y=-x+9\), \(m=-1\) : \(\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\).
• \((d_5) : y=8{,}1x+31\), \(m=8{,}1\) : \(\vec{u_5}\begin{pmatrix}1\\8{,}1\end{pmatrix}\), ou encore \(\begin{pmatrix}10\\81\end{pmatrix}\).
• \((d_6) : y=-\dfrac{7}{3}x+\dfrac{1}{6}\), \(m=-\dfrac{7}{3}\) : \(\vec{u_6}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac{7}{3}\end{pmatrix}\), ou encore \(\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}\).

Ainsi, on applique ici le même raisonnement que pour l’exercice précédent. Donc les mêmes règles de calcul s’appliquent encore. Puis on simplifie le résultat si besoin.

Exercice 34 :

Un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à \((d)\) si et seulement si \(\vec{AM}\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\) sont colinéaires, c’est-à-dire \(\det(\vec{AM},\vec{u})=(x-x_A)\times \beta-(y-y_A)\times \alpha=0\).

• a. \(\vec{AM}\begin{pmatrix}x+10\\y-3\end{pmatrix}\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) : \((x+10)\times 1-(y-3)\times 0=0\). \((d) : x+10=0\).
• b. \(\vec{AM}\begin{pmatrix}x-6\\y+4\end{pmatrix}\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}\) : \((x-6)\times 0-(y+4)\times (-2)=0\), soit \(2y+8=0\). \((d) : y+4=0\).
• c. \(\vec{AM}\begin{pmatrix}x+3\\y-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) : \((x+3)\times 2-(y-1)\times 4=0\), soit \(2x+6-4y+4=0\), c’est-à-dire \(2x-4y+10=0\). En divisant par 2 : \((d) : x-2y+5=0\).
• d. \(\vec{AM}\begin{pmatrix}x+1\\y+2\end{pmatrix}\) et \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) : \((x+1)\times 1-(y+2)\times 1=0\). \((d) : x-y-1=0\).

Par ailleurs, cet exercice se traite avec la même technique de calcul. De ce fait, la vérification se fait de la même manière. Ainsi, chaque résultat reste facile à contrôler.

Exercice 35 :

On utilise le vecteur directeur \(\vec{AB}\) et la condition \(\det(\vec{AM},\vec{AB})=0\) pour un point \(M(x\,;\,y)\).

• a. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}0\\6{,}5\end{pmatrix}\) : \((x-0)\times 6{,}5-(y+10)\times 0=0\), soit \(6{,}5x=0\). Équation cartésienne : \(x=0\) ; la droite (AB) est l’axe des ordonnées, elle est verticale et n’a pas d’équation de la forme \(y=mx+p\) : son équation réduite est \(x=0\).
• b. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\) : \((x+1)\times 0-(y-2)\times 6=0\), soit \(-6y+12=0\). Équation réduite : \(y=2\).
• c. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\) : \((x+5)\times (-1)-(y+1)\times 1=0\), soit \(-x-y-6=0\). Équation réduite : \(y=-x-6\).
• d. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) : \((x-2)\times 3-(y+2)\times 1=0\), soit \(3x-y-8=0\). Équation réduite : \(y=3x-8\).
• e. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}3\\-\dfrac{3}{2}\end{pmatrix}\) : \((x+\dfrac{1}{2})\times (-\dfrac{3}{2})-(y+\dfrac{1}{2})\times 3=0\), soit \(-\dfrac{3}{2}x-3y-\dfrac{9}{4}=0\). En multipliant par \(-4\) : \(6x+12y+9=0\), ou encore \(2x+4y+3=0\). Équation réduite : \(y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}\).
• f. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\\1\end{pmatrix}\) : \((x-\dfrac{2}{3})\times 1-(y-\dfrac{2}{3})\times \dfrac{2}{3}=0\), soit \(x-\dfrac{2}{3}y-\dfrac{2}{9}=0\). En multipliant par 9 : \(9x-6y-2=0\). Équation réduite : \(y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{3}\).

Pour chaque cas, on vérifie que les coordonnées de A et de B satisfont l’équation trouvée : par exemple en e., \(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}=-2\).

Également, on procède ici de la même façon que juste avant. Ainsi, on retrouve la même rigueur dans chaque étape. Donc rien ne change dans la méthode à suivre.

Exercice 36 :

Attention : dans ce repère, l’unité (\(OI\) et \(OJ\)) correspond à deux carreaux. Puis les coordonnées ci-dessous sont données dans le repère \((O\,;\,I,\,J)\) ; la pente se calcule avec deux points repérés par une croix : \(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).

• \((d_1)\) est horizontale (croix en \((-1\,;\,3)\) et \((5{,}5\,;\,3)\)) : pente \(0\).
• \((d_2)\) passe par \(O(0\,;\,0)\) et par \((1\,;\,1)\) : \(m=\dfrac{1-0}{1-0}\), pente \(1\).
• \((d_3)\) passe par \((-4{,}5\,;\,3{,}5)\) et \((-3{,}5\,;\,1{,}5)\) : \(m=\dfrac{1{,}5-3{,}5}{-3{,}5-(-4{,}5)}=\dfrac{-2}{1}\), pente \(-2\).
• \((d_4)\) passe par \((3\,;\,-1{,}5)\) et \((4\,;\,4{,}5)\) : \(m=\dfrac{4{,}5-(-1{,}5)}{4-3}=\dfrac{6}{1}\), pente \(6\).
• \((d_5)\) passe par \((-3\,;\,4)\) et \((-1\,;\,3)\) : \(m=\dfrac{3-4}{-1-(-3)}=\dfrac{-1}{2}\), pente \(-\dfrac{1}{2}\).
• \((d_6)\) passe par \((0{,}5\,;\,-2)\) et \((3\,;\,-0{,}5)\) : \(m=\dfrac{-0{,}5-(-2)}{3-0{,}5}=\dfrac{1{,}5}{2{,}5}\), pente \(\dfrac{3}{5}\).

Puis on continue avec un exercice qui se résout selon la même logique. Enfin, on vérifie chaque résultat avec soin. Enfin, de plus, on prend le temps de bien rédiger.

Exercice 37 :

Ici l’unité est d’un carreau. De plus, pour passer de l’équation réduite \(y=mx+p\) à une équation cartésienne, on regroupe tous les termes dans un même membre : \(mx-y+p=0\) (puis on multiplie éventuellement pour supprimer les fractions).

• \((d_1)\) est horizontale et passe par \((-4\,;\,-3)\) et \((4\,;\,-3)\) : \(y=-3\) ; équation cartésienne \(y+3=0\).
• \((d_2)\) est verticale et passe par \((-1\,;\,4)\), \((-1\,;\,1)\) et \((-1\,;\,-4)\) : elle n’a pas d’équation de la forme \(y=mx+p\), son équation réduite est \(x=-1\) ; équation cartésienne \(x+1=0\).
• \((d_3)\) passe par \(O(0\,;\,0)\), \((-1\,;\,1)\) et \((1\,;\,-1)\) : \(m=-1\) et \(p=0\), donc \(y=-x\) ; équation cartésienne \(x+y=0\).
• \((d_4)\) passe par \((-3\,;\,0)\) et \((0\,;\,6)\) : \(m=\dfrac{6-0}{0-(-3)}=2\) et \(p=6\), donc \(y=2x+6\) ; équation cartésienne \(2x-y+6=0\). (Le point \((-1\,;\,4)\) convient bien : \(2\times (-1)+6=4\).)
• \((d_5)\) passe par \((0\,;\,-5)\) et \((4\,;\,5)\) : \(m=\dfrac{5-(-5)}{4-0}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}\) et \(p=-5\), donc \(y=\dfrac{5}{2}x-5\) ; en multipliant par 2 : \(5x-2y-10=0\).
• \((d_6)\) passe par \((-5\,;\,3)\) et \((2\,;\,4)\) : \(m=\dfrac{4-3}{2-(-5)}=\dfrac{1}{7}\) ; puis \(4=\dfrac{1}{7}\times 2+p\) donne \(p=4-\dfrac{2}{7}=\dfrac{26}{7}\). Donc \(y=\dfrac{1}{7}x+\dfrac{26}{7}\) ; en multipliant par 7 : \(x-7y+26=0\).

Systèmes d’équations corrigés : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. Ensuite, en outre, quelques minutes par jour suffisent pour retenir l’essentiel.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, pour aller plus loin, l’article Équation de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec fonctions : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.