Calculs et problèmes : corrigé des exercices de maths en 2de en PDF.

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Le corrigé des exercices de maths en 2de sur les calculs et problèmes. Développer des compétences sur les fractions, les puissances.

Exercice 1 :

Soit X=\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}

a. Montrer que X<0.

tout d’abord 3-2\sqrt{2}<3+2\sqrt{2}

Soit la fonction f:x \mapsto   \sqrt{x} , cette fonction est strictement croissante sur [0;+\infty[.

donc 0<3-2\sqrt{2}<3+2\sqrt{2}

\Rightarrowf(0)<f(3-2\sqrt{2})<f(3+2\sqrt{2})

ainsi

\sqrt{0}<\sqrt{3-2\sqrt{2}}<\sqrt{3+2\sqrt{2}}

et donc

\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}<0

b. Calculer X^2 .

X^2=(\sqrt{3-2\sqrt{2}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}})^2=(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^2-2\sqrt{3-2\sqrt{2}}\sqrt{3+2\sqrt{2}}+(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^2\\=3-2\sqrt{2}-2\sqrt{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}+3+2\sqrt{2}

\\=6-2\sqrt{9-(2\sqrt{2})^2}

\\=6-2\sqrt{9-8}

\\=4

c. En déduire la valeur de X.Il y a deux valeurs possibles X=2 ou X=-2

or

d’après 1 X<0 , on en déduit que X = – 2 .

Exercice 2 :

Calculer :

A=(-2)^3\times   5+3^2\times   2^4-5\times   2^2

A=-40+144-20=84

B=9\times   (\frac{2}{3})^2-(3^2\times   2)^4-5\times   2^2

B=9\times   \frac{4}{9}-3^8\times   2^4-20

B=4-104976-20

B=-104992

Exercice 3 :

A=1+\frac{3}{4}\times   \frac{2}{3}-\frac{1}{6}:\frac{3}{4}

A=1+\frac{2}{4}-\frac{1}{6}\times   \frac{4}{3}

A=1+\frac{1}{2}-\frac{2}{9}

A=\frac{18}{18}+\frac{9}{18}-\frac{4}{18}

{\color{DarkRed} A=\frac{23}{18}}

B=(7-\frac{3}{2})\times   (\frac{25}{7}+\frac{3}{5})

B=(\frac{14}{2}-\frac{3}{2})\times   (\frac{25\times   5}{7\times   5}+\frac{3\times   7}{5\times   7})

B=\frac{11}{2}\times   (\frac{25\times   5}{35}+\frac{3\times   7}{35})

B=\frac{11}{2}\times   (\frac{125}{35}+\frac{21}{35})

B=\frac{11}{2}\times   (\frac{146}{35})

B=\frac{11}{2}\times   (\frac{2\times   73}{35})

B=\frac{11\times   73}{35}

B=\frac{803}{35}

Exercice 4 :

1. Développer et réduire:

a= (5x+1)(2x+3)

a=10x^2+15x+2x+3

{\color{red} a=10x^2+17x+3}

b= (4x-5)(7x-1)

b=28x^2-4x-35x+5

{\color{DarkRed} b=28x^2-39x+5}

c= (2x+5)(7x-3)

c=14x^2-6x+35x-15

{\color{DarkRed} c=14x^2+29x-15}

d= (-4x-6)(2x-1)

d=-8x^2+4x-12x+6

{\color{DarkRed} d=-8x^2-8x+6}

2. Développer et réduire:

e= (5x+1)(2x+3)+(5x+1)(x+2)

e=(10x^2+15x+2x+3)+(5x^2+10x+x+2)

e=(10x^2+17x+3)+(5x^2+11x+2)

{\color{DarkRed} e=15x^2+28x+5}

f= (4x-5)(7x-1)-(4x-5)(3x+2)

f=(28x^2-4x-35x+5)-(12x^2+8x-15x-10)

f=(28x^2-39x+5)-(12x^2-7x-10)

f=28x^2-39x+5-12x^2+7x+10

{\color{DarkRed} f=16x^2-32x+15}

g= (-4x-6)(2x-1)+(2x-3)(8x-11)

g=(-8x^2+4x-12x+6)+(16x^2-22x-24x+33)

g=-8x^2-8x+6+16x^2-46x+33

{\color{DarkRed} g=8x^2-54x+39}

h= (x-8)(5+3x)-(x-8)(7-x)

h=(5x+3x^2-40-24x)-(7x-x^2-56+8x)

h=(3x^2-19x-40)-(-x^2+15x-56)

h=3x^2-19x-40+x^2-15x+56

{\color{DarkRed} h=4x^2-34x+16}

Exercice 5 :

Encadrer x^2   lorsque -\sqrt{5}\leq\, x< 1 .

alors

{\color{DarkRed} 0\leq\, x^2\leq\, 5}

Exercice 6 :

Factoriser  les expressions suivantes :

A=(3x-5)^2+3x-5

A=(3x-5)(3x-5)+(3x-5)\times  ,1

A=(3x-5)[(3x-5)+,1]

A=(3x-5)(3x-4)

B=-7x(x+2)+14(x+2)

B=(x+2)(-7x+14)

C=(4x-8)^2-(1-x)(4x-8)^3

C=(4x-8)^2[1-(1-x)(4x-8)]

C=(4x-8)^2[1-(4x-8-4x^2+8x)]

C=(4x-8)^2(1-4x+8+4x^2-8x)

C=(4x-8)^2(4x^2-12x+9)

C=(4x-8)^2(2x-3)^2

Exercice 7 :

A=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{27}

A=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+\sqrt{9\times  ,3}

A=2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}

{\color{DarkRed},A=\sqrt{3}}

B=\frac{3-\sqrt{6}}{4-\sqrt{5}}

B=\frac{,(3-\sqrt{6},,)\times  ,,(4+\sqrt{5},,),}{,(4-\sqrt{5},,)\times  ,,(4+\sqrt{5},,)}

B=\frac{,(3-\sqrt{6},,)\times  ,,(4+\sqrt{5},,),}{4^2-\sqrt{5}^2}

B=\frac{12+3\sqrt{5}-4\sqrt{6}-\sqrt{30},}{16-5}

B=\frac{12+3\sqrt{5}-4\sqrt{6}-\sqrt{30},}{11}

Exercice 8 :
1. Sous quelle forme s’écrit un nombre pair ?

2k\,(k\in\mathbb{R}).

2. Sous quelle forme s’écrit un nombre impair ?

2k+1\,(k\in\mathbb{R}).

3.  Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair.

(2k)^2=4k^2=2\times   (2k^2)=2K   avec K=2k^2\in\mathbb{R}

Conclusion : le carré d’un nombre pair est un nombre pair .

Exercice 9 :
1. Calculer la somme de 5 entiers consécutifs.

A vous de faire quelques essais .

2. Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5.

Soit x le plus petit des entiers .

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5x+1+2+3+4=5x+10=5(x+2)

Soit k=x+2

x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)=5k\,(k\in\mathbb{N})

Donc la somme de 5 entiers consécutifs est bien un multiple de 5.

Exercice 10 :
1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1.

Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais)
2x3x4x5+1=121=11²
5x6x7x8+1=1681=41²
6x7x8x9+1=3025=55²

2. Montrer que, pour tout réel x, on a :

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2

Expliquer le résultat observé  à  la question 1.

Le produit de 4 nombres consécutifs plus 1 peut s’écrire comme le carré d’un nombre.

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