Corrigés des exercices de maths en 2de
Le corrigé des exercices de maths en 2de sur les calculs et problèmes. Développer des compétences sur les fractions, les puissances.

Exercice 1 :

Soit mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

a. Montrer que mimetex.cgi?X<0 Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

tout d’abord mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Soit la fonction mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. , cette fonction est strictement croissante sur mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF..

donc mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

ainsi

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et donc

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b. Calculer mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. .

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c. En déduire la valeur de mimetex.cgi?X Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.Il y a deux valeurs possibles X=2 ou X=-2

or

d’après 1 X<0 , on en déduit que X = – 2 .

Exercice 2 :

Calculer :

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Exercice 3 :

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Exercice 4 :

1. Développer et réduire:

a= (5x+1)(2x+3)

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b= (4x-5)(7x-1)

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c= (2x+5)(7x-3)

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d= (-4x-6)(2x-1)

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2. Développer et réduire:

e= (5x+1)(2x+3)+(5x+1)(x+2)

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f= (4x-5)(7x-1)-(4x-5)(3x+2)

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g= (-4x-6)(2x-1)+(2x-3)(8x-11)

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h= (x-8)(5+3x)-(x-8)(7-x)

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Exercice 5 :

Encadrer mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.   lorsque mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. .

alors

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Exercice 6 :

Factoriser  les expressions suivantes :

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Exercice 7 :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

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Exercice 8 :
1. Sous quelle forme s’écrit un nombre pair ?

mimetex.cgi?2k\,(k\in\mathbb{R}) Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

2. Sous quelle forme s’écrit un nombre impair ?

mimetex.cgi?2k+1\,(k\in\mathbb{R}) Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

3.  Montrer que le carré d’un nombre pair est un nombre pair.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.   avec mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Conclusion : le carré d’un nombre pair est un nombre pair .

Exercice 9 :
1. Calculer la somme de 5 entiers consécutifs.

A vous de faire quelques essais .

2. Montrer que la somme de cinq entiers consécutifs est un multiple de 5.

Soit x le plus petit des entiers .

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Soit mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Donc la somme de 5 entiers consécutifs est bien un multiple de 5.

Exercice 10 :
1. Calculer le produit de quatre entiers consécutifs et ajouter 1.

Que remarque-t-on ? (Faire plusieurs essais)
2x3x4x5+1=121=11²
5x6x7x8+1=1681=41²
6x7x8x9+1=3025=55²

2. Montrer que, pour tout réel x, on a :

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Expliquer le résultat observé  à  la question 1.

Le produit de 4 nombres consécutifs plus 1 peut s’écrire comme le carré d’un nombre.

Exercice 11 :
a. Décomposer en produit de nombres premiers 220 et 284.

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b.  Vérifier que 220 et 284 sont amicaux.

Les diviseurs de 220 sont 1;2;4;5;10;11;20;22;44;55;110;220.

Les diviseurs de 284 sont 1;2;4;71;142;284

or calculons la somme des diviseurs sauf m :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

et

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Conclusion : 220 et 284 sont deux entiers amicaux.

Exercice 12 :

Ecrire sous forme d’intervalles mimetex.cgi?(x\in.. Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.  :

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Exercice 13 :

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1. Hervé doit factoriser A.

Voici sa réponse :

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mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Tester l’égalité obtenue  par Hervé pour mimetex.cgi?x=0 Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Que peut-on en conclure ?

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

or si l’on remplace 0 dans l’expression de départ, nous obtenons :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Conclusion : Hervé s’est trompé lors de sa factorisation.

2. Pour factoriser A, on peut penser à écrire :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Factoriser alors correctement A.

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Exercice 14 :

Factoriser chaque expression en mettant en évidence un facteur commun.

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Exercice 15 :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 16 :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

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Exercice 17 :
mimetex.cgi?x= | \sqrt{2}-1  |=\sqrt{2}-1\,car\,\sqrt{2}>1 Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex.cgi?y= | \sqrt{3}-5  |=5-\sqrt{3}\,car\,5>\sqrt{3} Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex.cgi?z= | \pi-5  |=5-\pi\,car5>\pi Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex.cgi?t= | 7-2\pi  |=7-2\pi\,car\,7>2\pi Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex.cgi?v= | 3-\pi  |=\pi-3\,car\,\pi>3 Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 18 :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

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Exercice 19 :

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Exercice 20 :

Le nombre d’or est le nombre mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF..

Vérifier les égalités suivantes :

1.    mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. .

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

2.    mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. .

Multiplions par mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. :

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mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.  (c’est l’égalité de la question 1.)

3.    mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Nous savons que :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Multiplions cette égalité par mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.  (car mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. )

donc

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF..

Exercice 21 :
La vitesse de la lumière est estimée à mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. m/s

et la distance moyenne Terre-Soleil à 149 millions de kilomètres.

Calculer le temps nécessaire à un signal lumineux issu de la Terre pour parvenir au
Soleil.

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mimetex.cgi?{\color{DarkRed} t\simeq 497\,s Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

terre-soleil Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 22 :

Pour mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. , calculer :

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Exercice 23 :

Démonter que la diagonale d’un carré de coté   mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.  est   mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. .

Dans le triangle rectangle ABC rectangle en B, d’après la partie directe du théorème de Pythagore :

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mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.    (une longueur est positive ou nulle )

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carre-9 Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 24 :

Soit n un entier impair. n peut s’écrire sous la forme 2k + 1, où k est un nombre entier quelconque.

Le carré de n est donc :

n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1.

Comme 2k^2+2k est un nombre entier, 2(2k^2+2k) est un nombre pair.

Ainsi, le carré de n est égal à un nombre pair plus 1.

Il est donc impair.

Exercice 25 :

1. 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7 3150 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7 x 5

2. \frac{3150}{630} = \frac{2 x 3 x 3 x 5 x 7 x 5}{2 x 3 x 3 x 5 x 7} = 5

3. PGCD(630 ; 3150) = 2 x 3 x 3 x 5 x 7 = 630

Exercice 26 :

mimetex.cgi?1.\,\\\\A=\,\frac{10\times  \,3\times  \,\sqrt{5}\times  \,6\times  \,\sqrt{2\times  \,2\times  \,2\times  \,2\times  \,3}}{5\times  \,\sqrt{2\times  \,3\times  \,5}\times  \,\sqrt{2\times  \,2\times  \,5}}\,\\\\=\,\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\,\\\\=\,9\sqrt{2}\,\\\\B=\,\frac{2\times  \,3\times  \,3\times  \,3}{2\times  \,2\times  \,7\times  \,5\times  \,11\times  \,2\times  \,2\times  \,11}\,\\\\=\,\frac{27}{1540}\,2 Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 27 :

1. Soit k un entier naturel dont le nombre des dizaines est a.

Si k = a5, alors pour calculer k² :

– On multiplie a(a + 1) pour obtenir les dizaines du résultat.
– On ajoute 25 à la fin pour obtenir les unités du résultat.

On peut vérifier que cela fonctionne pour tous les exemples donnés. Par exemple, pour 35 :

– a = 3
– a(a+1) = 3 x 4 = 12, donc les dizaines du résultat sont 12.
– On ajoute 25 à la fin : 1225, donc le carré de 35 est 1225.

2.
k = a x 10 + 5

k² = (a x 10 + 5)²

k² = (10a)² + 2 x 10a x 5 + 5²

k² = 100a² + 100a + 25

k² = 25 x (4a² + 4a + 1)

On peut donc voir que le carré d’un multiple de 5 dont le nombre des dizaines est a est un multiple de 25 dont les dizaines sont égales à 4a(a+1). On peut vérifier que cela fonctionne pour tous les exemples donnés.

Cela fonctionne également pour le produit de deux nombres entiers à 2 chiffres dont les chiffres des dizaines sont égaux et la somme des unités est 10. Par exemple, 35 x 45 = 1575, et 3 + 5 = 8, donc les chiffres des dizaines sont bien égaux et la somme des unités est bien 10. On peut appliquer la même méthode que précédemment pour trouver le carré de ce produit.

Exercice 28 :
1. Pour chaque ligne, reconstruire la phrase en utilisant Si……alors …. ou …si et seulement si ….:

a.

SI Il pleut ALORS je prends mon parapluie.

SI I milieu de [AB] ALORS AI=BI

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. SI ET SEULEMENT SImimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF..

SI mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. ALORS mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF..

SI mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. ALORS ABC est isocèle en A.

Exercice 29 :
Pour n entier naturel, comparer les nombres suivants :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 30 :
Soient mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. ,comparer les nombres :

Supposons que mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.
Alors mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.
Alors mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.
Alors mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.
Alors mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.
ceci étant toujours vrai puisque mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

donc mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 31 :
1. Compléter à l’aide des symboles mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

a. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

b. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

2. Préciser l’intervalle correspondant à :

a. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

b. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

c. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

Exercice 32 :
a.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

b.

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

2. Simplifier puis donner sous forme d’écriture scientifique la fraction suivante :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

3. Simplifier les écritures suivantes :

a. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

b. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

c. mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.

4. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. .

Exercice 33 :
a. Indiquer la nature des nombres suivants :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. : rationnel mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.: rationnel

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.: entier D=1+mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF. : irrationnel

b. Simplifier l’écriture du nombre suivant :

mimetex Calculs et problèmes  : corrigé des exercices de maths en  2de en PDF.


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