Voici le corrigé du contrôle de maths de 1ère sur le thème : étude de fonctions avec l’exponentielle.
Cette correction rédige chaque calcul de dérivée en nommant la formule utilisée : \((e^{u})^{\prime} = u^{\prime}e^{u}\) quand \(u\) est affine, dérivée d’un produit ou d’un quotient. Pour le signe, on s’appuie toujours sur le fait que \(e^x > 0\) : seul le facteur restant décide du signe de la dérivée.
Tu y trouves les tableaux de variations complets, la preuve que la courbe de l’exponentielle reste au-dessus de sa tangente en 0 et la lecture du modèle de refroidissement avec des valeurs arrondies. Le barème sépare la méthode, le résultat et la phrase de conclusion.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 1ère : étude de fonctions avec l’exponentielle.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Dériver sans se tromper | 4 points |
| Exercice 2 : Équations et inéquations | 3 points |
| Exercice 3 : La courbe au-dessus de sa tangente | 4 points |
| Exercice 4 : Étude complète d’une fonction | 5 points |
| Exercice 5 : Le refroidissement d’un café | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Dériver sans se tromper (4 points)
- On utilise \((e^{ax+b})^{\prime} = ae^{ax+b}\) avec \(a = 3\) et \(b = -2\).
\(f^{\prime}(x) = 3e^{3x-2}\). - \(g = uv\) avec \(u(x) = x+1\), \(u^{\prime}(x) = 1\), \(v(x) = e^{x}\), \(v^{\prime}(x) = e^{x}\).
\(g^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) = 1 \times e^{x} + (x+1)e^{x} = (1 + x + 1)e^{x}\).
\(g^{\prime}(x) = (x+2)e^{x}\). - \(h^{\prime}(x) = 5 \times (-0{,}2)e^{-0{,}2x}\).
\(h^{\prime}(x) = -e^{-0{,}2x}\). - \(k = \dfrac{u}{v}\) avec \(u(x) = e^{x}\), \(u^{\prime}(x) = e^{x}\), \(v(x) = x\), \(v^{\prime}(x) = 1\), et \(v(x) \neq 0\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\).
\(k^{\prime}(x) = \dfrac{u^{\prime}(x)v(x) – u(x)v^{\prime}(x)}{v(x)^2} = \dfrac{xe^{x} – e^{x}}{x^2}\).
\(k^{\prime}(x) = \dfrac{(x-1)e^{x}}{x^2}\).
Erreur fréquente : écrire \((e^{3x-2})^{\prime} = e^{3x-2}\) en oubliant de multiplier par la dérivée de \(3x-2\), c’est-à-dire par 3.
Barème : 1 point par dérivée : 0,5 point pour la formule utilisée correctement, 0,5 point pour le résultat simplifié (factorisé en b et d).
Exercice 2 : Équations et inéquations (3 points)
- \((e^{x})^2 = e^{2x}\), donc \(A = e^{2x} \times e^{-3x+1} = e^{2x – 3x + 1}\).
\(A = e^{-x+1}\). - \(e = e^{1}\). La fonction exponentielle est strictement croissante, donc \(e^{a} = e^{b}\) équivaut à \(a = b\).
\(e^{2x-1} = e^{1}\) équivaut à \(2x – 1 = 1\), soit \(2x = 2\), soit \(x = 1\).
\(S = \{1\}\). - La fonction exponentielle est strictement croissante, donc \(e^{a} \leq\, e^{b}\) équivaut à \(a \leq\, b\).
\(e^{x^2} \leq\, e^{4x-3}\) équivaut à \(x^2 \leq\, 4x – 3\), soit \(x^2 – 4x + 3 \leq\, 0\).
\(\Delta = (-4)^2 – 4 \times 1 \times 3 = 16 – 12 = 4\), donc deux racines : \(x_1 = \dfrac{4-2}{2} = 1\) et \(x_2 = \dfrac{4+2}{2} = 3\).
Le coefficient de \(x^2\) est positif : le trinôme est négatif ou nul entre ses racines.
\(S = [1 \,;\, 3]\).
Barème : a) 1 point (0,5 pour la règle des puissances, 0,5 pour le résultat) ; b) 0,5 point pour le passage \(2x – 1 = 1\) justifié, 0,5 point pour la solution ; c) 0,5 point pour l’inéquation du second degré, 0,5 point pour l’ensemble des solutions.
Exercice 3 : La courbe au-dessus de sa tangente (4 points)
- La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y = \exp^{\prime}(0)(x – 0) + \exp(0)\). Or \(\exp^{\prime}(0) = e^{0} = 1\) et \(\exp(0) = 1\).
\(T : y = x + 1\). - \(g^{\prime}(x) = e^{x} – 1\).
\(g^{\prime}(x) \geq\, 0\) équivaut à \(e^{x} \geq\, 1\), soit \(e^{x} \geq\, e^{0}\), soit \(x \geq\, 0\) car l’exponentielle est strictement croissante.
\(g^{\prime}(x) < 0\) sur \(]-\infty \,;\, 0[\), \(g^{\prime}(0) = 0\) et \(g^{\prime}(x) > 0\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\). - \(g(0) = e^{0} – 0 – 1 = 0\).
\(x\) \(-\infty\) 0 \(+\infty\) signe de \(g^{\prime}(x)\) \(-\) 0 \(+\) variations de \(g\) décroissante 0 croissante La fonction \(g\) admet un minimum égal à 0, atteint en \(x = 0\).
- Le minimum de \(g\) vaut 0, donc \(g(x) \geq\, 0\) pour tout réel \(x\), c’est-à-dire \(e^{x} \geq\, x + 1\).
La courbe de l’exponentielle est au-dessus de sa tangente \(T\) sur \(\mathbb{R}\) (elles se touchent seulement au point \((0 \,;\, 1)\)).
Avec \(x = -0{,}5\) : \(e^{-0{,}5} \geq\, -0{,}5 + 1\), donc \(e^{-0{,}5} \geq\, 0{,}5\).
Barème : a) 1 point (0,5 pour la formule de la tangente, 0,5 pour l’équation) ; b) 0,5 point pour \(g^{\prime}\), 1 point pour le signe justifié ; c) 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour le minimum ; d) 0,25 point pour la position, 0,25 point pour l’application.
Exercice 4 : Étude complète d’une fonction (5 points)
- Pour tout réel \(x\), \(e^{x} > 0\), donc \(f(x)\) a le signe de \(2 – x\).
\(2 – x > 0\) équivaut à \(x < 2\).
\(f(x) > 0\) sur \(]-\infty \,;\, 2[\), \(f(2) = 0\) et \(f(x) < 0\) sur \(]2 \,;\, +\infty[\). - \(f = uv\) avec \(u(x) = 2 – x\), \(u^{\prime}(x) = -1\), \(v(x) = e^{x}\), \(v^{\prime}(x) = e^{x}\).
\(f^{\prime}(x) = -1 \times e^{x} + (2-x)e^{x} = (-1 + 2 – x)e^{x}\).
\(f^{\prime}(x) = (1-x)e^{x}\). - Comme \(e^{x} > 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(1 – x\) : positif pour \(x < 1\), nul en 1, négatif pour \(x > 1\).
\(f(1) = (2-1)e^{1} = e\).\(x\) \(-\infty\) 1 \(+\infty\) signe de \(f^{\prime}(x)\) \(+\) 0 \(-\) variations de \(f\) croissante \(e\) décroissante Le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) vaut \(e \approx 2{,}72\), atteint en \(x = 1\). On le retrouve sur la courbe : le point le plus haut est proche de \((1 \,;\, 2{,}7)\).
- \(f(0) = (2-0)e^{0} = 2\) et \(f^{\prime}(0) = (1-0)e^{0} = 1\).
\(y = f^{\prime}(0)(x – 0) + f(0) = 1 \times x + 2\).
La tangente en 0 a pour équation \(y = x + 2\).
Erreur fréquente : oublier de justifier que \(e^{x} > 0\) avant de dire que le signe de \(f^{\prime}(x)\) est celui de \(1 – x\).
Barème : a) 1 point (0,5 pour l’argument \(e^{x} > 0\), 0,5 pour le signe) ; b) 1,5 point : 0,5 pour la formule du produit, 0,5 pour les dérivées de \(u\) et \(v\), 0,5 pour la factorisation ; c) 0,5 point pour le signe de \(f^{\prime}\), 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour le maximum exact et approché ; d) 1 point (0,5 pour \(f(0)\) et \(f^{\prime}(0)\), 0,5 pour l’équation).
Exercice 5 : Le refroidissement d’un café (4 points)
- \(T(0) = 20 + 70e^{0} = 20 + 70 = 90\).
Le café est servi à \(90\,^\circ\text{C}\). - \(T^{\prime}(t) = 70 \times (-0{,}1)e^{-0{,}1t} = -7e^{-0{,}1t}\).
Comme \(e^{-0{,}1t} > 0\), on a \(T^{\prime}(t) < 0\) pour tout \(t \geq\, 0\).
La fonction \(T\) est strictement décroissante sur \([0 \,;\, +\infty[\) : le café refroidit sans cesse. - \(T(10) = 20 + 70e^{-1} \approx 20 + 25{,}75 = 45{,}75\).
Au bout de 10 minutes, le café est à environ \(45{,}8\,^\circ\text{C}\). - À la calculatrice (tableau de valeurs de \(T\) avec un pas de 1) :
\(T(8) = 20 + 70e^{-0{,}8} \approx 51{,}5\), donc \(T(8) > 50\) ;
\(T(9) = 20 + 70e^{-0{,}9} \approx 48{,}5\), donc \(T(9) \leq\, 50\).
Comme \(T\) est décroissante, pour tout \(t \geq\, 9\), \(T(t) \leq\, T(9) \leq\, 50\), alors qu’à 8 minutes le café est encore trop chaud.
Lina peut boire son café à partir de la 9e minute. - Quand \(t\) devient grand, \(-0{,}1t\) devient très négatif, donc \(e^{-0{,}1t}\) devient très proche de 0 et \(T(t)\) se rapproche de \(20 + 0 = 20\). La courbe le confirme : elle se rapproche de la droite d’ordonnée 20.
Le café se stabilise vers \(20\,^\circ\text{C}\), la température de la pièce.
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour \(T^{\prime}(t)\), 0,5 point pour le signe et le sens de variation ; c) 0,5 point (valeur arrondie avec unité) ; d) 0,5 point pour \(T(8)\), 0,5 point pour \(T(9)\), 0,5 point pour l’argument de décroissance et la conclusion ; e) 0,5 point pour la valeur et l’explication.
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Après le corrigé du contrôle : étude de fonctions avec l’exponentielle
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