Brevet de maths 2026 en Polynésie : sujet et corrigé

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2026
Série générale — Polynésie — 26 juin 2026
Mathématiques — Durée : 2 heures

Partie 1 — Automatismes (6 points)

Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Question 1

Déterminer la médiane de la série : 12 ; 9 ; 7 ; 23 ; 9 ; 25 ; 7.

Question 2

Donner la notation scientifique de \(0{,}000\,457\).

Question 3

Calculer l’aire, en cm², du triangle ci-contre.

Question 4

Une boîte opaque contient des beignets tous identiques, garnis de confitures différentes :

• 6 beignets sont à l’abricot ;
• 5 beignets sont à la pomme ;
• 4 beignets sont à la framboise.

Déterminer la probabilité de piocher au hasard un beignet à la framboise.

Question 5

Un article coûte 800 €. Son prix baisse de 10 %.
Calculer le prix, en euro, de l’article après réduction.

Question 6

Développer et réduire l’expression \(B = 4y(3y – 1)\).

Question 7

Recopier la réponse permettant de compléter l’égalité \(3{,}57\ \text{L} = \ldots\ \text{cm}^3\).

Question 8

Recopier sur la copie l’image de 4 par la fonction affine \(f\) définie par \(f(x) = 3x – 5\).

Question 9

Le quadrilatère ABCD ci-contre est tracé à main levée.
À partir des codages donnés, en déduire sa nature parmi les quatre réponses proposées et la recopier sur la copie.

DEUXIÈME PARTIE (14 points)

Exercice 1 (4 points)

Dans cet exercice, \(x\) représente un nombre supérieur ou égal à 5.
Voici, ci-dessous, deux figures géométriques : un rectangle ABCD et un triangle isocèle IJK.

Partie A

1. Calculer la longueur AB pour \(x = 10\).
Justifier que le périmètre du rectangle ABCD vaut 78 pour \(x = 10\).

2. Montrer que le périmètre du rectangle ABCD, en fonction de \(x\), est \(8x – 2\).

Partie B

Nour a exprimé, en fonction de \(x\), le périmètre du triangle isocèle IJK et a obtenu \(6x + 9\).
Nour souhaite trouver pour quelle valeur de \(x\) le périmètre du rectangle ABCD et le périmètre du triangle IJK sont égaux.
Pour cela, Nour a créé le programme Scratch ci-contre qui permet de tester, pour une valeur donnée de \(x\), si les périmètres sont égaux :

1. Question algorithmique
Que renvoie le programme si Nour saisit 7 ?

2. Avec le programme précédent, Nour n’a pas réussi à trouver une valeur exacte de \(x\) pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux.
Nour décide d’utiliser un tableur et les formules trouvées précédemment :

• \(8x – 2\) pour le périmètre du rectangle ABCD ;
• \(6x + 9\) pour le périmètre du triangle isocèle IJK.

Voici ci-dessous un extrait de la feuille de calcul dans laquelle Nour a fait afficher le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle pour différentes valeurs de \(x\).

a. Recopier sur la copie la formule que Nour a saisie dans la cellule B2 avant de l’étirer vers le bas pour obtenir les résultats affichés.

b. En observant sa feuille de calcul, Nour affirme : « S’il existe une valeur de \(x\) pour laquelle le périmètre du rectangle ABCD et le périmètre du triangle IJK sont égaux, elle est comprise entre 5 et 6. »
Expliquer le raisonnement de Nour.
Argumenter la réponse en précisant la démarche.

3. Comme elle n’a pas obtenu la solution exacte avec les méthodes précédentes, Nour propose de résoudre algébriquement l’équation \(8x – 2 = 6x + 9\).
Résoudre cette équation afin de déterminer la valeur exacte de \(x\) pour laquelle le périmètre du rectangle et le périmètre du triangle sont égaux.

Exercice 2 (4 points)

On donne la figure ci-contre.
BGF est un triangle rectangle en G.
Voici les informations dont on dispose :
AC = 5 cm ; BC = 4 cm
AB = 3 cm ; BG = 2 cm
\(\widehat{\text{BCF}} = 74^\circ\)

Le but de cet exercice est de déterminer si les points A, B et G sont alignés ou non.

1. On se place dans le triangle CBF.
a. Justifier que l’angle \(\widehat{\text{CFB}}\) mesure 74°.
b. Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{\text{CBF}}\).

2. Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

3. Dans le triangle rectangle BGF, calculer la mesure de l’angle \(\widehat{\text{FBG}}\).

4. Les points A, B et G sont-ils alignés ? Justifier la réponse. Argumenter la réponse en précisant la démarche.

Exercice 3 (4 points)

Les Jeux Olympiques d’été 2024 se sont déroulés en France. Toutes les épreuves ont eu lieu en métropole sauf l’épreuve de surf qui a eu lieu à Tahiti, en Polynésie française. Camille, qui aime le surf, a eu la chance de se rendre à Tahiti pour assister aux épreuves. L’organisation du voyage lui a permis de mieux connaître les caractéristiques de cette destination lointaine.

1. Sur la carte ci-dessous, les coordonnées géographiques approximatives de Los Angeles sont (118° O ; 35° N).
Écrire sur la copie, de la même façon et avec la précision permise par la carte, les coordonnées géographiques approximatives de Tahiti.

2. Camille s’est rendu à Tahiti en avion. Son trajet s’est déroulé en trois étapes :

• Vol n° 1 : Paris – Los Angeles.
• Un temps d’attente dans l’aéroport.
• Vol n° 2 : Los Angeles – Tahiti.

La totalité du trajet a duré 22 h 10 min en comptant le temps d’attente de 2 h 20 min à Los Angeles.
Calculer la durée, en heure et minute, nécessaire pour effectuer les deux vols, sans prendre en compte le temps d’attente à Los Angeles.

3. Le surfeur australien Jack ROBINSON a gagné la médaille d’argent aux Jeux Olympiques de 2024. Camille s’interroge sur la masse d’argent contenue dans la médaille.
Voici, ci-dessous, des informations récoltées au sujet de la conception des médailles olympiques.

Document 1 : Une médaille olympique peut être modélisée par un cylindre de hauteur 0,92 cm et de diamètre 8,5 cm.
Document 2 : L’argent est un métal qui a une masse volumique de 10,5 g/cm³.	Document 3 Volume d’un cylindre : \(\pi \times R^2 \times h\) où \(R\) est le rayon du cylindre et \(h\) est la hauteur du cylindre.

a. Montrer que le volume de la médaille, arrondi au dixième, est d’environ 52,2 cm³.

b. Calculer la masse d’argent, en gramme (g), de la médaille de Jack ROBINSON aux Jeux Olympiques 2024. Donner l’arrondi à l’unité.

Corrigé du sujet

Partie 1 — Automatismes :

Question 1

On range d’abord la série dans l’ordre croissant : 7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 12 ; 23 ; 25. Elle compte 7 valeurs, un nombre impair, donc la médiane est la valeur placée au centre, la 4^e : trois valeurs sont avant elle, trois après. La médiane est 9.

Question 2

On veut un nombre entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10. On place la virgule après le premier chiffre non nul, le 4 : on obtient 4,57. Pour retrouver 0,000 457, il faut déplacer la virgule de 4 rangs vers la gauche, c’est-à-dire multiplier par \(10^{-4}\). \(0{,}000\,457 = 4{,}57 \times 10^{-4}\).

Question 3

Le triangle est rectangle en B : les deux côtés de l’angle droit, [AB] et [BC], jouent le rôle de base et de hauteur. Le côté de 10 cm (l’hypoténuse) ne sert pas.

\[\mathcal{A} = \dfrac{\text{AB} \times \text{BC}}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24\]

L’aire du triangle est 24 cm².

Question 4

Il y a au total \(6 + 5 + 4 = 15\) beignets, tous identiques donc ayant la même chance d’être pris, dont 4 à la framboise. La probabilité est \(\dfrac{4}{15}\).

Question 5

10 % de 800 €, c’est \(\dfrac{10}{100} \times 800 = 80\) €. On retire la réduction : \(800 – 80 = 720\). On peut aussi multiplier directement par le coefficient \(0{,}9\) : \(800 \times 0{,}9 = 720\). L’article coûte 720 € après réduction.

Question 6

On distribue \(4y\) sur chacun des deux termes de la parenthèse :

\[B = 4y \times 3y – 4y \times 1 = 12y^2 – 4y\]

\(B = 12y^2 – 4y\).

Question 7

On sait que \(1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3\) et, comme 1 dm = 10 cm, \(1\ \text{dm}^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000\ \text{cm}^3\). Il suffit donc de multiplier par 1 000 : \(3{,}57 \times 1\,000 = 3\,570\). \(3{,}57\ \text{L} = 3\,570\ \text{cm}^3\).

Question 8

On remplace \(x\) par 4 dans l’expression de \(f\) : \(f(4) = 3 \times 4 – 5 = 12 – 5 = 7\). L’image de 4 est 7 (réponse B).

Question 9

Appelons O le point où se croisent les diagonales. Le codage indique que O est le milieu de [AC] (même trait simple sur [AO] et [OC]) et le milieu de [BD] (même trait double sur [BO] et [OD]). Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. En revanche, rien n’indique que les diagonales ont la même longueur (les codages sont différents), ni qu’elles sont perpendiculaires (aucun angle droit codé) : on ne peut donc conclure ni au rectangle, ni au losange, ni au carré. ABCD est un parallélogramme (réponse D).

Exercice 1 :

Partie A

1. Calculs pour \(x = 10\).

La figure indique \(\text{AB} = 3x + 1\). Pour \(x = 10\) : \(\text{AB} = 3 \times 10 + 1 = 31\). AB = 31.

La largeur vaut \(\text{AD} = x – 2 = 10 – 2 = 8\). Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur, donc le périmètre vaut deux longueurs plus deux largeurs :

\[\mathcal{P} = 2 \times 31 + 2 \times 8 = 62 + 16 = 78\]

Le périmètre du rectangle vaut bien 78 pour \(x = 10\).

2. Périmètre en fonction de \(x\).

On fait le même calcul avec les expressions littérales :

\[\mathcal{P} = 2(3x + 1) + 2(x – 2) = 6x + 2 + 2x – 4 = 8x – 2\]

Le périmètre du rectangle ABCD est bien \(8x – 2\). (Contrôle : pour \(x = 10\), \(80 – 2 = 78\).)

Partie B

1. Ce qu’affiche le programme pour 7.

Le programme calcule \(8 \times 7 – 2 = 54\) pour le rectangle et \(6 \times 7 + 9 = 51\) pour le triangle. Comme \(54 \neq 51\), la condition du bloc « si » est fausse et c’est la branche « sinon » qui s’exécute. Le programme dit « Les deux périmètres ne sont pas égaux » pendant 2 secondes.

2. a. Formule de la cellule B2.

En B2, on veut calculer \(8x – 2\) avec la valeur de \(x\) écrite dans la cellule voisine A2. Il faut donc faire référence à A2 : en étirant vers le bas, A2 devient A3, A4… et chaque ligne utilise sa propre valeur de \(x\). La formule « = 8 * 5 – 2 » donnerait 38 sur toutes les lignes, « = 8 * B2 – 2 » ferait référence à la cellule elle-même, et « = 8 * A1 – 2 » utiliserait le texte « \(x\) » de la ligne des titres. La bonne formule est = 8 * A2 – 2 (réponse B).

b. Raisonnement de Nour.

On compare les deux colonnes ligne par ligne. Pour \(x = 5\), le rectangle a le plus petit périmètre : \(38 \lt 39\). Pour \(x = 6\), c’est l’inverse : \(46 \gt 45\), et ensuite l’écart en faveur du rectangle ne fait qu’augmenter (8 – 6 = 2 de plus à chaque fois que \(x\) augmente de 1). Le périmètre du rectangle, d’abord plus petit, devient plus grand entre \(x = 5\) et \(x = 6\) : il le « dépasse » donc à un moment situé entre ces deux valeurs, et c’est là seulement qu’ils peuvent être égaux. Si une valeur commune existe, elle est bien comprise entre 5 et 6.

3. Résolution de l’équation.

\[8x – 2 = 6x + 9\]

On soustrait \(6x\) aux deux membres puis on ajoute 2 :

\[8x – 6x = 9 + 2 \quad \text{soit} \quad 2x = 11 \quad \text{donc} \quad x = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\]

Vérification : \(8 \times 5{,}5 – 2 = 42\) et \(6 \times 5{,}5 + 9 = 42\). Les deux périmètres sont égaux pour \(x = 5{,}5\) ; ils valent alors 42. On retrouve bien une valeur entre 5 et 6, ce qui explique que Nour ne la voyait pas avec des nombres entiers.

Exercice 2 :

1. a. Angle \(\widehat{\text{CFB}}\).

Le codage de la figure montre que BC = BF (= 4 cm) : le triangle CBF est isocèle en B. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base sont égaux ; ici la base est [CF], donc \(\widehat{\text{CFB}} = \widehat{\text{BCF}}\). L’angle \(\widehat{\text{CFB}}\) mesure 74°.

b. Angle \(\widehat{\text{CBF}}\).

La somme des angles d’un triangle vaut 180°, donc :

\[\widehat{\text{CBF}} = 180^\circ – 74^\circ – 74^\circ = 32^\circ\]

L’angle \(\widehat{\text{CBF}}\) mesure 32°.

2. Le triangle ABC est rectangle.

Le plus long côté est [AC]. On compare son carré à la somme des carrés des deux autres :

\[\text{AC}^2 = 5^2 = 25 \qquad \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\]

Les deux résultats sont égaux, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B (le sommet opposé au plus grand côté) : \(\widehat{\text{ABC}} = 90^\circ\).

3. Angle \(\widehat{\text{FBG}}\).

Le triangle BGF est rectangle en G, d’hypoténuse [BF] qui mesure 4 cm. Pour l’angle \(\widehat{\text{FBG}}\), le côté adjacent est [BG] qui mesure 2 cm. On utilise le cosinus :

\[\cos(\widehat{\text{FBG}}) = \dfrac{\text{BG}}{\text{BF}} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\]

La calculatrice (touche \(\cos^{-1}\) ou Arccos) donne \(\widehat{\text{FBG}} = 60^\circ\).

4. Alignement de A, B et G.

Les points A, B et G sont alignés si et seulement si l’angle \(\widehat{\text{ABG}}\) est plat, c’est-à-dire mesure 180°. Les demi-droites [BC) et [BF) sont situées entre [BA) et [BG), donc cet angle se découpe en trois angles adjacents :

\[\widehat{\text{ABG}} = \widehat{\text{ABC}} + \widehat{\text{CBF}} + \widehat{\text{FBG}} = 90^\circ + 32^\circ + 60^\circ = 182^\circ\]

On obtient 182° et non 180°. Les points A, B et G ne sont donc pas alignés, même si la figure donne l’impression du contraire : l’écart de 2° est invisible à l’œil.

Exercice 3 :

1. Coordonnées de Tahiti.

Tahiti est sous l’équateur, donc dans l’hémisphère sud, légèrement au-delà du milieu entre l’équateur et le parallèle 30° S : sa latitude est d’environ 17° S. Horizontalement, la croix est juste à droite (à l’est) du méridien 150° O, du côté ouest par rapport au méridien de Greenwich, donc sa longitude est d’environ 149° O. Tahiti a pour coordonnées approximatives (149° O ; 17° S). Compte tenu de la précision de la carte, toute réponse voisine, par exemple (150° O ; 15° S), est acceptable.

2. Durée des deux vols.

On retire le temps d’attente de la durée totale : 22 h 10 min − 2 h 20 min. Comme 10 min est plus petit que 20 min, on convertit une heure : 22 h 10 min = 21 h 70 min. Alors 21 h 70 min − 2 h 20 min = 19 h 50 min. Les deux vols durent au total 19 h 50 min.

3. a. Volume de la médaille.

Le rayon est la moitié du diamètre : \(R = 8{,}5 : 2 = 4{,}25\) cm. Avec la formule du document 3 et \(h = 0{,}92\) cm :

\[V = \pi \times 4{,}25^2 \times 0{,}92 = \pi \times 18{,}0625 \times 0{,}92 = 16{,}6175\pi \approx 52{,}205\ \text{cm}^3\]

Arrondi au dixième, le volume de la médaille est bien d’environ 52,2 cm³.

b. Masse d’argent.

Une masse volumique de 10,5 g/cm³ signifie que chaque cm³ d’argent pèse 10,5 g. La masse est donc proportionnelle au volume :

\[m = 10{,}5 \times 52{,}2 = 548{,}1\ \text{g}\]

(Avec la valeur non arrondie du volume, \(10{,}5 \times 52{,}205 \approx 548{,}16\), le résultat est le même.) La médaille contient environ 548 g d’argent.

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