Cours maths 3ème

Les équations et les inéquations : cours de maths en 3ème

Les équations et les inéquations du premier dégré à une inconnue dans un cours de maths en 3ème où nous verrons la définition d’une équation ainsi que les règle de résolution des  équations et des inéquations ainsi que l’étude de problèmes amenant à ce type de résolution.
Dans cette leçon en troisième, nous aborderons également les équations-produit.

I. Equations :

1. Quelques petits rappels :

Définition :

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, désigné le plus souvent par une lettre.

Exemple :

5x + 4=2x – 3 Vocabulaire:

x est appelé l‘inconnue de l‘équation.

5x + 4 est le premier membre de l‘équation

2x – 3 est le second membre de l‘équation.

Résoudre une équation, c‘est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l‘égalité soit vraie :

chacune de ces valeurs est appelée une solution de l‘équation.

Règles de manipulation des égalités :

Propriété :

On ne change pas l‘ensemble des solutions d‘une équation en ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres de l‘équation.

Rappel de cinquième :

Si a + x = b ( avec a et b deux nombres )

alors x = b – a

Règle n° 2 :

On ne change pas l‘ensemble des solutions d‘une équation en multipliant (ou divisant)

les deux membres de l‘équation par un même nombre non nul.

Rappel de cinquième :

Si ax = b ( avec a : non nul )

alors

x=\frac{b}{a}

Exemples :

Résoudre x-3 = 2

2x=4

2.Mise en équations de problèmes :

2.1. Méthode :

cours de maths

2.2. application :

Enoncé :

Trouver 3 entiers consécutifs dont la somme est 126.

a. Choix de l‘inconnue

Soit x le plus petit (par exemple) de ces entiers.

Les 3 entiers consécutifs sont alors x, x+1, x+2.

b. traduction et mise en équation du problème

Si la somme est 126, on a : x+(x+1)+(x+2)=126

c. Résolution de l‘équation

x+(x+1)+(x+2)=126

3x+3=126

3x=123 donc x= 123:3 soit x=41

d. vérification :

41+42+43=126

e.Ensemble solution et conclusion :

S={41}

Les 3 entiers consécutifs dont la somme est 126 sont :41, 42 et 43.

II. Equations produit de la forme (ax+b)(cx+d)=0

1.Règle :

Propriété:

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est nul.

2.Conséquence :

Propriété:
Les solutions de l‘équation (ax+b)(cx+d) = 0 sont les solutions de chacune des équations ax + b = 0 et cx + d = 0.

3.Exemple :

Résoudre l’équation (x – 2)(- 4x – 3) = 0.

(x – 2)(- 4x – 3) = 0

Un produit de facteurs est nul si un au moins des facteurs est nul :

x – 2 = 0 ou – 4x – 3 = 0

x = 2 ou – 4x = 3

x = – 3:4

x = – 0,75

L‘ensemble solution de cette équation est S={2 ; – 0,75}.

III.Inéquations

1.Définition :

Définition :

On appelle inéquation d‘inconnue x, toute inégalité contenant la lettre x, où x représente un nombre inconnu.

Résoudre une inéquation, c‘est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu pour que l‘inégalité soit vraie : chacune de ces valeurs est appelée une solution de l‘inéquation.

Exemple :

2x + 3 < 5

2.Règles de manipulation des inégalités :

Règle n° 1 :

Si on ajoute ou retranche aux deux membres d‘une inéquation une même valeur

alors on ne modifie pas les solutions de l‘inéquation.

Exemple :

x+3< 5

x+3-3<5-3

x<2

Règle n° 2 :

Si on multiplie ou divise les deux membres d‘une inéquation par une même valeur strictement positive alors on ne modifie pas les solutions de l‘inéquation.

Exemple :

2x>8

 \frac{2x}{2}>\frac{8}{2}

 x>4

Règle n° 3 :

Si on multiplie ou divise les deux membres d‘une inéquation par une même valeur strictement négative en changeant le sens de l‘inégalité alors on ne modifie pas les solutions de l‘inéquation.

Exemples :

Résoudre les inéquations suivantes :

 -5x<25

 \frac{-5x}{-5}>\frac{25}{-5}

 x> -5

3.Résolution d‘inéquations :

Résoudre les inéquations suivantes :

a. x + 3 < 2

b. -7x-3 > 21

c. 7x+2<13x+4


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