Brevet maths 2026 Asie-Pacifique : sujet et corrigé

Voici le sujet de mathématiques du brevet 2026 en Asie, posé le 15 juin 2026 pour la session de juin. Les neuf automatismes portent sur l’écriture scientifique, une identité remarquable, le volume d’un pavé, la divisibilité de 2025 et 2026 par 9, une vitesse de course, une roue de la fortune, une réduction de 10 %, un angle dans un triangle rectangle et la médiane lue sur un diagramme en barres. La seconde partie compare deux forfaits de smartphone, calcule le volume d’un gobelet en tronc de cône après Pythagore et Thalès, confronte deux programmes de calcul à l’aide d’un tableur et d’une équation produit, puis construit une frise de triangles et de carrés avec Scratch. Sous l’énoncé intégral, un corrigé détaillé reprend chaque question avec les calculs et les justifications attendues.

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DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2026
Asie — 15 juin 2026
Mathématiques — Durée : 2 heures

Partie 1 — Automatismes (6 points, 20 minutes)

Pour chaque question, recopier sur la copie son numéro et la réponse correspondante.

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée.

Pour les questions à choix multiple, une seule réponse est exacte.

Question 1

L’écriture scientifique du nombre 45 310 est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(45{,}31 \times 10^{3}\)	\(4{,}531 \times 10^{4}\)	\(4{,}531 \times 10^{-4}\)	\(4531 \times 10^{1}\)

Question 2

Une forme développée de l’expression \((4x – 3)(4x + 3)\) est :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(4x^2 – 9\)	\(16x^2 + 9\)	\(16x^2 – 9\)	\(8x^2 – 6\)

Question 3

Un pavé droit a pour dimensions : 4,5 cm de long, 4 cm de large, 10 cm de haut. Le volume de ce pavé est de :

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
180 cm³	170 cm³	160,5 cm³	18,5 cm³

Question 4

On considère les nombres suivants et on s’intéresse à leur divisibilité par 9.

\[N = 2\,025 \quad \text{et} \quad P = 2\,026.\]

Réponse A	Réponse B	Réponse C	Réponse D
\(N\) et \(P\) sont tous les deux divisibles par 9	\(N\) est divisible par 9 mais \(P\) ne l’est pas	\(P\) est divisible par 9 mais \(N\) ne l’est pas	Aucun des deux n’est divisible par 9

Question 5

Une personne a couru 9 km en 45 minutes.

Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Question 6

Une roue de la fortune est utilisée pour faire gagner des cadeaux. La roue est divisée en 10 secteurs de tailles égales, avec les gains suivants : des stylos, des porte-clés, des casques audios ou un smartphone.

Un joueur tourne la roue une seule fois.

Quelle est la probabilité que le joueur gagne un casque audio ?

Question 7

Un article coûte 60 €. Calculer son nouveau prix après une baisse de 10 %.

Question 8

Quelle est la mesure de l’angle \(\widehat{\text{BAC}}\) ?

Question 9

Le diagramme en barres ci-dessous donne les notes des élèves d’une classe au dernier contrôle de mathématiques.

a. Combien d’élèves ont participé à ce contrôle ?

b. Quelle est la note médiane ?

Restitution de la copie du candidat à l’issue de la partie 1

Partie 2 — Raisonnement et résolution de problèmes (14 points)

Dans cette partie, toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; les essais et les démarches engagées, même non aboutis, seront pris en compte dans la notation.

Exercice 1 (2,5 points)

Lola souhaite acheter un smartphone. Elle étudie deux propositions.

Offre A	Offre B
Le client paie 175 € à l’achat, puis son abonnement est de 16 € par mois avec un engagement de 24 mois minimum.	Le client ne paie rien à l’achat, puis l’abonnement est de 23 € par mois avec un engagement de 24 mois minimum.

1. Au bout de 24 mois, laquelle des deux offres est la plus intéressante ?

2. \(x\) est un nombre positif qui représente le nombre de mois. On exprime le prix de ces deux tarifs en fonction de \(x\), avec les fonctions suivantes :

\(f(x) = 175 + 16x\)
\(g(x) = 23x\)

a. Associer chaque fonction à l’offre correspondante (A ou B).

Aucune justification n’est attendue.

b. Au bout de combien de mois paie-t-on le même prix avec ces deux offres ?

c. Est-on encore dans la période d’engagement ?

Exercice 2 (3 points)

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.

O, A et B sont alignés.
O, D et C sont alignés.
OD = 8,2 cm
AD = 1,8 cm
BC = 4,5 cm

1. Montrer que la longueur du segment [OA] est égale à 8 cm.

2. Justifier que les droites (BC) et (AD) sont parallèles.

3. Calculer la longueur du segment [OB].

4. Une entreprise souhaite fabriquer des gobelets. Un gobelet (grisé sur le schéma ci-dessous) a la forme d’un tronc de cône (cône coupé par un plan parallèle à sa base).

On reprend les données précédentes :

O, A, B sont alignés
O, D, C sont alignés
OD = 8,2 cm
AD = 1,8 cm
BC = 4,5 cm

La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle.

Rappel :
Volume d’un cône de révolution : \(V = \pi \times R^2 \times H : 3\),
où \(R\) est le rayon de la base et \(H\) est la hauteur du cône.

a. Calculer le volume du grand cône de hauteur [OB] en cm³, arrondi à l’unité.

b. Calculer le volume du gobelet, en cm³, arrondi à l’unité.

Exercice 3 (4 points)

On considère le programme A suivant :

1. Appliquer le programme A au nombre 5.

2. On utilise un tableur pour trouver les résultats correspondants à quelques nombres comme l’indique le tableau ci-dessous.

	A	B
1	Nombre de départ	Résultat du programme A
2	-3,5	6,25
3	-3	0
4	-2,5	-4,75
5	-2	-8
6	-1,5	-9,75
7	-1	-10
8	-0,5	-8,75
9	0	-6
10	0,5	-1,75
11	1	4
12	1,5	11,25
13	2	20

Parmi les quatre formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers le bas afin de calculer les résultats donnés par le programme A.

Aucune justification n’est attendue.

`= 3 * A2 * 2 + 7 * A2 - 6`	`= 3 * 1 * 1 + 7 * 1 - 6`
`= 3 * A2 * A2 + 7 * A2 - 6`	`= 3 * A2 * 2 - 7 * A2 + 6`

3. À l’aide du tableur, donner une valeur pour laquelle le programme A donne 0.

Aucune justification n’est attendue.

4. Si on note \(x\) le nombre de départ, donner une expression littérale du programme A en fonction de \(x\).

On considère maintenant le programme B suivant :

5. Appliquer le programme B au nombre 5.

6. Si on note \(x\) le nombre de départ, donner une expression littérale du programme B en fonction de \(x\).

7. Mathis affirme que, quel que soit le nombre qu’il choisit, il trouvera le même résultat avec le programme A et le programme B. A-t-il raison ? Justifier.

8. Résoudre l’équation \((3x – 2)(x + 3) = 0\).

En déduire les valeurs de \(x\) pour lesquelles les programmes A et B donnent 0.

Exercice 4 (2,5 points)

ABCD est un carré.

ABF est un triangle équilatéral.

AF = 4 cm.

Les points F, A et E sont alignés.

Cette figure n’est pas en vraie grandeur.

1. Justifier que la mesure de l’angle \(\widehat{\text{EAD}}\) est égale à \(30^\circ\).

Dans la suite de l’exercice on utilisera l’échelle suivante : 10 pas dans le programme représentent 1 cm dans la réalité.

2. Le bloc triangle ci-dessous permet de tracer un triangle équilatéral et le bloc carré permet de construire un carré :

Donner les valeurs de J, K, M et N pour que les blocs triangle et carré permettent de construire un triangle équilatéral de 4 cm de côté et un carré de 4 cm de côté.

Aucune justification n’est attendue.

3. Le programme principal utilise le bloc Triangle et le bloc Carré.

L’instruction « s’orienter à 90° » signifie que l’on s’oriente vers la droite.

Écrire sur la copie le numéro de la figure obtenue grâce à ce programme.

Aucune justification n’est attendue.

Programme principal

Corrigé du sujet

Partie 1 — Automatismes :

Question 1. En notation scientifique, on écrit \(a \times 10^n\) avec \(1 \leq\, a \lt 10\). On décale la virgule de 4 rangs : \(45\,310 = 4{,}531 \times 10\,000 = 4{,}531 \times 10^{4}\). Réponse B (la réponse A est juste en valeur mais \(45{,}31\) n’est pas compris entre 1 et 10).

Question 2. On reconnaît l’identité remarquable \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\) avec \(a = 4x\) et \(b = 3\) : \((4x)^2 – 3^2 = 16x^2 – 9\). Réponse C.

Question 3. Le volume d’un pavé droit est longueur × largeur × hauteur : \(4{,}5 \times 4 \times 10 = 18 \times 10 = 180\). Réponse A : 180 cm³.

Question 4. Un entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres l’est. Pour \(N\) : \(2 + 0 + 2 + 5 = 9\), donc 2 025 est divisible par 9 (\(2\,025 = 9 \times 225\)). Pour \(P\) : \(2 + 0 + 2 + 6 = 10\), qui n’est pas un multiple de 9. Réponse B.

Question 5. 45 minutes représentent \(\dfrac{45}{60} = 0{,}75\) h. La vitesse moyenne vaut \(v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{9}{0{,}75} = 12\). Autre raisonnement : en 15 minutes elle parcourt 3 km, donc en 60 minutes \(4 \times 3 = 12\) km. Sa vitesse moyenne est de 12 km/h.

Question 6. Les 10 secteurs ont la même taille, on est donc dans une situation d’équiprobabilité. Deux secteurs portent « casque » : la probabilité est \(\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\), soit \(\dfrac{1}{5}\) (ou 0,2).

Question 7. 10 % de 60 € valent \(60 \times \dfrac{10}{100} = 6\) €. Le nouveau prix est \(60 – 6 = 54\) €. On peut aussi multiplier directement par le coefficient \(1 – 0{,}1 = 0{,}9\) : \(60 \times 0{,}9 = 54\). Le nouveau prix est de 54 €.

Question 8. Le triangle ABC est rectangle en C et la somme de ses angles vaut 180°. Donc \(\widehat{\text{BAC}} = 180 – 90 – 40 = 50\). L’angle mesure 50°.

Question 9. a. On additionne les hauteurs des barres : \(3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 = 27\). 27 élèves ont participé au contrôle.

b. L’effectif 27 est impair : la médiane est la valeur de rang \(\dfrac{27 + 1}{2} = 14\) lorsque les notes sont rangées dans l’ordre croissant (13 notes au-dessous, 13 au-dessus). Effectifs cumulés : jusqu’à 8 on compte \(3 + 4 = 7\) notes, jusqu’à 10 on en compte 11, jusqu’à 11 on en compte 16. La 14e note est donc un 11 : la note médiane est 11.

Exercice 1 :

1. On calcule ce que coûte chaque offre sur 24 mois.

Offre A : \(175 + 16 \times 24 = 175 + 384 = 559\) €. Offre B : \(23 \times 24 = 552\) €.

Comme \(552 \lt 559\), l’offre B est la plus intéressante au bout de 24 mois (7 € d’économie).

2. a. \(f(x) = 175 + 16x\) contient les 175 € payés à l’achat puis 16 € par mois : \(f\) correspond à l’offre A. \(g(x) = 23x\) ne contient que 23 € par mois : \(g\) correspond à l’offre B.

b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = g(x)\) :

\[175 + 16x = 23x\]

On retranche \(16x\) aux deux membres : \(175 = 7x\), puis on divise par 7 : \(x = \dfrac{175}{7} = 25\). Vérification : \(f(25) = 175 + 400 = 575\) et \(g(25) = 23 \times 25 = 575\). On paie le même prix au bout de 25 mois.

c. L’engagement dure 24 mois minimum. Or \(25 \gt 24\) : au bout de 25 mois, on n’est plus dans la période d’engagement. Pendant toute la durée d’engagement, l’offre B reste donc la moins chère.

Exercice 2 :

1. Le triangle OAD est rectangle en A (codage de l’angle droit) et son hypoténuse est [OD]. D’après le théorème de Pythagore :

\[\text{OD}^2 = \text{OA}^2 + \text{AD}^2\]

donc \(\text{OA}^2 = 8{,}2^2 – 1{,}8^2 = 67{,}24 – 3{,}24 = 64\). Une longueur étant positive, \(\text{OA} = \sqrt{64} = 8\). On a bien OA = 8 cm.

2. D’après les codages, la droite (AD) est perpendiculaire à (OB) en A, et la droite (BC) est perpendiculaire à (OB) en B. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles. Donc (BC) et (AD) sont parallèles.

3. Les droites (AB) et (DC) sont sécantes en O, les points A et D appartiennent respectivement aux segments [OB] et [OC], et (AD) est parallèle à (BC). D’après le théorème de Thalès :

\[\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{OD}}{\text{OC}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{BC}}\]

On utilise l’égalité \(\dfrac{\text{OA}}{\text{OB}} = \dfrac{\text{AD}}{\text{BC}}\), c’est-à-dire \(\dfrac{8}{\text{OB}} = \dfrac{1{,}8}{4{,}5}\). Par produit en croix : \(\text{OB} = \dfrac{8 \times 4{,}5}{1{,}8} = \dfrac{36}{1{,}8} = 20\). Donc OB = 20 cm.

4. a. Le grand cône a pour sommet O, pour hauteur OB = 20 cm et pour rayon de base BC = 4,5 cm :

\[V_{\text{grand}} = \dfrac{\pi \times 4{,}5^2 \times 20}{3} = \dfrac{\pi \times 20{,}25 \times 20}{3} = 135\pi \approx 424{,}1\]

Le volume du grand cône est d’environ 424 cm³.

b. Le gobelet s’obtient en retirant au grand cône le petit cône de sommet O, de hauteur OA = 8 cm et de rayon AD = 1,8 cm :

\[V_{\text{petit}} = \dfrac{\pi \times 1{,}8^2 \times 8}{3} = \dfrac{\pi \times 3{,}24 \times 8}{3} = 8{,}64\pi \approx 27{,}1\]

\[V_{\text{gobelet}} = 135\pi – 8{,}64\pi = 126{,}36\pi \approx 396{,}97\]

Le volume du gobelet est d’environ 397 cm³.

Remarque : le petit cône est une réduction du grand de rapport \(\dfrac{8}{20} = 0{,}4\) ; son volume vaut donc \(0{,}4^3 = 0{,}064\) fois celui du grand, ce qui redonne \(0{,}064 \times 135\pi = 8{,}64\pi\).

Exercice 3 :

1. On part de 5. Première branche : le carré de 5 est 25, multiplié par 3 cela donne 75. Seconde branche : \(5 \times 7 = 35\). On additionne : \(75 + 35 = 110\), puis on soustrait 6 : \(110 – 6 = 104\). Le programme A donne 104.

2. Le nombre de départ se trouve en A2 ; son carré s’écrit A2*A2. Il faut donc calculer « 3 fois le carré de A2, plus 7 fois A2, moins 6 ». La formule est = 3 * A2 * A2 + 7 * A2 - 6. (La première formule calcule \(3 \times 2 \times \) A2 au lieu du carré, la deuxième donne toujours le même résultat quand on l’étire et la dernière change les signes.)

3. Dans la ligne 3 du tableur, le nombre de départ \(-3\) donne le résultat 0. Le programme A donne 0 pour \(x = -3\).

4. Avec \(x\) : la première branche donne \(3x^2\), la seconde \(7x\) ; on additionne puis on soustrait 6. Le programme A donne \(3x^2 + 7x – 6\).

5. On part de 5. Première branche : \(5 \times 3 = 15\), puis \(15 – 2 = 13\). Seconde branche : \(5 + 3 = 8\). On multiplie : \(13 \times 8 = 104\). Le programme B donne 104, comme le programme A.

6. Avec \(x\) : la première branche donne \(3x – 2\), la seconde \(x + 3\), et on multiplie les deux. Le programme B donne \((3x – 2)(x + 3)\).

7. On développe l’expression du programme B par double distributivité :

\[(3x – 2)(x + 3) = 3x \times x + 3x \times 3 – 2 \times x – 2 \times 3 = 3x^2 + 9x – 2x – 6 = 3x^2 + 7x – 6\]

On retrouve exactement l’expression du programme A. Les deux programmes donnent donc le même résultat pour tout nombre de départ : Mathis a raison.

8. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc \(3x – 2 = 0\) ou \(x + 3 = 0\), c’est-à-dire \(x = \dfrac{2}{3}\) ou \(x = -3\). L’équation a deux solutions : \(-3\) et \(\dfrac{2}{3}\).

Comme le programme B (et donc aussi le programme A, d’après la question 7) donne \((3x – 2)(x + 3)\), les deux programmes donnent 0 exactement pour \(x = -3\) et \(x = \dfrac{2}{3}\). On retrouve la valeur \(-3\) lue dans le tableur ; \(\dfrac{2}{3}\) n’y apparaissait pas car le tableur n’utilise que des multiples de 0,5 (on voit d’ailleurs le résultat changer de signe entre 0,5 et 1).

Exercice 4 :

1. Les points F, A et E sont alignés, donc l’angle plat \(\widehat{\text{FAE}}\) mesure 180°. Il se décompose en trois angles : \(\widehat{\text{FAB}} = 60^\circ\) car ABF est équilatéral, \(\widehat{\text{BAD}} = 90^\circ\) car ABCD est un carré, et \(\widehat{\text{DAE}}\). Donc \(\widehat{\text{EAD}} = 180 – 60 – 90 = 30\) : \(\widehat{\text{EAD}} = 30^\circ\).

2. Avec l’échelle donnée, 4 cm correspondent à \(4 \times 10 = 40\) pas : J = 40 et M = 40.

Pour les rotations, le lutin tourne de l’angle extérieur de la figure, c’est-à-dire \(180^\circ\) moins l’angle intérieur. Dans un triangle équilatéral, l’angle intérieur vaut 60°, donc K = 120 (trois rotations de 120° font bien un tour complet de 360°). Dans un carré, l’angle intérieur vaut 90°, donc N = 90 (quatre rotations de 90° font 360°).

3. Après chaque bloc Triangle ou Carré, le lutin a fait un tour complet : il revient à son point de départ avec la même orientation. Ensuite il avance de 50 pas, soit 10 pas de plus que le côté de 40 pas : il reste donc un petit espace entre chaque forme et la suivante, ce qui élimine les figures 1 et 2 (formes accolées) et la figure 4 (espace seulement après les carrés). Enfin, il tourne de 30° après chaque forme ; il dessine 12 formes, donc tourne en tout de \(12 \times 30 = 360^\circ\) : le tracé se referme en couronne au lieu de former une frise. La figure obtenue est la figure 3.

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