Cours maths 3ème

Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème

La trigonométrie dans le triangle rectangle dans un cours de maths en 3ème faisant intervenir le cosinus (cos), le sinus (sin) et la tangente (tan) d’un angle aigü ainsi que le calcul de la mesure d’un angle à l’aide de la calculatrice. Dans cette leçon en troisième, nous veillerons à mettre la calculatrice en mode degré (DEG).

0. Introduction :un peu d’histoire

Point de vue historique :
Le mot vient du grec « trigone » (triangle) et « metron » (mesure).Dans l‘Encyclopédie (1751), Jean le Rond d‘Alembert (1717 ; 1783) définit la trigonométrie comme :

« l‘art de trouver les parties inconnues d‘un triangle par le moyen de celles qu‘on connaît ».

C‘est bien la démarche qui est demandée aux élèves du collège.

I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :

Théorème :
Dans un triangle rectangle ABC, on peut définir les relations suivantes entre les angles aigus et les différentes longueurs des côtés.cours de maths

Définition :

– Le cosinus d’un angle aigu est donné par:

\fbox{ cos(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,adjacent\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,de\,l'hypotenuse} .

– Le sinus d’un angle aigu est donné par :

\fbox{ sin(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,oppose\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,de\,l'hypotenuse} .

– La tangente d’un angle aigu est donnée par :

\fbox{ tan(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,oppose\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,du\,cote\,adjacent\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}} .

Moyen mnémotechnique :
SOH-CAH-TOA

Explications:

CAH: Cos(\widehat{ABC} )= (longueur du cote Adjacent a l’angle \widehat{ABC} ) : (longueur de l’Hypotenuse )

SOH: Sin(\widehat{ABC} )= (longueur du cote Opposé a l’angle \widehat{ABC} ) : (longueur de l’Hypotenuse )

TOA: Tan(\widehat{ABC} )= (longueur du cote Opposé a l’angle \widehat{ABC} ): (longueur du cote Adjacent a l’angle \widehat{ABC} )

Remarques :

– Le sinus et le cosinus d‘un angle sont toujours compris entre – 1 et 1.

– Par contre, la tangente d‘un angle aigu peut prendre toutes les valeurs.

Exemples :

Si AC=16 cm et BC=20 cm, calculer sin\,(\widehat{ABC}).

[ Réponse :  sin\,(\widehat{ABC})=0,8]

Si AC=16 cm et AB= 12 cm, calculer tan(\widehat{ABC})

[ Réponse :  tan(\widehat{ABC}) =1,33]

II. Détermination de la mesure d’un angle en degré, connaissant son cox ou sin x ou tan x :

Méthodologie :
La détermination de la mesure d‘un angle connaissant son cos x, sin x ou tan x s‘effectue à l‘aide de la calculatrice en utilisant les touches :\fbox{cos^{-1}}\,,\,\fbox{sin^{-1}}\,,\,\fbox{tan^{-1}}\,\, .

En ayant vérifié, préalablement, que la calculatrice est en mode degré \fbox{DEG}.

Exemples :

Si cos x = 0,5 alors  x=cos^{-1}(0,5)=60^o .

Si sin x = 0,5 alors  x=sin^{-1}(0,5)=30^o .

Si tan x = 1 alors  x=tan^{-1}(1)=45^o .

III. Formules Trigonométriques :

Propriété :

Pour tout angle x, les égalités suivantes sont toujours vraies :

\bullet \fbox{cos^2 x+sin^2 x = 1} \\ \\ \bullet \fbox{tanx=\frac{sin x}{cos x}}\,\,\,(x\neq 90^o)

cours de maths

Preuve :

 cos x=\frac{AB}{BC}\,;\,sin x=\frac{AC}{BC}\,;\,tan x=\frac{AC}{AB} .

 cos^2 x + sin^2 x =(\frac{AB}{BC})^2+(\frac{AC}{BC})^2=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2} .

Or ABC est rectangle en A, donc d‘après la partie directe du théorème de Pythagore : AB²+AC²=BC²

D’où :

 cos^2 x + sin^2 x =\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}=1 .

Puis

 \frac{sin x}{cos x}=\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{AC}{BC}\times \frac{BC}{AB}= \frac{AC}{AB}=tan x .


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