Trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème.

cours de maths en 3ème Signaler une erreur sur cette page de Mathovore.Signaler une erreur / Remarque ? cours maths 3eme
La trigonométrie dans le triangle rectangle dans un cours de maths en 3ème faisant intervenir le cosinus (cos), le sinus (sin) et la tangente (tan) d’un angle aigü ainsi que le calcul de la mesure d’un angle à l’aide de la calculatrice. Dans cette leçon en troisième, nous veillerons à mettre la calculatrice en mode degré (DEG).

0. Introduction :un peu d’histoire

Point de vue historique :

Le mot vient du grec « trigone » (triangle) et « metron » (mesure).Dans l‘Encyclopédie (1751), Jean le Rond d‘Alembert (1717 ; 1783) définit la trigonométrie comme :

« l‘art de trouver les parties inconnues d‘un triangle par le moyen de celles qu‘on connaît ».

C‘est bien la démarche qui est demandée aux élèves du collège.

I. Relations trigonométriques dans le triangle rectangle :

Théorème :

Dans un triangle rectangle ABC, on peut définir les relations suivantes entre les angles aigus et les différentes longueurs des côtés.cours de maths

Définition :

– Le cosinus d’un angle aigu est donné par:

\fbox{ cos(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,adjacent\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,de\,l'hypotenuse} .

– Le sinus d’un angle aigu est donné par :

\fbox{ sin(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,oppose\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,de\,l'hypotenuse} .

– La tangente d’un angle aigu est donnée par :

\fbox{ tan(\widehat{ABC})=\frac{longueur\,du\,cote\,oppose\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}}{longueur\,du\,cote\,adjacent\,a\,l'angle\,\widehat{ABC}} .

Moyen mnémotechnique :
SOH-CAH-TOA

Explications:

CAH: Cos(\widehat{ABC} )= (longueur du cote Adjacent a l’angle \widehat{ABC} ) : (longueur de l’Hypotenuse )

SOH: Sin(\widehat{ABC} )= (longueur du cote Opposé a l’angle \widehat{ABC} ) : (longueur de l’Hypotenuse )

TOA: Tan(\widehat{ABC} )= (longueur du cote Opposé a l’angle \widehat{ABC} ): (longueur du cote Adjacent a l’angle \widehat{ABC} )

Remarques :

– Le sinus et le cosinus d‘un angle sont toujours compris entre – 1 et 1.

– Par contre, la tangente d‘un angle aigu peut prendre toutes les valeurs.

Exemples :

Si AC=16 cm et BC=20 cm, calculer sin\,(\widehat{ABC}).

[ Réponse :  sin\,(\widehat{ABC})=0,8]

Si AC=16 cm et AB= 12 cm, calculer tan(\widehat{ABC})

[ Réponse :  tan(\widehat{ABC}) =1,33]

II. Détermination de la mesure d’un angle en degré, connaissant son cox ou sin x ou tan x :

Méthodologie :

La détermination de la mesure d‘un angle connaissant son cos x, sin x ou tan x s‘effectue à l‘aide de la calculatrice en utilisant les touches :\fbox{cos^{-1}}\,,\,\fbox{sin^{-1}}\,,\,\fbox{tan^{-1}}\,\, .

En ayant vérifié, préalablement, que la calculatrice est en mode degré \fbox{DEG}.

Exemples :

Si cos x = 0,5 alors  x=cos^{-1}(0,5)=60^o .

Si sin x = 0,5 alors  x=sin^{-1}(0,5)=30^o .

Si tan x = 1 alors  x=tan^{-1}(1)=45^o .

III. Formules Trigonométriques :

Propriété :

Pour tout angle x, les égalités suivantes sont toujours vraies :

\bullet \fbox{cos^2 x+sin^2 x = 1} \\ \\ \bullet \fbox{tanx=\frac{sin x}{cos x}}\,\,\,(x\neq 90^o)

cours de maths

Preuve :

 cos x=\frac{AB}{BC}\,;\,sin x=\frac{AC}{BC}\,;\,tan x=\frac{AC}{AB} .

 cos^2 x + sin^2 x =(\frac{AB}{BC})^2+(\frac{AC}{BC})^2=\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AB^2+AC^2}{BC^2} .

Or ABC est rectangle en A, donc d‘après la partie directe du théorème de Pythagore : AB²+AC²=BC²

D’où :

 cos^2 x + sin^2 x =\frac{AB^2+AC^2}{BC^2}=\frac{BC^2}{BC^2}=1 .

Puis

 \frac{sin x}{cos x}=\frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{AC}{BC}\times  \frac{BC}{AB}= \frac{AC}{AB}=tan x .

Vous avez assimilé le cours sur la trigonométrie en 3ème ?

Effectuez ce QCM sur la trigonométrie dans le triangle rectangle afin d’évaluer vos acquis sur cette leçon en troisième.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

QCM sur la trigonométrie dans le triangle rectangle en troisième.

Cette publication est également disponible en : English (Anglais) Español (Espagnol) العربية (Arabe)


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème.» au format PDF.



D'autres fiches dans la section cours de maths en 3ème


Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours et exercices corrigés.

Application Mathovore sur Google Play Store.    Application Mathovore sur Apple Store.     Suivez-nous sur YouTube.

D'autres fiches similaires à trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème..


  • 65
    Cosinus d'un angle aigu et trigonométrie : cours de maths en 4èmeTrigonométrie dans le triangle rectangle dans un cours de maths en 4ème sur le cosinus (cos) d'un angle aigu et sa formule ainsi que la résolution de problèmes dans le triangle rectangle. Cette leçon est aussi à télécharger gratuitement au format PDF. 0. Introduction :un peu d'histoire . Point de…
  • 65
    Problèmes ouverts de maths à résoudre et à télécharger en PDF.La série des problèmes ouverts de maths afin de réfléchir sur des exercices complexes avec un travail individuel ou en groupe.Ces exercices développent l'esprit d'initiative et le raisonnement scientifique pour les élèves du collège et du lycée. Une série d’exercices  afin de développer la prise d'initiative et le raisonnement scientifique…
  • 57
    Cálculo literal con respuestas a ejercicios de matemáticas de 4º de primaria en PDF. Saber desarrollar una expresión y la doble distributividad.   Ejercicio 1: Escribe las expresiones dadas sin paréntesis: a. - (3+x)= - 3 - x b. - (2a+4)= - 2a - 4 c. - (- 3+x)=3 -…


Les dernières fiches mises à jour.

Voici les dernières ressources similaires à trigonométrie dans le triangle rectangle : cours de maths en 3ème. mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

  1. Abonnements
  2. Maths : cours et exercices corrigés à télécharger en PDF.
  3. Subscriptions
  4. Suscripciones
  5. الاشتراكات

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 13 703 215 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.

Mathovore

GRATUIT
VOIR