Homothéties : cours de maths en 3ème à télécharger en PDF.

.Les homothéties dans un cours de maths en 3ème où nous aborderons la définition d’une homothétie de rapport k, de l’image d’un point ainsi que ses différentes propriétés (conservation de l’alignement, multiplication des longueurs et des aires).

Dans cette leçon en troisième, nous construirons à la règle est au compas l’image ou encore le centre d’une homothétie de rapport k non nul.

I. L’homothétie

1.Introduction

Définition

La figure est un agrandissement de rapport 3 de la figure .
On dit que la figure est l’image de la figure par l’homothétie de centre O et de rapport 3.
La figure est une réduction de la figure de rapport $\frac{1}{3}$ .
On dit que la figure est l’image de la figure par l’homothétie de centre O et de rapport $\frac{1}{3}$ .

2. image d’un point

Définition

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k positif est le point M’ tel que :

M’ appartient à la demi-droite [OM);
${\color{DarkRed}\,OM'=k\times \,OM}$

Exemples :

Construire l’image du point M par l’homothétie de rapport k = 2,5 puis k = 0,8.

Remarque :

Dans le cas où , les images sont confondues avec les points de départs.

Dans le cas où , par exemple , on construit l’image de M

par l’homothétie de centre O et de rapport 2 puis on construit le symétrique M’ de par rapport à O.

3. Image d’un segment

Propriété :

On considère A,B et O trois points du plan et k un nombre positif.

Si les points A’ et B’ sont les images respectives des points A et B

par l’homothétie de centre O et de rapport k

alors :

$\star\,\,A'B'=k\times \,AB$

$\star\,\,(AB)//(A'B')$

Démonstration :

Par définition de l’homothétie de centre O et de rapport k, nous avons :

$OA'=k\times \,OA$ et $OB'=k\times \,OB$ donc $\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$

Ainsi en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, nous en déduisons

que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

Ensuite, nous pouvons appliquer la partie directe du théorème de Thalès.

On sait que : $A\in(OA'),\,B\in\,(OB'),(AB)//(A'B')\,.$

donc nous avons les égalités suivantes :

$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=k$ ainsi ${\color{DarkRed}\,A'B'=k\times \,AB\,}$ .

4. Les propriétés des homothéties

Propriété :

L’homothétie conserve l’alignement, les milieux et la mesure des angles.

Propriété :

Dans une homothétie de rapport k positif :

les longueurs sont multipliées par k;
les aires sont multipliées par k².

Propriété :

On considère la figure F_2 qui est l’image de la figure F_1 par une homothétie de centre O et de rapport k.

Si alors est un agrandissement de par cette homothétie;
Si alors est une réduction de par cette homothétie.

Exemple :

Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image du quadrilatère ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport .

Les points A,B,K sont alignés donc leurs images respectives A’,B’,K’ sont alignées;
Le point J est le milieu de [BC] donc son image J’ est le milieu du segment [B’C’];
L’angle $\widehat{A'D'C'}$ est l’image de l’angle $\widehat{ADC}$ , ils ont donc la même mesure;
Les longueurs sont multipliées par 2,1 ainsi $B'C'=2,1\times \,BC$ ;
Les aires sont multipliées par ainsi $Aire_{A'B'C'D'}=4,41\times \,Aire_{ABCD}$ .