Sommaire de cette fiche
I. L’homothétie
1.Introduction
- La figure
est un agrandissement de rapport 3 de la figure
.
- On dit que la figure
est l’image de la figure
par l’homothétie de centre O et de rapport 3.
- La figure
est une réduction de la figure
de rapport
.
- On dit que la figure
est l’image de la figure
par l’homothétie de centre O et de rapport
.
2. image d’un point
L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k positif est le point M’ tel que :
- M’ appartient à la demi-droite [OM);
Exemples :
Construire l’image du point M par l’homothétie de rapport k = 2,5 puis k = 0,8.
Remarque :
Dans le cas où , les images sont confondues avec les points de départs.
Dans le cas où , par exemple
, on construit l’image
de M
par l’homothétie de centre O et de rapport 2 puis on construit le symétrique M’ de par rapport à O.
3. Image d’un segment
On considère A,B et O trois points du plan et k un nombre positif.
Si les points A’ et B’ sont les images respectives des points A et B
par l’homothétie de centre O et de rapport k
alors :
Démonstration :
Par définition de l’homothétie de centre O et de rapport k, nous avons :
et
donc
Ainsi en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, nous en déduisons
que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.
Ensuite, nous pouvons appliquer la partie directe du théorème de Thalès.
On sait que :
donc nous avons les égalités suivantes :
ainsi
.
4. Les propriétés des homothéties
Dans une homothétie de rapport k positif :
- les longueurs sont multipliées par k;
- les aires sont multipliées par k².
On considère la figure qui est l’image de la figure
par une homothétie de centre O et de rapport k.
- Si
alors
est un agrandissement de
par cette homothétie;
- Si
alors
est une réduction de
par cette homothétie.
Exemple :
Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image du quadrilatère ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport .
- Les points A,B,K sont alignés donc leurs images respectives A’,B’,K’ sont alignées;
- Le point J est le milieu de [BC] donc son image J’ est le milieu du segment [B’C’];
- L’angle
est l’image de l’angle
, ils ont donc la même mesure;
- Les longueurs sont multipliées par 2,1 ainsi
;
- Les aires sont multipliées par
ainsi
.
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