cours maths 3ème
.Les homothéties dans un cours de maths en 3ème où nous aborderons la définition d’une homothétie de rapport k, de l’image d’un point ainsi que ses différentes propriétés (conservation de l’alignement, multiplication des longueurs et des aires).
Dans cette leçon en troisième, nous construirons à la règle est au compas l’image ou encore le centre d’une homothétie de rapport k non nul.

I. L’homothétie

1.Introduction

Définition
  • La figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. est un agrandissement de rapport 3 de la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF..
  • On dit que la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. est l’image de la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. par l’homothétie de centre O et de rapport 3.
  • La figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. est une réduction de la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.  de rapport mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF..
  • On dit que la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. est l’image de la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. par l’homothétie de centre O et de rapport mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF..

homothetie-bart-simpson Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

2. image d’un point

Définition

L’image d’un point M par l’homothétie de centre O et de rapport k positif est le point M’ tel que :

  • M’ appartient à la demi-droite [OM);
  • mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

Exemples :

Construire l’image du point M par l’homothétie de rapport k = 2,5 puis k = 0,8.

homothetie-1 Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

homothetie-2 Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

Remarque :

Dans le cas où mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF., les images sont confondues avec les points de départs.

Dans le cas où mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF., par exemple mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF., on construit l’image mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. de M

par l’homothétie de centre O et de rapport 2 puis on construit le symétrique M’ de mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. par rapport à O.

homothetie-rapport-negatif Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

3. Image d’un segment

Propriété :

On considère A,B et O trois points du plan et k un nombre positif.

Si les points A’ et B’ sont les images respectives des points A et B

par l’homothétie de centre O et de rapport k

alors :

mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

(A Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

Démonstration :

image-segment-homothetie Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.
Par définition de l’homothétie de centre O et de rapport k, nous avons :

mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. et mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. donc mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

Ainsi en utilisant la réciproque du théorème de Thalès, nous en déduisons

que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

Ensuite, nous pouvons appliquer la partie directe du théorème de Thalès.

On sait que : mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

donc nous avons les égalités suivantes :

mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. ainsi mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. .

4. Les propriétés des homothéties

Propriété :
L’homothétie conserve l’alignement, les milieux et la mesure des angles.
Propriété :

Dans une homothétie de rapport k positif :

  • les longueurs sont multipliées par k;
  • les aires sont multipliées par k².
Propriété :

On considère la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. qui est l’image de la figure mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. par une homothétie de centre O et de rapport k.

  • Si mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. alors mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. est un agrandissement de mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. par cette homothétie;
  • Si mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. alors mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. est une réduction de mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. par cette homothétie.

Exemple :

Le quadrilatère A’B’C’D’ est l’image du quadrilatère ABCD par l’homothétie de centre O et de rapport mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF..

image-quadrilatere-homothetie-500x176 Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.

  • Les points A,B,K sont alignés donc leurs images respectives A’,B’,K’ sont alignées;
  • Le point J est le milieu de [BC] donc son image J’ est le milieu du segment [B’C’];
  • L’angle mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. est l’image de l’angle mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF., ils ont donc la même mesure;
  • Les longueurs sont multipliées par 2,1 ainsi mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF.;
  • Les aires sont multipliées par mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF. ainsi mimetex Homothéties : cours de maths en 3ème en PDF..

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