Brevet maths 2024 France sept. : sujet et corrigé

Voici le sujet de mathématiques du brevet 2024 de septembre, commun à la France métropolitaine et aux Antilles-Guyane, posé le 19 septembre 2024. Il débute par cinq affirmations à valider ou réfuter : facteurs premiers de 260, comparaison de deux urnes, équation du premier degré, volume d’une pile de pièces et vitesses d’un éléphant et d’un cochon. On suit ensuite un agriculteur qui moissonne un champ triangulaire (Thalès, aire, proportionnalité, Pythagore pour la clôture), puis une semaine de production de panneaux solaires avec moyenne, étendue et pente du toit par le sinus. Une fonction du second degré étudiée au tableur et factorisée précède un losange tracé avec Scratch. Le corrigé détaillé de chaque question est donné à la suite de l’énoncé.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le brevet de maths 2027 : tous les sujets récents y sont classés par session.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2024
France métropolitaine, Antilles-Guyane — 19 septembre 2024
Mathématiques — Durée : 2 heures

Indications portant sur l’ensemble du sujet

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (20 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.

Toutes les réponses devront être justifiées.

1. Affirmation 1

La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 260 est \(4 \times 5 \times 13\).

2. Affirmation 2

Une urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : 3 boules blanches, 4 boules jaunes et 8 boules rouges.

On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note sa couleur.

Une autre urne opaque contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule marquée de la lettre A, 1 boule marquée de la lettre B et 3 boules marquées de la lettre C.

On pioche au hasard une boule dans cette urne et on note la lettre obtenue.

La probabilité d’obtenir une boule de couleur rouge est supérieure à la probabilité d’obtenir une boule marquée de la lettre C.

3. Affirmation 3

La solution de l’équation \(7x + 5 = 2x – 2\) est \(-1{,}4\).

4. Affirmation 4

On empile 10 pièces cylindriques de 1,9 cm de diamètre et de 0,2 cm de hauteur. Le volume du cylindre, arrondi à l’unité, formé par les 10 pièces est de 6 cm³.

Rappel : le volume d’un cylindre de rayon \(R\) et de hauteur \(h\) est égal à \(\pi \times R^2 \times h\).

5. Affirmation 5

Un éléphant qui court à une vitesse de 5 m/s est plus rapide qu’un cochon qui se déplace à une vitesse de 17 km/h.

Exercice 2 (20 points)

Un agriculteur possède un champ de blé ayant la forme d’un triangle ABC rectangle en B représenté ci-contre.

On donne AB = 200 m et BC = 150 m.

Pour moissonner son champ, il utilise une moissonneuse batteuse qui, à chaque passage, coupe des bandes de 12 mètres de large parallèles à la droite (AB). On a donc BE = 12 m.

Il commence à passer le long du côté [AB]. Le segment en pointillés [DE] représente la limite du premier passage de la moissonneuse batteuse.

Après avoir fait 5 passages, il a moissonné le quadrilatère ABGF.

1. a. Montrer que BG = 60 m.

b. En déduire que CG = 90 m.

2. Démontrer que la longueur GF est de 120 m.

3. a. Démontrer que l’aire du triangle rectangle CGF est de 5 400 m².

b. Le quadrilatère ABGF a une surface de 9 600 m² qui a été moissonnée en 80 minutes.

On admet que le temps de travail de la moissonneuse batteuse est proportionnel à la surface moissonnée.

Calculer le temps de travail qu’il faut pour moissonner la partie restante CGF de son champ.

4. L’année suivante, il décide de clôturer son champ ABC afin d’y mettre des animaux pour l’été. Quelle longueur de clôture doit-il acheter ?

Exercice 3 (20 points)

Une entreprise décide de faire poser sur le toit de son hangar des panneaux solaires.

Pendant une semaine d’utilisation, les productions d’électricité journalières en kilowattheures (kWh) de ces panneaux ont été relevées dans le tableau ci-dessous :

Jour de la semaine	Lundi	Mardi	Mercredi	Jeudi	Vendredi	Samedi	Dimanche
Production d’électricité en kWh	381	363	322	329	393	405	376

1. a. Quel jour la production d’électricité a-t-elle été la plus grande ?

b. Calculer l’étendue de ces productions d’électricité.

c. Quelle est la production moyenne d’électricité par jour sur cette période ?

2. L’entreprise revend 15 % de sa production d’électricité au tarif de 8 centimes le kWh.

Combien a-t-elle gagné en euros pendant ces 7 jours ?

3. Afin que les panneaux solaires aient une production maximale, le toit doit avoir une pente avec l’horizontale comprise entre 30° et 35°.

Schéma en coupe du hangar.

La pente du toit avec l’horizontale correspond à l’angle \(\widehat{\text{OLV}}\).

Sur ce toit, les panneaux solaires ont-ils une production maximale ?

Exercice 4 (20 points)

On considère la fonction \(f\) définie par

\[ f(x) = x^2 + 10x + 16. \]

1. Vérifier par le calcul que l’image de 6 par la fonction \(f\) est 112.

2. On utilise un tableur afin de calculer les images des entiers compris entre \(-4\) et 4 par la fonction \(f\).

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	\(x\)	\(-4\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	0	1	2	3	4
2	\(f(x)\)	\(-8\)	\(-5\)	0	7	16	27	40	55	72

a. Parmi les 4 formules ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule B2, puis étirée vers la droite afin de calculer les images des nombres donnés par la fonction \(f\).

=B1*B1+10*B1+16 =A1*A1+10*A1+16 =(-4)*(-4)+10*(-4)+16 =x*x+10*x+16

b. En utilisant le tableau, déterminer un antécédent de 0.

3. a. Démontrer que \(f(x)\) peut s’écrire \((x+2)(x+8)\).

b. En déduire un autre antécédent de 0 par la fonction \(f\).

Exercice 5 (20 points)

La quadrilatère ABCD ci-dessous est constitué de deux triangles équilatéraux de côté 5 cm.

1. a. Reproduire le quadrilatère ABCD en vraie grandeur.

b. Quelle est sa nature ?

c. Démontrer que l’angle \(\widehat{\text{BCD}}\) mesure 120°.

2. Le programme ci-dessous permet de créer le bloc Motif qui trace le quadrilatère ABCD.

Recopier et compléter les lignes 5 et 6 de ce programme.

On utilise l’échelle suivante : 10 pas dans le programme représentent 1 cm dans la réalité.

3. Recopier et compléter les trois phrases suivantes afin d’associer chaque figure au programme qui permet de la tracer.

Le programme A permet de tracer la figure ….

Le programme B permet de tracer la figure ….

Le programme C permet de tracer la figure ….

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Affirmation 1 : fausse. Le calcul \(4 \times 5 \times 13 = 260\) est juste, mais 4 n’est pas un nombre premier puisqu’il est divisible par 2 (\(4 = 2 \times 2\)). Une décomposition en produit de facteurs premiers ne doit contenir que des nombres premiers. La bonne décomposition est \(260 = 2^2 \times 5 \times 13\).

Affirmation 2 : fausse. Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher, donc tous les tirages sont équiprobables.

Première urne : elle contient \(3 + 4 + 8 = 15\) boules dont 8 rouges, donc \(P(\text{rouge}) = \dfrac{8}{15}\).

Seconde urne : elle contient \(1 + 1 + 3 = 5\) boules dont 3 marquées C, donc \(P(\text{C}) = \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}\).

Comme \(\dfrac{8}{15} \lt \dfrac{9}{15}\), la probabilité d’obtenir une boule rouge est inférieure à celle d’obtenir une boule marquée C : l’affirmation est fausse.

Affirmation 3 : vraie. On isole \(x\) :

\[ 7x + 5 = 2x – 2 \iff 7x – 2x = -2 – 5 \iff 5x = -7 \iff x = \dfrac{-7}{5} = -1{,}4 \]

On peut vérifier : \(7 \times (-1{,}4) + 5 = -9{,}8 + 5 = -4{,}8\) et \(2 \times (-1{,}4) – 2 = -2{,}8 – 2 = -4{,}8\). Les deux membres sont égaux, donc \(-1{,}4\) est bien la solution.

Affirmation 4 : vraie. Les 10 pièces empilées forment un cylindre de rayon \(R = 1{,}9 : 2 = 0{,}95\) cm et de hauteur \(h = 10 \times 0{,}2 = 2\) cm.

\[ V = \pi \times 0{,}95^2 \times 2 = 1{,}805\,\pi \approx 5{,}67 \text{ cm}^3 \]

Arrondi à l’unité, le volume est bien de 6 cm³.

Affirmation 5 : vraie. On convertit la vitesse de l’éléphant en km/h. En 1 seconde il parcourt 5 m, donc en 1 heure, soit 3 600 secondes, il parcourt \(5 \times 3\,600 = 18\,000\) m, c’est-à-dire 18 km.

L’éléphant court donc à 18 km/h. Comme \(18 \gt 17\), l’éléphant est plus rapide que le cochon.

Exercice 2 :

1. a. Chaque passage de la moissonneuse coupe une bande de 12 m de large, mesurée sur [BC]. Après 5 passages, la largeur moissonnée à partir de B est :

\[ \text{BG} = 5 \times 12 = 60 \]

On a bien BG = 60 m.

b. Le point G appartient au segment [BC], donc \(\text{CG} = \text{BC} – \text{BG} = 150 – 60 = 90\).

On a bien CG = 90 m.

2. Les droites (GF) et (AB) sont toutes les deux perpendiculaires à (BC), donc elles sont parallèles. De plus, les points C, G, B d’une part et C, F, A d’autre part sont alignés. On peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles CGF et CBA :

\[ \dfrac{\text{CG}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CF}}{\text{CA}} = \dfrac{\text{GF}}{\text{BA}} \]

Avec la première et la dernière fraction : \(\dfrac{90}{150} = \dfrac{\text{GF}}{200}\), donc

\[ \text{GF} = \dfrac{90 \times 200}{150} = \dfrac{18\,000}{150} = 120 \]

La longueur GF est bien de 120 m.

3. a. Le triangle CGF est rectangle en G : ses côtés de l’angle droit [CG] et [GF] servent de base et de hauteur.

\[ \mathcal{A}_{\text{CGF}} = \dfrac{\text{CG} \times \text{GF}}{2} = \dfrac{90 \times 120}{2} = \dfrac{10\,800}{2} = 5\,400 \]

L’aire du triangle CGF est bien de 5 400 m².

b. Le temps de travail est proportionnel à la surface. Pour 9 600 m², il faut 80 minutes ; on cherche le temps pour 5 400 m².

Surface (m²)	9 600	5 400
Temps (min)	80	?

Par produit en croix :

\[ \dfrac{5\,400 \times 80}{9\,600} = \dfrac{432\,000}{9\,600} = 45 \]

Il faut 45 minutes pour moissonner la partie CGF.

4. La clôture fait le tour du champ : il faut calculer le périmètre du triangle ABC, donc d’abord la longueur AC.

Le triangle ABC est rectangle en B, d’hypoténuse [AC]. D’après le théorème de Pythagore :

\[ \text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 200^2 + 150^2 = 40\,000 + 22\,500 = 62\,500 \]

donc \(\text{AC} = \sqrt{62\,500} = 250\) m.

Le périmètre vaut \(200 + 150 + 250 = 600\) m. L’agriculteur doit acheter 600 m de clôture.

Exercice 3 :

1. a. La plus grande valeur du tableau est 405 kWh : la production a été la plus grande le samedi.

b. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. La plus petite production est 322 kWh (mercredi).

\[ 405 – 322 = 83 \]

L’étendue est de 83 kWh.

c. On additionne les 7 productions puis on divise par 7 :

\[ \dfrac{381 + 363 + 322 + 329 + 393 + 405 + 376}{7} = \dfrac{2\,569}{7} = 367 \]

La production moyenne est de 367 kWh par jour.

2. Sur la semaine, la production totale est de 2 569 kWh. L’entreprise en revend 15 % :

\[ 2\,569 \times \dfrac{15}{100} = 385{,}35 \text{ kWh} \]

Chaque kWh est vendu 8 centimes , soit 0,08 € :

\[ 385{,}35 \times 0{,}08 = 30{,}828 \]

L’entreprise a gagné environ 30,83 € pendant ces 7 jours.

3. Dans le triangle OLV rectangle en V, on connaît le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{OLV}}\), OV = 7 m, et l’hypoténuse OL = 13,5 m. On utilise donc le sinus :

\[ \sin \widehat{\text{OLV}} = \dfrac{\text{OV}}{\text{OL}} = \dfrac{7}{13{,}5} \]

À la calculatrice (touche arcsin ou \(\sin^{-1}\)) : \(\widehat{\text{OLV}} \approx 31{,}2\)°.

Comme \(30 \lt 31{,}2 \lt 35\), la pente est dans l’intervalle recommandé : oui, sur ce toit, les panneaux solaires ont une production maximale.

Exercice 4 :

1. On remplace \(x\) par 6 :

\[ f(6) = 6^2 + 10 \times 6 + 16 = 36 + 60 + 16 = 112 \]

L’image de 6 par \(f\) est bien 112.

2. a. La cellule B2 doit calculer l’image du nombre écrit juste au-dessus, dans la cellule B1. En étirant vers la droite, B1 deviendra C1, D1… et chaque cellule calculera l’image de la valeur située au-dessus d’elle. La formule =A1*A1+10*A1+16 utiliserait la cellule A1, qui contient le texte \(x\) ; la formule avec \(-4\) écrit en dur donnerait toujours \(-8\) ; et le tableur ne connaît pas de variable \(x\).

La formule saisie est =B1*B1+10*B1+16.

b. Dans la colonne D, on lit \(f(-2) = 0\) : \(-2\) est un antécédent de 0 par \(f\).

3. a. On développe \((x+2)(x+8)\) par double distributivité :

\[ (x+2)(x+8) = x^2 + 8x + 2x + 16 = x^2 + 10x + 16 = f(x) \]

Donc \(f(x) = (x+2)(x+8)\).

b. Les antécédents de 0 sont les solutions de \(f(x) = 0\), c’est-à-dire de \((x+2)(x+8) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :

\(x + 2 = 0\) donne \(x = -2\) (déjà trouvé) ; \(x + 8 = 0\) donne \(x = -8\).

Vérification : \(f(-8) = 64 – 80 + 16 = 0\). Un autre antécédent de 0 est donc \(-8\).

Exercice 5 :

1. a. Construction en vraie grandeur :

tracer le segment [BC] de 5 cm ;
avec le compas, tracer deux arcs de rayon 5 cm centrés en B et en C : leur point d’intersection au-dessus de [BC] est A (triangle équilatéral ABC) ;
tracer deux arcs de rayon 5 cm centrés en A et en C, du côté opposé à B : leur point d’intersection est D (triangle équilatéral ACD) ;
relier A, B, C et D.

b. Le triangle ABC est équilatéral, donc AB = BC = CA = 5 cm. Le triangle ACD est équilatéral, donc AC = CD = DA = 5 cm. Les quatre côtés AB, BC, CD et DA du quadrilatère mesurent tous 5 cm.

Un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur est un losange : ABCD est un losange.

c. Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°. Donc \(\widehat{\text{BCA}} = 60\)° (triangle ABC) et \(\widehat{\text{ACD}} = 60\)° (triangle ACD).

Le point A est à l’intérieur de l’angle \(\widehat{\text{BCD}}\), donc

\[ \widehat{\text{BCD}} = \widehat{\text{BCA}} + \widehat{\text{ACD}} = 60 + 60 = 120 \]

L’angle \(\widehat{\text{BCD}}\) mesure bien 120°.

2. Avec l’échelle, 5 cm correspondent à \(5 \times 10 = 50\) pas : tous les côtés se tracent donc en avançant de 50 pas.

Le lutin part de B en regardant vers C. Il trace [BC] (ligne 3), puis tourne à gauche de 60° (ligne 4) : c’est l’angle extérieur en C, puisque \(180 – 120 = 60\). Il trace alors [CD] (ligne 5 : 50 pas). En D, l’angle intérieur du losange vaut 60° (c’est un angle du triangle équilatéral ACD), donc il doit tourner de \(180 – 60 = 120\)° (ligne 6). La boucle recommence ensuite pour tracer [DA] et [AB].

Les lignes complétées sont :

5  avancer de (50) pas
6  tourner à gauche de (120) degrés

Le bloc complet :

1  définir Motif
2  répéter (2) fois
3      avancer de (50) pas
4      tourner à gauche de (60) degrés
5      avancer de (50) pas
6      tourner à gauche de (120) degrés

3. Après avoir tracé un motif, le lutin revient à son point de départ avec la même orientation (il a tourné en tout \(2 \times (60 + 120) = 360\)°).

Programme A : entre deux motifs, le lutin tourne seulement de 72° sur place. Les 5 losanges ont donc tous le même sommet de départ et sont tournés de 72° les uns par rapport aux autres (\(5 \times 72 = 360\)) : on obtient l’étoile de la figure 2.

Programme B : le lutin tourne de 72° puis avance de 25 pas avant le motif suivant. Les losanges ne partent plus du même point : leurs sommets de départ forment un petit pentagone, ce qui donne le moulinet de la figure 3.

Programme C : le lutin ne tourne pas, il avance seulement de 25 pas vers la droite. Les 5 losanges sont décalés horizontalement et se chevauchent : c’est la bande de la figure 1.

Le programme A permet de tracer la figure 2, le programme B la figure 3 et le programme C la figure 1.

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