Brevet maths 2021 France sept. : sujet et corrigé

Voici le sujet du brevet de maths de septembre 2021 (France métropolitaine et La Réunion, session du 13 septembre), suivi de son corrigé détaillé sur cette même page. Le QCM d’ouverture passe en revue les fractions, une urne, une rotation de 90°, une décomposition en facteurs premiers et une puissance négative. On étudie ensuite les masses de sept tortues vertes de Madagascar (étendue, moyenne, médiane, pourcentage) avant de repérer l’île sur un planisphère. Un programme de calcul testé au tableur conduit à un petit raisonnement de calcul littéral sur les multiples de 4. Trois scripts Scratch dessinent un triangle et un carré, et le dernier exercice suit une étagère qu’on relève contre un mur : Pythagore pour savoir si elle frôle le plafond, puis Thalès pour la longueur des tablettes.

Ce sujet fait partie des annales que nous rassemblons pour préparer le brevet de maths 2027 : tous les sujets récents y sont classés par session.

DIPLÔME NATIONAL DU BREVET — SESSION 2021
France métropolitaine, La Réunion — 13 septembre 2021
Mathématiques — Durée : 2 heures

Indications portant sur l’ensemble du sujet
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée.
Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche ; elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice 1 (20 points)

Cet exercice est un Q.C.M. (Questionnaire à Choix Multiples).

Chaque question n’a qu’une seule bonne réponse.

Pour chaque question, précisez sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.

Question	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. \(\dfrac{4}{7} + \dfrac{5}{21} = \ldots\)	\(\dfrac{9}{21}\)	\(\dfrac{9}{28}\)	\(\dfrac{17}{21}\)
2. Une urne contient 3 boules jaunes, 2 boules bleues et 4 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte ?	\(\dfrac{4}{5}\)	\(\dfrac{4}{9}\)	\(\dfrac{5}{9}\)
3. Sur quelle figure a-t-on représenté une flèche et son image par une rotation de centre O et d’angle 90° ?
4. La décomposition en produit de facteurs premiers de 117 est :	\(3 \times 3 \times 13\)	\(9 \times 13\)	\(3 \times 7 \times 7\)
5. \(\dfrac{1}{(-2) \times (-2) \times (-2)} = \ldots\)	\((-2)^{-3}\)	\((-2)^{3}\)	\(2^{-3}\)

Exercice 2 (20 points)

Sur l’île de Madagascar, un scientifique mène une étude sur les tortues vertes.

La tortue verte a pour nom scientifique : « Chelonia Mydas ».

La carapace mesure en moyenne 115 cm et l’animal pèse entre 80 et 130 kg.

Elle est classée comme espèce « En Danger ».

Afin de surveiller la bonne santé des tortues, elles sont régulièrement pesées. Voici les données relevées par ce scientifique en mai 2021.

Lettres de marquage	A-001	A-002	A-003	A-004	A-005	A-006	A-007
Sexe de la tortue	Mâle	Femelle	Femelle	Femelle	Mâle	Femelle	Femelle
Masse (en kg)	113	96	125	87	117	104	101

1. Calculer l’étendue de cette série statistique.

2. Calculer la masse moyenne de ces 7 tortues. Arrondir le résultat à l’unité.

3. Déterminer la médiane de cette série statistique. Interpréter le résultat.

4. Est-il vrai que les mâles représentent moins de 20 % de cet échantillon ?

5. L’île de Madagascar a pour coordonnées géographiques (20 Sud ; 45 Est).
Placer une croix sur le planisphère fourni en annexe afin de marquer la position de l’île de Madagascar.

L’annexe est à rendre avec la copie.

Annexe – Exercice 2, question 5 (annexe à rendre avec la copie)

Exercice 3 (20 points)

On considère le programme de calcul suivant.

• Choisir un nombre.
• Ajouter 2 à ce nombre.
• Prendre le carré du résultat précédent.
• Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent.

On a utilisé la feuille de calcul ci-dessous pour appliquer ce programme de calcul au nombre 5 ; le résultat obtenu est 24.

	A	B
1	Programme	Résultat
2	Choisir un nombre	5
3	Ajouter 2 à ce nombre	7
4	Prendre le carré du résultat précédent	49
5	Soustraire le carré du nombre de départ au résultat précédent	24

1. Pour les questions suivantes, faire apparaître les calculs sur la copie.

a. Si on choisit 2 comme nombre de départ, vérifier qu’on obtient 12 comme résultat.

b. Si on choisit \(-8\) comme nombre de départ, quel résultat obtient-on ?

2. Parmi les trois propositions suivantes, recopier sur votre copie la formule qui a été saisie dans la cellule B5.

=B4 − B2 * B2

=B2 + 2

= B3 * B3

3. a. Si l’on choisit \(x\) comme nombre de départ, exprimer en fonction de \(x\), le résultat final de ce programme de calcul.

b. Montrer que \((x + 2)^2 – x^2 = 4x + 4\).

4. Si on choisit un nombre entier au départ, est-il exact que le résultat du programme est toujours un multiple de 4 ? Justifier.

Exercice 4 (20 points)

Voici trois programmes réalisés avec l’application Scratch.

1. Ils donnent les trois figures suivantes constituées de triangles et de quadrilatères identiques.

a. Quelle est la nature du triangle et du quadrilatère sur chaque figure ? Aucune justification n’est attendue.

b. Quelle est la valeur manquante à la ligne 8 dans ces 3 programmes ?

c. Indiquer sur la copie, pour chaque figure, le numéro du programme qui permet de l’obtenir.

2. a. Maintenant nous allons modifier les programmes précédents pour construire d’autres figures pour lesquelles le périmètre du quadrilatère est égal au périmètre du triangle. Quelle valeur du pas doit-on alors choisir à la ligne 8 de chaque programme ?

b. Représenter la figure A obtenue avec cette nouvelle valeur, en prenant 1 cm pour 25 pas.

Exercice 5 (20 points)

Une famille a acheté une étagère qu’elle souhaite placer le long d’un mur.

1. L’étagère était affichée au prix de 139,90 €. La famille a obtenu une réduction de 10 %.
Quel a été le montant de cette réduction ?

2. Voici l’image de profil qu’on peut voir sur le guide de montage de l’étagère ; ce dessin n’est pas à l’échelle.

AB = AB’ = 0,80 m
BC = B’C’ = 2,25 m

L’étagère a été montée à plat sur le sol de la pièce ; elle est donc en position 1.

On veut s’assurer qu’elle ne touchera pas le plafond au moment de la relever pour atteindre la position 2.

On ne dispose d’aucun instrument de mesure.

Avec les données du schéma précédent, vérifier que l’étagère ne touchera pas le plafond.

3. Dans cette question, on supposera que le meuble a pu être disposé contre le mur.

On installe maintenant quatre tablettes horizontales régulièrement espacées et représentées ici par les segments [DE], [FG], [HI] et [JK].

a. Calculer la longueur C’E.

b. Calculer la longueur de la tablette [DE].

c. Calculer la longueur de la tablette [HI].

Rappels des données :
B’C’ = 2,25 m
AB’ = 0,80 m

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

1. On met les deux fractions au même dénominateur, 21, qui est un multiple de 7 : \(\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{12}{21}\). Donc \(\dfrac{4}{7} + \dfrac{5}{21} = \dfrac{12}{21} + \dfrac{5}{21} = \dfrac{17}{21}\). Réponse C.

2. L’urne contient \(3 + 2 + 4 = 9\) boules, dont 4 vertes. Les tirages étant équiprobables, la probabilité de tirer une boule verte est \(\dfrac{4}{9}\). Réponse B.

3. Une rotation de centre O et d’angle 90° fait « pivoter » la flèche d’un quart de tour autour de O : sa direction doit tourner de 90°. Sur la figure A, la flèche a fait un demi-tour (angle de 180°, c’est une symétrie centrale) ; sur la figure C, elle n’a tourné que de 45°. Sur la figure B, la flèche horizontale devient verticale et reste à la même distance de O : c’est bien un quart de tour. Réponse B.

4. On divise par les nombres premiers successifs : \(117 = 3 \times 39 = 3 \times 3 \times 13\), et 13 est premier. La réponse B, \(9 \times 13\), n’est pas une décomposition en facteurs premiers car 9 n’est pas premier ; la réponse C vaut \(147\). Réponse A.

5. Le dénominateur est \((-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^3\), donc \(\dfrac{1}{(-2)^3} = (-2)^{-3}\) par définition d’une puissance d’exposant négatif. Attention : \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) est positif alors que \((-2)^{-3} = -\dfrac{1}{8}\). Réponse A.

Exercice 2 :

1. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. La tortue la plus lourde pèse 125 kg et la plus légère 87 kg, donc l’étendue vaut \(125 – 87 = 38\). L’étendue de la série est 38 kg.

2. On additionne les sept masses puis on divise par 7 :

\[\overline{m} = \dfrac{113 + 96 + 125 + 87 + 117 + 104 + 101}{7} = \dfrac{743}{7} \approx 106{,}14\]

La masse moyenne de ces tortues est d’environ 106 kg.

3. On range les masses dans l’ordre croissant : 87 ; 96 ; 101 ; 104 ; 113 ; 117 ; 125. Il y a 7 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la 4^e valeur : la médiane vaut 104 kg. Interprétation : au moins la moitié des tortues pèsent 104 kg ou moins, et au moins la moitié pèsent 104 kg ou plus.

4. Il y a 2 mâles (A-001 et A-005) sur 7 tortues. Leur proportion est \(\dfrac{2}{7} \approx 0{,}286\), soit environ 28,6 %. Comme \(28{,}6\ \% \gt 20\ \%\), l’affirmation est fausse : les mâles représentent plus de 20 % de l’échantillon. (Pour être sous les 20 %, il aurait fallu au plus 1 mâle, car \(\dfrac{1}{7} \approx 14{,}3\ \%\).)

5. La latitude 20° Sud se lit sur le deuxième parallèle rouge sous l’équateur (celui marqué 20° à gauche de la carte). La longitude 45° Est se situe entre les méridiens 30° et 60° Est, exactement au milieu (un méridien est tracé tous les 15°, c’est le troisième méridien à droite du méridien 0). La croix se place à l’intersection de ces deux lignes : on tombe sur l’île de Madagascar, à l’est de l’Afrique australe, à l’endroit du point jaune situé dans l’océan Indien.

Exercice 3 :

1. a. On applique le programme au nombre 2 : \(2 + 2 = 4\), puis \(4^2 = 16\), puis \(16 – 2^2 = 16 – 4 = 12\). On obtient bien 12.

b. Avec \(-8\) : \(-8 + 2 = -6\), puis \((-6)^2 = 36\), puis \(36 – (-8)^2 = 36 – 64 = -28\). Le résultat est \(-28\).

2. La cellule B5 correspond à la dernière étape : on part du résultat de l’étape précédente (cellule B4) et on lui retire le carré du nombre de départ (cellule B2 multipliée par elle-même). La formule est donc =B4 − B2 * B2. Les deux autres formules correspondent aux cellules B3 (=B2 + 2) et B4 (=B3 * B3).

3. a. En partant de \(x\) : on obtient \(x + 2\), puis \((x + 2)^2\), puis on soustrait \(x^2\). Le résultat final est \((x + 2)^2 – x^2\).

b. On développe le carré avec l’identité remarquable \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :

\[(x + 2)^2 – x^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 – x^2 = x^2 + 4x + 4 – x^2 = 4x + 4\]

On a bien \((x + 2)^2 – x^2 = 4x + 4\). On peut vérifier avec \(x = 5\) : \(4 \times 5 + 4 = 24\), comme dans la feuille de calcul.

4. D’après la question 3, le résultat est \(4x + 4\). On factorise par 4 : \(4x + 4 = 4 \times (x + 1)\). Si \(x\) est un nombre entier, alors \(x + 1\) est aussi un entier, et le résultat s’écrit \(4 \times k\) avec \(k = x + 1\) entier. C’est exact : le résultat est toujours un multiple de 4 (par exemple 12 pour 2, \(-28 = 4 \times (-7)\) pour \(-8\)).

Exercice 4 :

1. a. Dans la première boucle, le lutin avance 3 fois de 100 pas en tournant chaque fois de 120° : il trace un triangle dont les trois côtés mesurent 100 pas, le triangle est équilatéral. Dans la seconde boucle, il trace 4 côtés de même longueur en tournant de 90° à chaque fois, donc 4 angles droits : le quadrilatère est un carré. C’est le cas pour les trois figures.

b. L’énoncé précise que les triangles et les quadrilatères sont identiques ; sur les figures, le côté du carré a la même longueur que le côté du triangle. La valeur manquante est 100 : « avancer de 100 pas ».

c. Après le triangle, le lutin est revenu à son point de départ, le sommet gauche de la base, orienté vers la droite.

Programme 1 : il avance de 50 pas, soit la moitié de la base ; le carré commence donc au milieu de la base du triangle et le chevauche : c’est la figure B.

Programme 2 : il avance de 100 pas, il se retrouve au sommet droit de la base ; le carré démarre à cet endroit, à côté du triangle : c’est la figure C.

Programme 3 : il tourne de 60° vers la gauche sans avancer ; il se retrouve dirigé le long du côté gauche du triangle, et le carré est construit sur ce côté, à l’extérieur du triangle : c’est la figure A.

2. a. Le triangle équilatéral de côté 100 pas a pour périmètre \(3 \times 100 = 300\) pas. Si le carré a pour côté \(c\), son périmètre est \(4c\). On veut \(4c = 300\), donc \(c = \dfrac{300}{4} = 75\). Il faut écrire « avancer de 75 pas » à la ligne 8.

b. Avec l’échelle 1 cm pour 25 pas, le côté du triangle mesure \(100 : 25 = 4\) cm et celui du carré \(75 : 25 = 3\) cm. Construction : on trace un triangle équilatéral de 4 cm de côté, base horizontale. Depuis le sommet gauche de la base, on trace un carré de 3 cm de côté dont un côté est porté par le côté gauche du triangle (il en recouvre les 3 premiers centimètres), le carré étant placé à l’extérieur du triangle, du côté gauche. On obtient la figure suivante (réduite).

Exercice 5 :

1. Prendre 10 % d’un prix revient à le multiplier par \(\dfrac{10}{100} = 0{,}1\) : \(139{,}90 \times 0{,}1 = 13{,}99\). La réduction est de 13,99 € (l’étagère a donc été payée \(139{,}90 – 13{,}99 = 125{,}91\) €).

2. Lorsqu’on relève l’étagère, elle tourne autour du point A. Le point de l’étagère le plus éloigné de A est le sommet C, et c’est lui qui décrit l’arc de cercle en pointillés : au moment où il passe à la verticale de A (point E), la hauteur atteinte est égale à la longueur AC. Il suffit donc de comparer AC à la hauteur sous plafond, 2,40 m.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :

\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 0{,}80^2 + 2{,}25^2 = 0{,}64 + 5{,}0625 = 5{,}7025\]

\[\text{AC} = \sqrt{5{,}7025} \approx 2{,}388\ \text{m}\]

Comme \(2{,}388 \lt 2{,}40\), l’étagère ne touchera pas le plafond ; il reste toutefois à peine plus d’un centimètre de marge.

3. a. Les points E, G, I et K partagent [B’C’] en 5 segments de même longueur (les codages le montrent). Donc \(\text{C^{\prime}E} = \dfrac{\text{B^{\prime}C^{\prime}}}{5} = \dfrac{2{,}25}{5} = 0{,}45\). C’E = 0,45 m.

b. Les tablettes sont horizontales et le sol aussi : les droites (DE) et (AB’) sont perpendiculaires à la même droite (B’C’), elles sont donc parallèles. Les points C’, D, A d’une part et C’, E, B’ d’autre part sont alignés. D’après le théorème de Thalès dans les triangles C’DE et C’AB’ :

\[\dfrac{\text{C^{\prime}E}}{\text{C^{\prime}B^{\prime}}} = \dfrac{\text{C^{\prime}D}}{\text{C^{\prime}A}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB^{\prime}}}\]

Donc \(\dfrac{\text{DE}}{0{,}80} = \dfrac{0{,}45}{2{,}25} = 0{,}2\), d’où \(\text{DE} = 0{,}80 \times 0{,}2 = 0{,}16\). La tablette [DE] mesure 0,16 m, soit 16 cm.

c. Le point I est situé à trois intervalles de C’ : \(\text{C^{\prime}I} = 3 \times 0{,}45 = 1{,}35\) m. Pour les mêmes raisons, (HI) est parallèle à (AB’) et le théorème de Thalès dans les triangles C’HI et C’AB’ donne :

\[\dfrac{\text{HI}}{\text{AB^{\prime}}} = \dfrac{\text{C^{\prime}I}}{\text{C^{\prime}B^{\prime}}} = \dfrac{1{,}35}{2{,}25} = 0{,}6\]

D’où \(\text{HI} = 0{,}80 \times 0{,}6 = 0{,}48\). La tablette [HI] mesure 0,48 m, soit 48 cm.

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