cours maths 3eme

Sections planes de solides : cours de maths en 3ème

Un cours de maths en 3ème sur les volumes de solides et les sections de solides dans l’espace. Nous aborderons dans cette leçon différents rappels sur les aires de figures (rectangle, parallélogramme, trapèze) puis les formules de calculs du volume d’une pyramide, d’un cylindre de révolution ou encore, d’une boule. Puis, dans un second temps, nous effectuerons des sections de solides par un plan et nous effectuerons des calculs avec les notions de réduction et d’agrandissement.

I.Formules des aires de figures et volumes de solides :

1.Formules des aires de figures :

formules aires

2.Formulaire des volumes de solides :

formules volumes

II. Sections planes de surfaces :

Définition :
En géométrie, on appelle section plane  l’intersection entre un solide et un plan.

section solide

1. Section d’une boule par un plan :

Propriété :
La section d’une boule par un plan est un disque .
Lorsque le plan passe par le centre de la boule, la section est un disque de même centre et de même rayon.

section sphère

2.Section d’un pavé droit par un plan

Propriété :
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle.

section pavé droit

Propriété :
La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.

section pavé droit

3.Section d’un cylindre de révolution par un plan :

Propriété :
La section d’un cylindre de révolution de rayon R par un plan  parallèle aux bases est un disque de rayon R.

section cylindre

4.Section d’une pyramide par un plan :

Propriété :
La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone ayant la
même forme que la base.

section pyramide

5.Section d’un cône de révolution par un plan :

Propriété :
La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base est un disque dont le centre appartient à la hauteur de ce cône.

section cône

III. Les agrandissements et les réductions de solides :

Définition :
Considérons une section plane parallèlement à une base.Nous obtenons une réduction (ou un agrandissement) du solide.
Lorsque deux figures ont la même forme, on peut calculer le coefficient suivant :
Le coefficient de réduction, noté k, est donné par la formule :k=\frac{longueur\,finale}{longueur\,\,initiale} >0.
Propriété :

Considérons un agrandissement (ou une réduction) de rapport k.

  • Si k>1 alors c’est un agrandissement;
  • Si k<1  alors c’est une réduction.
Propriété :

Lors d’un agrandissement (ou d’une réduction) de rapport k :

  •  les longueurs sont multipliées par k ;
  •  les aires sont multipliées par k^2 ;
  •  les volumes sont multipliés par k^3 .

Exemple :

On considère la pyramide de base ABCD et la section IJKL effectuée parallèlement à sa base.

Nous savons que SJ= 6 cm; SB = 10 cm; A_{ABCD}=24_,cm^2.

Calculer l’aire de la section IJKL.

section pyramide

Le coefficient de réduction est k=\frac{SJ}{SB}=\frac{6}{10}=0,6<1.

Nous avons :

A_{IJKL}=k^2\times  \,A_{ABCD}\\A_{IJKL}=0,6^2\times  \,24\,\\A_{IJKL}=8,64\,cm^2


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